Gọi A là biến cố hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5; B là biến cố hai số được viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5.[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN - NĂM 2013 Môn: TOÁN – Khối A, A1; Thời gian làm bài: 180 phút Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Câu Khi m=−2 hàm số trở thành y=x +6 x 2+ x +1 (2,0 a) Tập xác định: R điểm) b) Sự biến thiên: y=− ∞ và lim y =+ ∞ * Giới hạn vô cực: Ta có x lim →− ∞ x →+∞ * Chiều biến thiên: Ta có y ' =3 x 2+ 12 x +9 ; y '=0 ⇔ x=−3 ¿ x=−1 ¿ x <−3 ¿ x >−1 ¿ ; y ' <0 ⇔ − 3< x< −1 ¿ ; y ' >0 ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ Suy hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞; −3 ) , ( −1 ;+ ∞ ) ; nghịch biến trên ( −3 ; −1 ) * Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=−3 , y CĐ =1 , hàm số đạt cực tiểu x=−1 , y CT =−3 * Bảng biến thiên: y x 1 y' + – + y 0,5 c) Đồ thị: b) (1,0 điểm) Ta có y '=3 x − 3(m −2) x − 3(m −1), ∀ x∈R y '=0 ⇔ x2 −(m− 2) x − m+1=0 ⇔ x=x 1=−1 ¿ x=x 2=m−1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Chú ý với m>0 thì x 1< x Khi đó hàm số đạt cực đại tiểu x 2=m− Do đó 1 O x 0,5 0,5 x 1=−1 và đạt cực (2) m− 1¿2 +1 3m , y CT = y (m− 1)=− (m+2)¿ 2 m− 1¿ 2=0 m− 1¿ 2+1=4 ⇔6 m− −(m+2)¿ 3m Từ giả thiết ta có − (m+2)¿ 2 ⇔(m− 1)(m +m− 8)=0 ⇔ m=1 ¿ − 1± √ 33 m= ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ − 1+ √ 33 m>0 Đối chiếu với yêu cầu ta có giá trị m là m=1 , m= π Điều kiện: cos x ≠ , hay x ≠ +kπ Câu 2 (1,0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với điểm) ( tan x +1)sin2 x+ 1− 2sin x+ 2=3( cos x+ sin x )sin x 2 ⇔ (tan x − 1) sin x+3=3(cos x − sin x )sin x +6 sin x ⇔ (tan x − 1) sin2 x+3 cos x=3 (cos x − sin x)sin x ⇔ (tan x −1)sin x +3(cos x −sin x)cos x=0 ⇔( sin x −cos x )(sin2 x −3 cos x )=0 ⇔ (sin x − cos x)(2 cos x+ 1)=0 ⇔ sin x=cos x ¿ cos x=− ¿ π x= +kπ ¿ π x=± + kπ , k ∈ Z ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ π π Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x= +kπ , x=± +kπ , k ∈ Z ¿ 2+ x> ,18 − x ≥ Câu 4 − √18 − x >0 (1,0 Điều kiện: ⇔− 2< x ≤ 18 điểm) ¿{ ¿ Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với log √ 2+ x ≤ log (4 − √4 18− x) ⇔ √ 2+ x ≤ − √4 18− x Đặt t=√4 18− x Khi đó ≤t < √4 20 và bất phương trình trở thành y CĐ = y (−1)= 0,5 0,5 0,5 0,5 (3) √ 20− t ≤ −t ⇔ −t ≥ − t ¿2 ¿ ⇔ ¿ ¿t ≤4 ¿ t +t −8 t −4 ≥0 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿t ≤4 ¿ 20 − t ≤ ¿ Suy √4 18− x ≥ 2⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình là −2< x ≤2 Câu (1,0 điểm) 0,5 Khi đó e x =t − ⇒e x dx=2tdt Khi x=0 ⇒t =2 , 3 tdt t x=ln ⇒t=3 Suy I =∫ =2∫ dt 2 t +2(t −3)+7 2t +3 t+1 Đặt √ 3+e x =t ¿ 2∫ 0,5 t 1 dt=2∫ − dt ( t+1)(2t +1) t+1 2t +1 ¿ ln |t +1| ( ) 0,5 ¿3 − ln |2 t+1|¿3 =(2 ln − ln3) −(ln − ln5)=ln 80 ¿2 ¿2 63 S Kẻ SK ⊥ AB⇒ hình chiếu CK ⊥ AB ⇒ ( (SAB) ,( ABCD) ) =∠ SKC=45 Câu (1,0 điểm) ∠ ABC=120 ⇒ ∠ CBK=60 ⇒ CK=CB sin 600= D ⇒ SC=CK tan 45 = C I O A 3a S ABCD=AB BC sin 1200= 3a (1) 0,5 √3 a (2) √ a3 Từ (1) và (2) ⇒ V S ABCD = SC SABCD= O=AC ∩BD BD ⊥ AC , BD ⊥ SC BD ⊥(SAC) Gọi Vì nên O Kẻ OI ⊥SA ⇒ OI là đường vuông góc chung BD là SA Sử dụng hai tam giác đồng dạng AOI và ASC đường cao tam giác SAC suy 3a √5 a 5a OI= = Suy d (SA , BD)= √ 10 √ 10 2 Ta có x + y +2 z ≤(x + 1)+( y + 4)+( z +1) ¿ x 2+ y + z +6 ≤3 y +6 Câu y (1,0 Suy x + y +2 z ≤ Dấu đẳng thức xảy x= = z=1 điểm) Chú ý rằng, với hai số dương a , b áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có a+ b ¿ ¿ (*) 1 , + ≥ a2 b2 ¿ B K 0,5 0,5 (4) Câu 7.a (1,0 điểm) dấu đẳng thức xảy và a=b x +1¿ ¿ y x+1+ +1¿ y 2 +1 ¿ ¿ ¿ z+ 3¿ Áp dụng (*) ta z +3 ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ P= ¿ y x + +2+ z +3 ¿ 6+10 ¿2 ¿ ¿ x + y +2 z+ 10¿ ¿ ¿ 64 ¿ ¿ 64 ¿ Dấu đẳng thức xảy x=1 , y =2 , z=1 Vậy giá trị nhỏ P 1, đạt x=1 , y =2 , z=1 B ∈ d : y =8 − x ⇒ B(b ; −b), B D∈ d : x =2 y −3 ⇒ D(2d −3 ; d ) ⇒⃗ BD=(−b+2 d −3 ; b+ d − 8) và trung I C A b +2 d −3 − b+ d+ ; điểm BD là I 2 ⇒ ( BD ⊥ AC I ∈ AC ⇔ ¿⃗ u AC ⃗ BD=0 I ∈ AC ⇔ ¿ −8 b+ 13 d −13=0 −6 b+9 d −9=0 ⇔ Theo tính chất hình thoi ¿ b=0 d=1 ¿ ¿{ B (0 ; 8) D(− 1; 1) ⇒I − ; 2 Suy ¿{ ¿ A ∈ AC: x =−7 y +31⇒ A (−7 a+31 ; a) 2S 15 S ABCD= AC BD ⇒ AC= =15 √ 2⇒ IA= BD √2 0,5 ) D ( 0,5 ) 0,5 (5) 63 225 9 + a− = ⇔ a− = ⇔ 2 2 a=3 ¿ a=6 ¿ A( 10; 3) ¿ A(− 11 ; 6)(ktm) ¿ ¿ ¿ ⇒¿ ¿ ¿ Suy A (10 ; 3)⇒ C(−¿11 ; 6) Giả sử Δ có vtcp ⃗ u Δ=(a ; b ; c) , a2 +b 2+ c2 ≠ Δ ⊥ d1 ⇔ ⃗ uΔ ⃗ u1=0 ⇔ a− b+ c=0 a −b − c ¿2=3 (a2 +b 2+ c 2)(2) |a −b − 2c| 0 ∠( Δ, d 2)=60 ⇔ =cos 60 = ⇔ 2¿ 2 2 √1+1+4 √ a +b + c 2 a+ c ¿ +c 2 b=a+c a +(¿)⇔ a +ac − c =0 Từ (1) có thay vào (2) ta 18 c =3 ¿ ⇔ ( ⇒ −7 a+ Câu 8.a (1,0 điểm) Câu 9.a (1,0 điểm) ) ( ) ( ) (1) a=c , b=2 c ¿ a=−2 c ,b=− c ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x+1 y −2 z = = u Δ=(1; ; 1) ta có Δ : a=c ,b=2 c , chọn c=1 ⇒⃗ Với x+1 y −2 z = = u Δ=(2 ; 1; − 1) ta có Δ: Với a=−2 c ,b=− c , chọn c=− 1⇒⃗ −1 (n −1) ¿ Ta có (n+ 1) n ¿ C 3n+ 1+2 C 2n= A3n ⇔ ¿ ⇔ 2( n2 −1)+3(n− 1)=3(n2 −3 n+2) , n≥ ⇔ n2 −12 n+11=0 , n≥ ⇔ n=11 k x ¿11 −k − x ¿ −2 ¿k x 22 −3 k ¿ Khi đó Ck11 ¿ k C 11 ¿ 11 11 x2− =∑ ¿ x k=0 Số hạng chứa x là số hạng ứng với k thỏa mãn 22− k=7 ⇔k =5 −2 ¿5=− 14784 Suy hệ số x là C 511 ¿ 0,5 0,5 0,5 ( ) ( ) 0,5 (6) d cắt d I ( 2; 0) Chọn A (0 ; − 2)∈d , ta có IA 0=2 √ Lấy B (2− b ; b)∈ d cho A B 0=3 IA 0=6 √ b+2 ¿2=72 2− b ¿ +¿ ⇔¿ Câu 7.b (1,0 điểm) ⇔ b − b −64=0 ⇔ b=4 ¿ 16 b=− ¿ B0 (−6 ; 4) ¿ 42 16 B0 ;− 5 ¿ ¿ ¿ ⇒¿ ¿ ¿ ¿ Δ Suy đường thẳng là đường thẳng qua M (−1 ; 1) và song song với A B Suy phương trình Δ : x + y=0 Δ : x +7 y − 6=0 (P) qua K (1 ; ; 0)⇒ phương trình (P) dạng Ax+ By+Cz − A=0( A 2+ B 2+C ≠ 0) ( P) // d ⇔ ud ⃗ ⃗ n P=0 H (−2 ; ; − 1)∉(P) ⇔ ¿ A −3 B+C=0(1) −3 A+ B− C ≠ 0(2) ¿{ 2 2 A − B+3 C ¿ =3( A + B +C ) |A − B+3 C| (3) d ( M ,(P) )= √ ⇔ =√ ⇔ ¿ 2 √ A +B +C − A+ B ¿2 A 2+ B2 +(¿) Từ (1) có C=−2 A +3 B , thay vào (3) ta −5 A+8 B ¿2=3 ¿ ¿ ⇔ A2 −22 AB+17 B2=0 ⇔ A=B ¿ A=17 B ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Với A=B , ta có C=B , không thỏa mãn (2) 17 19 Với A=17 B , ta có A= B , C=− B Chọn B=5 ta có A=17 ,C=− 19 , 5 thỏa mãn (2) Suy ( P):17 x +5 y −19 z −17=0 ( Câu 8.b (1,0 điểm) 0,5 ) 0,5 0,5 0,5 (7) Câu 9.b (1,0 điểm) Số các số tự nhiên có chữ số đôi khác thuộc tập E là ×4 ×3=60 Trong đó số các số không có mặt chữ số là × ×2=24 , và số các số có mặt chữ số là 60 −24=36 Gọi A là biến cố hai số viết lên bảng có mặt chữ số 5; B là biến cố hai số viết lên bảng không có mặt chữ số Rõ ràng A và B xung khắc Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có 1 1 C C36 C 24 C 24 2 13 P( A ∪B)=P (A )+ P (B)= 36 + = + = 1 1 25 C 60 C60 C 60 C 60 13 12 Suy xác suất cần tính là P=1 − P( A ∪ B)=1− = 25 25 ()() 0,5 0,5 (8)