Ngêi thÇy khi híng dÉn cho häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy ph¶i dùa trªn c¸c quy t¾c chung lµ: yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n, quy t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp phơng trình, phân loạ[r]
(1)Chuyên đề: RÌn kü n¨ng gi¶i bµi tËp to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh - hÖ ph¬ng tr×nh I/ Đặt vấn đề: Nh chúng ta đã biết, từ ngày cắp sách đến trờng, học sinh đã đợc giải phơng trình Đó là phơng trình đơn giản dới dạng ®iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng §èi víi häc sinh líp cao th× tÝnh phøc t¹p cña phơng trình dần đợc nâng lên + Đối với lớp 1, lớp thì phơng trình đơn giản, thờng là dới dạng ®iÒn vµo « trèng: +3=7 + §èi víi häc sinh líp th× ph¬ng tr×nh phøc t¹p h¬n: x + + = + §èi víi häc sinh líp 4, 5, ph¬ng tr×nh cã d¹ng: x:4=8:2 x x + = 33 (x – 12) x = 16 Tất các loại Toán trên, mối quan hệ các đại lợng đề toán đợc gắn kết với các mối quan hệ toán học Các đại lợng là số tự nhiên Đặc biệt là các phơng trình đợc viết sẵn học sinh chØ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh lµ hoµn thµnh nhiÖm vô Đối với học sinh lớp 8, lớp trở lên các đề toán giải phơng trình không còn đơn giản nh mà nó là các dạng toán có lời, vào có để lập phơng trình kết quả, đáp số đúng không phụ thuộc vào kỹ gi¶i ph¬ng tr×nh mµ cßn phô thuéc vµo viÖc lËp ph¬ng tr×nh Việc giải các bài toán cách lập phơng trình học sinh THCS lµ mét viÖc lµm míi mÎ §Ò bµi cho kh«ng ph¶i lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh có sẵn mà là đoạn văn mô tả mối quan hệ các đại lợng, học sinh phải chuyển đổi đợc mối quan hệ các đại lợng đợc mô tả lời văn sang mèi quan hÖ to¸n häc H¬n n÷a, néi dung cña c¸c bµi to¸n nµy, hÇu hÕt gắn bó với các hoạt động thực tế ngời, xã hội tự nhiên,… Do đó quá trình giải học sinh thờng quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lí VD: ẩn số là ngời, đồ vật, … phải nguyên dơng tìm đáp số âm không nguyên là vô lí ChÝnh v× vËy, ngêi thÇy kh«ng chØ truyÒn thô cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc nh SGK mµ cßn d¹y cho häc sinh c¸ch gi¶i bµi tËp Ngêi thÇy híng dÉn cho häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy ph¶i dùa trªn c¸c quy t¾c chung lµ: yªu cÇu vÒ gi¶i mét bµi to¸n, quy t¾c gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp phơng trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ các đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng Đây là bớc đặc biệt quan trọng và khã kh¨n víi häc sinh II Giải vấn đề Mét nh÷ng ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n trªn lµ dùa vµo quy t¾c chung Néi dung cña quy t¾c gåm c¸c bíc: - Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh) + Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn + Dùng ẩn số và các số liệu đã biết để biểu thị các số liệu có liªn quan, dÉn gi¶i c¸c bé phËn thµnh ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh) - Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (hÖ ph¬ng tr×nh) (2) - Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại, trả lời Mặc dù có quy tắc trên song qu¸ tr×nh híng dÉn gi¶i bµi to¸n nµy cÇn cho häc sinh vËn dông theo nh÷ng biÖn ph¸p sau: * BiÖn ph¸p 1: Lêi gi¶i kh«ng ph¹m sai lÇm vµ kh«ng cã sai sãt nhá: §Ó häc sinh kh«ng m¾c sai lÇm nµy ngêi gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc sinh hiểu đề toán và quá trình giải không có sai sót kiến thức, kỹ tính Giáo viên phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu với điều kiện ẩn xem có thích hợp không? VÝ dô 1: MÉu cña mét ph©n sè gÊp lÇn tö sè cña nã NÕu t¨ng c¶ tö và mẫu lên đơn vị thì đợc Phân số Tính phân số đã cho (SGK §¹i sè 8) Gi¶i Gọi tử số phân số đã cho là x (x>0;x N) Th× mÉu sè cña ph©n sè lµ 4x Theo bµi ta cã ph¬ng tr×nh: x+ = x +2 x = VËy tö sè lµ 1, mÉu sè lµ Vậy phân số đó là * BiÖn ph¸p 2: Lêi gi¶i to¸n ph¶i cã c¨n cø chÝnh x¸c Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ ẩn và kiện đã cho làm bật đợc ý phải tìm Nhờ mối quan hệ các đại lợng bài toán thiết lập phơng trình (hệ phơng trình), từ đó tìm đợc giá trị ẩn số Muốn vậy, ngời giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn? Đâu là điều kiện? Có thoả mãn điều kiện hay không? Từ đó có thể xây dựng đợc cách gi¶i? VÝ dô 2: Hai c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt h¬n kÐm 4m TÝnh chu vi khu đất đó biết S = 1200m2 (SGK §¹i sè 9) Bµi to¸n hái chu vi h×nh ch÷ nhËt Häc sinh thêng lµ bµi to¸n hái g× th× gäi lµ Èn NÕu ë bµi to¸n nµy gäi chu vi h×nh ch÷ nhËt lµ Èn th× bµi to¸n khã cã lêi gi¶i Gi¸o viªn cÇn híng dÉn cho häc sinh ph¸t triÓn s©u kh¶ n¨ng suy diÔn: Muèn tÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ta cÇn biÕt c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt Gi¶i Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (m,x > 0) Th× chiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt lµ x + V× diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt lµ 1200m2 Ta cã ph¬ng tr×nh sau: x(x + 4) = 1200 x2 + 4x – 1200 = x1 = 30; x2 = -34 < (lo¹i) VËy chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt lµ 30m ChiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt lµ 34m VËy chu vi lµ 128m * Biện pháp 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện Giáo viên phải hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả năng, chi tiết nào, rèn luyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ cha (3) Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm, cạnh đáy giảm 2dm, thì diện tích tăng thêm 12dm Tính chiều cao và cạnh đáy Gi¸o viªn lu ý cho häc sinh c«ng thøc: S= cạnh đáy x chiều cao Gi¶i Gọi độ dài cạnh đáy là x (dm) (x > 0) Th× chiÒu cao lµ x (dm) Nªn diÖn tÝch lóc ®Çu lµ : x x (dm) (x-2)( x+3) DiÖn tÝch lóc sau lµ: Theo bµi ta cã ph¬ng tr×nh: (x - 2)( x + 3) - x x = 12 4 x = 20 (TM§K) Vậy cạnh đáy có độ dài là 20dm Chiều cao có độ dài là 20 = 15dm * Biện pháp 4: Lời giải bài toán phải đơn giản VÝ dô 4: Võa gµ võa chã Bã l¹i cho trßn Ba m¬i s¸u Mét tr¨m ch©n ch½n Hái cã mÊy gµ, mÊy chã? (Bµi to¸n cæ ViÖt Nam) Gi¶i Gäi sè gµ lµ x (con) (x nguyªn d¬ng) Sè chã lµ 36 - x (con) Sè ch©n gµ lµ 2x (ch©n) Sè ch©n chã lµ 4(36 - x) (ch©n) Theo bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 2x + 4(36 - x) = 100 x = 22 VËy sè gµ lµ 22 con, sè chã lµ 14 Với cách giải trên, bài toán ngắn gọn, dễ hiểu, phù hợp với trình độ cña häc sinh * BiÖn ph¸p 5: Lêi gi¶i ph¶i tr×nh bµy khoa häc VÝ dô 5: ChiÒu cao cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 9,6m vµ chia c¹nh huyền thành đoạn kém 5,6m Tính độ dài cạnh huyền tam gi¸c (§¹i sè 9) Trớc giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thøc: AH2 = BH.CH Gi¶i Gọi độ cạnh BH là x (x > 0) §é dµi c¹nh CH lµ: x 5,6 (m) Ta cã pt: x(x + 5,6) = 9,62 (4) x = 7,2 (TM§K) Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m) * Biện pháp 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại Gi¸o viªn cÇn rÌn cho häc sinh cã thãi quen sau gi¶i xong cÇn thö lại kết và tìm hiểu hết các nghiệm bài toán, là phơng tr×nh bËc hai, hÖ ph¬ng tr×nh VÝ dô 6: Mét tµu thuû ch¹y trªn khóc s«ng dµi 80km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt giê 20 phót TÝnh vËn tèc tµu thuû níc yªn lÆng BiÕt vËn tèc dßng níc lµ 4km/h Gi¶i Gäi vËn tèc tµu thuû níc yªn lÆng lµ x (km/h) (x>0) VËn tèc tµu thuû xu«i dßng lµ x + (km/h) VËn tèc cña tµu thuû ngîc dßng lµ x - (km/h) Theo bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 80 80 25 + = x+4 x − 5x2 – 96x – 80 = x1= − (kh«ng tho¶ m·n) 10 x2 = 20 (nhËn) VËy vËn tèc tµu thuû níc yªn lÆng lµ 20 km/h * Ph©n lo¹i c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh 1/ Loại bài toán chuyển động 2/ Loại bài toán có liên quan đến số học 3/ Loại bài toán suất lao động 4/ Lo¹i bµi to¸n vÒ tØ lÖ chia phÇn 5/ Loại bài toán có liên quan đến hình học 6/ Lo¹i to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng 7/ Lo¹i bµi to¸n cã néi dung LÝ, Ho¸ 8/ Lo¹i to¸n cã chøa tham sè 9/ Lo¹i to¸n thèng kª, m« t¶ Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh gi¶i mét sè bµi to¸n Dạng toán chuyển động: - Bài toán 1: Quãng đờng AB dài 270km Hai ô tô cùng khởi hành lúc từ A đến B Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 12km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc xe (§¹i sè 9) Trong bài toán này cần hớng dẫn học sinh xác định đợc vận tốc xe, từ đó xác định thời gian hết quãng đờng xe Gi¶i Gäi vËn tèc xe thø nhÊt lµ x (km/h) (x > 12) VËn tèc xe thø hai lµ x - 12 (km/h) Theo bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 270 270 − =0,7 x −12 x x1 = -62,3 < (lo¹i) x2 = 74, (nhËn) VËy vËn tèc xe thø nhÊt lµ 74,3 km/h vËn tèc xe thø nhÊt lµ 62,3 km/h Trong bµi to¸n nµy, häc sinh cÇn ghi nhí c«ng thøc: S = v.t Dạng bài toán liên quan đến số học: - Bµi to¸n 2: T×m sè cã ch÷ sè BiÕt r»ng nÕu thªm ch÷ sè vµo chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì đợc số lớn số ban đầu 10 Và tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị là (5) Gi¶i Gọi chữ số hàng chục số đã cho là x (x N*, < x 7) Thì chữ số hàng đơn vị là - x Số đã cho có dạng: x(7 - x) = 10x + - x = 9x + Sè míi cã d¹ng: x0(7 - x) = 100x + - x = 99x + Ta cã ph¬ng tr×nh: (99x + 7) - (9x + 7) = 180 x = (TM§K) Vậy số đã cho là 25 Giáo viên lu ý: Với dạng này học sinh phải hiểu đợc mối liên hệ các đại lợng, đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,… ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c Dạng toán suất lao động - Bài toán 3: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết Trong tháng sau, tổ vợt mức 10%, tổ vợt mức 15%, nên hai tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Tính xem tháng đầu tiên tổ sản xuất đợc bao nhiªu chi tiÕt m¸y Gi¶i C¸ch 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ sản xuất đợc tháng đầu (0<x<400) Tổ sản xuất đợc 400 - x (chi tiết) Tháng sau tổ sản xuất đợc 110 x (chi tiết) Tổ sản xuất đợc: 100 115(400 − x) (chi tiÕt) 100 Ta cã ph¬ng tr×nh: 110 x + 115( 400 − x) 100 100 = 448 x = 240 (TM§K) Trả lời: Tháng đầu tổ sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ sản xuất đợc 160 chi tiết máy C¸ch 2: Gọi x là số chi tiết máy tổ sản xuất đợc tháng đầu (0<x<400) Số chi tiết tổ làm đợc tháng đầu là y chi tiết (0<y<400) Ta cã ph¬ng tr×nh: x + y = 400 (1) Số chi tiết máy làm tăng đợc tổ là: 10 x chi tiết 100 15 y chi tiÕt 100 Số chi tiết máy làm tăng đợc tổ là: Số chi tiết máy làm tăng đợc tổ là: 448 - 400 = 48 chi tiết Ta cã ph¬ng tr×nh: 10 x + 15 y = 48 (2) 100 100 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x+ y=400 10 x 15 y + =48 100 100 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ta cã: x = 240; y= 160 Trả lời: Tháng đầu tổ sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ sản xuất đợc 160 chi tiết máy Với loại toán liên quan đến tỉ lệ %, giáo viên cần gợi mở để học sinh hiểu rõ chất và nội dung bài toán để lập đợc phơng trình D¹ng to¸n vÒ c«ng viÖc lµm chung, lµm riªng - Bµi to¸n (SGK §¹i sè 8) (6) Hớng dẫn: Coi toàn công việc là đơn vị công việc Gi¶i Gọi số ngày đội làm riêng sửa xong mơng là x ngày (x>0) Gọi số ngày đội làm riêng sửa xong mơng là y ngày (y>0) Trong ngày: Đội làm đợc (cv) x Đội làm đợc y (cv) (cv) 24 Ta cã ph¬ng tr×nh: + x y Hai đội làm đợc: = 24 (1) Do suất đội làm đội 2, nên ta có phơng trình: = x y (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ 1 + = x y 24 = x 2y ⇒ ¿ x =40 y=60 ¿{ ¿ D¹ng to¸n cã néi dung LÝ, Ho¸ - Bµi to¸n: Cho mét lîng dung dÞch chøa 10% muèi NÕu pha thªm 200g nớc thì thu đợc dung dịch 6% Hỏi có bao nhiêu g dung dịch đã cho (SGK 8) Gi¶i: Gọi khối lợng dung dịch đã cho là x(g), (x>0) Lîng muèi dung dÞch lµ: 10 x = x (g) 100 10 Lîng dung dÞch muèi lµ : x+200(g) x TØ sè gi÷a muèi vµ lîng dung dÞch míi lµ: Theo bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 10( x +200) x = 10(x +200) 100 X=300(TM§K) Vậy khối lợng dung dịch đã cho là: 300g Với dạng này học sinh phải nắm đợc các công thức Vật lý, Hoá học, từ đó lập phơng trình, hệ phơng trình D¹ng to¸n cã chøa tham sè Mét h×nh trßn cã diÖn tÝch S = 3,14 R2.(R lµ b¸n kÝnh) a Khi R t¨ng lÇn th× S t¨ng mÊy lÇn Khi R gi¶m lÇn th× S gi¶m mÊy lÇn b.Khi S t¨ng lÇn th× R t¨ng mÊy lÇn Khi S gi¶m 16 lÇn th× R gi¶m mÊy lÇn Gi¶i Khi R1 = a th× S1 = 3,14 a2 a NÕu R t¨ng lÇn: R2 = 2R1 = 2a S2 = 3,14 (2a)2 = 4.3,14a2 S2 = 4S1 VËy S t¨ng lªn lÇn (7) b NÕu S t¨ng lªn lÇn tøc lµ S4 = 4S1 3,14R42 = 4.3,14R1 R4 = R1 R t¨ng lÇn III KÕt luËn: Trªn ®©y lµ nh÷ng d¹ng to¸n thêng gÆp ë ch¬ng tr×nh THCS 8, Mçi dạng toán có đặc điểm khác nhau, việc chia dạng trên chủ yếu dựa vào lời văn nhng chúng chung các bớc giải bản, đó là các loại phơng trình, hệ phơng trình các em đã đợc học THCS Những ví dụ trên kh«ng cã ý lµ híng dÉn c¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh mµ chñ yÕu gợi ý giúp các em xây dựng đợc phơng trình để gặp đợc các dạng đó các em biết cách làm Trªn ®©y lµ mét sè ý kiÕn cña t«i vÒ rÌn luyÖn kü n¨ng b»ng gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh mµ c¸c em thêng gÆp Tuy nhiên còn nhiều thiếu sót và hạn chế, mong nhận đợc góp ý các đồng nghiệp để tôi có phơng pháp dạy tốt nữa, giúp học sinh tiếp thu bài tèt h¬n T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n! Giao Hµ, ngµy 30 th¸ng n¨m 2005 Ngêi viÕt (8)