Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm số fx liên tục trên khoảng a ;b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng đó : + Nếu... Quy tắc II: + Tìm tập xác định..[r]
(1)§ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Khái niệm cực trị hàm số * Định nghĩa:Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0 (a; b) ¿ o Nếu f(x) < f(x0), ∀ x0 (a; b) {x ¿ ¿ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 o Nếu f(x) > f(x0), ∀ - ¿ x0 (a; b) {x ¿ ¿ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 Điểm cực đại, điểm cực tiểu (gọi chung là điểm cực trị) Giá trị cực đại, giá trị cực tiểu (gọi chung là cực trị) Nếu x0 là điểm cực trị hàm số f(x) thì điểm (x0; f(x0)) gọi là điểm cực trị đồ thị hàm số f(x) Chú ý: + Giá trị cực đại, cực tiểu nói chung không phải là giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f(x) trên D Nó là giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f(x) trên khoảng (a ;b) nào đó chứa điểm x0 + Hàm số f(x) có thể đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm trên tập hợp D + Hàm số f(x) có thể không có cực trị trên tập hợp số thực cho trước Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ;b) và có cực trị x0 thì f’(x0) = Chú ý : - Điều ngược lại có thể không đúng - Hàm số có thể đạt cực trị điểm mà đó hàm số không có đạo hàm VD : y = f(x)=|x| - Một hàm số có thể đạt cực trị điểm mà đó đạo hàm hàm số 0, đó hàm số không có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a ;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng đó : + Nếu + Nếu ' f ( x ) <0 , ∀ x ∈ ( a ; x ) { { ( a ; x ) và ( x ; b ) Khi ' f ( x ) >0 , ∀ x ∈ ( x ; b ) thì hàm số đạt cực tiểu điểm x0 thì hàm số đạt cực đại điểm x0 ' f ( x ) >0 , ∀ x ∈ ( a ; x ) ' f ( x ) <0 , ∀ x ∈ ( x ; b ) Nói cách khác: Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại điểm x0 Nếu f ' ( x ) không đổi dấu qua x0 thì x0 không là điểm cực trị Quy tắc I: + Tìm tập xác định + Tính f ' ( x ) Tìm các điểm đó f ' ( x ) không không xác định + Lập bảng biến thiên + Từ bảng biến thiên suy các điểm cực trị 1 y x3 x x VD1: Tìm cực trị của hàm số: Giải * Tập xác định: D=R x y ' x x 2; y ' 0 x 2 Ta có: * Bảng biến thiên: (2) x y’ y –1 19 + – + −4 Vậy hàm số đạt cực đại x = -1 và giá trị cực đại 19 −4 y CT = y ( )= y CĐ = y (−1 )= hàm số đạt cực tiểu x = và giá trị cực tiểu Quy tắc II: + Tìm tập xác định + Tính f ' ( x ) Giải phương trình f ' ( x ) = Ký hiệu xi (i = 1, 2…) là các nghiệm nó (nếu có) '' + Tính f ' ' ( x ) và f ( xi ) + Dựa vào dấu f ' ' ( x ) suy tính chất cực trị điểm xi o Nếu f ' ' ( xi ) < thì hàm số đạt cực đại điểm xi o Nếu f ' ' ( xi ) > thì hàm số đạt cực tiểu điểm xi 1 y x3 x x VD1’: Tìm cực trị của hàm số: Giải * Tập xác định: D=R x y ' x x 2; y ' 0 x 2 - Ta có: '' y =2 x−1 y ' ' (−1 )=−3< nên hàm số đạt cực đại điểm x = -1 và giá trị cực đại y ' ' ( )=3> nên hàm số đạt cực tiểu x = và giá trị cực tiểu VD2: : Tìm cực trị của hàm số: f ( x )=|x|( x +2 ) Giải: - Tập xác định: D=R −x ( x +2 ) =−x 2−2 x với x <0 - Ta có : f ( x )= x ( x+2 )=x 2+2 x với x> 0 với x=0 { ' −2 x−2 với x< Do đó : f ( x )= x +2 với x >0 { x=0 , hàm số không có đạo hàm f ' ( x )=0 ⇔ x=−1 Bảng biến thiên: x –1 ' + – || + f (x) f (x) Tại - y CĐ = y (−1)= y CT = y ( )= −4 19 (3) Vậy hàm số đạt cực đại x = -1 và giá trị cực đại f CĐ =f (−1 )=1 hàm số đạt cực tiểu x = và giá trị cực tiểu f CT =f ( ) =0 Tìm cực trị các hàm số sau: BT1: a ¿ f ( x )= x +2 x +3 x−1 b ¿ f ( x )=x + c ¿ f ( x )=|x|−5 x+ x x −3 x+ d ¿ y=x √ 4−x e ¿ f ( x )= f ¿ f ( x )=2 sin2 x−3 x −1 BT2(BTVN): x x a ¿ f ( x )= x 3−x +2 x−10 b ¿ f ( x )= − +2 c ¿ y =√ 8−x x +2 e d ¿ y=x−sin ¿ y=3−2 cos x−cos x ¿ x 1 g) y = x f ¿ f ( x )=x 2−2|x|+2 Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị B1: Tìm tập xác định D B2: Tính đạo hàm y’ B3: Lựa chọn theo hai hướng sau: - Hướng 1: Nếu xét dấu y’ thì sử dụng dấu hiệu I với lập luận: “ Hàm số có k cực trị trình y ' =0 có k nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó » - ⇔ Phương Hướng : Nếu không xét dấu y’ bài toán yêu cầu cụ thể cực đại cực tiểu thì sử dụng dấu hiệu II việc tính thêm y’’ Khi đó: + Hàm số có cực trị ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: { y ' =0 y' ' ≠0 y ' =0 '' y >0 + Hàm số có cực tiểu ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: { + Hàm số có cực đại ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: y =0 '' y <0 + Hàm số đạt cực tiểu + Hàm số đạt cực đại x0 x0 điều kiện là: điều kiện là: { ' x0 ∈ D x là điểm tới hạn y ' ' ( x ) >0 { { x0 ∈ D x là điểm tới hạn y ' ' ( x ) <0 Chú ý: Điểm tới hạn là điểm mà đó y’ không xác định y’ = ' ' y ( x ) =0 Với y là hàmđa thức thì x là điểm tới hạn ⇔ Với y'= g ( x) h(x ) thì x là điểm tới hạn ⇔ [ g ( x ) =0 h ( x )=0 VD: Tìm các hệ số a, b, c, d hàm số: f ( x )=a x +b x +cx +d cho hàm số đạt cực tiểu taị điểm x=0 , f ( )=0 và đạt cực đại điểm x=1 , f ( )=1 Giải - Tập xác định: D=R (4) Ta có: f ' ( x )=3 ax 2+ 2bx +c f ' ' ( x ) =6 ax+ 2b Để hàm số đạt cực tiểu taị điểm x=0 , f ( )=0 0∈D f ' ( ) =0 c=0 c=0 f ' ' ( )> b>0 d=0 f ( )=0 ⇔ d=0 b>0 ⇔ ⇔ a+ 2b +c=0 a+ b<0 1∈D a+ 2b< a+ 2b=0 f ' ( ) =0 '' a+b+c +d =1 a+ b=1 f ( ) <0 f ( )=1 { { { x=1 , f ( )=1 và đạt cực đại điểm thì : a=−2 b=3 c=0 d=0 { Vậy các hệ số cần tìm là: a=−2, b=3, c=0,d =0 Khi đó ta được: f ( x )=−2 x 3+ x BT1: Xác định các hệ số a, b, c cho hàm số: f ( x )=x +a x 2+ bx+ c x=−2 và đồ thị hàm số qua điểm A(1 ; 0) a) Đạt cực trị điểm x=1, f ( )=−3 b) Đạt cực tiểu điểm BT2: a) Định m để hàm sô và đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ là 2 y=( m+2 ) x +3 x +mx−5 x 2−2 ax+ x−a b) Định a để hàm số y= c) Định m để hàm số y=−m x +2 ( m−2 ) x2 +m−5 có cực đại, cực tiểu đạt cực tiểu x=2 có cực đại x= Dạng 3: Chứng minh hàm số có cực trị B1: Tìm tập xác định D B2: Tính đạo hàm y’ B3: Chứng minh phương trình y’ = có nghiệm B4: Lập bảng biến thiên và kết luận điểm cực trị x −m ( m+1 ) x+ m +1 VD: Chứng minh với giá trị m, hàm số y= x−m Giải ¿ - Tập xác định: D=R {m¿ ¿ Ta có ' y '= x 2−2 mx+m2−1 ( x−m )2 y =0 ⇔ x −2 mx+ m −1=0 ( Điều kiện : x ≠ m (kép)) Khi đó: ∆' =m2 −( m2−1 )=1> , ∀ m∈ R ⇒ Phương trình y ' =0 luôn có nghiệm phân biệt : Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu BT: luôn có cực đại và cực tiểu x 1=m−1 , x 2=m+1(thỏa x ≠ m) (5) a) Chứng minh với m , hàm số: x 2+ m ( m2−1 ) x−m4 +1 y= x−m luôn luôn có cực đại, cực tiểu , chứng minh hàm số không có cực đại với m b) Cho hàm số y=mx + √ x 2−2 x +2 c) Cho hàm số cực tiểu y=x +3 m x +3 ( m2−1 ) x+ m3−3 m , chứng minh với m hàm số luôn có cực đại và (6)