Chuyen de BDT on thi DH

Chuyªn ®Ò : bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè Chøng minh bÊt ®¼ng thøc 1) a b c 3 ; a,b,c 0 b c c a a b 2 + + ≥ > + + + 2) 2 2 2 a b c a b c ; a,b,c 0 b c c a a b 2 + + + + ≥ > + + + 3) a b c 3; a,b,c lµ ba c¹nh tam gi¸c b c a c a b a b c + + ≥ + − + − + − 4) a b c d 2; a,b,c 0 b c c d d a a b + + + ≥ > + + + + 5) ( ) ( ) ( ) ( ) abc 1 a 1 b 1 c 1; a,b,c 0;1+ − − − < ∈ 6) b c c a a b a b c 3; a,b,c 0 : abc 1 a b c + + + + + ≥ + + + > = 7) 3 x y z x y z 1 1 1 2 1 ; x,y,z 0 y z x xyz     + +    + + + ≥ + >  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷        8) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ; a,b,c 0 b c a b c a + + ≥ + + > 9) 2 2 2 a b c 3 ; a,b,c 0 : a b c 3 2 1 b 1 c 1 a + + ≥ > + + = + + + 10) 2 2 2 2 a b c d 2 a,b,c, d 0 : a b c d 4 1 b 1 c 1 d 1 a + + + ≥ > + + + = + + + + 11) 2 2 2 2 a b c d 2 a,b,c, d 0 : a b c d 4 1 b c 1 c d 1 d a 1 a b + + + ≥ > + + + = + + + + 12) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d a b c d a,b,c, d 0 4 a b b c c d d a + + + + + + ≥ > + + + + 13) 2 2 2 2 2 2 a b c 1; a,b,c 0 : a b c 3 a 2b b 2c c 2a + + ≥ > + + = + + + 14) 2 2 2 3 3 3 a b c 1; a,b,c 0 : a b c 3 a 2b b 2c c 2a + + ≥ > + + = + + + 15) 2 2 2 a 1 b 1 c 1 3; a,b,c 0 : a b c 3 b 1 c 1 a 1 + + + + + ≥ > + + = + + + 16) 1 1 1 1; a,b,c 0 : abc 1 2 a 2 b 2 c + + ≤ ≥ = + + + 17) ( ) 3 a b c a b c ; a,b,c 0 2 b c c a a b + + + + ≥ > + + + 18) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c 9 ; a,b,c 0 4 a b c b c c a a b + + ≥ > + + + + + 19) 3 3 3 a b c 1; a,b,c 0 : a b c 1 a 2b b 2c c 2a + + ≥ > + + = + + + 20) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 3; a,b,c 0 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c + + ≥ > + − + − + − 21) 3 3 3 a b c a b c b c a c a b; a,b,c 0 : abc 2+ + ≥ + + + + + > = 22) 3 6 1 ; a,b,c 0 : abc 1 a b c ab bc ca + ≥ > = + + + + 23) 2 2 2 2 2 2 1 x 1 y 1 z 2; x,y,z 1 1 y z 1 z x 1 x y + + + + + ≥ > − + + + + + + 24) ( ) ab bc ca 1 a b c ; a,b,c 0 a b 2c b c 2a c a 2b 4 + + ≤ + + > + + + + + + 25) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z 1; x, y, z 0 x x y x z y y z y x z z x z y + + ≤ > + + + + + + + + + 26) 5 5 5 5 2a b 2b c 2c a 3 3; a,b,c 0,a b c 3+ + + + + ≤ ≥ + + = 27) ( ) 6 2 3 a b c 432ab c ; a,b,c 0+ + ≥ > 28) 3a 3b 3c 3d 28561 2 2 2 2 ; a,b,c, d 0 5b 5c 5d 5a 625      + + + + ≥ >  ÷ ÷ ÷ ÷      29) 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ; a,b,c, d 0,a b c d 1 a b b c c d d a      + + + + + + + + ≥ > + + + ≤  ÷ ÷ ÷ ÷      30) 2 1 2 1 2 1 2 1 2401 a b c d ; a,b,c,d 0,abcd 16 b c c d d a a b 16      + + + + + + + + ≥ > ≥  ÷ ÷ ÷ ÷      31) 3 3 2 2 1 1 1 20; a,b 0,a b 1 a b a b b a + + ≥ > + ≤ + 32) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 81 ; a,b,c 0 : a b c 1 ab bc ca 2 a b b c c a + + + + + ≥ > + + ≤ + + + 33) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 2a b a c a 2b c b a b 2c a c b c 3 6; a,b,c 0 : a b c 3+ + + + + + + + ≤ > + + = 34) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a 9 ; a,b,c 0 2abc 2 c ab a bc b ac + + + + + + + + ≥ > + + + 35) ( ) ( ) ( ) 8 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 1 ; a,b,c 0 : ab bc ca 1 12 a b b c c a + + ≥ > + + = + + + 36) 3 3 3 2 2 2 a b c 1 1 1 27 84; a,b,c 0 : a b c 3 ab bc ca b c a   + + + + + ≥ > + + ≤  ÷   37) ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 1 6 a b c d a b c d ; a,b,c, d 0 : a b c d 1 8 + + + ≥ + + + + > + + + = 38) 2 2 2 2 2 2 a b c a b c ; a,b,c 0 b c d b c a + + ≥ + + > 39) 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 a a b b b b c c c c a a a 2a bc b 2b ac c 2c ab; abc 0+ + + + + + + + ≥ + + + + + ≥ 40) 4 4 4 4 a b c d a b c d ; a,b,c, d 0 b c d a b c d a         + + + ≥ + + + >  ÷  ÷  ÷  ÷         41) a b c 3 ; a,b,c 0 : abc 1 2 b ac c ab a bc + + > + + + 42) 1 1 1 9 ; a,b,c 0 : a b c 1 1 ab 1 bc 1 ca 10 + + > + + = + + + 43) ( ) ab bc ca 1 1 1 2 a b c ; a,b,c 0 : a b c 1 c a b + + + + + + + > + + = 44) 3 3 3 a b b c c a a b c; a,b,c 0 : abc 1+ + + + > = 45) 2 2 2 a b c 3 ; a,b,c 0 : ab bc ca 1 2 a 1 b 1 c 1 + + > + + = + + + 46) 4 4 4 a b b c c a 1; a,b,c 0 : ab bc ca 3abc 2a b 2b c 2c a + + > + + + + + dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức. Chú ý các tính chất sau: ( ) 2 a b 0 ; 2 2 2 A B C 0+ + + ; 2 2 2 A B C 0 ,( 0)+ + + + > > ; Tích các số không âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đa về dạng hằng đẳng thức . Bài 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau: a) 2 2 2 a b a b 2 2 + + ữ b) 3 3 3 a b a b 2 2 + + ữ c) 2 2 a b 2ab+ c) 2 2 2 a b b ab bc ca+ + + + d) ( ) 2 2 2 a b c 3 2 a b c+ + + + + e) ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e+ + + + + + + f) 2 2 a b 1 ab a b+ + + + Bài 2 : Chứng minh các BĐT sau: a) 2 2 2 a b c 2ab 2ac 2bc+ + + b) 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 + + + c) 2 2 a 2b 2ab 2a 4b 2 0+ + + d) 2 2 a 5b 4ab 2a 6b 3 0+ + + > e) ( ) 4 4 2 2 x y z 1 2x xy x x 1+ + + + + Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh các BĐT sau: a) ( ) 2 2 2 ab bc ca a b c 2 ab bc ca+ + + + + + b) ( ) ( ) ( ) abc a b c b c a c a b + + + c) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 a b b c c a a b c 0+ + > d) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b 4abc a b c + + + + + e) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b a b b c b c c a c a 0 + + f) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b c abc a b c b a c c a b a b c 2abc+ + + + + + + + > + + + Bài 4 : Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 3 x 4 x 6 10 0 + > với mọi số thực x. Bài 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 P x xy y 3x 3y 1998= + + + Bài 6 : Cho abc=2 và 3 a 72> . CMR: 2 2 2 a b c ab bc ca 3 + + > + + . Bài 7 : CMR: a) Nếu 2 2 a b 2+ thì a b 2 + b) Với a b thì 3 2 2 3 2 a ab a b b b a b + c) Nếu x 1, y 1 thì x y 1 y x 1 1 xy + d) Nếu 0 x y z< . CM: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z + + + + + ữ ữ e) Nếu 2 2 2 a b c 1+ + = thì : 1 ab bc ca 1 2 + + . f) Cho a > 0. CMR: 5 2 a a 3a 5 0 + > Bài 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1]. CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c 1 a b b c c a+ + + + + Bài 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1 thì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 a 1 b 1 c+ + + bằng bình phơng của một số thực ( a, b, c là các số thực). Bài 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng : 2 2 2 2 2 a b c d ab bc cd d 0 5 + + + + = . Bài 11 : Cho các số dơng a, b, c. CMR: a b c 1 2 b c a c a b < + + < + + + . Bài 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện : ap 2bn cm 0 + = và 2 ac b 0 = . CMR: 2 mp n 0 . Bài 13 : Cho các số dơng thỏa mãn: a> b và c ab . CMR: 2 2 2 2 a c b c a c b c + + + + . dùng các bđt: ( ) 1 a 2, a 0 a + > ; ( ) a b 2, a.b 0 b a + > Bài 14 : Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dơng) a) ( ) 1 1 a b 4 a b + + ữ b) ( ) 1 1 1 a b c 9 a b c + + + + ữ c) ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c 9abc+ + + + d) bc ac ab a b c a b c + + + + e) a b c 3 b c a c a b 2 + + + + + f) 2 2 2 a b c a b c b c a c a b 2 + + + + + + + g) 4 4 4 9 a 2b c 2a b c a b 2c a b c + + + + + + + + + + ; h) a b c 1 1 1 bc ac ab a b c + + + + i) 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + + + Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) ( ) ( ) ( ) 4x 1 4 x P , x 0 x + + = > b) ( ) 2 x 2x 1 Q , x 2 x 2 + + = > + c) 2 2 1 T a 4 a a a 1 = + + + . Bài 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 4 2 x U x x 1 = + + . Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số . Bài 17 : Tìm GTNN của : a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f x, y x y 1 x 1 y 2= + + + b) ( ) 2 2 2 f x, y x y x 2xy 4x 1= + + c) ( ) 2 2 2 2 4y 4x 6xy f x, y x y + = + . Bài 18 : Tìm GTLN của : a) ( ) 2 f x 3 4x x= + b) ( ) ( ) ( ) f x x 3 15 x= c) ( ) 2 2 2 3x 4xy f x, y x y + = + Bài 19 : Tìm GTNN của : a) ( ) ( ) 2 x 4x 4 f x x 0 x + + = > b) ( ) ( ) 3 2 x 1 f x x 0 x + = > c) ( ) ( ) x 5 f x 0 x 1 1 x x = + < < d) ( ) f x tgx cot gx= + (x là góc nhọn) Bài 20 : Tìm GTLN của : a) ( ) ( ) ( ) f x 2x 1 3 5x= b) ( ) ( ) ( ) 3 f x 1 x 1 x= + c) ( ) 2 x f x x 2 = + d) ( ) ( ) 2 3 2 x f x x 2 = + e) ( ) ( ) ( ) 2 2 f x a x a x 0 x a= + Bài 21 : Tìm GTLN, GTNN của : a) ( ) ( ) f x 3 x 1 4 5 x 1 x 5= + b) ( ) ( ) 2 f x 3x 4 3 x 3 x 3= + c) ( ) ( ) o o f x 3sin x 4cos x 2 0 x 180= + + < < Bài 22 : Cho ( ) 2 2 x y 2, x 0, y 0+ = > > . Hãy tìm : a) GTNN của : 1 1 A x y = + b) GTLN của : ( ) B x y xy= + c) GTLN của : 2 C xy= Bài 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). Hãy tìm GTNN của : a) 2 2 A x y= + b) 4 4 B x y= + c) ( ) ( ) C x 1 4y 3= + + d) 2 2 D x y x 9 y y 9 x= + + + + + Bài 24 : Cho 2 số thực dơng a và b. Tìm GTNN của : a) ( ) ( ) ( ) a x b x y , x 0 x + + = > b) b y ax , x 0 x = + > c) ( ) b y ax , x a x a = + > + d) y 2 x 1 x 2 x 3= + + e) y x 1 x 2 x 3 x 4= + + + bất đẳng thức Côsi 0985.873.128 Câu 1: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: a + b + c = 3. CMR: 4 4 4 3 3 3 a b c a b c+ + + + Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định: 20 20 y sin x cos x= + Câu 3: Cho x, y là các số thực dơng thỏa mãn: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: x y P 1 x 1 y = + Câu 4: Cho a, b, c dơng thỏa mãn: abc=1. Tìm GTNN của: 2 2 2 2 2 2 bc ca ab P a b a c b a b c c a c b = + + + + + Câu 5: Cho x, y,, z là các số thực dơng. CMR: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 1 1 1 x y y z z x x y z + + + + + + + Câu 6: CMR nếu a,b,c 0 a b c 1 > + + = thì b c 16abc+ . Câu 7: CMR với mọi x, y, z dơng ta có: 2 2 2 1 1 1 x y z 2xyz x yz y zx z xy + + + + + + + Câu 8: Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x y z 3+ + . CMR: 2 2 2 x y z 3 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z + + + + + + + + + + Câu 9: CMR với a, b, c là các số thực thỏa mãn a+b+c=0 ta có: a b c a b c 8 8 8 2 2 2+ + + + Câu 10: Cho x, y là hai số thực dơng thỏa mãn: x y 1+ . Tìm GTNN của: 2 2 1 1 P 4xy xy x y = + + + Câu 11: Cho x, y, z dơng thỏa mãn: x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức: x y z P x 1 y 1 z 1 = + + + + + Câu 12: Cho x, y, z dơng thỏa mãn: x y z 1+ + . CMR: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z + + + + + . Câu 13: Cho x, y, z dơng thỏa mãn 1 1 1 4 x y z + + = . CMR: 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z + + + + + + + + . Câu 14: Cho x, y, z dơng thỏa mãn xyz=1. CMR: 3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x 3 3 xy yz zx + + + + + + + + Câu 15: Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ( ) 2 y 9 1 x 1 1 256 x y + + + ữ ữ . Câu 16: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: x + y + z = 0. Chứng minh rằng: x y z 3 4 3 4 3 4 6+ + + + + . Câu 17: Cho a, b, c là các số dơng thỏa mãn 3 a b c 4 + + = . CMR: 3 3 3 a 3b b 3c c 3a 3+ + + + + Câu 18: Cho x, y, z thỏa mãn: x y z 3 3 3 1 + + = . CMR: x y z x y z x y z y z x z x y 9 9 9 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 + + + + + + + + + + Câu 19: Cho hai số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x y 4+ . Tìm GTNN của: 2 3 2 3x 4 2 y A 4x y + + = + . Câu 20: Cho a 2, b 3,c 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab c 4 bc a 2 ca b 3 F abc + + = . Câu 21: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 x y z x y z y z x y z x + + + + . Câu 22: Cho a, b, c dơng. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c ab bc ca b c a + + + + . Câu 23: Cho x, y, z dơng. Chứng minh rằng: ( ) 4 4 4 3 3 3 x y z 1 x y z y z z x x y 2 + + + + + + + Câu 24: Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mãn: xyz = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 x y z 3 1 y 1 z 1 x 2 + + + + + . Câu 25: Chứng minh với ba số dơng a, b, c bất kì thì: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a + + + + Câu 26: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 2 2 2 3a 3b 3c 4abc 13+ + + Câu 27: Cho bốn số dơng a, b, c, d. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 a b c d 1 1 1 1 b c d a a b c d + + + + + + Câu 28: CMR với ba số dơng a, b, c tuỳ ý ta có: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc + + + + + + + + Câu 29: Cho x, y, z là các số thực dơng. Tìm GTNN của: x 1 y 1 z 1 P x y z 2 yz 2 zx 2 xy = + + + + + ữ ữ ữ Câu 30: Cho a, b, c dơng. Chứng minh rằng: 1) ( ) 2 2 2 2 4 a b a b c a b c b c a a b c + + + + + + + 2) 2 2 2 b c c a a b 1 1 1 a b c a b c + + + + + + + 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 27 b a b c b c a c a 2 a b c + + + + + + + 4) ( ) 2 2 2 a b c 2 ab ac+ + + 5) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 a b c 9 a b c 33 abc a b c + + + + + + + Câu 31: Cho a, b, c > 0 thoả mãn: abc 1 . CMR: 1 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a + + + + + + + + Câu 32: Cho a, b, c > 0: abc 1= . CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c 3 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 4 + + + + + + + + Câu 33: Cho a, b, c > 0: a b c 3+ + = . CMR: a b c ab bc ca+ + + + Câu 34: Cho a, b, c, d dơng. CMR: 3 3 3 3 1 1 1 1 a b c d abcd a b c d + + + + + + Câu 35: Cho a,b 0 : a b 2 + = . CMR: ( ) 2 2 2 2 a b a b 2+ Câu 36: Cho a, b, c > 0: a b c 1+ + = . CMR: 2 2 2 1 1 1 1 30 ab bc ca a b c + + + + + Câu 37: Cho a, b, c > 0: 2 2 2 a b c 1+ + = . CMR: 1 a b c 4 3 abc + + + C©u 38: Cho a, b, c > 0: a b c 1+ + = . CMR: 2 2 2 a b c 2 3abc 1+ + + ≤ . 1 2 + + . f) Cho a > 0. CMR: 5 2 a a 3a 5 0 + > Bài 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1]. CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c 1 a b b c c a+ + + + + Bài 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1