Hái cã bao nhiªu c¸i b¾t tay nh− vËy biÕt tæng sè học sinh trong lớp là 51 bạn đi họp đầy đủ... VËy thiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh BND1F..[r]
(1)Së GD&§T Thanh ho¸ Tr−êng THPT Qu¶ng X−¬ng -§Ò chÝnh thøc §Ò KiÓm tra chÊt l−îng khỐi kh i 11 N¨m häc 2009- 2010 M«n To¸n Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề A PhÇn chung cho tÊt c¶ thí sinh.( ®iÓm) 2 2 C©u 2: (2,5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau C©u 1: (1,5 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 40 Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x + x + 16 = x + 16 2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh : sin [2( x + π )] + sin x − = cos( x + 7π ) C©u 3: (2 ®iÓm) Cho h×nh hép ABCD A1B1C1D1 Tõ B dùng mét ®−êng th¼ng song song víi AC c¾t ®−êng th¼ng DC kÐo dµi t¹i ®iÓm E 1/ Chøng minh r»ng mp( DED1 ) // mp( ABB1 A1 ) 2/ Chøng minh r»ng thiÕt diÖn t¹o bëi mp( BED1 ) vµ h×nh hép trªn lµ h×nh b×nh hµnh x10 khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña (2 + x) n , biÕt 3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n−2 Cnn−2 − 3n−3 Cnn−3 + + (−1) n Cnn = 2048 C©u 4(1 ®iÓm) : T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa C©u (1 ®iÓm): Cho x ; y ; z d−¬ng Chøng minh r»ng y x z 1 + + ≤ + + x3 + y y + z z + x x y z B PhÇn tù chän.( ®iÓm) I PhÇn dµnh cho ch−¬ng tr×nh n©ng cao C©u 6a ( ®iÓm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3;0), B(-1;4) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác cân ABC đỉnh C, biết điểm C thuộc đ−ờng thẳng d: 2x-y+3=0 C©u 7a(1 ®iÓm) Cú bao nhiêu số tự nhiên chẵn cú chữ số, các chữ số đôi khác cho ba ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i lµ sè II PhÇn dµnh cho ch−¬ng tr×nh c¬ b¶n C©u 6b ( ®iÓm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC AB=AC, biết ph−ơng trình cạnh BC: x+2y =0, tam giác ABC cú trực tâm H(1;7) Tỡm tọa độ cỏc điểm B, C biết điểm A cú hoành độ là -2/3 C©u 7b ( ®iÓm) Nh©n ®Çu n¨m míi líp 12A tæ chøc liªn hoan t¹i phßng häc cò cña m×nh, gÆp mçi b¹n b¾t tay mét lÇn víi tÊt c¸c b¹n líp Hái cã bao nhiªu c¸i b¾t tay nh− vËy biÕt tæng sè học sinh lớp là 51 bạn họp đầy đủ HÕt Hä tªn häc sinh: , Sè b¸o danh: (2) §¸p ¸n vµ thang ®iÓm Bµi ý Néi dung §iÓm Trừ vế với vế phương trình ta được: (x-y).(x2 + y2 +xy-2(x+y)+4)=0 Với x=y thay vào (1) : x3 -2x2+1=0 suy x=y=1, x= y =(1+ 0,5 )/2, x = y =(1- )/2 Với x2 + y2 +xy-2(x+y)+4=0 tương đương với (x+y)2+(x-2)2+(y-2)2=0 vô nghiệm ⇔ x x + 16 + x + 16 = 40 ⇔ x x + 16 = 24 − x ®/k < x ≤ Ta cã 0,5 ⇔ ( x x + 16 ) = ( 24 − x ) 0,5 0,5 0,5 ⇔ x ( x + 16) = 576 − 48 x + x ⇔ 64 x = 576 ⇒ x = Pt đã cho t−ơng đ−ơng với sin x − sin x + cos 2 x − = ⇔ cos x sin 3x + cos x = 0,5 ⇔ cos x(2 sin 3x + 1) = 0,5 * cos4x = ⇔x= π +k π −π 2π +k x= 18 * sin x = − ⇔ π π x = +k 18 0,5 k∈Z E B C A D F I B1 N A1 C1 D1 mp( DED1 ) // mp( ABB1 A1 ) v× DE // AB vµ DD1 // AA1 Gäi F lµ giao ®iÓm cña CC1 vµ ED1 Tõ F dùng ®−êng th¼ng //AC c¾t AA1 1,0 (3) mp( BED1 ) mp( BED1 ) c¾t c¸c mp( ABB1 A1 ) // mp( DCC1D1 ) theo c¸c giao tuyÕn BN ; FD1 nªn BN // FD1 t−¬ng tù BF// ND1 VËy thiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh BND1F t¹i N th× FN //BE suy N thuéc 0,5 0,5 Ta cã 3n Cn0 − 3n−1 Cn1 + 3n−2 Cnn−2 − 3n−3 Cnn−3 + + (−1) n Cnn = (3 − 1) n = 2n = 211 0,5 nªn n = 11 HÖ sè cña sè h¹ng chøa x n khai triÓn Niut¬n cña (2 + x)11 lµ C1110 21 = 22 V× 0,5 x x 1 1 ≤ = ≤ ( + ) T−¬ng tù 2 xy x xy x x +y y y 1 ≤ ( + 2) z y +z y ; x 1 ≤ ( + ) céng bÊt®t ta cã 2 x z +x z 0,5 0,5 ®pcm Do tam giác ABC cân đỉnh C nên đường cao CH qua trung điểm I(1;2) AB và có vtpt (-4;4) suy pt CH : x- y +1=0 Khi đó C la giao điểm d và CH nên C(-2 ;-1) 6a 0,5 H thuộc CH suy H(a ;a+1), sử dụng điều kiện AH vuông góc với BC giải 0,5 a=-1/3 Vậy H(-1/3 ;2/3) Gọi số tự nhiên cần tìm là Th1 : a=2, 7a f có cách chọn, số còn lại có A48 cách chọn, nên có 1.4 A48 0,5 Th2: a khác 2, f=0 Suy a có cách chọn, số có cách chọn, số còn lại có A37 Nên có 8.2 A37 Th3: a khác 2, f khác Suy a có cách chọn, f có cách chọn, số có cách chọn, số còn lại có A37 cách chọn, nên có 7.3.2 0,5 A37 Vậy có 1.4 A 8+8.2 A37+7.3.2 A37= 18900 số Đường caco AH qua H và vuông góc với BC nên phương trình AH: 2x-y+5=0 0,5 Suy A(-2/3;11/3) Ta có B(-2b;b), C(-2c ;c), ABC cân đỉnh A nên trung điểm BC thuộc AH 6b Suy : b+c=2, lại BH vuông góc với AC giải c=-1, b=3 Vậy tọa độ B(-6 ;3), C(2 ;-1) 0,5 (4) b¹n thø nhÊt b¾t tay víi 50 b¹n cßn l¹i th× ta cã 50 c¸i b¾t tay B¹n thø hai b¾t tay 0,5 với 49 bạn còn lại ta có 49 cái bắt tay (vì bạn thứ hai này đã đ−ợc bạn thứ bắt tay råi nªn kh«ng ph¶i tÝnh nöa ) t−¬ng tù ta cã tæng sè c¸i b¾t tay lµ tæng cña 50 7b sè h¹ng ®Çu tiªn cña c¸c sè tù nhiªn = 1275 c¸i b¾t tay Chó ý häc sinh kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm bài h/s làm cách khác so với đáp số mà đúng thì cho điểm tối đa 0,5 (5)