Sach dien tu cua ham mot bien

Dựa vào các kiến thức lý thuyết về đạo hàm của hàm số được nêu trong Chương 4, chúng tôi đã vận dụng một số câu lệnh Maple để thực hiện các công việc khảo sát hàm số, và viết thành chươn[r]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Thanh Hiếu SÁCH ĐIỆN TỬ MÔN GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Mục lục Mở đầu Dãy số và chuỗi số 1.1 Dãy số và giới hạn dãy số 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Một số tính chất dãy hội tụ 1.1.3 Một số phép toán trên giới hạn 1.2 Hai nguyên lý giới hạn và ứng dụng 1.2.1 Hai nguyên lý giới hạn 1.2.2 Một số giới hạn quan trọng 1.2.3 Sự tồn điểm tụ dãy bị chặn 1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 1.3 Chuỗi số 1.3.1 Một số khái niệm 1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy 1.3.3 Dấu hiệu so sánh 1.3.4 Dấu hiệu hội tụ chuỗi số dương 1.3.5 Chuỗi đan dấu và dấu hiệu Leibniz 1.3.6 Dấu hiệu Dirichlet và Abel 1.4 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương 1.4.1 Giới thiệu phần mềm Maple 1.4.2 Minh họa dãy số lệnh vẽ dãy điểm 1.4.3 Tìm quy luật dãy số 1.4.4 Tính tổng hữu hạn 1.4.5 Tính tổng vô hạn 1.4.6 Tính tích hữu hạn vô hạn thừa số 1.4.7 Tính giới hạn dãy số 1.5 Bài tập 9 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 19 20 21 22 22 23 23 Hàm số 2.1 Các khái niệm 2.1.1 Khái niệm hàm số 2.1.2 Đồ thị hàm số 2.1.3 Một số hàm có cấu trúc đặc biệt 2.1.4 Các phép toán trên hàm số 2.2 Các hàm số 2.2.1 Các hàm sơ cấp 2.2.2 Các hàm sơ cấp 2.3 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương 2.3.1 Định nghĩa hàm số 2.3.2 Tìm tập xác định hàm số 2.3.3 Vẽ đồ thị hàm số không gian hai chiều 2.4 Bài tập 24 24 24 24 25 26 27 27 27 27 27 29 29 30 Giới hạn và tính liên tục hàm số 3.1 Một số khái niệm 3.1.1 Giới hạn điểm 3.1.2 Giới hạn phía 3.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn 3.2 Một số tính chất giới hạn 3.2.1 Tiêu chuẩn tồn giới hạn 3.2.2 Định lý tính giới hạn 3.2.3 Định lý tính bảo toàn thứ tự 3.3 Các phép toán trên giới hạn hàm số 3.3.1 Các phép toán số học 3.3.2 Giới hạn hàm hợp 3.4 Hai nguyên lý giới hạn và ứng dụng 3.4.1 Nguyên lý giới hạn hàm đơn điệu bị chặn 3.4.2 Nguyên lý giới hạn hàm bị kẹp 3.4.3 Áp dụng việc tính giới hạn các hàm 3.5 Tính liên tục hàm số 3.5.1 Khái niệm liên tục 3.5.2 Khái niệm gián đoạn 3.6 Các định lý hàm liên tục 3.6.1 Các định lý giá trị trung gian 3.6.2 Các phép toán trên các hàm liên tục 3.6.3 Hàm số liên tục 3.6.4 Hàm liên tục trên tập compact 31 31 31 31 32 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36 3.7 3.8 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương 3.7.1 Tính giới hạn hàm số 3.7.2 Tìm điểm gián đoạn hàm số 3.7.3 Tính giới hạn hàm số đối số dần đến điểm nào đó 3.7.4 Tính giới hạn hàm số theo bước Bài tập Đạo hàm 4.1 Khái niệm đạo hàm 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm 4.2 Các phép toán trên đạo hàm 4.2.1 Các phép toán số học trên đạo hàm 4.2.2 Đạo hàm hàm hợp và hàm ngược 4.2.3 Đạo hàm các hàm số sơ cấp 4.3 Các định lý quan trọng hàm khả vi 4.3.1 Định lý Fermat điều kiện cực trị 4.3.2 Các định lý giá trị trung bình 4.4 Một số ứng dụng đạo hàm 4.4.1 Tính giới hạn dạng không xác định 4.4.2 Tìm cực trị hàm số 4.4.3 Khảo sát các tính chất hàm số 4.5 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương 4.5.1 Tính đạo hàm hàm số 4.5.2 Tính đạo hàm hàm số theo bước 4.5.3 Khảo sát hàm số 4.6 Bài tập Phép tính tích phân 5.1 Tích phân bất định 5.1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định 5.1.2 Các tính chất và quy tắc 5.1.3 Bảng các tích phân bất định 5.2 Tích phân xác định Riemann 5.2.1 Khái niệm tích phân xác định 5.2.2 Một số tính chất 5.2.3 Một số phương pháp tính tích phân xác định 5.2.4 Một số ứng dụng tích phân 5.3 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương 5.3.1 Minh họa và tính tổng Riemann 37 37 38 39 40 42 43 43 43 44 44 45 45 46 46 47 47 47 48 48 49 49 50 52 53 54 54 54 55 55 56 56 57 58 59 61 61 5.4 5.3.2 Tính tích phân xác định 5.3.3 Tính tích phân bước 5.3.4 Tính diện tích và thể tích 5.3.5 Tính nguyên hàm Bài tập 64 66 68 71 72 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Mở đầu Phần mềm Maple xây dựng nhóm các nhà khoa học thuộc trường Đại học Waterloo – Canada, và tiếp tục phát triển phòng thí nghiệm các trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính toán hình thức Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính toán hình thức Ontario Đại học Tây Ontario; và phòng thí nghiệm khắp nơi trên giới Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy trên nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để tận dụng tối ưu cấu hình máy và có trình trợ giúp dễ sử dụng Maple có môi trường tính toán phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực toán học với khả tính toán trên các kí hiệu (symbolic) Từ version 7, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán học phổ thông và đại học Về lập trình tính toán, Maple vượt xa các ngôn ngữ thông thường khác trên hai phương diện: mạnh và đơn giản Ngoài ra, sử dụng Maple, ta có thể dễ dàng biên soạn các sách giáo khoa điện tử với chức Hyperlink tạo các siêu văn đơn giản mà không cần đến hỗ trợ phần mềm nào khác Với ưu điểm đó, Maple đã nhiều người trên giới lựa chọn và là phần mềm toán học sử dụng rộng rãi Maple có thể trợ giúp hữu hiệu cho việc dạy và học toán Rất nhiều công việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tính đạo hàm, tích phân, vẽ đồ thị thực câu lệnh đơn giản không phải lập trình tính toán phức tạp trước Nếu biết khai thác cách hiệu quả, Maple là công cụ minh họa hoàn hảo, hỗ trợ cho giáo viên việc dạy kiến thức khó và trừu tượng (chẳng hạn khái niệm tích phân), giúp giáo viên nâng cao chất lượng giảng dạy và giảm thiểu thời gian đứng lớp; giúp học sinh hiểu sâu bài giảng, nâng cao kỹ tính toán và phát triển khả sáng tạo Luận văn ”Sách điện tử môn giải tích Hàm số biến” có mục đích hệ thống số lệnh thông dụng bổ trợ cho phần giải tích Hàm số biến Chúng tôi sử dụng Maple version 13 và đã cố gắng tận dụng tính ưu việt Maple chức đóng gói, bookmark, hyperlink để giúp người sử dụng dễ dàng tra cứu; và viết các câu lệnh thông dụng thành nhóm lệnh, để người chưa làm quen với Maple có thể thực lệnh đó thao tác ấn phím Enter, đồng thời cung cấp mẫu cho người sử dụng có thể tự thực với bài toán mình và phát triển thêm Hy vọng điều này tạo hứng thú và giúp người sử dụng làm quen, khai thác Maple để làm toán cách dễ dàng, nhanh chóng Luận văn gồm chương: Chương Dãy số và chuỗi số Chương Hàm số Chương Giới hạn và tính liên tục hàm số Chương Đạo hàm Chương Phép tính tích phân Cấu trúc chương gồm ba phần - Kiến thức lý thuyết: Các kiến thức (các định nghĩa, định lý .) đưa vào, với khả đóng gói và hyperlink Maple giúp người sử dụng có thể dễ dàng tra cứu, tham khảo để ôn lại kiến thức cần thiết - Ứng dụng Maple: Tương ứng với các kiến thức nêu chương, chúng tôi giới thiệu các lệnh thông dụng Maple dùng để hỗ trợ thực hành tính toán Ngoài các câu lệnh riêng lẻ, còn có số chương trình (gồm nhiều câu lệnh viết thành nhóm) thực công việc phổ biến khảo sát hàm số, tính tích phân theo bước giúp người sử dụng có thể dùng Maple giải bài toán mình mà không phải trực tiếp gõ các lệnh, đồng thời có mẫu để tham khảo tự viết chương trình đã quen với Maple - Bài tập: Chúng tôi đưa vào số bài tập nhằm giúp người sử dụng nắm cách gõ các biểu thức toán học theo quy định Maple, minh họa cho khả tính toán Maple Một số bài tập nêu cách giải ”truyền thống” và cách giải Maple để người sử dụng có thể tham khảo và so sánh Kèm theo luận văn này là đĩa CD chứa nội dung sách điện tử biên soạn trên Maple Luận văn thực hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học - Viện Khoa học Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy tận tình hướng dẫn quá trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo điều kiện thuận lợi và truyền thụ kiến thức cho tôi suốt quá trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, các thầy cô tổ Toán - Tin trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc, bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ, khích lệ tôi hoàn thành luận văn này Thái Nguyên 2011 Vũ Thanh Hiếu Chương Dãy số và chuỗi số 1.1 1.1.1 Dãy số và giới hạn dãy số Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 (Dãy số) Dãy số là tập đếm các số thực, đánh số và xếp theo thứ tự số tăng dần Dãy số thường ký hiệu là (an ) Ta gọi an là số hạng tổng quát dãy số, dãy số hoàn toàn xác định biết công thức biểu diễn số hạng tổng quát an Chú ý 1.1 Có nhiều phương pháp cho dãy số: cho công thức biểu diễn số hạng tổng quát, liệt kê, mô tả tính chất, truy hồi, Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn - giới nội) Dãy số (an ) gọi là bị chặn trên (bị chặn dưới) tồn số c cho an c (c an ) với n Khi dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn ta nói nó là bị chặn (hay còn gọi là giới nội) Định nghĩa 1.3 (Giới hạn dãy số) Số a gọi là giới hạn dãy số (an ) với số dương ε ta có thể tìm số tự nhiên N (phụ thuộc vào ε) cho an ∈ (a − ε; a + ε), (tức là |an − a| < ε) với n ≥ N Khi đó ta viết lim an = a n→∞ hay an → a, n → ∞ và nói dãy số (an ) là hội tụ (tới a) Dãy không hội tụ thì gọi là dãy phân kỳ 10 Chú ý 1.2 Trong kí hiệu trên, không sợ nhầm lẫn ta có thể bỏ n → ∞, tức là, viết lim an thay cho lim an n→∞ Mệnh đề 1.1 Nếu (an ) hội tụ thì giới hạn nó là Định nghĩa 1.4 (Dãy con) Giả sử (an ) là dãy số và n1 < n2 < là tập số tự nhiên xếp theo thứ tự tăng dần Khi đó dãy (ank ) gọi là dãy dãy (an ) Mệnh đề 1.2 Nếu (an ) hội tụ tới a thì dãy vô hạn nó hội tụ tới a Định nghĩa 1.5 (Giới hạn trên và giới hạn dưới) Giả sử (ank ) là dãy (an ) và lim ank = a thì a gọi là giới hạn riêng (an ) k→∞ Kí hiệu A là tập tất các giới hạn riêng sup A gọi là giới hạn trên (an ), ký hiệu lim sup an ; inf A gọi là giới hạn (an ), ký n→∞ hiệu lim inf an n→∞ Mệnh đề 1.3 Dãy số (an ) hội tụ và lim sup an = lim inf an n→∞ n→∞ Ta nhớ lại, với tập A ⊂ R, điểm x ∈ R gọi là điểm tụ A tồn dãy các phần tử A hội tụ x Như vậy, giới hạn riêng dãy chính là điểm tụ dãy đó Ta có mệnh đề Mệnh đề 1.4 Điểm a là điểm tụ dãy số (an ) và có dãy (ank ) hội tụ tới a 1.1.2 Một số tính chất dãy hội tụ Mệnh đề 1.5 (Tính giới nội) Mọi dãy hội tụ giới nội Mệnh đề 1.6 (Tính bảo toàn thứ tự) Giả sử a = lim an , b = lim bn n→∞ n→∞ Khi đó i) Nếu tồn n0 cho an ≥ bn với n ≥ n0 thì a ≥ b ii) Nếu a > b thì tồn n0 cho với n ≥ n0 , ta có an > bn 11 1.1.3 Một số phép toán trên giới hạn Định nghĩa 1.6 (Dãy vô cùng bé) Ta nói (an ) là dãy vô cùng bé lim an = Mệnh đề 1.7 i) Nếu (an ) và (bn ) là các dãy vô cùng bé thì (an + bn ) là dãy vô cùng bé ii) Nếu (an ) là dãy vô cùng bé và (bn ) giới nội thì (an · bn ) là dãy vô cùng bé Hệ 1.1 Nếu (an ) là dãy vô cùng bé và (bn ) hội tụ thì (an · bn ) là dãy vô cùng bé Mệnh đề 1.8 Cho lim an = a, lim bn = b Khi đó • • • • lim(an + bn ) = a + b, lim(an − bn ) = a − b, lim(a a · b,  an · bn ) = a n lim = (khi b 6= 0) bn b 1.2 1.2.1 Hai nguyên lý giới hạn và ứng dụng Hai nguyên lý giới hạn Định nghĩa 1.7 (Dãy đơn điệu) Ta gọi (an ) là dãy không giảm an+1 ≥ an với n ∈ N Nếu bất đẳng thức là chặt ta có dãy đơn điệu tăng Tương tự ta có khái niệm dãy không tăng và dãy đơn điệu giảm Định lý 1.1 (Weierstrass) Mọi dãy không giảm và bị chặn trên (hay không tăng và bị chặn dưới) hội tụ Chú ý 1.3 Nếu (an ) không giảm (không tăng) và không bị chặn trên (dưới) thì lim an = +∞ (lim an = −∞) Định nghĩa 1.8 Ta nói dãy số (cn ) bị kẹp hai dãy số (an ) và (bn ) tồn số n0 cho n > n0 thì an ≤ cn ≤ bn 12 Định lý 1.2 (Nguyên lý dãy bị kẹp) Giả sử hai dãy (an ), (bn ) cùng có giới hạn a Khi đó dãy số (cn ) bị kẹp hai dãy (an ), (bn ) có giới hạn là a 1.2.2 Một số giới hạn quan trọng  n lim + = e n→∞  n n c lim + = n→∞  n n x lim + = ex với số thực x n→∞ n   a b n a n lim + + = lim + với số thực a, b n→∞ n→∞ n nn n     x n x+y y n = lim + lim + · lim + n→∞ n→∞ n→∞ n n n 1.2.3 Sự tồn điểm tụ dãy bị chặn Định lý 1.3 (Bolzano - Weierstrass) Mọi dãy giới nội có điểm tụ 1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy Định nghĩa 1.9 (Dãy bản) Dãy (an ) gọi là dãy (hay dãy Cauchy) với ε > tồn n0 ∈ N∗ cho |an − am | < ε với n, m ≥ n0 Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) Dãy (an ) hội tụ và nó là dãy 13 1.3 1.3.1 Chuỗi số Một số khái niệm Định nghĩa 1.10 Cho dãy số (an ) Tổng hình thức ∞ X an (1.1) n=1 gọi là chuỗi số, an gọi là số hạng tổng quát, số Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi là tổng riêng thứ n dãy Nếu dãy (Sn ) hội tụ tới S (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ, có tổng S Ký hiệu S= ∞ X an n=1 Nếu dãy (Sn ) không hội tụ, ta nói chuỗi là phân kỳ Nếu an > với n ∈ N∗ thì chuỗi (1.1) gọi là chuỗi số dương Định nghĩa 1.11 Chuỗi hội tụ Nếu chuỗi ∞ P ∞ P ∞ P an gọi là hội tụ tuyệt đối chuỗi n=1 an hội tụ mà chuỗi n=1 ∞ P ∞ P |an | n=1 |an | phân kỳ thì ta nói chuỗi n=1 an bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện n=1 1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy Mệnh đề 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số ∞ P an là hội tụ và n=1 khi, với số ε > (nhỏ bao nhiêu tùy ý), tồn số N ∈ N cho với số tự nhiên n > N và m ∈ N ta luôn có Snn+m < ε, đó Snn+m = an+1 + · · · + an+m Hệ 1.2 Nếu ∞ P n=1 an hội tụ thì lim an = n→∞ 14 1.3.3 Dấu hiệu so sánh ∞ ∞ P P Mệnh đề 1.10 Nếu an hội tụ và | bn |≤ an với n thì chuỗi bn n=1 n=1 hội tụ Mệnh đề 1.11 Cho hai chuỗi i) Nếu ∞ P ii) Nếu n=1 ∞ P ∞ P an và n=1 |an | n→∞ bn bn hội tụ và lim n=1 < ∞ thì |an | n→∞ bn bn phân kỳ và lim ∞ P ∞ P bn với bn > Khi đó n=1 an hội tụ n=1 ∞ P > thì an phân kỳ n=1 1.3.4 Dấu hiệu hội tụ chuỗi số dương ∞ P Cho an là chuỗi số dương n=1 Mệnh đề 1.12 (Dấu hiệu Cauchy) Giả sử tồn lim √ n n→∞ an = c Khi đó c > thì chuỗi phân kỳ, c < thì chuỗi hội tụ an+1 = d Khi n→∞ an đó d > thì chuỗi phân kỳ, d < thì chuỗi hội tụ
an Mệnh đề 1.14 (Dấu hiệu Raabe) Giả sử tồn lim n − = r n→∞ an+1 Khi đó r > thì chuỗi hội tụ, r < thì chuỗi phân kỳ Mệnh đề 1.13 (Dấu hiệu D0 lambert) Giả sử tồn lim 1.3.5 Chuỗi đan dấu và dấu hiệu Leibniz Chuỗi có dạng ∞ X (−1)n an , (1.2) n=1 đó an > với n gọi là chuỗi đan dấu Mệnh đề 1.15 (Dấu hiệu Leibniz) Nếu dãy (an ) là đơn điệu giảm, hội tụ thì chuỗi đan dấu (1.2) hội tụ 15 1.3.6 Dấu hiệu Dirichlet và Abel Mệnh đề 1.16 (Dấu hiệu Dirichlet) Giả sử ∞ P i) Dãy tổng riêng (Sn ) chuỗi an là bị chặn; n=1 ii) Dãy (bn ) là dãy đơn điệu giảm dần ∞ P Khi đó chuỗi an bn là hội tụ n=1 Mệnh đề 1.17 (Dấu hiệu Abel) Giả sử ∞ P an là hội tụ; i) Dãy tổng riêng (Sn ) chuỗi n=1 ii) Dãy (bn ) là đơn điệu và bị chặn ∞ P Khi đó chuỗi an bn là hội tụ n=1 1.4 1.4.1 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương Giới thiệu phần mềm Maple Việc cài đặt Maple 13 thực đơn giản cách cho chạy file Setup.exe có sẵn chương trình cài đặt và thực các khai báo theo đúng trình tự Khi Maple đã cài đặt đúng quy trình, việc khởi động Maple đơn giản giống khởi động các chương trình ứng dụng khác trên Windows: ta có thể chọn Start → Programs → Maple 13 → Maple 13 nháy đúp chuột vào biểu tượng Maple 13 trên màn hình: Hình 1.1: Biểu tượng chương trình Maple 13 16 Khi đó màn hình làm việc Maple xuất Giao diện Maple 13 gồm các thành phần sau: Hình 1.2: Giao diện Maple 13 Những thao tác quản lý các file hay định dạng các đối tượng Maple 13 hoàn toàn tương tự các phần mềm quen thuộc: Word, Excell Để tìm hiểu đầy đủ, chi tiết giao diện, môi trường làm việc các lệnh Maple có thể xem [2] [4] Cụm xử lý (Execution Group) Cụm xử lý là thành phần tính toán môi trường làm việc Maple, có thể bao gồm các đối tượng Maple lệnh, kết tính toán, đồ thị Có thể dễ dàng nhận biết cụm xử lý dấu ngoặc vuông bên trái dấu nhắc lệnh Maple Để tạo cụm xử lý mới, ta kích chuột vào biểu tượng ”[> ” trên công cụ chọn Insert → Execution Group → After Cursor (Ctrl+J) 17 Lệnh và kết Maple Lệnh Maple (Maple Input) là từ tựa tiếng Anh (gọi là từ khóa lệnh) sử dụng theo nghĩa định và phải tuân theo cú pháp Maple Lệnh nhập sau dấu nhắc lệnh ”[> ” và kết thúc dấu ” : ” dấu ”; ” Lệnh thực ta ấn phím Enter trỏ dòng lệnh Nếu kết thúc lệnh dấu ”; ” kết hiển thị màn hình, còn kết thúc dấu ” : ” thì Maple tiến hành tính toán bình thường kết không hiển thị màn hình Maple có hai dạng lệnh: lệnh trơ và lệnh trực tiếp, hai dạng lệnh này luôn theo cặp và cú pháp chúng khác chỗ chữ cái đầu tiên tên lệnh lệnh trơ viết in hoa Lệnh trực tiếp cho ta kết tính toán, còn lệnh trơ cho ta biểu thức tượng trưng Kết việc tính toán (Maple Output) trên màn hình ngầm định có màu xanh Hình 1.3: Ví dụ lệnh trơ, lệnh trực tiếp và kết Mục (Section) Một trang làm việc (worksheet) Maple thường bao gồm nhiều mục, mục có thể chứa đoạn (paragraph) và mục (subsection) Một mục trang làm việc Maple tương tự mục các văn thông thường Tuy nhiên điều đặc biệt là Maple có khả đóng gói: ta có thể mở mục đọc gói lại đã đọc xong cách kích chuột vào nút mục đứng đầu mục 18 Hình 1.4: Hình ảnh các mục đóng, mở Maple 13 Muốn đưa thêm mục vào trang văn ta sử dụng chức Insert → Section Muốn thêm mục mục ta chọn Insert → Subsection Siêu liên kết (Hyperlink) Một siêu liên kết là đối tượng mà ta kích hoạt vào đó thì trỏ di chuyển đến đoạn, mục hay trang làm việc khác Để tạo siêu liên kết ta đưa trỏ đến vị trí đặt siêu liên kết chọn Insert → Hyperlink Trong hộp thoại Hyperlink Properties, nhập nhóm kí tự đại diện vào ô Link Text chọn nút check box Image kích chuột vào nút lệnh Choose Image để chọn hình ảnh đại diện cho Hyperlink; Tại hộp Type, chọn Worksheet sau đó nhập tên file cần liên kết tới vào ô Target, chọn nút lệnh Browse để duyệt tìm file Nhập tên bookmark (nếu có) vào ô Bookmark 19 Một số quy ước, kí hiệu Maple • Các phép toán số học: phép cộng (+), phép trừ (−), phép nhân (∗), phép chia (/), phép lũy thừa (∧) viết trực tiếp vào dòng lệnh và thực theo thứ tự quen biết • Cách viết các hàm toán học: tên hàm(đối số), ví dụ sin(x), cos(x), • Căn bậc hai x: kí hiệu sqrt(x) • Hàm ex : kí hiệu exp(x) • Số π có thể dùng kí hiệu P i, số e xem là giá trị hàm mũ exp(x) x = 1, tức là ta có thể viết exp(1) để biểu diễn số e Chú ý 1.4 Các lệnh Maple phong phú, nhiên đây chúng tôi giới thiệu số lệnh phạm vi ứng dụng làm việc với hàm số biến Nếu muốn tìm hiểu sâu lệnh nào đó, trên màn hình làm việc Maple, chế độ gõ công thức toán (Math) sau dấu nhắc lệnh, ta cần gõ ?<tên lệnh> ấn phím Enter, đó cú pháp đầy đủ lệnh này hiển thị Ví dụ, muốn tìm hiểu lệnh tính tích phân, ta gõ ?int ấn phím Enter, hướng dẫn lệnh hiển thị để trợ giúp cho người sử dụng 1.4.2 Minh họa dãy số lệnh vẽ dãy điểm Lệnh vẽ m phần tử đầu tiên dãy số có số hạng tổng quát là an , phần tử biểu diễn dấu + (cross) có cú pháp sau [> pointplot([seq([n, an ], n = m)], symbol = cross); Chú ý 1.5 - Các tính toán với đồ họa thường yêu cầu nhớ lớn, vì trước tiên ta nên khởi tạo lại nhớ lệnh [> restart : - Trước dùng lệnh vẽ cần nạp gói chức chuyên dụng cho vẽ đồ thị lệnh [> with(plots) : 20 Ví dụ 1.1 Đoạn lệnh sau vẽ 200 phần tử đầu tiên dãy số n + sin2 (n) an = , n + cos(n) phần tử biểu diễn dấu + màu tím [> restart : with(plots) : n + sin2 (n) pointplot([seq([n, ], n = 200)], symbol = cross, color = n + cos(n) magenta); Hình 1.5: Minh họa dãy số lệnh vẽ dãy điểm Nhận xét 1.1 Maple thực dễ dàng và nhanh chóng công việc mà chúng ta khó có thể làm tay Chúng ta có thể sử dụng phương pháp này để minh họa cho khái niệm giới hạn dãy số, hay dự đoán dãy hội tụ, dãy phân kỳ 1.4.3 Tìm quy luật dãy số Để tìm số hạng tổng quát dãy số cho các điều kiện đk1, đk2, ., đki, ta thực lệnh sau [> rsolve({đk1,đk2, .,đki }, a(n)); (rsolve: recurrence equation solver : giải phương trình truy hồi) 21 Ví dụ 1.2 Tìm số hạng tổng quát dãy số (an ) biết a1 = 1, a2 = 2, an+1 = n · (an + an−1 ) [> rsolve({a(1) = 1, a(2) = 2, a(n + 1) = n · (a(n) + a(n − 1))}, a(n)); Kết hiển thị: Γ(n + 1), đó Γ là ký hiệu hàm Gamma xác định sau  Γ(1) = Γ(n + 1) = n! 1.4.4 Tính tổng hữu hạn Để hiển thị biểu thức biểu diễn tổng dãy số cần tính, sử dụng dòng lệnh có cú pháp sau: [> Sum(an , n = k m); đó an là số hạng tổng quát dãy, n chạy từ k đến m Để hiển thị giá trị tổng cần tính, sử dụng dòng lệnh: [> sum(an , n = k m); n P f nhập các giá trị thích hợp vào vị trí chọn nút công thức i=k i, k, n và f Hai lệnh trên chính là hai dạng lệnh: lệnh trơ và lệnh trực tiếp đã nhắc tới trước đó Tùy theo nhu cầu, chúng ta sử dụng linh hoạt các lệnh này, dùng riêng lẻ hay kết hợp với để hiển thị kết ý muốn n P Ví dụ 1.3 Tính tổng i2 i=k [> Sum(i , i = n) = sum(i2 , i = n); n P Ví dụ 1.4 Tính tổng i=1 i · (i + 1) · (i + 2)   [> sum , i = n ; i · (i + 1) · (i + 2) 22 1.4.5 Tính tổng vô hạn Thao tác giống tính tổng hữu hạn, cần thay số m chữ infinity kí hiệu ∞ ∞ P Ví dụ 1.5 Tính tổng i=1 n · (n + 1)     1 [> Sum , n = ∞ = sum , n = ∞ ; n · (n + 1) n · (n + 1) 1.4.6 Tính tích hữu hạn vô hạn thừa số Thao tác giống tính tổng hữu hạn vô hạn, thay n Q tên lệnh Sum P roduct, sử dụng nút công thức f nhập i=k các giá trị thích hợp vào vị trí i, k, n và f Ví dụ 1.6 Tính tích hữu hạn n 2k − Q 2k k=1 2·k−1 : 2·k n Q P roduct(f, k = n) = simplif y( f ); [> f := k=1 Chú ý 1.6 Ở trên ta sử dụng thêm hai lệnh: lệnh gán tên cho biểu thức, cú pháp <Tên>:=<Biểu thức>; và lệnh đơn giản hóa biểu thức, cú pháp simplify<Biểu thức>; Lệnh gán tên cho biểu thức thường dùng biểu thức cồng kềnh dùng nhiều lần, việc gán tên giúp ta đỡ bị nhầm lẫn và công viết lại biểu thức Lệnh simplify (đơn giản hóa) giúp thu gọn biểu thức Ví dụ 1.7 Tính tích vô hạn ∞ Q 1+ n=1 [> f := + n · (n + 2) : n · (n + 2) P roduct(f, n = ∞) = simplif y( ∞ Q n=1 f ); ! 23 1.4.7 Tính giới hạn dãy số Dãy số cần tính giới hạn có số hạng tổng quát là an Gõ dòng lệnh có cú pháp [> Limit(an , n = ∞); để hiển thị biểu thức biểu thị giới hạn dãy Gõ dòng lệnh [> limit(an , n = ∞); chọn nút công thức lim f , sau đó thay x n, thay a ∞ và x→a nhập an vào vị trí f để hiển thị kết tính giới hạn dãy n + sin(n)2 n→∞ n + cos(n) ! Ví dụ 1.8 Tính giới hạn lim [> Limit n + sin(n) ,n = ∞ n + cos(n) = limit ! n + sin(n) ,n = ∞ ; n + cos(n) Hình 1.6: Ví dụ tính giới hạn dãy 1.5 Bài tập Phần Bài tập chúng tôi không đưa vào đây mà lưu trên file Maple 24 Chương Hàm số 2.1 2.1.1 Các khái niệm Khái niệm hàm số Giả sử D ⊂ R là tập hợp các số và giả sử theo quy luật hoàn toàn xác định nào đó, số x ∈ D tương ứng với số y ∈ R thì ta nói trên D đã cho hàm (đơn trị) và ký hiệu là y = f (x), x ∈ D hay x → f (x), x ∈ D Đại lượng biến thiên x gọi là đối số hay biến độc lập Tập hợp D gọi là miền xác định hàm Đại lượng biến thiên y gọi là hàm số hay đại lượng phụ thuộc Tập hợp D∗ = {y ∈ R| ∃x ∈ D : y = f (x)} gọi là miền giá trị hàm số 2.1.2 Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số f mặt phẳng tọa độ Descartes là tập Gf := {(x; y) ∈ R × R| x ∈ Df , y = f (x)}, đó Df là ký hiệu miền xác định hàm số f 25 2.1.3 Một số hàm có cấu trúc đặc biệt Định nghĩa 2.1 (Hàm đơn điệu) Hàm f xác định trên tập X gọi là không giảm (không tăng) trên X với x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 , ta có f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) ≥ f (x2 )) Hàm f gọi là tăng chặt (giảm chặt) trên X với x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 , ta có f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )) Hàm không tăng hay không giảm gọi chung là đơn điệu Hàm tăng chặt hay giảm chặt gọi chung là đơn điệu chặt Hàm đơn điệu tăng (giảm) còn gọi là hàm đồng biến (nghịch biến) Định nghĩa 2.2 (Hàm tuần hoàn) Hàm f gọi là tuần hoàn tồn số T > cho f (x + T ) = f (x) với x cho x, x + T cùng thuộc miền xác định hàm số Dễ thấy, f là hàm tuần hoàn thì tồn nhiều giá trị T > cho f (x + T ) = f (x) Số T > bé (nếu có) thỏa mãn tính chất này gọi là chu kỳ f Định nghĩa 2.3 (Hàm bị chặn) Ta nói hàm f bị chặn trên tập X tồn số M cho f (x) ≤ M với x ∈ X Tương tự vậy, ta nói hàm f bị chặn tập X tồn số m cho f (x) ≥ m với x ∈ X Nếu f vừa bị chặn trên, vừa bị chặn tập X thì ta nói f bị chặn (hay giới nội) trên X Dễ dàng nhận thấy f giới nội trên X và tồn số dương M cho |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ X Định nghĩa 2.4 (Hàm chẵn, lẻ) Cho hàm số f xác định trên tập X Hàm f (x) gọi là hàm số chẵn (tương ứng hàm số lẻ) nó thỏa mãn hai điều kiện 26 1) Với x ∈ X thì −x ∈ X 2) f (−x) = f (x) (tương ứng f (−x) = −f (x)), với x ∈ X Định nghĩa 2.5 (Hàm lồi, lõm) Hàm f xác định trên tập X gọi là hàm lồi nếu, với x1 , x2 ∈ X và α ∈ [0; 1], ta luôn có f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ) Hàm f gọi là hàm lõm trên tập X −f là hàm lồi trên X 2.1.4 Các phép toán trên hàm số So sánh hàm số Với hai hàm số f, g cùng xác định trên tập X , ta nói chúng f (x) = g(x) với x ∈ X và ta nói chúng khác tồn giá trị x0 ∈ X mà f (x0 ) 6= g(x0 ) Ta nói f lớn hay g trên X f (x) ≥ g(x) với x ∈ X Khi không tồn x để dấu xảy thì ta nói f lớn g Các phép toán số học Với hai hàm số f, g cùng xác định trên tập X , ta có thể xác định f các hàm f, f + g, f − g, f · g, theo các công thức tương ứng sau: g • (f + g)(x) := f (x) + g(x) • (f − g)(x) := f (x) − g(x) • (f · g)(x) := f (x) · g(x) f  f (x) • (x) := (khi g(x) 6= 0) g g(x) và gọi chúng là tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số f , g trên X Hàm hợp Cho hàm số u = f (x) xác định trên X ⊆ R và hàm số y = g(u) xác định trên U ⊆ R cho miền giá trị f nằm miền xác định g Hàm hợp f và g (ký hiệu là g ◦ f ) xác định theo công thức (g ◦ f )(x) := g(f (x)), với x ∈ X 27 Hàm ngược Cho hàm số f : X → Y Nếu ta xác định hàm số f −1 : Y → X theo quy tắc tương ứng sau: với y ∈ Y ứng với x thỏa mãn f (x) = y , nghĩa là f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y, thì hàm số f −1 gọi là hàm ngược f Rõ ràng, miền xác định f −1 chính là miền giá trị f 2.2 2.2.1 Các hàm số Các hàm sơ cấp Bao gồm các hàm luỹ thừa, mũ, logarithm, lượng giác, lượng giác ngược, hyperbolic 2.2.2 Các hàm sơ cấp Bao gồm các hàm sơ cấp bản, hàm hằng; các hàm lập từ các hàm sơ cấp bản, hàm các phép toán số học (tổng, hiệu, tích thương), phép lấy hàm hợp 2.3 2.3.1 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương Định nghĩa hàm số Hàm số thông thường Để định nghĩa (xác định) hàm số (cho biểu thức giải tích), ta sử dụng dòng lệnh: [> f := x →< Biểu thức >; Sau đã định nghĩa, ta có thể tính giá trị hàm f các điểm tùy ý 28 Ví dụ 2.1 Định nghĩa hàm f (x) = x3 − [> f := x → x3 − 1; Hàm khúc Hàm khúc xác định câu lệnh có cú pháp: [> f := piecewise(đk 1, f1 , đk2, f2 , , đk n, fn , f0 ); đó đk i là các biểu thức so sánh biểu thức quan hệ x, fi là các biểu thức biểu diễn hàm f tương ứng với đk i, f0 là biểu thức hàm f nhận x không thỏa mãn các đk i Ví dụ 2.2 Xác định hàm số  x −1    1 − |x| f (x) = x2    x − x x≤1 0≤x≤1 x=2 x các trường hợp còn lại [> f := piecewise(x ≤ −1, x2 − 1, ≤ x ≤ 1, − |x|, x = 2, x2 , Hình 2.1: Lệnh xác định hàm khúc x−1 ); x 29 2.3.2 Tìm tập xác định hàm số Việc tìm tập xác định hàm số thực chất là việc giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình, hệ bất phương trình Ta dùng lệnh: [> solve({danh sách }, {biến}); đó {danh sách} chứa các phương trình bất phương trình cần giải √ Ví dụ 2.3 Để tìm tập xác định hàm số f (x) = 4x2 − 5x − 6, ta dùng lệnh [> solve(4 · x2 − · x − ≥ 0, {x}); Kết hiển thị: {x ≤ − }, {2 ≤ x} 2.3.3 Vẽ đồ thị hàm số không gian hai chiều Vẽ đồ thị hàm thông thường Trước tiên ta cần khởi động gói chương trình vẽ đồ thị lệnh [> with(plots) : Cú pháp lệnh vẽ đồ thị hàm số y = f (x) trên miền y = [c; d] với x ∈ [a; b] [> plot(f (x), x = a b, y = c d, {các tùy chọn }); Có thể vẽ đồ thị nhiều hàm trên cùng miền xác định và miền giá trị với các màu khác Một số tùy chọn thông dụng: - Đặt màu cho đồ thị: color = [color1, color2, .] - Đặt độ dày k cho nét vẽ: thickness = k - Đặt số điểm vẽ: tăng độ chính xác để hình vẽ trung thực tùy chọn đặt số điểm vẽ nhiều (tuy nhiên thời gian tính toán lâu hơn): numpoints = n - Đặt tiêu đề cho đồ thị: title = ‘y = f(x)‘ - Khi vẽ đồ thị hàm số có điểm gián đoạn, phải có thêm tùy chọn discont =true để đồ thị vẽ chính xác 30 Ví dụ 2.4 Vẽ đồ thị hai hàm f (x) = x4 −5x3 +2x+5, g(x) = −7x+3 trên đoạn [−4; 4] [> restart : with(plots :) plot([x4 − · x3 + · x + 5, −7 · x + 3], x = −4 4, color = [red, green]); Hình 2.2: Đồ thị hai hàm số Vẽ đồ thị hàm ẩn Có hàm số mà ta không có công thức tường minh y = f (x), đó để vẽ đồ thị chúng ta dùng lệnh implicitplot với cú pháp hoàn toàn tương tự lệnh plot x2 y + = Ví dụ 2.5 Vẽ đồ thị elip có phương trình x2 y [>implicitplot ( + = 1, x = −5 5, y = −5 5,color = blue ) 2.4 Bài tập 31 Chương Giới hạn và tính liên tục hàm số 3.1 3.1.1 Một số khái niệm Giới hạn điểm Giả sử f là hàm số xác định trên tập X ⊂ R và a là điểm tụ tập X Ta nói hàm số f có giới hạn là số L x dần tới a với ε > bất kỳ, có thể tìm số δ > cho với x ∈ X thỏa mãn < |x − a| < δ thì ta có |f (x) − L| < ε Khi ta nói L là giới hạn hàm f a và ký hiệu lim f (x) = L, x→a hay viết: f (x) → L x → a 3.1.2 Giới hạn phía Số L gọi là giới hạn phải hàm f x tiến tới a từ bên phải với ε > bất kỳ, tồn số δ > cho |f (x) − L| < ε với x ∈ X thỏa mãn < x − a < δ Giới hạn phải f a ký hiệu là lim f (x) = f (a+) x→+a Khái niệm giới hạn trái định nghĩa tương tự Giới hạn trái f a ký hiệu là lim f (x) = f (a−) x→−a Dễ thấy f có giới hạn a và nó có giới hạn trái, giới hạn phải a và chúng 32 3.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn Định nghĩa 3.1 (Giới hạn vô cùng) Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập X và a là điểm tụ X Nếu với số E > tồn số δ > cho f (x) > E (f (x) < −E) với x thỏa mãn bất đẳng thức < |x − a| < δ thì ta nói f có giới hạn +∞ (tương ứng giới hạn −∞) x dần tới a và ký hiệu là lim f (x) = +∞ (tương ứng x→a lim f (x) = −∞) x→a Định nghĩa 3.2 (Giới hạn điểm vô cùng) Giả sử hàm f xác định trên tập không bị chặn Khi ấy, số L gọi là giới hạn hàm f x dần tới +∞ với ε > tồn số M > cho với x ∈ X thỏa mãn x > M ta có |f (x) − L| < ε, ký hiệu lim f (x) = L x→+∞ Tương tự, ta có khái niệm giới hạn f x dần tới −∞, ký hiệu lim f (x) = L x→−∞ Định nghĩa 3.3 (Giới hạn vô cùng điểm vô cùng) Nếu với số E > 0, tồn số M > cho f (x) > E với x ∈ X thỏa mãn x > M thì ta nói hàm f có giới hạn +∞ x dần tới +∞ và ký hiệu lim f (x) = +∞ x→+∞ Tương tự, ta có các khái niệm lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, x→−∞ x→+∞ lim f (x) = −∞ x→−∞ 3.2 3.2.1 Một số tính chất giới hạn Tiêu chuẩn tồn giới hạn Định lý 3.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Giới hạn f a tồn và hữu hạn và với ε > tồn số δ > cho |f (x1 ) − f (x2 )| < ε với x1 , x2 ∈ X thỏa mãn x1 , x2 ∈ (a − δ; a + δ) 33 3.2.2 Định lý tính giới hạn Định lý 3.2 (Tính giới hạn) Nếu hàm số f có giới hạn a thì giới hạn đó là 3.2.3 Định lý tính bảo toàn thứ tự Định lý 3.3 (Tính bảo toàn thứ tự) Nếu f (x) ≥ g(x) lân cận nào đó điểm a và tồn các giới hạn lim f (x), lim g(x) thì x→a x→a lim f (x) ≥ lim g(x) Đảo lại, tồn các giới hạn lim f (x), lim g(x) x→a x→a x→a x→a và lim f (x) < lim g(x) thì tồn số δ > cho f (x) < g(x) với x→a x→a x ∈ X , |x − a| < δ Hệ 3.1 Nếu có hai số A và B thỏa mãn A < f (x) < B với x lân cận nào đó điểm a và tồn lim f (x) = L thì A ≤ L ≤ x→a B Đảo lại, tồn lim f (x) = L và A < L < B thì tồn số δ > x→a cho A < f (x) < B với x ∈ X, |x − a| < δ 3.3 Các phép toán trên giới hạn hàm số 3.3.1 Các phép toán số học Định lý 3.4 Giả sử tồn các giới hạn hữu hạn lim f (x) = L và x→a lim g(x) = M Khi đó • lim (f (x) + g(x)) = L + M , x→a • lim (f (x) − g(x)) = L − M, x→a • lim (f (x) · g(x)) = L · M, x→a x→a Đặc biệt, c là số thì lim c · f (x) = c · L, x→a f (x) L • Nếu M = thì lim = x→a g(x) M Mệnh đề 3.1 Giả sử lim f (x) = L Khi đó x→a • lim |f (x)| = |L|, x→a p √ • lim f (x) = L, x→a 34 • Nếu f (x) ≥ với x ∈ J \ {a}, đó J là khoảng nào √ p đó chứa a, thì L ≥ và lim f (x) = L x→a 3.3.2 Giới hạn hàm hợp Định lý 3.5 Cho f và g là hai hàm số cho miền giá trị f nằm miền xác định g Ngoài ra, lim f (x) = A, lim g(y) = L Khi đó x→a y→A lim g(f (x)) = L x→a 3.4 Hai nguyên lý giới hạn và ứng dụng 3.4.1 Nguyên lý giới hạn hàm đơn điệu bị chặn Định lý 3.6 Giả sử f là hàm đơn điệu trên khoảng (a; b) và c là điểm nằm khoảng đó Nếu f bị chặn thì các giới hạn phía lim f (x), lim f (x) tồn (và hữu hạn) x→c− x→c+ 3.4.2 Nguyên lý giới hạn hàm bị kẹp Ta nói hàm f bị kẹp hai hàm g, h trên tập X g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) với x ∈ X Định lý 3.7 Giả sử tồn δ > cho với x ∈ X thỏa mãn < |x − a| < δ , hàm f (x) bị kẹp hai hàm g(x), h(x) có cùng giới hạn a là lim g(x) = lim h(x) = L x→a x→a Khi đó hàm f có giới hạn x dần tới a và lim f (x) = L x→a 3.4.3 Áp dụng việc tính giới hạn các hàm Giới hạn các hàm lượng giác • lim sin x = sin a x→a • lim cos x = cos a x→a 35 • lim tan x = tan a x→a • lim cot x = cot a x→a sin x • lim = x→0 x Giới hạn các hàm số mũ • lim ex = ea x→a ex − = • lim x→0 x 3.5 3.5.1 Tính liên tục hàm số Khái niệm liên tục Giả sử hàm f xác định trên khoảng chứa x0 Ta nói hàm f là liên tục điểm x0 thỏa mãn hai điều kiện sau i) Tồn giới hạn hữu hạn lim f (x); x→x0 ii) f (x0 ) = lim f (x) x→x0 3.5.2 Khái niệm gián đoạn Những điểm mà đó hàm số f không liên tục gọi là điểm gián đoạn f 3.6 3.6.1 Các định lý hàm liên tục Các định lý giá trị trung gian Định lý 3.8 (Bolzano - Cauchy I) Nếu f liên tục trên [a; b] và f (a) · f (b) < thì tồn ít điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = Định lý 3.9 (Bolzano - Cauchy II) Giả sử f liên tục trên [a; b] và f (a) = A 6= B = f (b) Khi đó f nhận giá trị trung gian A và B (Ta nói: f lấp đầy [A; B]) 36 3.6.2 Các phép toán trên các hàm liên tục Các phép toán số học Mệnh đề 3.2 Cho f, g là hai hàm liên tục x0 Khi đó i) f ± g, f · g là hàm liên tục x0 f ii) với g(x0 ) 6= là hàm liên tục x0 g Tính liên tục hàm hợp Mệnh đề 3.3 Nếu f liên tục điểm x0 và g liên tục điểm y0 = f (x0 ) thì g ◦ f liên tục điểm x0 Tính liên tục hàm ngược Mệnh đề 3.4 Giả sử hàm y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng X, đơn điệu tăng (giảm) chặt trên X Khi đó tồn hàm ngược đơn trị x = f −1 (y) liên tục và đơn điệu tăng (giảm) trên Y = f (X) 3.6.3 Hàm số liên tục Định nghĩa 3.4 Hàm số f gọi là liên tục trên tập X ⊂ R với số dương ε, ta tìm số dương δ cho ∀x, y ∈ X, |x − y| ≤ δ, ta có |f (x) − f (y)| ≤ ε Nhận xét 3.1 Nếu hàm là liên tục trên tập X thì liên tục điểm trên tập đó Điều ngược lại nói chung là không đúng 3.6.4 Hàm liên tục trên tập compact Một tập đóng và bị chặn trên R gọi là tậpcompact Ta có các kết sau đây tính chất hàm số liên tục trên tập compact Định lý 3.10 (Cantor) Hàm liên tục trên tập compact K thì liên tục trên tập đó 37 Hệ 3.2 Hàm liên tục trên đoạn thì liên tục trên đoạn đó Định nghĩa 3.5 Ký hiệu dao động f trên tập X là ω = sup {f (x) − f (x0 )} x,x0 ∈X Hệ 3.3 Nếu f là liên tục trên [a; b] thì với ε > tồn δ > cho trên đoạn [a; b] có độ dài δ , dao động f không vượt quá ε Định lý 3.11 (Weierstrass) Hàm liên tục trên tập compact K thì bị chặn trên tập đó Định lý 3.12 (Weierstrass) Hàm liên tục trên tập compact K thì đạt các giá trị lớn và nhỏ trên tập đó 3.7 3.7.1 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương Tính giới hạn hàm số Để tính giới hạn hàm f (x) điểm a, (a có thể là +∞ −∞), gõ câu lệnh [> Limit(f (x), x = a, {dir}); cần hiển thị biểu thức biểu thị giới hạn; gõ câu lệnh [> limit(f (x), x = a, {dir}); (hoặc chọn nút lim f nhập giá trị a và f ) để hiển thị giá trị giới x→a hạn - dir (direction): hướng lấy giới hạn (left, right) Tùy chọn này bao hai dấu ”{” và ”}” để biểu thị nó có thể có không 38 Ví dụ 3.1 (ĐH Quốc gia Hà nội, 1998) Tính giới hạn lim x3 − x→1  x3 − [> Limit √ √ 3·x−2 x−1 √  x3 − · x − 3·x−2 , x = = lim ; x→1 x−1 x−1 − cosx · cos3x · cos4x Ví dụ 3.2 Tính giới hạn lim+ x→0  − cos(x) · cos(3 · x) · cos(4 · x)x  [> Limit , x = 0, right x  − cos(x) · cos(3 · x) · cos(4 · x)  = limit , x = 0, right ; x2 Hình 3.1: Ví dụ lệnh tính giới hạn 3.7.2 Tìm điểm gián đoạn hàm số Việc khảo sát tính liên tục hàm số tương đương với việc tìm các điểm gián đoạn hàm số đó Để tìm điểm gián đoạn hàm số f (x), ta sử dụng nhóm lệnh [> readlib(discont); discont(f (x), x); 39 1+ √ Ví dụ 3.3 Tìm điểm gián đoạn hàm số y = e  1+ √  2−1 x [> readlib(discont); discont e ,x ; x2 − Kết hiển thị: {−1; 1} 3.7.3 Tính giới hạn hàm số đối số dần đến điểm nào đó Maple 13 xây dựng sẵn số giao diện cho phép ta minh họa các thao tác tính giới hạn, đạo hàm hay tích phân Giao diện này cho thấy hình ảnh trực quan hàm số dần tới giới hạn đối số dần tới điểm nào đó Có hai cách để gọi thủ tục mở giao diện này: • Chọn Tools → Tutors → Precalculus → Limits • Gõ hai câu lệnh: lệnh mở gói công cụ và lệnh gọi thủ tục [> Student[Precalculus][LimitTutor](); LimitTutor(f, a, dir); (Hoặc LimitTutor(f , x=a, dir);) đó: - f là hàm số biến; x: tên biến f ; a: điểm tùy chọn - dir (direction): hướng lấy giới hạn (left, right.) Để thuận tiện cho người sử dụng, là với người làm quen với Maple, chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn hàm ví dụ để tính giới hạn, ta cần kích chuột vào liên kết để chuyển tới chương trình gõ Enter để thực nhóm lệnh này Hộp thoại xuất (xem Hình 3.2) - Nhập hàm cần tính giới hạn vào ô f (x) = - Nhập giá trị điểm giới hạn vào ô x = - Trong mục Direction of Limit, chọn nút left, 2-sided hay right muốn tính giới hạn trái, giới hạn hai phía hay giới hạn phải - Kích chuột vào nút Display để xem kết quả: đồ thị hàm số cùng hình ảnh dần tới giới hạn hiển thị khung bên trái, bảng số giá trị đối số và số giá trị tương ứng hàm số dần tới giới hạn hiển thị 40 khung bên phải hộp thoại - Kích chuột vào nút Plot Options muốn thay đổi các tùy chọn đồ thị, chẳng hạn miền vẽ đồ thị (kích chuột vào nút check box Enable user-defined ranges nhập các giá trị min, max trên dòng X axis, Y axis để thay đổi miền vẽ đồ thị), kiểu trục tọa độ , nhãn trục tọa độ hay màu sắc - Hai ô cùng cửa sổ thông báo giá trị giới hạn hàm số x tiến tới a, và câu lệnh Maple tương ứng Hình 3.2: Hộp thoại chương trình tính giới hạn hàm số đối số dần đến điểm nào đó 3.7.4 Tính giới hạn hàm số theo bước Thủ tục này là hỗ trợ thú vị cho học sinh việc luyện tập tính giới hạn hàm số, với gợi ý tường tận bước tính giới hạn, vận dụng các quy tắc tính Để gọi thủ tục, chọn hai cách: • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Limit Methods • Gõ câu lệnh [> Student[Calculus1][LimitTutor](); Chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn hàm ví dụ để tính giới hạn, người sử dụng 41 cần kích chuột vào liên kết để chuyển tới chương trình gõ Enter để thực nhóm lệnh này Hộp thoại xuất (xem Hình 3.3) Hình 3.3: Hộp thoại chương trình tính giới hạn hàm số theo bước - Nhập hàm cần tính giới hạn vào ô Function - Nhập tên biến vào ô Variable (ngầm định là x.) - Nhập giá trị điểm giới hạn vào ô at - Chọn tính giới hạn theo hướng (trái - left, phải - right) ô Direction - Chọn ô check box Show Hints để hiển thị các gợi ý Kích chuột vào nút Get Hint cần xin gợi ý - Phần bên phải hộp thoại có các nút để lựa chọn các quy tắc tính giới hạn mà ta muốn áp dụng, chẳng hạn Constant (giới hạn số: lim(c) = c), Identity (tính giới hạn theo định nghĩa), Constant Multiple (lim(c · f (x)) = c · lim(f (x)), Sum (giới hạn tổng), Difference (giới hạn hiệu), Product (giới hạn tích), Quotient (giới hạn thương), Power (giới hạn hàm mũ), Change (quy tắc đổi biến), l’Hopital’s Rule (quy tắc l’Hopital), Rewrite (viết lại biểu thức theo cách khác, ví dụ tan(x) = sin(x)/ cos(x)), Exponential (giới hạn 42 hàm mũ số e), Natural Logarithm (giới hạn hàm ln), hay giới hạn các hàm lượng giác Khi ta kích chuột vào nút để lựa chọn quy tắc nào đó, Maple thực quy tắc đó áp dụng được, còn không đưa thông báo: không thể áp dụng quy tắc đó, đồng thời đưa gợi ý áp dụng quy tắc khác - Chọn nút Next Step để thực các bước, All Steps để xem toàn các bước tính - Nút Undo dùng để loại bỏ thao tác vừa thực - Kết hiển thị ô trống bên trái hộp thoại 3.8 Bài tập 43 Chương Đạo hàm 4.1 4.1.1 Khái niệm đạo hàm Định nghĩa đạo hàm Đạo hàm bậc Định nghĩa 4.1 Cho hàm số y = f (x) xác định miền X và điểm f (x) − f (x0 ) x0 ∈ X Giới hạn hữu hạn (nếu có) tỉ số x dần đến x − x0 x0 gọi là đạo hàm hàm số đã cho điểm x0 , kí hiệu là f (x0 ) y (x0 ), nghĩa là f (x) − f (x0 ) x→x0 x − x0 f (x0 ) = lim Khi đó ta nói hàm f có đạo hàm hay khả vi x0 Trong định nghĩa trên, đặt ∆x = x − x0 và ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) thì ta có f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆y = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x f (x0 ) = lim Số ∆x = x − x0 gọi là số gia biến số điểm x0 ; số ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) gọi là số gia hàm số ứng với số gia ∆x điểm x0 Nếu hàm số khả vi x0 thì biểu thức df = f (x0 )∆x = f (x0 )dx gọi là vi phân hàm số x0 44 Đạo hàm bậc cao Định nghĩa 4.2 Cho y = f (x) là hàm số có đạo hàm điểm x Khi phép ứng điểm x với giá trị đạo hàm f x (tức là f (x)) là hàm số Hàm này ký hiệu là f Nếu hàm số f có đạo hàm thì đạo hàm nó gọi là đạo hàm cấp hai hàm số y = f (x), ký hiệu là f 00 Đạo hàm đạo hàm cấp hai (nếu tồn tại) gọi là đạo hàm cấp ba hàm số và ký hiệu là f 000 Tổng quát, ta định nghĩa: đạo hàm đạo hàm cấp n − hàm số y = f (x) gọi là đạo hàm cấp n hàm số y , và ký hiệu các biểu thức f (n) , y (n) Mệnh đề 4.1 (Tính liên tục hàm số có đạo hàm) Nếu f có đạo hàm điểm x0 thì nó liên tục x0 4.2 4.2.1 Các phép toán trên đạo hàm Các phép toán số học trên đạo hàm Mệnh đề 4.2 Nếu f và g có đạo hàm x0 , thì f ± g, f · g có đạo hàm đó và i) (f ± g)0 (x0 ) = f (x0 ) ± g (x0 ); ii) (f · g)0 (x0 ) = f (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g (x0 ); f iii) Nếu g(x0 ) 6= thì có đạo hàm x0 và g  f 0 g(x0 ) · f (x0 ) − f (x0 ) · g (x0 ) (x0 ) = g g (x0 ) Hệ 4.1 Nếu f có đạo hàm x0 và c là số, thì cf có đạo hàm x0 và (cf )0 (x0 ) = cf (x0 ) 45 Nếu g có đạo hàm x0 và g(x0 ) 6= 0, thì có đạo hàm x0 và g g (x0 ) (x0 ) = g g (x0 )  0 4.2.2 Đạo hàm hàm hợp và hàm ngược Mệnh đề 4.3 (Đạo hàm hàm hợp) Nếu u = f (x) có đạo hàm x0 và y = g(u) có đạo hàm u0 = f (x0 ), thì g ◦ f có đạo hàm x0 và (g ◦ f )0 (x0 ) = (g(f (x0 )))0 = g (u0 ) · f (x0 ) Mệnh đề 4.4 (Đạo hàm hàm ngược) Giả sử x = f (y) có đạo hàm y0 ∈ (a; b) và f (y0 ) 6= Nếu tồn hàm ngược y = g(x) liên tục x0 = f (y0 ) thì tồn đạo hàm g (x0 ) và g (x0 ) = 4.2.3 f (y0 ) Đạo hàm các hàm số sơ cấp y = c = const, y = x, y = xn , n ∈ N, y= , x √ y = x, y = ex , y = ax , < a 6= 1, y = ln x, y = loga x, y = 0, ∀x y = 1, ∀x y = nxn−1 y = − , x 6= x y = √ , x > x y = ex , ∀x y = ax ln a, ∀x y = , x > x y = , x > x ln a 46 y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccotx, 4.3 4.3.1 y = cos x, ∀x y = − sin x, ∀x π y0 = , x = (2k + 1) , k nguyên cos2 x y = − , x 6= kπ, k nguyên sin x y =√ , −1 < x < 1 − x2 , −1 < x < y0 = − √ − x2 y0 = , ∀x + x2 , ∀x y0 = − + x2 Các định lý quan trọng hàm khả vi Định lý Fermat điều kiện cực trị Định nghĩa 4.3 Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D : D ⊂ R và x0 ∈ D a) x0 gọi là điểm cực đại (địa phương) hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho f (x) f (x0 ) với x ∈ (a; b) ∩ D Khi đó f (x0 ) gọi là giá trị cực đại hàm số f b) x0 gọi là điểm cực tiểu (địa phương) hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho f (x) > f (x0 ) với x ∈ (a; b) ∩ D Khi đó f (x0 ) gọi là giá trị cực tiểu hàm số f Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị Định lý 4.1 (Định lý Fermat điều kiện cực trị) Cho f xác định trên khoảng (a; b) Nếu f đạt cực trị điểm c ∈ (a; b) và f (c) tồn tại, thì f (c) = 47 4.3.2 Các định lý giá trị trung bình Định lý 4.2 (Định lý Rolle) Cho f là hàm liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm điểm trên khoảng (a; b) Nếu f (a) = f (b) thì tồn ít điểm c ∈ (a; b) để f (c) = Định lý 4.3 (Định lý Lagrange) Cho hàm f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm điểm trên khoảng (a; b) Khi đó tồn ít điểm c ∈ (a; b) để f (b) − f (a) b−a Định lý 4.4 (Định lý Cauchy) Cho các hàm f và g liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm điểm khoảng (a; b), ngoài g (x) 6= với x ∈ (a; b) Khi đó tồn ít điểm c ∈ (a; b) để f (b) − f (a) f (c) = g(b) − g(a) g (c) f (c) = 4.4 Một số ứng dụng đạo hàm 4.4.1 Tính giới hạn dạng không xác định 0 Định lý 4.5 (Định lý L’Hospital) Giả sử f, g là các hàm khả vi liên tục lân cận điểm a thỏa mãn điều kiện f (a) = g(a) = Nếu tồn f (x) f (x) = L thì tồn giới hạn lim = L giới hạn lim x→a g(x) x→a g (x) Giới hạn dạng không xác định ∞ ∞ Định lý 4.6 (Định lý L’Hospital) Giả sử f, g là các hàm khả vi liên tục lân cận điểm a và thỏa mãn điều kiện lim f (x) = lim g(x) = ∞ x→a x→a f (x) Khi đó tồn giới hạn lim = L thì tồn giới hạn x→a g (x) f (x) lim = L x→a g(x) Giới hạn dạng không xác định 48 4.4.2 Tìm cực trị hàm số Định lý 4.7 (Điều kiện đủ bậc nhất) Cho hàm f liên tục và khả vi lân cận điểm x0 Khi đó i) Nếu đạo hàm hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua x0 thì hàm số đạt cực đại x0 ii) Nếu đạo hàm hàm số đổi dấu từ âm sang dương qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu x0 iii) Nếu đạo hàm hàm số không đổi dấu qua x0 thì điểm này không phải là điểm cực trị Định lý 4.8 (Điều kiện cực trị bậc hai) Cho hàm f khả vi liên tục trên (a; b) và có đạo hàm bậc hai liên tục điểm c ∈ (a; b) Khi đó i) Nếu f đạt cực tiểu địa phương c thì f (c) = và f 00 (c) ≥ Ngược lại, f (c) = và f 00 (c) > thì f có cực tiểu địa phương c ii) Nếu f đạt cực đại địa phương c thì f (c) = và f 00 (c) ≤ Ngược lại, f (c) = và f 00 (c) < thì f có cực đại địa phương c 4.4.3 Khảo sát các tính chất hàm số Khảo sát tính đơn điệu hàm số Định lý 4.9 Hàm khả vi là đơn điệu không giảm và đạo hàm nó không âm Khảo sát tính lồi lõm hàm số Định lý 4.10 Hàm khả vi là lồi và đạo hàm nó là đơn điệu tăng Tìm điểm uốn đồ thị Định nghĩa 4.4 Cho f là hàm số liên tục trên miền X và x0 ∈ X Giả sử tồn δ > cho f (x) lồi trên (x0 − δ; x0 ) và lõm trên (x0 ; x0 + δ), lõm trên (x0 − δ; x0 ) và lồi trên (x0 ; x0 + δ), thì x0 gọi là điểm uốn đồ thị hàm số f 49 Mệnh đề 4.5 Giả sử tồn số δ > cho hàm số y = f (x) có đạo hàm bậc hai trên khoảng (c − δ; c + δ) Khi đó i) Nếu f 00 đổi dấu x qua c thì M (c; f (c)) là điểm uốn đồ thị ii) Nếu f 00 không đổi dấu x qua c thì M (c; f (c)) không phải là điểm uốn đồ thị hàm số 4.5 4.5.1 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương Tính đạo hàm hàm số Gõ câu lệnh có cú pháp [> Dif f (f (x), x); để hiển thị biểu thức biểu thị đạo hàm bậc hàm f (x) Gõ câu lệnh [> dif f (f (x), x); d chọn nút công thức f nhập hàm vào vị trí f để hiển thị kết dx tính đạo hàm bậc hàm f (x) Gõ câu lệnh có cú pháp [> Dif f (f (x), x$ n); để hiển thị biểu thức biểu thị đạo hàm bậc n hàm f (x) Gõ câu lệnh [> dif f (f (x), x$ n); d chọn nút công thức f thay d dn , thay dx dxn và nhập dx hàm vào vị trí f để hiển thị kết tính đạo hàm bậc n hàm f (x) 2x + Ví dụ 4.1 Tính đạo hàm bậc √ 2−7 x ! !! 2·x+5 2·x+5 [> Dif f √ , x = simplif y dif f √ ,x ; x2 − x2 − 50 Hình 4.1: Ví dụ lệnh tính đạo hàm 4.5.2 Tính đạo hàm hàm số theo bước Câu lệnh tính đạo hàm giới thiệu trên cho kết ngay, có tác dụng người sử dụng muốn kiểm tra kết tính toán mình, muốn có kết mà không cần phải tự tính Còn thủ tục Tính đạo hàm hàm số theo bước giúp người sử dụng luyện tập tính đạo hàm hàm số, cho phép áp dụng các quy tắc tính đạo hàm và xem kết sau bước tính Để gọi thủ tục, chọn hai cách: • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Differentiation Methods • Gõ câu lệnh [> Student[Calculus1][DiffTutor](); Chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn hàm ví dụ để tính đạo hàm, người sử dụng cần kích chuột vào liên kết để chuyển tới chương trình gõ Enter để thực nhóm lệnh này Hộp thoại xuất (xem Hình 4.2) Trong mục Enter a function: - Nhập hàm cần tính đạo hàm vào ô Function (Nếu sử dụng hàm chúng tôi đã nhập sẵn thì bỏ qua bước này) - Nhập tên biến vào ô Variable (ngầm định là x) - Kích chuột vào nút Start để bắt đầu quá trình tính - Chọn ô check box Show Hints để hiển thị các gợi ý Kích chuột vào nút Get Hint cần xin gợi ý - Phần bên phải hộp thoại có các nút để lựa chọn các quy tắc tính 51 đạo hàm ta có thể áp dụng, chẳng hạn Constant (đạo hàm số: c0 = 0), Identity (x0 = 1), Constant Multiple (đạo hàm tích số với hàm), Sum (đạo hàm tổng hai hàm), Difference (đạo hàm hiệu), Product (đạo hàm tích), Quotient (đạo hàm thương), Power (đạo hàm hàm mũ), Chain Rule (đạo hàm hàm hợp), Integral (đạo hàm tích phân: (Int(f (t), t = c x))0 = f (x)), Rewrite (viết lại biểu thức theo cách khác, ví dụ tan(x) = sin(x)/ cos(x)), Exponential (đạo hàm hàm mũ số e), Natural Logarithm (đạo hàm hàm ln), hay đạo hàm các hàm lượng giác Khi ta kích chuột vào nút để lựa chọn quy tắc nào đó, Maple thực quy tắc đó áp dụng được, còn không đưa thông báo: không thể áp dụng quy tắc đó, đồng thời đưa gợi ý áp dụng quy tắc khác - Chọn nút Next Step để thực các bước, All Steps để xem toàn các bước tính - Nút Undo dùng để loại bỏ thao tác vừa thực - Kết hiển thị ô trống bên trái hộp thoại Hình 4.2: Hộp thoại tính đạo hàm theo bước 52 4.5.3 Khảo sát hàm số Dựa vào các kiến thức lý thuyết đạo hàm hàm số nêu Chương 4, chúng tôi đã vận dụng số câu lệnh Maple để thực các công việc khảo sát hàm số, và viết thành chương trình khảo sát bốn dạng hàm số thường gặp các đề thi tốt nghiệp phổ thông hay thi đại học, cao đẳng: hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm phân thức bậc trên bậc và hàm phân thức bậc hai trên bậc Dưới đây chúng tôi giới thiệu khái quát các câu lệnh sử dụng chương trình, việc vận dụng các câu lệnh đó vào khảo sát bốn dạng hàm số nêu trên xin tham khảo cụ thể file Maple Lệnh gán giá trị [>Tên:= Giá trị; Dùng để nhập giá trị cho các hệ số Lệnh in màn hình [>print({danh sách}); [>({danh sách}); đó {danh sách } có thể chứa các chuỗi kí tự hay biểu thức Lệnh điều kiện if Câu lệnh if có cú pháp if<điều kiện 1> then<nhóm lệnh 1> { elif<điều kiện i> then<nhóm lệnh i>} { else<nhóm lệnh >} end if; đó các điều kiện là các biểu thức logic (các biểu thức đại số liên kết với các phép toán quan hệ hay các phép toán logic; các hàm mà giá trị trả lại thuộc kiểu logic) Chức câu lệnh if: - Nếu <điều kiện 1> đúng thì <nhóm lệnh 1> thực hiện, ngược lại thì <điều kiện i> sau từ elif kiểm tra, đúng thì <nhóm lệnh i> thực hiện, tiếp tục các <điều kiện i> 53 không thỏa mãn, thì <nhóm lệnh > sau từ else thực Chú ý 4.1 Các tùy chọn viết hai dấu ”{” và ”}” biểu thị chúng có thể có không Cấu trúc elif then lặp với số lần tùy ý Sự biến thiên hàm số - Tính đạo hàm bậc f (x) hàm số lệnh [> dif f (f (x), x); - Xác định khoảng đồng biến hàm số lệnh giải bất phương trình [> solve(f (x) ≥ 0, {x}); - Tương tự, xác định khoảng nghịch biến hàm số lệnh giải bất phương trình [> solve(f (x) ≤ 0, {x}); Giới hạn và tiệm cận - Sử dụng câu lệnh tính giới hạn diff() Tìm điểm cực trị hàm số - Tìm đạo hàm bậc f (x) hàm số - Giải phương trình f (x) = để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị; đó f (x) đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại, f (x) đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu Vẽ đồ thị - Sử dụng câu lệnh giải phương trình solve() để xác định các giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ - Sử dụng câu lệnh plot() để vẽ đồ thị hàm số 4.6 Bài tập 54 Chương Phép tính tích phân 5.1 5.1.1 Tích phân bất định Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định Định nghĩa 5.1 (Nguyên hàm và tích phân bất định) Hàm F (x) gọi là nguyên hàm hàm f (x) trên khoảng (a; b) hàm F (x) khả vi trên (a; b) và F (x) = f (x), ∀x ∈ (a; b) Định lý 5.1 Nếu hàm f liên tục trên khoảng (a; b) thì trên khoảng đó nó có nguyên hàm Định lý 5.2 Giả sử F là nguyên hàm f trên khoảng (a; b) Hàm Φ(x) là nguyên hàm f trên (a; b) và Φ(x) − F (x) = c, ∀x ∈ (a; b), đó c là số thực nào đó Hệ 5.1 Nếu F là nguyên hàm nào đó f trên khoảng (a; b) thì tập hợp nguyên hàm hàm f trên khoảng (a; b) trùng với tập hợp hàm {F (x) + c}, đó c là số thực tùy ý Định nghĩa 5.2 Tập hợp nguyên hàm hàm f (x) cho trên khoảng (a; b) gọi là tích phân bất định hàm f trên (a; b), ký hiệu là R f (x)dx 55 Trong ký hiệu này hàm f gọi là hàm dấu tích phân, biểu thức R f (x)dx gọi là biểu thức dấu tích phân, dấu gọi là dấu tích phân Như vậy, F là nguyên hàm nào đó f trên (a; b) thì ta có Z f (x)dx = F (x) + c, đó c là số thực tùy ý 5.1.2 Các tính chất và quy tắc Mệnh đề 5.1 (Tính chất tuyến tính) Nếu f và g là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng U ⊂ R, thì hàm f + g và hàm αf (với α ∈ R) có nguyên hàm, và R R R i) (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx; R R ii) αf (x)dx = α f (x)dx Mệnh đề 5.2 (Quy tắc tích phân phần) Nếu f và g là các hàm khả vi liên tục thì Z f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − Z g(x)f (x)dx Mệnh đề 5.3 (Quy tắc đổi biến tích phân bất định) Nếu f có nguyên hàm là F và u = g(x) là hàm khả vi liên tục thì Z Z f (g(x))g (x)dx = f (u)du = F (u(x)) + c 5.1.3 Bảng các tích phân bất định Z xα + + c, x > 0, α 6= 1; α+1 Z xα dx = Z dx = ln |x| + c, ( trên khoảng mà x 6= 0); x · dx = c; 56 Z ax a dx = + c (a > 0, a 6= 1); ex dx = ex + c; ln a Z sin xdx = − cos x + c; Z cos x = sin x + c; Z π dx = tan x + c, x 6= + kπ, k ∈ Z; 2 Z cos x dx = − cot x + c, x 6= kπ, k ∈ Z; sin x  Z dx arcsin x + c = √ − < x < 1; − arccos x + c, − x  Z dx arccotx + c = 10 arctan x + c; + x2 Z dx 1+x 11 = ln + c, |x| = 1; − x2 1−x Z √ dx = |x + x2 + 1| + c; 12 √ x2 + Z p dx 13 √ = ln(x + x2 − 1) + c, |x| > 1; x2 −  x Z  arcsin +c dx a x = a > 14 √ a2 − x2 − arccos + c, a Z 5.2 5.2.1 x Tích phân xác định Riemann Khái niệm tích phân xác định Định nghĩa 5.3 Phân hoạch ΠN đoạn [a; b] ⊂ R là dãy hữu hạn số x0 , x1 , , xN thỏa mãn a = x0 < x1 < < xN = b Đường kính phân hoạch ΠN , kí hiệu là d(ΠN ), là khoảng cách lớn hai điểm chia nhau, tức là d(ΠN ) = max{|xi − xi−1 | : i = 1, 2, , N } 57 Định nghĩa 5.4 Nếu f là hàm số xác định trên [a; b] và ΠN là phân hoạch [a; b] thì tổng Riemann f ứng với phân hoạch ΠN , kí hiệu là S(ΠN ), xác định sau S(ΠN ) = N X f (ci )(xi − xi−1 ), i=1 đó ci ∈ [xi−1 ; xi ], i = 1, 2, , N Định nghĩa 5.5 Hàm số f gọi là khả tích Riemann trên [a; b] tồn số A ∈ R cho với số ε > tìm số δ > để tổng Riemann S f ứng với phân hoạch có đường kính nhỏ δ nằm lân cận điểm A với bán kính ε (nghĩa là |S − A| < ε, hay S nằm ε−lân cận A) Khi đó, số A gọi là tích phân Rb Riemann hàm f trên đoạn [a; b] và ký hiệu là f (x)dx Các số a a và b gọi là cận tích phân (trong đó a là cận và b là cận trên), f (x) gọi là hàm dấu tích phân Như Zb f (x)dx = A a 5.2.2 Một số tính chất Mệnh đề 5.4 (Tính toán trên các hàm khả tích) Nếu f, g là hàm khả tích trên đoạn [a; b] thì các hàm cf (c ∈ R) và f + g là khả tích trên đoạn [a; b] Hơn Zb Zb (f (x) + g(x))dx = a và Zb f (x)dx + a Zb a Zb cf (x)dx = c a g(x)dx f (x)dx a 58 Mệnh đề 5.5 (Tính đơn điệu và tính bị chặn tích phân) Nếu f là Rb hàm khả tích và không âm thì f (x)dx ≥ Suy ra, f (x) ≥ g(x) với a x ∈ [a; b] thì Zb f (x)dx ≥ Zb a g(x)dx a Mệnh đề 5.6 (Định lý trung bình) Nếu f là hàm khả tích trên đoạn [a; b] và m ≤ f (x) ≤ M , với x ∈ [a; b] thì m(b − a) ≤ Zb f (x)dx ≤ M (b − a) a Định lý 5.3 Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì khả tích trên đoạn đó Định lý 5.4 Khi f : U → R là hàm liên tục thì hàm số F (x) xác Rx định theo công thức x 7→ F (x) = f (t)dt là khả vi trên U và là a nguyên hàm hàm f , nghĩa là F (x) = f (x), với x ∈ U Mệnh đề 5.7 Nếu f là hàm liên tục trên khoảng thì nó có nguyên hàm F xác định trên khoảng đó và nguyên hàm này tính theo công thức: Zx F (x) = f (t)dt a 5.2.3 Một số phương pháp tính tích phân xác định Định lý 5.5 (Newton - Leibniz) Nếu F là hàm số xác định trên khoảng U ⊂ R và có đạo hàm là f thì Zb a f (x)dx = F (b) − F (a) 59 Định lý 5.6 (Phương pháp đổi biến) Giả sử g là hàm khả vi trên [a; b] và f là hàm liên tục trên miền giá trị g Khi đó Zb Zg(b) f (g(x))g (x)dx = f (u)du a g(a) Định lý 5.7 (Đổi biến ngược) Giả sử phải tính Rb f (x)dx, ta đổi biến a x = g(t) thì −1 gZ (b) Zb f (g(t))g (t)dt f (x)dx = a g −1 (a) Định lý 5.8 (Phương pháp tích phân phần) Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi trên [a; b] Nếu v(x)u0 (x) có nguyên hàm thì u(x)v (x) có nguyên hàm và Zb Zb u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x)dx a 5.2.4 a Một số ứng dụng tích phân Tính diện tích hình phẳng • Diện tích các đường cong Xét miền S giới hạn hai đường cong y = f (x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b, đó f, g là các hàm liên tục (xem Hình 5.1) Diện tích miền S là: Zb A = |f (x) − g(x)|dx (5.1) a Nếu f (x) ≥ g(x) với x thuộc [a; b] thì Zb A= a (f (x) − g(x))dx (5.2) 60 Hình 5.1: Diện tích các đường cong • Diện tích bị chặn các đường cong tham số Ta biết diện tích đường cong y = F (x) từ a tới b là A = b R F (x)dx, đó F (x) ≥ Nếu đường cong tạo vết lần a phương trình tham số x = f (t), y = g(t), α ≤ t ≤ β , thì ta có thể đưa công thức diện tích dựa trên quy tắc vào định nghĩa tích phân : Zβ Zb A= ydx = a g(t)f (t)dt (hoặc α Zα g(t)f (t)dt) (5.3) β Tính độ dài đường cong Độ dài đường cong y = f (x), a ≤ x ≤ b f (x) liên tục trên [a; b] là : L= Zb q + (f (x))2 dx (5.4) a Tính thể tích • Gọi S là vật thể nằm x = a và x = b Nếu diện tích lát cắt S mặt phẳng P qua x và vuông góc với trục hoành là A(x), 61 đó A là hàm liên tục thì thể tích S là : Zb n X V = lim A(x∗i )∆x = A(x)dx n→+∞ i=1 (5.5) a Hình 5.2: Thể tích vật thể • Cho f (x) là hàm liên tục trên [a; b] Thể tích khối tròn xoay hình giới hạn các đường x = a, x = b, y = 0, y = f (x) quay quanh trục Ox tạo nên tính theo công thức Zb V = π f (x)dx (5.6) a quay quanh trục Oy tạo nên tính theo công thức Zb V = 2π xf (x)dx (5.7) a 5.3 5.3.1 Ứng dụng Maple thực hành tính toán chương Minh họa và tính tổng Riemann Để minh họa và tính tổng Riemann, ta sử dụng hai cách sau: 62 • Gõ các câu lệnh: Lệnh mở gói công cụ Student [> with[student] : Lệnh minh họa tổng Riemann hàm f (x) trên đoạn [a; b], với phân hoạch gồm n điểm (cách nhau) và điểm trung gian chọn là điểm đoạn nhỏ phân hoạch [> middlebox(f (x), x = a b, n); (nếu muốn chọn các điểm trung gian không phải là điểm mà là điểm "biên trái" "biên phải" các đoạn nhỏ thì thay từ khóa middlebox leftbox rightbox ) Khi n càng lớn thì hình ảnh minh họa tổng Riemann càng gần với diện tích hình thang cong (giá trị tích phân) Ví dụ 5.1 Minh họa tổng Riemann hàm f (x) = sin(x2 + x − 1) − cos(x2 − x + 1) + trên đoạn [−3; 3], với số điểm phân hoạch là 20, 50 và 100 Hình 5.3: Ví dụ minh họa tổng Riemann Để tính tổng Riemann ứng với cách phân hoạch và chọn điểm trung gian trên, câu lệnh ta cần thay từ khóa middlebox (leftbox, 63 rightbox ) từ khóa middlesum (leftsum, rightsum) Sau thực lệnh ta công thức biểu diễn tổng, muốn biết giá trị số tổng này ta dùng lệnh đánh giá xấp xỉ dạng thập phân [> evalf (%); Hình 5.4: Ví dụ tính tổng Riemann • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Riemann Sums Khi đó xuất hộp thoại (xem hình 5.5) cho phép tính và minh họa xấp xỉ tích phân theo tổng Riemann và theo công thức Newton - Nhập hàm f (x), giá trị a, b và số điểm chia n vào các ô tương ứng - Để tính và minh họa tổng Riemann, chọn số các nút check box upper, lower, random, left, midpoint hay right kích chuột vào nút Display để xem kết Hình ảnh minh họa cùng giá trị xấp xỉ và giá trị thực tế tích phân hiển thị bên trái hộp thoại - Kích chuột vào nút Animate, ta hình ảnh động minh họa tổng tích phân số điểm chia thay đổi (kích chuột vào nút +, - Pause bên hình ảnh để tăng, giảm tốc độ ngừng chuyển động) 64 Hình 5.5: Hộp thoại Approximate Integration Nhận xét 5.1 Việc sử dụng Maple để minh họa, tính tổng Riemann có thể trợ giúp giáo viên việc hình thành khái niệm tích phân xác định cho học sinh và mô tả số tích phân không biểu diễn nguyên hàm qua các hàm (xem [6]) 5.3.2 Tính tích phân xác định Câu lệnh tính tích phân xác định Để tính tích phân xác định hàm f (x) trên đoạn [a; b], sử dụng các câu lệnh [> Int(f (x), x = a b); [> int(f (x), x = a b); (hoặc kích chuột vào nút Rb f dx nhập các giá trị a, b và f (x) vào a các vị trí tương ứng, cách này có tác dụng tương đương với câu lệnh [> int(f (x), x = a b);) 65 Ví dụ 5.2 (Đề thi ĐH khối D, 2011) Tính tích phân Z4 I= √ 4x − dx 2x + +  Z4 4·x−1 4·x−1 [> Int √ , x = = √ dx; 2·x+1+2 2·x+1+2  Hình 5.6: Ví dụ lệnh tính tích phân xác định 66 Chương trình tính tích phân xác định Đây là chương trình sử dụng các lệnh Maple để đưa giao diện tính tích phân xác định đồng thời vẽ đồ thị hàm tính tích phân (xem [4]) Kích chuột vào liên kết để mở chương trình và gõ Enter để chạy chương trình, xuất hộp thoại Hình 5.7: Hộp thoại chương trình tính tích phân xác định Nhập các thông tin yêu cầu, chọn nút TÍCH PHÂN để xem kết tính, nút ĐỒ THỊ để xem đồ thị 5.3.3 Tính tích phân bước Thủ tục Tính tích phân bước là công cụ tốt để luyện tập tính tích phân Để gọi thủ tục này, ta sử dụng hai cách sau: • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Integration Methods • Gõ nhóm lệnh [> with(Student[Calculus1]); IntT utor(y, x); 67 Chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn hàm ví dụ để tính tích phân, người sử dụng cần kích chuột vào liên kết gõ Enter để thực nhóm lệnh này Hộp thoại Tính tích phân bước xuất hình đây: Hình 5.8: Hộp thoại chương trình tính tích phân bước Hộp thoại này có nhiều điểm tương đồng với giao diện Tính giới hạn theo bước hay Tính đạo hàm theo bước đã giới thiệu trước đó (xem mục 3.7.4, 4.5.2) Ta tìm hiểu thêm chỗ khác biệt - Nhập giá trị cận vào ô from., nhập giá trị cận trên vào ô to - Phần bên phải hộp thoại có các nút để lựa chọn các quy tắc tính tích phân mà ta muốn áp dụng, chẳng hạn Constant (tích phân số), Sum (tích phân tổng), Product (tích phân tích), Change (quy tắc đổi biến), Rewrite (viết lại biểu thức theo cách khác) 68 5.3.4 Tính diện tích và thể tích Vận dụng các kiến thức lý thuyết ứng dụng tích phân vào tính diện tích, thể tích, xét số ví dụ áp dụng sau Ví dụ 5.3 (Đề thi ĐH - CĐ khối A, 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y = |x2 − 4x + 3|, y = x + Hình 5.9: Ví dụ tính diện tích hình phẳng Giải thích các lệnh đã sử dụng: - Lệnh solve() để giải phương trình |x2 − 4x + 3| = x + 3, tìm hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số - Lệnh plot() vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ Ta thấy x + ≥ |x2 − 4x + 3| với x ∈ [0; 5] Vậy theo công thức (5.2), diện tích cần tính là Z5 (x + − |x2 − 4x + 3|)dx - Lệnh int() để tính tích phân 69 Ví dụ 5.4 (Đề thi ĐH khối A, 2007) Cho hình phẳng H giới hạn các đường: y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox Sử dụng lệnh solve() giải phương trình x ln x = 0, ta tìm hoành độ giao điểm các đường y = x ln x và y = là x = Áp dụng công Re thức (5.6), ta có thể tích cần tính là π (x ln x)2 dx Dùng lệnh int() để tính tích phân này Hình 5.10: Ví dụ tính thể tích Maple cung cấp cho chúng ta các thủ tục tính diện tích mặt tròn xoay và thể tích khối tròn xoay Diện tích mặt tròn xoay Thủ tục Tính diện tích mặt tròn xoay cho phép tính diện tích đồng thời minh họa hình ảnh động Để gọi thủ tục này, sử dụng hai cách sau • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Surface of Revolution • Gõ lệnh [> Student[Calculus1][Surf aceOf RevolutionT utor](); Hộp thoại xuất (xem Hình 5.11) Sau nhập các giá trị theo yêu cầu, kích chuột vào nút Display ta xem kết 70 Hình 5.11: Hộp thoại Tính diện tích mặt tròn xoay Thể tích khối tròn xoay Chọn hai cách • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Volume of Revolution • Gõ lệnh [> Student[Calculus1][V olumeOf RevolutionT utor](); hộp thoại Tính Thể tích khối tròn xoay xuất Hình 5.12: Hộp thoại Tính thể tích khối tròn xoay 71 Người sử dụng cần nhập các hàm f (x), g(x), giá trị a, b và kích chuột vào nút Display để xem kết 5.3.5 Tính nguyên hàm Lệnh tính nguyên hàm Để tìm nguyên hàm hàm số f (x) theo biến x, gõ câu lệnh [> Int(f (x), x); [> int(f (x), x); Chú ý 5.1 Maple đưa nguyên hàm lớp các nguyên hàm, người sử dụng cần tự thêm số c vào để kết hiển thị chính xác Ví dụ 5.5 Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = 1+x √ 1+ x Hình 5.13: Ví dụ lệnh tính nguyên hàm Chương trình tính nguyên hàm Chương trình bao gồm các lệnh Maple tạo giao diện cho phép tính nguyên hàm và vẽ đồ thị hàm số cùng nguyên hàm nó trên cùng hệ trục tọa độ (xem [5]) Kích chuột vào liên kết để mở chương trình và gõ Enter để chạy chương trình, xuất hộp thoại (xem Hình 5.14) Nhập hàm cần tính nguyên hàm và biến xác định nguyên hàm chọn nút NGUYÊN HÀM để tính nguyên hàm, chọn nút ĐỒ THỊ ta xem đồ thị hàm và nguyên hàm nó 72 Hình 5.14: Hộp thoại chương trình tính nguyên hàm 5.4 Bài tập 73 Kết luận Maple là công cụ mạnh thực hành tính toán, không phải có sẵn số yếu tố cần thiết: tài liệu, ít vốn từ tiếng Anh chuyên ngành hay hứng thú, kiên nhẫn làm quen với phần mềm để tiếp cận với Maple, chưa thấy rõ ràng ưu điểm bật nó Trong luận văn này, ngoài việc tổng hợp kiến thức giải tích phần Hàm số biến, chúng tôi còn cung cấp thao tác ban đầu giúp người sử dụng dễ dàng tiếp cận với Maple, để khai thác Maple công việc giảng dạy, học tập và nghiên cứu toán học Những nội dung giải tích chúng tôi đã tổng hợp thành chương Sau chương, chúng tôi đưa vào các hướng dẫn sử dụng Maple để thực hành tính toán, giải các bài tập phần kiến thức đó Ngoài chúng tôi đưa thêm số bài tập khó mà việc tính toán thủ công nhiều thời gian sử dụng Maple đơn giản, nhanh chóng và chính xác, với mục đích minh họa thêm cho tính mạnh mẽ Maple Tuy đã nỗ lực làm việc nghiêm túc hạn chế khả và thời gian nên hẳn luận văn còn nhiều thiếu sót Tác giả mong đợi ý kiến dẫn quý báu các thầy cô và góp ý bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 74 Tài liệu tham khảo [1] Trần Bình, Bài tập giải sẵn Giải tích I, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2005 [2] Phạm Huy Điển, Nguyễn Cảnh Dương, Tạ Duy Phượng, Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2002 [3] Phạm Huy Điển, Phan Huy Khải, Tạ Duy Phượng, Cơ sở giải tích phổ thông, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2002 [4] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng, Hướng dẫn thực hành tính toán trên chương trình Maple V, NXB Giáo dục, 1998 [5] Trịnh Thanh Hải, Giáo trình sử dụng phần mềm hỗ trợ dạy học toán, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2010 [6] Vũ Thanh Hiếu, Phạm Thị Nhàn, Tạ Duy Phượng, (2010), ”Sử dụng phần mềm tính toán Maple việc hình thành khái niệm tích phân xác định lớp 12”, Kỷ yếu hội thảo Các chuyên đề chuyên toán bồi dưỡng HSG THPT [7] Vũ Thanh Hiếu, Tạ Duy Phượng, Học và thực hành theo chuẩn kiến thức, kĩ Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011 [8] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích toán học Hàm số biến, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2005 [9] Các website http://www.maplesoft.com, http://maplevn2008.wordpress.com