Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600.. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách [r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2014 Môn thi : TOÁN; khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ……………………………………………………………………… Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3mx (1), với m là tham số thực a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m=1 b Cho điểm A(2;3) Tìm m để đồ thị (1) có hai cực trị B và C cho tam giác ABC cân A Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình sin x cos x 2 s in2x x2 3x 1 dx Câu 3: (1,0 điểm) Tính tích phân x x Câu 4: (1,0 điểm) a Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1- i) z =1 - 9i Tìm môđun z b Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu và hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại Câu 5: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;-1) và đường x y 1 z Viết phương trình mp qua A và vuông góc với d Tìm tọa thẳng d: độ hình chiếu vuông góc A trên d Câu 6: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C và mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) Câu 7: (1,0 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M(-3;0) là trung điểm cạnh AB, điểm H(0;-1) là hình chiếu vuông góc B trên AD và điểm G( ;3) là trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ các điểm B và D Câu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình y x y x 2 x y 1 y y 3x y 2 x y x y x, y Câu 9: (1,0 điểm)Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a+b)c >0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức b c a a c a b P = bc + …………………………………… HẾT …………………………… (2) GỢI Ý BÀI GIẢI Câu 1: a) Tập xác định là R, y' = 3x2-3, y' = x = -1 hay x = Hàm số đạt cực trị tại: A ( -1 ; ) hay B ( ; -1 ) lim y lim y x và x Bảng biến thiên x y’ y + -1 CĐ + + + -1 CT Hàm số đồng biến trên khoảng (∞; -1) và (1; +∞) Hàm số nghịch biến trên (-1;1) y" = 6x; y” = x = Điểm uốn I (0; 1) Đồ thị : y -1 -1 x -4 b) y’ = 3x2 – 3m = x2 = m hàm số có hai cực trị m>0 Tam giác ABC cân A AB2 = AC2 m m m 3m m 2 = m m m 3m m m m 8m m 8m m 0 m m 2m 1 0 (vì m>0) sin x cos x 2 s in2x Câu 2: sin x 2 cos x 2s inxcosx=0 sin x cos x sin x sin x (loai) 3 sin x 2 cos x 0 x k 2 cosx=- 2 x 3x 2x I dx dx x ln x x 12 x x Câu 3: =1 x x = = + ln3 Câu 4: a) Đặt z = a + bi (a, b ) 2a 2bi a bi ia bi 1 9i 2(a + bi) + 3(1 – i)(a – bi) = - 9i 5a 3b 1 a 2 5a 3b b 3a i 1 9i 3a b 9 b 3 z 13 Vậy: 0 (3) b) Số cách chọn hộp sữa từ 12 hộp C12 = 220 1 Số cách chọn hộp có loại C5 C4C3 = 60 Xác suất để hộp sữa chọn có loại là : 60/220 = 3/11 Câu 5: a d n a) Gọi () là mặt phẳng qua A (1; 0; -1) và () d Ta có : = (2; 2; -1) pt () : 2(x – 1) + 2(y – 0) – 1(z + 1) = 2x + 2y – z – = b) Hình chiếu A lên d là giao điểm I () và d A (d) x = 2t + 1; y = 2t – 1; z = -t A () 2(2t + 1) + 2(2t – 1) + t – = t = I (5/3; -1/3; -1/3) Câu 6: Gọi H trung điểm AB thì A’H (ABC) Hình chiếu vuông góc A’C lên (ABC) là HC Vậy góc A’C và (ABC) là A 'CH 60 A 'H a 3a 3 2 A’HC vuông tan600 = HC A’H = 3a a 3a 3 VLT = A’H dt (ABC) = Cách 1: Do AB cắt (A’AC) A mà H là trung điểm AB nên d(B, (A’AC)) = 2d(H, (A’AC)) Vẽ HI AC, Vẽ HK A’I (1) Do AC (A’IH) AC HK (2) (1), (2) HK (A’AC 3a a HA '.HI 3a 2 A 'I 13 9a 3a 16 A’HI vuông HK = 3a Vậy d(B, A’AC) = 2HK = 13 B/ A/ B H A I 3a 3 3VA '.ABC VLT 3a dt(A 'AC) A ' I.AC a 39 13 a 2 Cách 2: d(B, (A’AC)) = 2 Câu 7: Phương trình đường tròn đường kính AB: (x 3) y 10 I(a; b) là giao điểm AC và BD GC 2GI C 2a;9 2b B 4a;9 4b D 6a;6b HA 4a 4; 4b HD 6a 2;6b cùng phương nên a = 2b -3 2 A 8b 16; 4b A (C) 8b 13 4b 10 mà b 2 a 1 B( 6;1), D(8;3) (loại vì đó H không là hình chiếu B lên AD) b a 0 B( 2;3), D(2;0) hay Câu 8: C/ C (4) (1 y) x y x 2 (x y 1) y (1) 2y 3x 6y 2 x 2y 4x 5y (2) ĐK : x – y 0, y 0, x – 2y 0; 4x – 5y – (1 y) x y (x y 1) (y 1) (x y 1) y 0 (1) (1 y)(x y 1) (x y 1)(1 y) 0 ( x y 1) (x y 1)(1 y) 0 x y 1 y (1 – y) 1 0 x y 1 y (1 – y) (x – y – 1) (1–y)(x–y–1) = y=1 hay x = y + y = 1, (2) – 3x = x 4x – 3x = x = x = y + 1, (2) 2y2 + 3y – = 1 y 1 y 2y2 + 3y – = 1 y (A) y 2y 3y 0 Cách 1: (A) 2(1 y) 2y y (2y 1) y y(2y 1) 0 1 y y y (2y 1)( y y) 0 2 y 2y 1 y y 0 y 2y 1 0 (VN) y y(y 0) y y 0 y y 0 y Nếu y 1 1 y (loại) 2 1 1 x 2 Vậy hệ có nghiệm (3;1) và Cách 2: (A) 2y y 2 1 y 1 y 1 1 ; 2 (*) : Xét f (t) 2t t, t 0 , f (t) 4t nên f(t) đồng biến trên (*) y 1 y y y y 0 y 1 1 y (loại) 2 1 1 x 2 Vậy hệ có nghiệm (3;1) và 1 1 ; Nếu Câu 9: Từ điều kiện ta có c > và a + b > a/c b/c x y P b a a b y 1 x 2(x y) a b 1 x 0, y 0 c c c c c c với Ta có x 2x y x y Dấu “=” xảy x = hay x = y + (5) y 2y Ta có x x y Dấu “=” xảy y = hay y = x + 2(x y) 2t P (x y) 2(x y) t 2t với t x y f (t) Xét 2t , f (t) 2 t 2t (t 1) 2t t (loai) f (t) 0 4t (t 1) t 1 f (1) f (t) f (1) Từ bảng biến thiên ta có Vậy P có giá trị nhỏ là a 0 x 0 x 1 b c b 0 y 1 y 0 a c ………………………………… HẾT …………………………… (6) ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn : TOÁN; khối D Câu (2,0 điểm): Cho hàm số y = x3 – 3x – (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc Câu (1,0 điểm) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z - z )(1 + i) – 5z = 8i – Tính môđun z (x 1) sin 2xdx Câu (1,0 điểm) : Tính tích phân I = Câu (1,0 điểm): a) Giải phương trình: log2(x – 1) – 2log4(3x – 2) + = b) Cho đa giác n đỉnh, n N và n Tìm n biết đa giác đã cho có 27 đường chéo Câu (1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – = và mặt cầu (S) : x + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm (C) Câu (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A là điểm D (1; -1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC Câu (1,0 điểm): Giải bất phương trình: (x 1) x (x 6) x x 7x 12 Câu (1,0 điểm): Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện £ x £ 2; £ y £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x 2y y 2x P = x 3y y 3x 4(x y 1) ………………… HẾT Bài giải …………………… (7) Câu 1: a) Tập xác định là R y’ = 3x2 – 3; y’ = x = 1 x y’ y -1 + 0 CĐ lim y x và lim y x + + + -4 CT Hàm số đồng biến trên (∞; -1) ; (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (-1; 1) Hàm số đạt cực đại x = -1; y(-1) = 0; hàm số đạt cực tiểu x = 1; y(1) = -4 y" = 6x; y” = x = Điểm uốn I (0; -2) Đồ thị : y -1 x -2 -4 b) y’ (x) = 3x2 - = x = 2 y(-2) = -4; y(2) = Vậy hai điểm M là (-2; -4) và (2; 0) Câu 2: Giả thiết (3i – 2)z – (1 + i) z = 8i – Gọi z = a + ib (3i – 2)(a + ib) – (1 + i) (a – ib) = 8i – - 3a – 4b + (2a – b)i = 8i – 3a + 4b = và 2a – b = a = và b = -2 Vậy môđun z là : 13 / Câu 3: I x 1 s in2xdx Đặt u = x+1 du = dx dv = sin2xdx, chọn v = – cos2x /4 I= ( x 1) cos x /4 1 ( x 1) cos x sin x cos xdx 20 = 1 0 4 = Câu : a) log2(x – 1) – 2log4(3x – 2) + = log2(x – 1) – log2(3x – 2) = -2 x > và 4(x – 1) = 3x – x = x > và log2 b) Số các đoạn thẳng lập từ n đỉnh là Cn Số cạnh đa giác n đỉnh là n Vậy số đường chéo đa giác n đỉnh là: Cn -n n Theo đề bài ta có C -n = 27 n n 1 n 27 x 1 log 3x (8) n 3n 54 0 n = hay n = -6 (loại) Câu 5:(S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = I (3; 2; 1); R = 11 = (P) : 6x + 3y – 2z – = |18 1| 21 3 36 d(I, (P)) = (P) cắt (S) theo đường tròn (C) n là đường thẳng qua I (3; 2; 1) và nhận P = (6; 3; -2) là vectơ phương Tâm đường tròn (C) là giao điểm và (P) thỏa hệ phương trình : x 3 6t (1) y 2 3t (2) z 1 2t (3) 6x 3y – 2z – Thế (1), (2), (3) vào (4) ta : 6(3 + 6t) + (2 + 3t) – 2(1 – 2t) – = 49t + 21 = t = 3 x 3 3 y 2 7 13 z 1 Câu : Gọi I là trung điểm BC SI BC SI mp(ABC) BC a ABC vuông cân AI = S J a a a2 C A a S(ABC) = 2 I 1 a a a3 SI.SABC B 24 VS.ABC= Kẻ IJ vuông góc với SA, SIA vuông góc I, IJ là khoảng cách SA và BC 1 1 2 2 a 3a a IJ SI AI 4 IJ = Câu : Tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình : 3x 2y 0 x 2y 0 A (1; 3) Phương trình đường thẳng AD : x = Gọi là góc hợp AB và AD cos = 13 Phương trình AC có dạng : a(x – 1) + b(y – 3) = Gọi b là góc hợp AD và AC b = a 3 2 cosb = a b = 13 4a2 = 9b2 Chọn b = a = (loại a = ) Phương trình AC : -3x + 2y – = (9) Gọi g là góc hợp đường tiếp tuyến A với đường tròn ngoại tiếp ABC và đường thẳng AC 3a 2b 2 cosg = 13 a b ; cosB = cosg Phương trình BC có dạng : a(x – 1) + b(y + 1) = cosB = cosg 5(9a2 + 4b2 – 12ab) = a2 + b2 44a2 + 19b2 – 60ab = 19 Chọn b = a = hay a = 22 Vậy phương trình BC là : (x – 1) + y + = x + 2y + = 19 hay 22 (x – 1) + y + = 19x + 22y + = Câu : Với Đk : x - thì bất pt (x 1)( x 2) (x 6)( x 3) x 2x (x 1)(x 2) (x 6)(x 2) (x 2)(x 4) x x x 6 x 1 (x 2) (x 4) 0 x 7 3 x 2 2 (*) x 1 x 6 x 1 x 5 x 9 x = x 7 3 = x+4 < x + "x -2 Ta có: x Vậy (*) x – £ x £ Vậy -2 £ x £ là nghiệm bất phương trình Câu : x 2y y 2x P = x 3y y 3x 4(x y 1) x £3x 1 £x £2 (x 1)(x 2) £0 y £3y 1 £y £2 (y 1)(y 2) £0 x 2y y 2x P 3(x y) 3(x y) 4(x y 1) xy t = x y 4(x y 1) t 4(t 1) Đặt t = x + y, đk £ t £ t f(t) = t 4(t 1) , t [2; 4] 1 2 f’(t) = (t 1) 4(t 1) f’(t) = 2(t – 1) = (t + 1) 2t – = t + hay 2t – = -t – t = hay t = 1/3 (loại) Ta có f(3) = (10) Khi t = x 1 x 2 y 1 y 2 x y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 Vậy Pmin = x 1 y 2 hay ……………………… HẾT ………………… x 2 y 1 (11)