Gọi M là giao điểm của BC và HN M là trung điểm của BC; của HC Tính chất hình bình hành Xét NAH có OA = ON = R R là bán kính đường tròn O cũng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp ta[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) x x Cho biểu thức a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P P b) Tính giá trị biểu thức P x = Câu 2: (1,5 điểm) Số tiền mua dừa và long là 25 nghìn đồng Số tiền mua dừa và long là 120 nghìn đồng Hỏi giá dừa và giá long là bao nhiêu ? Biết dừa có giá và long có giá Câu 3: (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 – = (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 và x2 cho x12 + x22 = Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không tâm O Điểm A chuyển động trên đường tròn (O) cho tam giác ABC có góc nhọn Kẻ các đường cao BE và CF tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) Chứng minh rằng: a) BCEF là tứ giác nội tiếp b) EF.AB = AE.BC c) Độ dài đoạn thẳng EF không đổi A chuyển động Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y thỏa mãn x + y 3 xy Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy nào ? 2x y Hết Họ và tên thí sinh: .Số báo danh: (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2015 - 2016 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Môn: TOÁN Câu Ý (2,5 đ) a (1,5đ) Nội dung x 0 x 0 x 0 x 0 x 4 Điều kiện xác định: Điểm 0,5 Rút gọn: x x 4 P x ( x 2)( x 2) P (1,0đ) (1,5đ) 0,25 P x 2 ( x 2)( x 2) 0,25 P x ( x 2)( x 2) 0,25 P b 0,25 1 P x Vậy x 2 Với x = (tmđk) thay vào biểu thức P 1 1 2 2 Ta được: P = Vậy với x = thì P = Gọi x (nghìn đồng) là giá dừa và y (nghìn đồng) là giá long Điều kiện: < x < 25; < y < 25 Vì số tiền mua dừa và long là 25 nghìn đồng Nên ta có phương trình x + y = 25 (1) Do số tiền mua dừa và long là 120 nghìn đồng, đó ta có phương trình 5x + 4y = 120 (2) Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: x y 25 5x 4y 120 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) 5x 5y 125 x 20 (tmdk) 5x 4y 120 y 5 a (2,0 đ) (1,0đ) 0,25 Vậy giá dừa là 20 nghìn đồng và giá long là nghìn đồng Thay m = vào phương trình (1), ta được: x2 + 2(2 + 1)x + 22 – = x2 + 6x + = 0,25 Ta có: ' 32 - = > 0,25 Suy phương trình có nghiệm phân biệt 0,25 x1 = - - 2; x 2 Vậy với m = thì phương trình (1) có tập nghiệm là: 0,25 S= / b Ta có: = (m + 1)2 – m2 + = m2 + 2m +1 – m2 + (1,0đ) = 2m + Để phương trình (1) có nghiệm ' 0 2m 0 m (4) 0,25 2; 2 x1 x 2(m 1) (2) x x m 3(3) Theo hệ thức vi-ét, ta có: 2 Theo bài ra, ta có: x1 x2 4 0,25 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (*) 2(m 1) 2(m 3) 4 Thay (2) và (3) vào (*), ta được: 4(m + 1)2 – 2(m2 – 3) = 4m2 + 8m + – 2m2 + – = m2 + 4m + = 0,25 Phương trình có dạng: a - b +c = - + = PT có nghiệm: m1 = - 1(TMĐK 4); m2 = - (KTMĐK 4) Vậy với m = - thì phương trình (1) có nghiệm x1; x2 cho 0,25 x12 + x22 = 4 Vẽ (3,0đ) hình A đúng 0,5 E F O H B C M N (4) a 0,25 Ta có: BEC 90 (gt) 0,25 BFC 900 (gt) Xét tứ giác AFDE có BEC BFC 90 Tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn (Vì có hai đỉnh E và F kề 0,5 b cùng nhìn cạnh BC góc 90 ) Do tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (cm câu a) BCE BFE 1800 (Tính chất tứ giác nội tiếp) Mà EFA BFE 180 (Vì hai góc kề bù) 0,25 0,25 Suy ra: AFE BCE Xét EFA và BCA có: BAC chung AFE BCE (cm trên) EFA BCA (g.g) EF AE EF.AB AE.BC CB AB c Ta có: HEA 90 (gt) ; AFH 90 (gt) Xét tứ giác AFDE có HEA AFH 180 Tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn (Vì có tổng góc đối diện 1800) AH Do đó r bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF là r = (1) Vẽ đường kính AN đường tròn (O) Khi đó: ACN 90 (góc nội tiếp chắn đường tròn) NC AC mà BE AC (gt) NC / /BE hay NC / /BH (2) ABN 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) NB AB mà CF AB (gt) NB / /CF hay NB / /CH (3) Từ (2) và (3) suy ra: Tứ giác BHCN là hình bình hành Gọi M là giao điểm BC và HN M là trung điểm BC; HC (Tính chất hình bình hành) Xét NAH có OA = ON = R (R là bán kính đường tròn (O) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 0,25 0,25 (5) MH = MN (cmt) OM là đường trung bình NAH 0,25 OM AH (4) Từ (1) và (4) suy ra: OM = r Mặt khác: EFA BCA (cm câu b) EF AE AF r EF r r.BC hay EF BC AB AC R BC R R (5) EF OM.BC R không đổi (vì OM; BC và R không Từ (4) và (5) đổi O, B, M, C cố định) (1,0đ) Vậy Độ dài đoạn thẳng EF không đổi A chuyển động Ta có: xy 1 1 2 1 1 x y (x y) x 2 y 2x y 1 x 2 x =1+2+ = y y (BĐT côsi và x + y 3 ) x x x 1 1 y y y 2 2 x y 3 Dấu xẩy và xy 2x y x= và y = (đpcm) Vậy Hồ Văn Oai giáo viên trường THCS quỳnh Xuân, Thị xã Hoàng Mai, Nghệ an 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (6)