21 CHUN ĐỀ TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP VÀ CD&ĐH 2011 VẤN ĐỀ 19 : GÓC 1/. Góc giữa 2 vectơ : 1 2 1 2 1 2 . cos , . u u u u u u 1/. Tìm góc giữa 2 đt 1 và 2 : Tìm 2 vtcp 1 u và 2 u của 1 và 2 . 1 2 1 2 . cos . u u u u 2/. Tìm góc giữa 2 mp và : Tìm 2 vtpt : 1 n và 2 n của và 1 2 1 2 . cos . n n n n Chú ý : 1 2 n n 3/. Tìm góc giữa đường thẳng d và mp : Tìm vtcp u của d. Tìm vtpt n của u.n sin u . n Bài 1: Tính góc giữa đt d : 1 1 3 1 1 2 x y z và trục Ox. Đáp số : =45 0 Bài 2: Tính góc giữa đt d : x t y 1 2t z 2 t và mp : 2 1 0 x y z Đáp số : =30 0 Bài 3: Tính góc giữa 2 mp: : 3y-z-9=0 ; : 2y+z+1=0 Đáp số : =45 0 Bài 4: Tìm m để góc giữa 2 đt sau bằng 60 0 : 1 : 4 2 1 1 2 x y z và 2 : 3 1 2 1 x t y t z mt Đáp số : m = -1 VẤN ĐỀ 20: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 1/. Phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R : ( x –a ) 2 + (y-b) 2 +( z-c) 2 = R 2 (1) x 2 +y 2 +z 2 +2ax + 2by + 2cz +d = 0 (2) Với : 2 2 2 R a b c d Tâm I ( -a ; -b ; -c ) 2/. Vò trí tương đối giữa mc(S) và mp : Cho (S) : ( x –a ) 2 + (y-b) 2 +( z-c) 2 = R 2 có tâm I và bán kính R. mp : Ax+By+Cz+D=0 a/. ,d I R mp không có điểm chung với (S) b/. ,d I R mp tiếp xúc với (S) ( là tiếp diện ) c/. ,d I R mp cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có pt : 2 2 2 2 Ax+By+Cz+D=0 ( x -a ) + (y-b) +( z-c) = R 3/. Một số dạng toán về mặt cầu: a/. Viết pt mc (S) tâm I và tiếp xúc với mp , tìm toạ độ tiếp điểm H của và (S): R = d (I , ) pt (1) H= với qua I và b/.Mặt cầu có đường kính AB tâm I là trung điểm của AB,R= 1 (1) 2 AB pt c/. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( hay mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ) : Thế toạ độ A,B,C,D vào pt(1) hay pt(2) , , A B C hoặc a , b ,c d/.Mặt phẳng tiếp xúc (S) tại A (S) (tiếp diện ) + (S) có tâm I, qua A có vtpt IA pt ( ) e/. Cách tìm toạ độ tâm I / , bán kính R / của đường tròn giao tuyến của mp và (S) : (S) có tâm I , bán kính R , có vtpt n 2 / 2 ,R R d I Đường thẳng qua I , pt tham số . I / = Toạ độ I / Bài 1: Cho A(1,-1,2) , B(1,3,2) , C(4,3,2) , D(4,-1,2) 1/. Chứng minh : A,B,C,D đồng phẳng . 2/. Gọi A / là hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) , Viết pt mặt cầu (S) qua A / ,B,C,D Đáp số : A / (1,-1,0) ; ptmc(S) : x 2 +y 2 +z 2 -5x -2y -2z +1 = 0 3/. Viết pt tiếp diện của (S) tại A / . Đáp số : : 3x+4y+2z+1=0 Bài 2: Cho 4 điểm : A,B,C,D biết A(2,4,-1) , 4 OB i j k , C(2,4,3) , 2 2 OD i j k 1/. Chứng minh : ; ; AB AC AC AD AD AB . Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Đáp số : V= 4/3 2/. Viết pt tham số của đường vuông góc chung của 2 đt AB và CD . Tính góc giữa và (ABD). Đáp số : , 0, 4,2 a AB CD ; 1 sin 5 3/. Viết pt mc (S) qua A , B, C, D . Viết pt tiếp diện của (S) song song với (ABD) Đáp số : (S) : x 2 +y 2 +z 2 -3x -6y -2z +7 = 0 ; 1 : z + 21 1 2 =0 ; 2 : z - 21 1 2 =0 Bài 3: Cho mp : x+y+z-1=0 và đt d : 1 1 1 1 x y z 1/. Tính thể tích khối tứ diện ABCD với A,B,C là giao điểm của với Ox ,Oy ,Oz và D = d Oxy Đáp số : V = 1/6 2/. Viết pt mc (S) qua A,B,C,D , tìm toạ độ tâm I / và bán kính R / của đường tròn giao tuyến của (S) với mp (ACD). Đáp số : (S) : x 2 +y 2 +z 2 -x -y -z = 0 ; I / / 1 1 1 3 , , ; 2 2 2 2 R Bài 4: cho A(3,-2,-2) và mp : x+2y+3z-7 = 0 1/. Viết pt mc (S) tâm A và tiếp xúc với , tìm toạ độ tiếp điểm H của (S) và . Đáp số : (S) : (x-3) 2 +(y+2) 2 +(z+2) 2 = 14 ; H(4,0,1) 2/. Xét vò trí tương đối của (S) với mp(Oyz) . Đáp số : (S) cắt mp(Oyz) Bài 5: Cho mp : 2x-2y-z+9=0 và mc(S) : x 2 +y 2 +z 2 -6x +4y -2z-86 = 0 1/. Tìm toạ độ tâm I , tính bán kính R của (S) . Đáp số : I(3,-2,1) ; R = 10 2/. Chứng minh cắt (S) , viết pt đường tròn giao tuyến (C) của và (S).Tìm toạ độ tâm I / , bán kính R / của ( C ) . Đáp số : R / =8 ; I / (-1,2,3) Bài 6: Cho mc(S) : (x-5) 2 +(y+1) 2 +(z+13) 2 = 77 và 2 đt d 1 : 5 4 13 2 3 2 x y z d 2 : 1 3 1 2 4 x t y t z Viết pt mp tiếp xúc với (S) và song song với d 1 và d 2 . Đáp số : 4 6 5 128 0 4 6 5 26 0 x y z x y z *VẤN ĐỀ 21: CÁCH VIẾT PT ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG d CỦA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU d 1 , d 2 d 1 có vtcp a ,d 2 có vtcp b Lấy điếm A d 1 tọa độ điểm A theo t 1 Lấy điếm B d 2 tọa độ điểm B theo t 2 AB là đường vuông góc chung . 0 . 0 AB a AB a AB b ABb Giải hệ trên ta tìm được t 1 và t 2 tọa độ A và B Viết phương trình đường thẳng AB. Bài 1: Cho 2 đường thẳng : d 1 : 3 1 2 2 2 x t y t z t và d 2 : 2 4 1 3 1 2 x y z Viết pt đường vuông góc chung của d 1 và d 2 . Bài 2: Cho 2 đường thẳng : d 1 : 1 2 x t y t z t và d 2 : 1 2 3 x t y t z t 1/. Chứng minh : 1 2 d d và d 1 chéo d 2 . 2/. Viết pt đường vuông góc chung của d 1 và d 2 . . 21 CHUN ĐỀ TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP VÀ CD&ĐH 2011 VẤN ĐỀ 19 : GÓC 1/. Góc giữa 2 vectơ : 1 2 1 2 1 2 . cos , . u u u u u u 1/. Tìm góc. t 2 AB là đường vuông góc chung . 0 . 0 AB a AB a AB b ABb Giải hệ trên ta tìm được t 1 và t 2 tọa độ A và B Viết phương. 1 và 2 : Tìm 2 vtcp 1 u và 2 u của 1 và 2 . 1 2 1 2 . cos . u u u u 2/. Tìm góc giữa 2 mp và : Tìm 2 vtpt : 1 n và 2 n