CHUYEN DE LG ON THI DH

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.. Phương trình bậc nhất đối với s[r]

Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC Hệ thức LG sin   cos   tan  cot          k        tan   1    k  2 cos    Công thức LG thường gặp sin  a  b   sinacosb  sinbcosa tan   sin  cos  cot   tana  tanb  tanatanb sin 2a  2sin a.cos a cos a  cos a  sin a  2cos a    2sin a Công thức nhân: cos 3a  cos3 a  3cos a sin 3a  3sin a  4sin a tan 3a = tan a  tan a  tan a [cos(ab)+cos(a+b)] sina.sinb = [cos(ab)cos(a+b)] sina.cosb = [sin(ab)+sin(a+b)] ab ab Tổng thành tích: sin a  sin b  2sin cos 2 ab a b sin a  sin b  cos sin 2 ab ab cos a  cos b  cos cos 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 sin( a  b) tan a  tan b  cos a.cos b Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a) sin2a = (1cos2a) a Biểu diễn các hàm số LG theo t  tan Tích thành tổng: Chuyên đề: LG cosa.cosb = Lại Văn Long   k   cot     k  sin  Công thức cộng: cos  a  b   cos a cos b  sinasinb tan  a  b   cos  sin  Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam sin a  2t 1- t 2t ; cos a  ; tan a  2 1 t 1 t 1 t2 Phương trìng LG u  v  k 2 * sinu=sinv   u    v  k 2 * cosu=cosvu=v+k2 * cotu=cotv  u=v+k  k  Z  * tanu=tanv  u=v+k Một số phương trình LG thường gặp Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác: a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình phương trình LG b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: là phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t hàm số LG Phương trình bậc sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a  b  c b c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a đặt  tan  , ta được: sinx+tancosx= cos  a a ñaët c c  sinx cos  + sin  cosx= cos   sin(x+  )= cos   sin  a a Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a  b , ta được: a b c sin x  cos x  2 2 a b a b a  b2 a b Đặt:  cos  ;  sin  Khi đó phương trình tương đương: 2 a b a  b2 ñaët c c cos  sin x  sin  cos x  hay sin  x      sin  a2  b2 a  b2 x Cách 3: Đặt t  tan Phương trình bậc hai sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*)  Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x   k + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0    Chú ý:  tan x   x   k  cos x   Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc Phương trình đối xứng sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c Cách giải: Đặt t= sinx cosx Điều kiện  t       Lưu ý các công thức : sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4       sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4   Chuyên đề: LG Lại Văn Long Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa phương trình dạng tích Ví dụ Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1) Giải  cos x  cos x  cos x  cos8 x Phương trình (1) tương đương với:    2 2  cos2x+cos4x+cos6x+cos8x =  2cos5xcosx+2cos5xcos3x =  2cos5x(cos3x+cosx) =  4cos5x.cos2x.cosx = π kπ π    x  10  5 x   kπ cos x    π π lπ    cos x   x   kπ   x   , (k , l, n  )   cos x     x  π  nπ  x  π  kπ 2   6 8 Ví dụ Giải phương trình: cos x+sin x = ( cos x+sin x) (2) Giải Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)  cos2x(sin6x–cos6x) =  cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) =  cos2x =  2x  π π kπ  kπ  x   , ( k  ) Ví dụ 3: Giải phương trình: cos x  2 sin x sin x  cos x   (3) Giải Ta có: (3)  2 cos3 x(4cos x  3cos x)  2 sin x sin x    cos x.2 cos x cos x  2sin x.2sin x sin x3 x   (1  cos x)(cos x  cos x)  (1  cos x)(cos x  cos x)   2(cos x  cos x cos x)   cos x(1  cos x)   cos x.cos 2 x  2 π  x    kπ , (k  ) Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác phương trình đại số:  cos x  Ví dụ Giải phương trình lượng giác: sin x  cos8 x  17 32 (4) Giải Ta có (4) 4 17 17   cos x    cos x      (cos x  cos 2 x  1)    2 32 32     Chuyên đề: LG Lại Văn Long Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam  t  17 13 Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có t  6t    t  6t     4 t   13  1 cos x  1 Vì t[0;1], nên t   cos2 x    2 2 π π π cos4x =  x   kπ  x   k , (k  ) Ví dụ Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = (5) Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + – cos2x + cosx – =  (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] =  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = cos x   x  k 2π, ( k  )   2sin x  cos x  2sin x cos x   (*) Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | , đó phương trình (*) trở thành: t  π 2t + t2 – + =  t2 + 2t =    sin x  - cos x  x    nπ , (n  ) t   ( lo ¹i)  π Vậy nghiệm phương trình đã cho là: x    nπ ; x  k 2π, (n, k   ) Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác việc giải hệ phương trình lượng giác cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức Ví dụ Giải phương trình: π |sin x |  cos x (6) Giải Điều kiện: x ≥ Do | sin x | 0, nên π |sin x|  π  , mà |cosx| ≤ | sin x |  x  kπ ,( k    )  x  k 2π  k 2π  n k  n  Do đó (6)       | cos x |  x  nπ , ( n  ) x   x  nπ  x  nπ (Vì k, n  Z) Vậy phương trình có nghiệm x = Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số x2 Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:   cos x Giải x2 Đặt f ( x)= cos x  Dễ thấy f(x) = f(x), x   , đó f(x) là hàm số chẵn vì trước hết ta xét với x ≥ Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến với x≥0 Mặt khác ta thấy f(0)=0, đó x=0 là nghiệm phương trình  π Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn 2, tìm x thuộc khoảng  0;  thoả  2 n mãn phương trình: sin n x  cos n x  2 Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) Chuyên đề: LG Lại Văn Long Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam 2n     Lập bảng biến thiên f(x) trên khoảng  0;  , ta có minf(x) = f   = 2  2 4  Vậy x = là nghiệm phương trình đã cho BÀI TẬP Giải các phương trình sau: cos3x+cos2x+2sinx–2 = (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:  x  k 2 ; x   n 2 2 tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)   HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x    k ; x    n 2 3 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)    7 ĐS: x    k ; x    n ; x   m 4 12 12  |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: x  k 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)  ĐS: x   k 2 ; x    n 2 ; x      l 2 ; với sin     sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x   k       sin  3x    sin x.sin  x   ; (Học Viện BCVT) ĐS: x   k 4 4   3 sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x  HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS: x  k 12    x   k   1  7    sin   x ĐS:  x   k  3  sin x    sin  x       x  5  k  10 sin x  cos3 x  sin x cos x  sin x cos x HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x =    k ,   k 11 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx x HD: Đưa cung x đặt thừa số ĐS: x   2  k  x    k 2 (k  ) 12 sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1) Giải (1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx 2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0 2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0 Đặt t=cosx, ĐK t  , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0 =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2 Chuyên đề: LG Lại Văn Long Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam  t    t  sin x - loại  cos x  …(biết giải) 13 2sinx+cotx=2sin2x+1 HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0 Đặt t=sinx, ĐK t  2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2 14 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0 HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp …  cos x  sin x  15 Giải phương trình lượng giác:  tan x  cot x cot x  Giải cos x.sin x.sin x  tan x  cot x   Điều kiện:  cot x  1 Từ (1) ta có:  cos x  sin x  cos x.sin x   sin x cos x cos x 1 sin x  sin x cos x  cos x sin x  2sin x.cos x  sin x   x   k 2   cos x   k    x     k 2  So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình đã cho là x   16 Giải phương trình:   k 2  k    sin x  cos x   tan x  cot x  sin x Giải sin x  cos x   tan x  cot x  (1) sin x Điều kiện: sin x  1  sin 2 x  sin 2 x sin x cos x 1   2 (1)        sin 2 x   sin x   sin x  cos x sin x  sin x sin x Vậy phương trình đã cho vô nghiệm   17 Giải phương trình: sin  x     sin x  tan x 4 Giải   Pt sin  x       2   sin x  tan x (cosx  0)  1  cos  x    cos x  sin x.cos x  sin x 4     (1–sin2x)(cosx–sinx) =  sin2x = tanx = 18 Giải phương trình: sin x  cos x  3  3cos3 x  3cos2 x  Giải Chuyên đề: LG Lại Văn Long   cos x  s inx  3  Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam sin x(cos x  3)  3.cos x  3.cos x  8( 3.cos x  sin x)  3   2sin x.cos x  6sin x.cos x  3.cos x  cos x  3  8( 3.cos x  sin x)  3   2 cos x( cos x  sin x)  cos x( cos x  sin x)  8( cos x  sin x)   ( cos x  sin x)(2 cos x  cos x  8)   cos x  sin x    cos x  3cos x    tan x    cos x   cos x  (loai)    x   k   ,k   x  k     19 Giải phương trình: cosx=8sin3  x   6  Giải   cosx=8sin3  x    cosx = sin x  cos x 6   3 sin x  sin x cos x  3 sin x cos x  cos3 x  cos x  (3) Ta thấy cosx = không là nghiêm (3)  3 tan x  tan x  3 tan x   tan x   x  k  cos x  sin x  20 Giải phương trình lượng giác:  tan x  cot x cot x  Giải cos x.sin x.sin x  tan x  cot x   Điều kiện:  cot x     cos x  sin x  cos x.sin x    sin x sin x cos x cos x cos x  1 cos x sin x sin x  2sin x.cos x  sin x   x   k 2   cos x   k    x     k 2   So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình đã cho là x    k 2  k    21 Giải phương trình: cos x   2(2  cos x)(sin x  cos x) Giải Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – =  cos x  sin x  1   cos x  sin x  (loai vi cos x  sin x  2)  x    k 2  sin x     sin x    sin    (k  Z ) 4  x    k 2  22 Giải phương trình: 2cos3x + sinx + cosx = Từ (1) ta có:   Chuyên đề: LG Lại Văn Long   Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Giải sin x  cos x  2cos x     cos  x     cos x 3    k x     ( k  )   x   k       sinx + cos cosx = – cos3x 3    cos  x    cos(  3x)   sin x=  k  (kZ) 23 23 Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = Giải Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 23  cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 23  cos2 3x  sin 3x   cos3x cos x  sin 3x sin x   23  2    x    k ,k  Z 16 24 Định m để phương trình sau có nghiệm       4sin x sin x  cos  x   cos  x    cos  x    m  4 4 4    Giải Ta có: * 4sin x sin x   cos x  cos x  ; cos x          * cos  x   cos  x    cos  x    cos x    sin x  cos x  4 4 2        1     * cos  x    1  cos  x    1  sin x   2     Do đó phương trình đã cho tương đương: 1  cos x  sin x   sin x  m   (1) 2   Đặt t  cos x  sin x  cos  x   (điều kiện:   t  ) 4  Khi đó sin x  2sin x cos x  t  Phương trình (1) trở thành: t  4t  2m   (2) với   t  (2)  t  4t   m Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm đường ( D) : y   2m (là đường song song với Ox và cắt trục tung điểm có tung độ – 2m và (P): y  t  4t với   t  x  2 y’ + y 24 24 Chuyên đề: LG Lại Văn Long Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Trong đoạn   2;  , hàm số y  t  4t đạt giá trị nhỏ là  t   và đạt giá trị   lớn là  t  Do đó yêu cầu bài toán thỏa mãn và    2m    2  m  2 o0o PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A cos x  sin 3x   Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) phương trình:  sin x    cos x   sin x   (Khối A_2002) ĐS: x   5 ;x  3 Giải phương trình: cot x   cos x  sin x  sin x  tan x (Khối A_2003)  ĐS: x   k  k   Giải phương trình: cos2 x cos x  cos x  (Khối A_2005) k ĐS: x   k   2 cos x  sin x  sin x cos x Giải phương trình: 0  sin x (Khối A_2006) 5 ĐS: x   k 2  k   Giải phương trình:  sin x cos x   cos x sin x   sin x       (Khối A_2007)   ĐS: x    k , x   k 2 , x  k 2  k    1  7    sin   x  sin x     sin  x     (Khối A_2008)   5 ĐS: x   k , x   k , x   k ,  k   8 1  2sin x  cos x Giải phương trình:  1  2sin x 1  sin x  (Khối A_2009)  2 ĐS: x    k , k   18 KHỐI B Giải phương trình sin x  cos2 x  sin x  cos x (Khối B_2002)   ĐS: x  k ; x  k ,  k   Chuyên đề: LG Lại Văn Long Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam Giải phương trình cot x  tan x  sin x  sin x (Khối B_2003)  ĐS: x    k ,  k   10 Giải phương trình sin x   1  sin x  tan x (Khối B_2004)  5 ĐS: x   k 2 ; x   k 2 ,  k    6 11 Giải phương trình  sin x  cos x  sin x  cos x  (Khối B_2005) 2 ĐS: x    k 2  k   x  12 Giải phương trình: cot x  sin x   tan x tan   2  (Khối B_2006)  5 ĐS: x   k  ; x   k ,  k    12 12 13 Giải phương trình: sin 2 x  sin x   sin x (Khối B_2007)  2 5 2 ĐS: x   k ;x k , k   18 18 14 Giải phương trình sin x  cos x  sin x cos x  sin x cos x (Khối B_2008)    ĐS: x   k ; x    k ,  k    15 Giải phương trình: sin x  cos x sin x  cos x   cos x  sin x  (Khối B_2009)  2k   ĐS: x   , x    k ,  k    42 KHỐI D 16 Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (Khối D_2002)  3 5 7 ĐS: x  ; x  ;x  ;x  2 2 x  x   17 sin    tan x  cos  2 4 (Khối D_2003)  ĐS: x    k 2 , x    k ,  k    18 Giải phương trình  cos x  1 2sin x  cos x   sin x  sin x Khối D_2004)   ĐS: x    k 2 , x    k ,  k        19 Giải phương trình: cos x  sin x  cos  x   sin  x     4    (Khối D_2005)  ĐS: x   k ,  k    Chuyên đề: LG Lại Văn Long 10 Lại Văn Long Trường THPT Lê Hoàn web: http://violet.vn/vanlonghanam 20 Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 (Khối D_2006) 2  k 2 ,  k   x x  21 Giải phương trình  sin  cos   cos x  2 2  (Khối D_2007)   ĐS: x   k 2 , x    k 2 ,  k    22 Giải phương trình sin x  cos x  sin x (CĐ_A_B_D_2008)  4 2 ĐS: x   k 2 , x  k ,  k   15 23 Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) 2  ĐS: x    k 2 , x   k ,  k    24 Giải phương trình (1+2sinx)2 cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) ĐS: x   25 Giải phương trình cos x  2sin x cos x  sin x  (Khối D_2009)     ĐS: x   k , x    k ,  k    18 Hết Chuyên đề: LG Lại Văn Long 11