Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi GTLN pdf

PHAN HUY KHAI CHUYEN DE BOI DUONG HOC SINH GIO! TOAN TRUNG HOC CO SO —= FON PAN GIA TRI LGN NHAT VA NHO NHAT CUA HAM SO NHA XUAT BAN GIAO DUC Chuong I _ CƠ SỞ LÍ THUYẾT § BẤT DANG THUC Định nghĩa Cho hai s.a v b Ta núi rng l.a>boa-b>0O 2.ac a >c (Tính chất bắc cầu bất đẳng thức) Chúng Ta có : a-c=(a-b)+(b-c) Vì a >b nên q) a-b>0; tương tự b - c > (do b >c) Vì (a- b) + (b - c)= (do tổng hai số dương số dương) Theo định nghĩa, từ a - c > suy a >e > đ.p.c.m Nếu a >b ma > mb m > 0, ma < mb m < Nếua>b;c>dthìa+c>b+d 4.Nếua>b;cb-d Nếu a >b >0 c >đ>0, ac > bd b - Nếu a > b > c € Nếu a >b >0 a" >b°, Vn nguyên dương Nếu a >b a?"*! >b?"*! tự nhiên Chú ý : - Chứng minh tính chất từ đến dựa trực tiếp vào định nghĩa bất đẳng thức chứng minh tương tự (và xin dành cho bạn đọc) - Bây ta chứng minh Áp dụng đẳng thức quen biết x? _ y" ~ (x - y) (xl + xn? y+ +xy n-2 + y™), - ~ ta có a" ~-b° =(a-b) (a"! + a"'#b + + ab™? +b™) Do a - b>0 (vì a >b) cịn biểu thức dấu ngoặc lại tổng n số dương, biểu thức dương Vì a" - b" >0 Theo định nghĩa suy a° >b° Tính chất chứng minh - Chuyển sang chứng minh | Xét ba trường hợp sau : Giả sử a =0= a?"*! =0.Doa>b>b< => b**! a2n+! > b2n?1 Giả sử a> Khi - - Nếu b 0>b?n11, - Nếu b > từ a > b > 0, theo suy a?n?! > p2n11, Tóm lại ta ln có a?"*! > b2"*!, Tính chất chứng minh Các bất đẳng thức thông dụng 3,1 Bất đẳng thức Cô-sỉ Cho a¡,a¿, a„ số không âm Khi 3a, +as+ +a n ———————- n Wajao a, (1) Dấu xảy (1) va chi a, =a, = = ay Chứng minh : Ta sử dụng nguyên lí quy nạp toán học để chứng minh - Với n = bất đẳng thức (1) có dạng 41 > Jaya _ => _ 8¡âa Vì (3) hiển nhiên đúng, nên (2) Từ (3) suy dấu xảy Vậy bất đẳng thức Cô-si n = G8 €0 - Giả sử bất đẳng thức (1) đến n = k, tức với a¡, a¿, , 8y >0 ta có a tag ttn yo k — 2." k>? dấu xảy bất đẳng thức © a; =a; = = 8c - Xét n = k + Với aj, ag, , ayy, khéng 4m, ta có Sw k+l +aa+ +a = ì o k+1 8; +aAa+ +a kủa k kel yyw k+1 k+1 4) Từ (4) theo giả thiết quy nạp, ta có Su, +1 > kRayas aw + 8x¿¡ , k+l 6) + Dấu (5) xảy (theo giả thiết quy nạp) © 31 Đặt aia¿ ay = ak) =8a = Aye = ptt, Khi (5) có dạng kœÈ?1 Siu xo =8 + k+l +P (6) k+1 Từ (6) đến kơk#1 + gk Sv.¡ — FNfaias 8y¿ï X———————-~ 0` “k+l k , (7) Bằng phép tính ta có kok*! VE) = + pet _ kakp k+1 = = h [ kat - Blok? +a _ So Pi gk k+l = (BY _ œ*B “eal k k (a-B)- Bla k -P | ?B+ 0K? + pet )] (a-B)+a*? (0? -8?)+ + a2 (ak Fg -B?) +0(ak7 — pk )] tak? (a+B)+ + œ2 (œ*? +o* “+ + pk) + a|o*2 + ok38 4.4 Bk? )] Via 20, B = 0, nén tt trén suy _ VF(7) >0 VF(7) = © œ = ÿ Từ dựa vào (7) theo tính chất bắc cầu bất đẳng thức ta có Sy.¡ —*Nfayas ay¿¡ >0 an 8; tức +as+ +a ——®”————*#+>k*a¡a¿ A Dấu (8) xảy © | ai, =as= (8) .=ay œ=ÿ a, =a, = =a, = ayy Vay bat đẳng thức Cô-si n = k + Theo nguyên li quy nạp suy (1) với = 1, Bất đẳng thức Cơ-si chứng minh hồn tồn Chú ý : Với bạn đọc chương trình học sở, hay sử dụng bất đẳng thức Cô-si n = 2, 3, Chúng xin giới thiệu cách chứng minh n=4,n=3 e Với n = Ta có cách chứng minh đơn giản sau : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si n = 2, ta có @j+ag+agta, 8i tao 8a tay 2.5 Sf [ay +a, ag tag (1) Lai áp dụng bất đẳng thức Cô-si n = 2, ta có +aa 8g +8, > 1.3 aya, faga, = 4/ajaaga, (2) Tw (1) (2) suy —mH > flayasaaa„ (3) Dấu xảy (3) © đồng thời có dấu (1) (2), hay ai+aa _as+a, 2 a, =A, a5 =a, © a, =a, = a3 = ay Vậy bất đẳng thức Cơ-si với n = ®e Với n = Cách chứng minh sau : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với n = 4, ta có SPD Cor ay ta, +a, Fag Fag: at 82 tas ai+as+a a,,a,a3 khéng a, +a, +a, a, ta,t+a o> 1-23 Do >4la¡asaa ta, 13283 aja, 4-8 4m nén a,+a,+a, (4) Tuy nhién néu a, +a, +a, =O thi bat ding thtic da cho hién nhiên (vì a, =a, =a, =0 0) Vì va ca hai vế bất đẳng thức cần chứng minh (4) a, +a, ta § 3] (sg a,ta,t+a > a¡asaa — 3 a, ta, +a,\ 1——2 3| >a;a¿a +A + ——— “2b > 3/a aoa (5) Theo trường hợp n = 4, dấu (5) xay va chi a;+as+a =8; =aa =— Sa, =a, =a, Vậy bất đẳng thức Cô-si n = 38.9 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-sbi Cho a,, ag, , 2, Va bj, bạ, , bạ 2n số Khi ta có (aj +a2 + +an (bỉ +bŸ+ + b)> (a,b, +agby+ +4a,b,)° (1) Dau bang (1) xay va chi 41 b, 82 2) Sn, by bạ (2) ‹ (Lưu ý (2) b¡ = 0, ta hiểu a; tương ứng = 0) Chúng mình: Xét tam thức bậc hai sau f(x) = (aj +a5 gt tay jx? ~2(a,b, +agby + 4.a,b, )x + | + (bỉ + bổ + + bà) Ta viết lại f&) dạng sau : f(x) =(ayx— bị) +(asx= bạ)” + + (aax ~ bạ Ỷ (8) Như từ (3) suy f(x)>0, Vxe R (4) Ta quan tâm a? +a2 + +a2 >0 (Vì +a2+ +aa =0 thi a, =a, = =a, =0 = 0) lúc (1) hiển nhiên hai vế Nhu thé f(x) lA tam thức bậc hai mà f(x)>0, Vxe R, 2,22 a=a?+a2+ +a? >0, nên theo định lí dấu tam thức bậc hai ta có A'0 (5) va b?7+b2+ +b2>0 hai tổng 0, chẳng hạn b? + + bệ =0 (vì (5) hiển nhiên hai vế 0) Vì (5) © |arbi + a;b; + + anbạ| Ja? +a2 + +a2 a/b? +b? + 4b2 Theo tính chất giá trị tuyệt đối, ta có VT(6) |aibi| < + a? + +a2 afb? + +b? | lanb,| he + +a? [bệ + +bể (7) Theo bất đẳng thức Cô-si, |ai| Ja? + t¢a2 b [b, | < ls + ¢b? 2(a/+, E bị “hỷ + + Đã HP PA P2 E0 000000020009560 000094999 906 Ja? + +a2 Te +b? “‡| mi bi (8) 2(aTƒ+ +a2 "Waa be Cộng vế n bất đẳng thức trén, ta có aj + ita + Pit +r 2(a7+ +a 2? bƒ+ +b VE(7) “be, = 30 bị bạ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski chứng minh hoàn toàn dựa vào bất đẳng thức Cô-si Bất đẳng thức Trê-bư-sep Cho hai day tăng