Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.. Phương trình bậc nhất đối với s[r]
(1)Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC Hệ thức LG sin cos tan cot k tan 1 k 2 cos Công thức LG thường gặp sin a b sinacosb sinbcosa tan sin cos cot tana tanb tanatanb sin 2a 2sin a.cos a cos a cos a sin a 2cos a 2sin a Công thức nhân: cos 3a cos3 a 3cos a sin 3a 3sin a 4sin a tan 3a = tan a tan a tan a [cos(ab)+cos(a+b)] sina.sinb = [cos(ab)cos(a+b)] sina.cosb = [sin(ab)+sin(a+b)] ab ab Tổng thành tích: sin a sin b 2sin cos 2 ab a b sin a sin b cos sin 2 ab ab cos a cos b cos cos 2 ab a b cos a cos b 2sin sin 2 sin( a b) tan a tan b cos a.cos b Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a) sin2a = (1cos2a) a Biểu diễn các hàm số LG theo t tan Tích thành tổng: Chuyên đề: LG cosa.cosb = Lại Văn Long k cot k sin Công thức cộng: cos a b cos a cos b sinasinb tan a b cos sin (2) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam sin a 2t 1- t 2t ; cos a ; tan a 2 1 t 1 t 1 t2 Phương trìng LG u v k 2 * sinu=sinv u v k 2 * cosu=cosvu=v+k2 * cotu=cotv u=v+k k Z * tanu=tanv u=v+k Một số phương trình LG thường gặp Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác: a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình phương trình LG b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: là phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t hàm số LG Phương trình bậc sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a b c b c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a đặt tan , ta được: sinx+tancosx= cos a a ñaët c c sinx cos + sin cosx= cos sin(x+ )= cos sin a a Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a b , ta được: a b c sin x cos x 2 2 a b a b a b2 a b Đặt: cos ; sin Khi đó phương trình tương đương: 2 a b a b2 ñaët c c cos sin x sin cos x hay sin x sin a2 b2 a b2 x Cách 3: Đặt t tan Phương trình bậc hai sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*) Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x k + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0 Chú ý: tan x x k cos x Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc Phương trình đối xứng sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx cosx Điều kiện t Lưu ý các công thức : sin x cos x sin x cos x 4 4 sin x cos x sin x cos x 4 4 Chuyên đề: LG Lại Văn Long (3) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa phương trình dạng tích Ví dụ Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1) Giải cos x cos x cos x cos8 x Phương trình (1) tương đương với: 2 2 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 2cos5x(cos3x+cosx) = 4cos5x.cos2x.cosx = π kπ π x 10 5 x kπ cos x π π lπ cos x x kπ x , (k , l, n ) cos x x π nπ x π kπ 2 6 8 Ví dụ Giải phương trình: cos x+sin x = ( cos x+sin x) (2) Giải Ta có (2) cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x) cos2x(sin6x–cos6x) = cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = cos2x = 2x π π kπ kπ x , ( k ) Ví dụ 3: Giải phương trình: cos x 2 sin x sin x cos x (3) Giải Ta có: (3) 2 cos3 x(4cos x 3cos x) 2 sin x sin x cos x.2 cos x cos x 2sin x.2sin x sin x3 x (1 cos x)(cos x cos x) (1 cos x)(cos x cos x) 2(cos x cos x cos x) cos x(1 cos x) cos x.cos 2 x 2 π x kπ , (k ) Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác phương trình đại số: cos x Ví dụ Giải phương trình lượng giác: sin x cos8 x 17 32 (4) Giải Ta có (4) 4 17 17 cos x cos x (cos x cos 2 x 1) 2 32 32 Chuyên đề: LG Lại Văn Long (4) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam t 17 13 Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có t 6t t 6t 4 t 13 1 cos x 1 Vì t[0;1], nên t cos2 x 2 2 π π π cos4x = x kπ x k , (k ) Ví dụ Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = (5) Giải Ta có (5) 2(1 cos2x)sinx + – cos2x + cosx – = (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = cos x x k 2π, ( k ) 2sin x cos x 2sin x cos x (*) Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | , đó phương trình (*) trở thành: t π 2t + t2 – + = t2 + 2t = sin x - cos x x nπ , (n ) t ( lo ¹i) π Vậy nghiệm phương trình đã cho là: x nπ ; x k 2π, (n, k ) Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác việc giải hệ phương trình lượng giác cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức Ví dụ Giải phương trình: π |sin x | cos x (6) Giải Điều kiện: x ≥ Do | sin x | 0, nên π |sin x| π , mà |cosx| ≤ | sin x | x kπ ,( k ) x k 2π k 2π n k n Do đó (6) | cos x | x nπ , ( n ) x x nπ x nπ (Vì k, n Z) Vậy phương trình có nghiệm x = Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số x2 Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: cos x Giải x2 Đặt f ( x)= cos x Dễ thấy f(x) = f(x), x , đó f(x) là hàm số chẵn vì trước hết ta xét với x ≥ Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x) đồng biến với x≥0 Mặt khác ta thấy f(0)=0, đó x=0 là nghiệm phương trình π Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn 2, tìm x thuộc khoảng 0; thoả 2 n mãn phương trình: sin n x cos n x 2 Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) Chuyên đề: LG Lại Văn Long (5) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam 2n Lập bảng biến thiên f(x) trên khoảng 0; , ta có minf(x) = f = 2 2 4 Vậy x = là nghiệm phương trình đã cho BÀI TẬP Giải các phương trình sau: cos3x+cos2x+2sinx–2 = (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x k 2 ; x n 2 2 tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x k ; x n 2 3 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) 7 ĐS: x k ; x n ; x m 4 12 12 |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: x k 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội) ĐS: x k 2 ; x n 2 ; x l 2 ; với sin sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x k sin 3x sin x.sin x ; (Học Viện BCVT) ĐS: x k 4 4 3 sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS: x k 12 x k 1 7 sin x ĐS: x k 3 sin x sin x x 5 k 10 sin x cos3 x sin x cos x sin x cos x HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = k , k 11 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx x HD: Đưa cung x đặt thừa số ĐS: x 2 k x k 2 (k ) 12 sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1) Giải (1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx 2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0 2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0 Đặt t=cosx, ĐK t , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0 =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2 Chuyên đề: LG Lại Văn Long (6) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam t t sin x - loại cos x …(biết giải) 13 2sinx+cotx=2sin2x+1 HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0 Đặt t=sinx, ĐK t 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2 14 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0 HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp … cos x sin x 15 Giải phương trình lượng giác: tan x cot x cot x Giải cos x.sin x.sin x tan x cot x Điều kiện: cot x 1 Từ (1) ta có: cos x sin x cos x.sin x sin x cos x cos x 1 sin x sin x cos x cos x sin x 2sin x.cos x sin x x k 2 cos x k x k 2 So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình đã cho là x 16 Giải phương trình: k 2 k sin x cos x tan x cot x sin x Giải sin x cos x tan x cot x (1) sin x Điều kiện: sin x 1 sin 2 x sin 2 x sin x cos x 1 2 (1) sin 2 x sin x sin x cos x sin x sin x sin x Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 17 Giải phương trình: sin x sin x tan x 4 Giải Pt sin x 2 sin x tan x (cosx 0) 1 cos x cos x sin x.cos x sin x 4 (1–sin2x)(cosx–sinx) = sin2x = tanx = 18 Giải phương trình: sin x cos x 3 3cos3 x 3cos2 x Giải Chuyên đề: LG Lại Văn Long cos x s inx 3 (7) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam sin x(cos x 3) 3.cos x 3.cos x 8( 3.cos x sin x) 3 2sin x.cos x 6sin x.cos x 3.cos x cos x 3 8( 3.cos x sin x) 3 2 cos x( cos x sin x) cos x( cos x sin x) 8( cos x sin x) ( cos x sin x)(2 cos x cos x 8) cos x sin x cos x 3cos x tan x cos x cos x (loai) x k ,k x k 19 Giải phương trình: cosx=8sin3 x 6 Giải cosx=8sin3 x cosx = sin x cos x 6 3 sin x sin x cos x 3 sin x cos x cos3 x cos x (3) Ta thấy cosx = không là nghiêm (3) 3 tan x tan x 3 tan x tan x x k cos x sin x 20 Giải phương trình lượng giác: tan x cot x cot x Giải cos x.sin x.sin x tan x cot x Điều kiện: cot x cos x sin x cos x.sin x sin x sin x cos x cos x cos x 1 cos x sin x sin x 2sin x.cos x sin x x k 2 cos x k x k 2 So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình đã cho là x k 2 k 21 Giải phương trình: cos x 2(2 cos x)(sin x cos x) Giải Phương trình (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – = cos x sin x 1 cos x sin x (loai vi cos x sin x 2) x k 2 sin x sin x sin (k Z ) 4 x k 2 22 Giải phương trình: 2cos3x + sinx + cosx = Từ (1) ta có: Chuyên đề: LG Lại Văn Long (8) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Giải sin x cos x 2cos x cos x cos x 3 k x ( k ) x k sinx + cos cosx = – cos3x 3 cos x cos( 3x) sin x= k (kZ) 23 23 Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = Giải Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 23 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 23 cos2 3x sin 3x cos3x cos x sin 3x sin x 23 2 x k ,k Z 16 24 Định m để phương trình sau có nghiệm 4sin x sin x cos x cos x cos x m 4 4 4 Giải Ta có: * 4sin x sin x cos x cos x ; cos x * cos x cos x cos x cos x sin x cos x 4 4 2 1 * cos x 1 cos x 1 sin x 2 Do đó phương trình đã cho tương đương: 1 cos x sin x sin x m (1) 2 Đặt t cos x sin x cos x (điều kiện: t ) 4 Khi đó sin x 2sin x cos x t Phương trình (1) trở thành: t 4t 2m (2) với t (2) t 4t m Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm đường ( D) : y 2m (là đường song song với Ox và cắt trục tung điểm có tung độ – 2m và (P): y t 4t với t x 2 y’ + y 24 24 Chuyên đề: LG Lại Văn Long (9) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Trong đoạn 2; , hàm số y t 4t đạt giá trị nhỏ là t và đạt giá trị lớn là t Do đó yêu cầu bài toán thỏa mãn và 2m 2 m 2 o0o PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A cos x sin 3x Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) phương trình: sin x cos x sin x (Khối A_2002) ĐS: x 5 ;x 3 Giải phương trình: cot x cos x sin x sin x tan x (Khối A_2003) ĐS: x k k Giải phương trình: cos2 x cos x cos x (Khối A_2005) k ĐS: x k 2 cos x sin x sin x cos x Giải phương trình: 0 sin x (Khối A_2006) 5 ĐS: x k 2 k Giải phương trình: sin x cos x cos x sin x sin x (Khối A_2007) ĐS: x k , x k 2 , x k 2 k 1 7 sin x sin x sin x (Khối A_2008) 5 ĐS: x k , x k , x k , k 8 1 2sin x cos x Giải phương trình: 1 2sin x 1 sin x (Khối A_2009) 2 ĐS: x k , k 18 KHỐI B Giải phương trình sin x cos2 x sin x cos x (Khối B_2002) ĐS: x k ; x k , k Chuyên đề: LG Lại Văn Long (10) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Giải phương trình cot x tan x sin x sin x (Khối B_2003) ĐS: x k , k 10 Giải phương trình sin x 1 sin x tan x (Khối B_2004) 5 ĐS: x k 2 ; x k 2 , k 6 11 Giải phương trình sin x cos x sin x cos x (Khối B_2005) 2 ĐS: x k 2 k x 12 Giải phương trình: cot x sin x tan x tan 2 (Khối B_2006) 5 ĐS: x k ; x k , k 12 12 13 Giải phương trình: sin 2 x sin x sin x (Khối B_2007) 2 5 2 ĐS: x k ;x k , k 18 18 14 Giải phương trình sin x cos x sin x cos x sin x cos x (Khối B_2008) ĐS: x k ; x k , k 15 Giải phương trình: sin x cos x sin x cos x cos x sin x (Khối B_2009) 2k ĐS: x , x k , k 42 KHỐI D 16 Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (Khối D_2002) 3 5 7 ĐS: x ; x ;x ;x 2 2 x x 17 sin tan x cos 2 4 (Khối D_2003) ĐS: x k 2 , x k , k 18 Giải phương trình cos x 1 2sin x cos x sin x sin x Khối D_2004) ĐS: x k 2 , x k , k 19 Giải phương trình: cos x sin x cos x sin x 4 (Khối D_2005) ĐS: x k , k Chuyên đề: LG Lại Văn Long 10 (11) Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam 20 Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 (Khối D_2006) 2 k 2 , k x x 21 Giải phương trình sin cos cos x 2 2 (Khối D_2007) ĐS: x k 2 , x k 2 , k 22 Giải phương trình sin x cos x sin x (CĐ_A_B_D_2008) 4 2 ĐS: x k 2 , x k , k 15 23 Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) 2 ĐS: x k 2 , x k , k 24 Giải phương trình (1+2sinx)2 cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) ĐS: x 25 Giải phương trình cos x 2sin x cos x sin x (Khối D_2009) ĐS: x k , x k , k 18 Hết Chuyên đề: LG Lại Văn Long 11 (12)