Khi đó ABM = ACM = 90 o Suy ra AM là đường kính của đường tròn Vậy M là điểm đối xứng với A qua O thì QP có giá trị lớn nhất.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi này có 01 trang KÌ THI CHỌN HSG LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2013 – 2014 Môn: TOÁN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ: Bài 1: (4 điểm) Cho phương trình: x − mx − = (m ≠ 0) m2 Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt x1; x2 với giá trị m ≠ Định m để x12 + x22 = Tìm giá trị nhỏ A = x14 + x24 Bài 2: (4 điểm) Không dùng máy tính, chứng minh rằng: 2014 2013 + > 2013 + 2014 2013 2014 Cho a + b2 + c = a + b3 + c3 = Tính S = a 2014 + b 2014 + c 2014 Bài 3: (4 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b3 + c3 = (a + b + c)3 Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Giải phương trình: x − + x − − 3x + = −2 Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn (I) bán kính r = cm, nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC D Khi AB.AC = 2BD.CD Tính số đo góc A Khi BD = cm, DC = cm a Chứng minh tam giác ABC vuông b Tính diện tích tam giác ABC Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm M thuộc (O) Gọi N, P và Q là hình chiếu vuông góc M lên BC, CA và AB Chứng minh N, P, Q thẳng hàng Khi M thuộc cung nhỏ BC Tìm vị trí M để PQ lớn - HẾT - (2) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (4 điểm) −1 = m + > với giá trị m ≠ m m (vì m > với giá trị m ≠ ) b x1 + x2 = − a = m Theo hệ thức Vi-ét: x x = c = − a m2 ∆ = b2 − 4ac = (−m)2 − 4.1 Ta có x12 + x22 = ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = =3 m2 ⇔ m − 3m + = ⇔ m2 + ⇔ m = m = ⇔ m = 1; m = −1; m = 2; m = − Vậy m = 1; m = −1; m = 2; m = − thì x12 + x22 = A = x14 + x24 = ( x12 + x22 )2 − x12 x22 = [( x1 + x2 )2 − x1 x2 ]2 − x12 x22 2 −1 2 A = m2 + − = m4 + + − = m4 + + ≥ 2 + m m m m m Vậy Amax = 2 + đó m = ⇔ m = ± Bài 2: (4 điểm) Câu 1/ ⇔ 2014 ⇔ 2013 2013 − − 2014 2013 2013 2013 2014 + + 2013 2014 2013 2014 > 2013 + 2014 − 2014 2014 >0 2014 − 2013 >0⇔ 2013.2014 >0 Câu (Cách 1) Từ điều kiện bài toán ta có nhận xét: |a| ≤ 1, |b| ≤ 1, |c| ≤ nên a3 ≤ a2 , b3 ≤ b2 , c3 ≤ c2=> a3 + b3 + c3 ≤ a2 + b2 + c2 Dấu " = " xẩy và a3 = a2 và b3 = b2 và c3 = c2 Do đó (a; b; c) = (1; 0; 0) (a; b; c) = (0; 1; 0) (a; b; c) = (0; 0; 1) Vậy S = a 2014 + b 2014 + c 2014 (Cách 2) a (a − 1) + b (b − 1) + c (c − 1) = Từ điều kiện bài toán ta có t: a ≤ 1, b ≤1, c ≤1 Suy ra: a (a − 1) = a (a − 1) + b (b − 1) + c (c − 1) = a (a − 1) + b (b − 1) + c (c − 1) = ⇒ ⇒ b (b − 1) = 2 2 a (a − 1) ≤ 0, b (b − 1) ≤ 0, c (c − 1) ≤ a (a − 1) + b (b − 1) + c (c − 1) ≤ c (c − 1) = 2 2 2 Do đó (a; b; c) = (1; 0; 0) (a; b; c) = (0; 1; 0) (a; b; c) = (0; 0; 1) Vậy S = a 2014 + b 2014 + c 2014 =1 (3) Bài 3: (4 điểm) a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 ⇔ a3 + b3 + c = (a + b)3 + 3(a + b)c(a + b + c) + c 3 3 3 ⇔ a + b + c = a + 3ab(a2+ b) + b + 3(a + b)c(a + b + c) + c ⇔ 3(a + b)(ab + ac + bc + c ) = ⇔ 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] = ⇔ 3(a + b)(b + c)(c + a) = Vậy ba số a, b, c có hai số đối (Cách 1) x − + x − − 3 x + = −2 ⇔ x − + x − = 3x + − ⇔ x − + 3 ( x − 5)(2 x − 1).( x − + x − 1) = x − − 3 x + 2.2.( 3 x + − 2) ⇔ ( x − 5)(2 x − 1).( 3 x + − 2) + 3 x + 2.( 3 x + − 2) = ⇔ ( 3 x + − 2)( ( x − 5)(2 x − 1) + 3 x + 2) = + 3x + − = ⇔ 3x + = ⇔ x = + ( x − 5)(2 x − 1) + 3 x + = ⇔ ( x − 5)(2 x − 1) = −2 3 x + ⇔ x − x − 10 x + = −8(3 x + 2) ⇔ x + 13 x + 21 = ∆ = b2 − 4.a.c = 132 − 4.2.21 = Phương trình có nghiệm phân biệt: − b + ∆ −13 + − b + ∆ −13 − = = −3; x2 = = = −3,5 2a 2.2 2a 2.2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x1 = −3; x2 = −3, 5; x3 = x1 = (Cách 2):đặt a= x − , b= x − , c= − 3 x + a = x − 5, b = 2x − 1, c3 = −3x − Suy ra: 3 3 a + b + c = (a + b + c) = (−2) Áp dụng bài câu ta có: x − + 2x −1 = x = 3 x − − x + = ⇔ x = −3.5 3 x = −3 x − − x + = K Bài 4: (4 điểm) Ta chứng minh: BC + AB – AC = 2BD BC + AC – AB = 2CD Thậy vậy: Giả sử AC, AB tiếp xúc với (I) E, F Ta có AE = AF, BD = BF, CD = CE (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) BC + AB – AC = BD + CD + AF + BF – AE – CE = 2BD BC + AC – AB = BD + CD + AE + CE – AF – BF = 2CD (BC + AB – AC).(BC +AC –AB) = BD.CD ⇔ BC − ( AB − AC )2 = BD.CD ⇔ BC − AB + AB AC − AC = BD.CD ⇔ BC = AB + AC + BD.CD − AB AC ⇔ BC = AB + AC (4) Do đó, tam giác ABC vuông A Vậy số đó góc A 90o 2.Cách 1:kẻ CK vuông góc với BI ∆ BDI vuông D ⇒ BI= Ta có : ∆ BDI ∆ BKC(g.g) S K BD BI DI = = ⇒ = = BK BC KC BK 10 KC KC= , KB= suy ra:KC=KI= ⇒ ⇒ ∆ KCI cân K ⇒ KIC = 450 Suy ra: KIC = IBC + ICB = 450 (góc ngoài tam giác) Suy ra: ABC + ACB = 900 ⇒ ∆ BAC vuộng A (Cách 2) Tam giác BDI vuông D: Tan IBD = ID = = ⇒ IBD = 26 o 33' 54,18'' ⇒ ABC = 53o 7' 48,37'' BD Tam giác CDI vuông D: Tan ICD = ID ' '' = = ⇒ ICD = 18o 26 '5,82'' ⇒ ACB = 36 o 5211,63 CD Ta có ABC + ACB = 90o Vậy tam giác ABC vuông A Ta có AEIF là hình vuông nên AE = AF = cm Vậy diện tích tam giác ABC 6.8 : = 24 cm2 Bài 5: (4 điểm)Giải: Tứ giác MNPC có: MNC = MPC = 90 o (gt) Suy N, P cùng nhìn cạnh MC góc không đổi 90o A Do đó, tứ giác MNPC nội tiếp o ⇒ MNP + MCA = 180 (1) Tứ giác ABMC nội tiếp MCA = QBM (cùng bù với ABM ) (2) Tứ giác BQMN có: O BQM + BNM = 90 o + 90 o = 180 o Do đó, tứ giác BQMN nội tiếp ⇒ QBM = QNM = sñ QM (3) B Từ (1), (2) và (3) suy ra: MNP + MNQ = 180o Q Vậy điểm Q, N, P thẳng hàng (Đường thẳng QNP gọi là đường thẳng Sim Sơn) Cách 2:Tứ giác BQMN nội tiếp ⇒ AQN = BMN = sñ BN (1) Tứ giác MNPC nội tiếp ⇒ APN = CMN (cùng bù với CPN ) (2) Tứ giác ABMC nội tiếp ⇒ BAC + BMC = 180 o ⇒ BAC + BMN + CMN = 180 o (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: BAC + AQN + APN = 180o Vậy điểm Q, N, P thẳng hàng N M P C (5) Cách3(hay) : Tứ giác BQMN nội tiếp ⇒ QBM = QNM , Tứ giác ABMC nội tiếp ⇒ QBM = ACM Suy : ⇒ QNM = ACM (1) Tứ giác MNPC nội tiếp ⇒ PCM + MNP = 180 o (2) Từ (1), (2) và suy ra: QNM + MNP = 180o Vậy điểm Q, N, P thẳng hàng Xét ∆MQP và ∆MBC có: A O B P N ∽ MQP = MBC = sñ MN (góc nội tiếp (BQMN)) Q MPQ = MCB = sñ MN (góc nội tiếp (MNPC)) M Do đó, ∆MQP ∆MBC (g – g) QP MQ MP ⇒ = = ≤1 BC MB MC Nên QP ≤ BC Dấu “=” xảy Q trùng với B và P trùng với C Khi đó ABM = ACM = 90 o Suy AM là đường kính đường tròn Vậy M là điểm đối xứng với A qua O thì QP có giá trị lớn GV toán - trường THCS Phú Long - Hàm Thuận Bắc - Bình Thuận C (6)