20 CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Nguyễn Xuân Thành, ĐHBKHN Ở cấp THCS ta đã được làm quen với một định lí rất quen thuộc là tam giác ABC cân nếu có AM vừa là trung tuyến vừa là đườ[r]
(1)20 CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Nguyễn Xuân Thành, ĐHBKHN Ở cấp THCS ta đã làm quen với định lí quen thuộc là tam giác ABC cân có AM vừa là trung tuyến vừa là đường phân giác.Bài toán này chứng minh không khó nhiên câu hỏi đặt là có bao nhiêu cách để chứng minh bài toán này.Chắc hẵn có nhiều cách chứng minh bài toán này.Khi còn học lớp 12 mình đã mày mò, lục lọi, để tìm 20 cách giải cho bài toán trên, tất nhiên các cách giải là khác mặc dù có số cách dựa vào định lí kiến thức nào đó PHẦN 1:GIẢI THEO KIẾN THỨC TRUNG HỌC CƠ SỞ Cách 1: MB AB = MC AC Mặt khác AM là trung tuyến nên MB=MC Suy AB=AC,nghĩa là tam giác ABC cân Vì AM là phân giác nên Cách 2: Kẻ ME⊥ AB và MF⊥AC.Vì AM là phân giác nên theo tính chất đường phân giác ta có ME=MF.Từ đó suy ∆ MEB= ∆ MFC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)⇒ ^ MBE= ^ MCF ⇒ ^ Vậy ∆ABC cân ^ =C B B Cách A M N C Lấy điểm N thoả mãn M là trungđiểm AN ⇒∆AMC=∆NMB (c.g.c)⇒AC=BN (1) Và ^ MAC=^ MNB mà AM là phân giác nên ^ MAC= ^ MAB ⇒ ^ MAB=^ MNB⇒ ∆BAN cân B nên AB=BN (2) Từ (1) và (2) ta có AB=AC.Vậy ∆ABC cân (2) Cách 4: A I B C M Kẻ MI ⃦AB, Áp dụng định lí Talet ta có MI IC CM = = = AB AC CB ⇒AB=2MI và AC=2AI.(1) Do MI ⃦AB⇒ ^ IMA= ^ MAB= ^ MAI (do AM là phân giác) ⇒∆IAM cân⇒AI=IM (2) Từ (1) và (2) ⇒AB=AC.Do đó ∆ABC cân Cách A J E I C B M Kẻ phân giác BE và EJ ⃦BC Gọi I là giao điểm AM và BE Theo định lí Talet và từ giả thiết: AE JE JE IE AE = = = = AC MC MB IB AB ⇒AB=AC Vì ∆ABC là tam giác cân Cách 6: A Kẻ trung tuyến BN và gọi G là trọng tâm ∆ABC Thế thì AC=2AN và GB=2GN G N Do AG là phân giác nên GB AB = =¿ ⇒AB=2AN GN AN (3) Do đó AB=AC=2AN Vậy là ∆ABC cân Cách 7: B M A C E B C M Giả sử AB>AC⇒tồn điểm E trên cạnh AB cho AE=AC.Dễ dàng nhận thấy ∆AEM=∆ACM (c.g.c)⇒ME=MC.Mà theo giả thiết MB=MC ⇒ME=MB⇒∆MBE cân M ^⇒B ^ ^ =^ ^ + C=180 Nên B MEB=180° −^ MEA=180° −^ MCA=180° −C ° ⇒Vô lí Vậy AB ≤ AC.Lập luận tương tự xét với trường hợp AB<AC ta dẫn đến điều vô lí Cuối cùng bắt buộc AB=AC hay tam giác ABC là tam giác cân Cách 8: A D I B M C Lấy điểm D thoả mãn AD ⃦MC và AD=MC.(D và B khác phía qua AM) Vì MC=MB nên AD ⃦MB và AD=MB Khi đó ADCM và ADMB là hình bình hành nên AB ⃦MD và AM ⃦DC.Từ đó ta có: ^ BAM = ^ AMD= ^ MDC và ^ CAM= ^ ICD vì AM là phân giác nên ^ CAM= ^ BAM ⇒ ^ MDC= ^ ICD Do đó ∆ICD cân I ⇒ID=IC.Mặt khác: AB=MD=2ID và AC=2IC nên AB=AC Vậy tam giác ABC cân (4) Cách 9: K A B C M Từ C kẻ CK ⃦AM (K ∈ AB ).Khi đó ta được: ^ BAM = ^ AKC , ^ MAC= ^ ACK , AM là phân giác ⇒ ^ BAM =^ CAM ⇒ ^ AKC = ^ ACK Do đó ∆AKC cân A ⇒AK=AC (1) Hơn theo định lí Talet BA BM = AK MC mà MB=MC nên BA=AK (2) Từ (1) và (2) ta có AB=AC,vậy là ∆ABC cân Cách 10: A K B C M H Kẻ BK⊥AM,CH⊥AM.Giả sử H,K cùng phía với qua BC.Xét trường hợp: TH1:H,K,A cùng phía với qua BC.Khi đó ^ ^ ^ ^+^ A + ^B + C> BAK + ^ ABK + CAK ACH > 90 °+ 90 ° =180 ° (vì tam giác BKA và ACH là các tam giác vuông).⇒Vô lí vì tổng góc tam giác 180 ° ⇒LOẠI (5) TH2:H,K và A khác phía qua BC.Lúc này ta lại có ^ ^ <^ A + ^B + C BẠK + ^ ABK + ^ HAC + ^ ACH =90° +90 ° =180° ⇒Vô lí⇒LOẠI Vậy H,K khác phía qua BC hình vẽ Lúc này ∆BKM=∆CHM (hai tam giác vuông có cạnh huyền và có cặp góc nhọn nhau)⇒BK=CH.Mặt khác ∆AKB ∆AHC (g.g.g)⇒ AB KB AK = = =1⇒ AB= AC và AK = AH ⇒ ∆ ABC cân và K ≡ H Vậy tam giác ABC cân AC CH AH Tiếp theo ta chứng minh công thức mà ta đặt cho nó là công thức T: (công thức in đậm) ^ A Nếu lấy D trên tia đối tia MA thoả mãn ^ MCD = ¿ BC thì AM.MD= ¿ MB.MC) Thật đó ta có ^ BAM = ^ MCD ⇒∆AMB ∆CMD(g.g.g) A MA MB = ⇒ MC MD ⇒MA.MD=MB.MC= BC Như công thức T đã chứng minh Công thức này sử dụng số cách sau này Cách 11: ^ A MCD= Lấy D là điểm nằm trên tia đối tia MA thoả mãn ^ B M C D E Type equation here Thế thì theo công thức T ⇒MA.MD=MB.MC (1) ^ A MBE= Mặt khác gọi E là điểm nằm trên tia đối tia MA thoả mãn ^ Tương tự cách chứng minh công thức T ta có MA.ME=MB.MC (2) Từ (1) và (2) suy D ≡ E Lúc này ta có ^ MCD= ^ MBD ⇒∆DBC cân⇒ ^ MDB= ^ MDC ⇒∆ABD=∆ACD(g.c.g) ⇒AB=AC (6) Vậy tam giác ABC cân A Cách 12: Kẻ CD⊥AC (D ∈ AM) và DB’⊥AB (B’ ∈ AB) Do AD là phân giác nên DB’=DC (1) B’ B ⇒∆AB’D=∆ACD(cạnh huyền -cạnh góc vuông) ⇒AB’=AC (2) I C M D Từ (1) và (2)⇒AD là đường trung trực tam giác B’C Gọi I là giao điểm AD và CB’.Suy IB’=IC.Mặt khác MB=MC nên theo định lí Talet đảo thì IM ⃦ BB’.Và điều này xảy mà I ≡ M và B≡ B ' Thế nên kết hợp với (2) ta có AB=AC suy tam giác ABC cân Cách 13: Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A Gọi D là điểm chính cung nhỏ BC ⇒ cung nhỏ DB=cung nhỏ DC ⇒AD là phân giác góc BAC Nghĩa là AD ≡ AM Mặt khác DM⊥BC⇒AM⊥BC ⇒∆AMB=∆AMC (c.g.c) ⇒AB=AC Vậy tam giác ABC cân A B M D C (7) PHẦN II:GIẢI THEO KIẾN THỨC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Cách 14: A ^ =α Đặt ^ BAM =CAM Áp dụng định lí cosin: 2 MB = AB + AM −2 AB AM cosα 2 MC = AC + AM −2 AC AMcosα Trừ vế theo vế đẳng thức trên với chú ý MB=MC ⇒ AB −AC 2+ AC AMcosα−2 AB AMcosα=0 B M C ⇒(AB-AC)(AB+AC-2AM.cos α )=0 (1) Mà ta luôn có AM.cos α < AC và AM cosα< AB nên AB+AC-2AM.cos α >0 Do đó (1) xảy và AB-AC=0 hay AB=AC.Nghĩa là tam giác ABC cân Cách 15: ^ =∂ Đặt ^ BAM =CAM Áp dụng định lí sin: MB MA = sin ∂ sinB MC MA = sin ∂ sinC Thế mà MB=MC nên từ đẳng thức trên suy sinB=sinC ^ (1) B ^ (2) ^ =C ^ =180 °−C ⇒ B Tuy nhiên ^ ^ A + ^B + C=180 ° nên (2) bị loại.Vậy nên (1) đúng tức là tam giác ABC cân Cách 16: Đặt ^ MAB= ^ MAC=∂ Do MB=MC nên diện tích(dt) ∆ABM=dt∆AMC (1) A (8) Mà dt∆ABM= AB AM sin ∂ (2) Và dt∆ACM= AC AM sin ∂ (3) Từ (1) (2) (3) suy AB=AC.Vậy ∆ABC cân Cách 17: B M C y Trong cách này dùng phương pháp gắn B trục toạ độ Gắn A làm gốc toạ độ AM làm trục hoành M A x Trục tung Ay ⊥AM C Vì AM là phân giác nên AB và AC đối xứng qua AM ⇒Phương trình AB: y=kx ⇒Phương trình AC: y=-kx Gọi B(b,kb) và C(c,-kc).Vì M là trung điểm BC nên tung độ M là y=(kb-kc)/2 Mà M thuộc trục hoành nên tung độ =0 ⇒(kb-kc)/2=0 ⇒ b=c ⇒ AB=AC Vậy là tam giác ABC cân Cách 18: Gọi H là trực tâm tam giác ABC ^ A MCD= Trên tia đối tia MA lấy D thoả mãn ^ A Đặt BC=2a, áp dụng công thức T ta có AM.MD=MB.MC= a2 ⇒ ⃗ MA ⃗ MD=−a (1) BH (¿ + ⃗ CH ) Ta có ⃗ MH= ¿⃗ MA= ( ⃗ BA+ ⃗ CA) Và ⃗ H B M D C (9) Có điều trên là M là trung điểm BC Nhân vế theo vế hai đẳng thức trên ta và để ý H là trực tâm tam giác ABC ta có được: ⃗ MH ⃗ MA =¿ ¿ (⃗ BH +⃗ CH ) ( ⃗ BA+ ⃗ CA ) = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( AB HB+ AC HC ) = ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ { AB ( HC + CB ) + AC ( HB+ BC )} = 1⃗ ⃗ ⃗ BC ( AC − AB ) = ⃗2 BC =a (2) Cộng hai vế (1) và (2) suy ⃗ MA ⃗ MD+⃗ MA ⃗ MH =0 MA (⃗ MD +⃗ MH ) =0 ⇒ ⃗ MD+⃗ MH =0 ⇒ ⃗ ⇒M là trung điểm DH suy A,H,M,D thẳng hàng ⇒AM là đường cao tam giác ABC Nên ∆AMB=∆AMC(g.c.g)⇒AB=AC.Do đó ∆ABC cân Cách 19: ^ A MCD= Lấy D trên tia đối tia MA thoả mãn ^ A Theo công thức T ta có AM.MD=MB.MC (1) ^ Xét tam giác AMB và CMD có ^ MAB= ^ MCD , ^ AMB=CMD Nên suy ^ ABM = ^ ADC ⇒∆AMB ⇒ ∆ACD(g.g.g) AB AM = ⇒ AM.AD=AB.AC (2) AD AC Lấy (2)-(1) vế theo vế : AB.AC-MB.MC=AM.AD-AM.MD= AM B M C (10) Đặt AB=c,AC=b,BC=a thì ta có :bc - a = AM D Nhưng mà theo công thức đường trung tuyến thì: 2 2 AM = ( b + c ) − a Thế nên: bc- 2 2 a = ( b + c )− a 4 ⇒ (b−c)2 =0 ⇒b=c ⇒AB=AC Vậy tam giác ABC cân Cách 20: Cách cuối cùng này xét từ bài toán tổng quát để suy bài toán trên là trường hợp riêng nó.Xét tam giác ABC bất kì có trung tuyến AM và phân giác AD.Thế thì bài toán ban đầu là trường hợp riêng mà AM ≡ AD Đặt AB=c,AC=b,BC=a,BD=x,CD=y.⇒x+y=a (1) A Hoàn toàn tương tự cách 19 ta luôn có : AD =¿ AB.AC-BD.DC=bc-xy.(3) Từ tính chất phân giác nên: ac (b+ c) Từ (1) và (2) suy x= Thay vào (3) AD BD AB x c = ⇒ = DC AC y b =bc - và y= ab (b+ c) (2) (5) a2 bc (b+ c)2 AM là trung tuyến nên 2 2 AM = ( b + c ) − a Xét hiệu AM − AD = b+ c ¿ ¿ ¿ [2 ( b+c ) −a2 ] (b−c ) ¿ B D M C (11) Như AM vừa là trung tuyến vừa là phân giác là AM ≡ AD 2 AM − AD =0 (4) Để ý a,b,c là cạnh tam giác nên ( b2 +c ) >a luôn đúng.Nghĩa là (4) xảy b−c ¿ hay b=c Vậy là tam giác ABC cân ¿ ¿ Ta có thể làm ngắn gọn cách sau: Khi mà AM vừa là trung tuyến vừa là phân giác thì AM ≡ AD⇒DB=DC= ⇒x=y= a BC (6) Từ (5) (6) giải ta đưa kết b=c.Tức là ∆ABC cân Lời kết: hết !!!! (12)