PHAN HUY KHAI
Trang 2Chuong I _ CƠ SỞ LÍ THUYẾT § 1 BẤT DANG THUC 1 Định nghĩa Cho hai số a và b Ta nói rằng l.a>boa-b>0O 2.a<bôâa-b<0 2 Cỏc tớnh cht c bản của bất đẳng thức 1 Nếu a>b,b>c thì a >c (Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức) Chúng mình : Ta có a-c=(a-b)+(b-c) q)
Vì a >b nên a-b>0; tương tự b - c > 0 (do b >c)
Vì thế (a - b) + (b - c) = 0 (do tổng của hai số dương là số dương)
Theo định nghĩa, từ a - c > 0 suy ra a >e > đ.p.c.m 2 Nếu a >b thì ma > mb nếu m > 0, ma < mb nếu m < 0 3 Nếua>b;c>dthìa+c>b+d 4.Nếua>b;c<dthìa-c>b-d 5 Nếu a >b >0 và c >đ>0, thì ac > bd 6 - Nếu a > b > 0 và 0 <c< d, thì Š >c b €
7 Nếu a >b >0 thì a" >b°, Vn nguyên dương
8 Nếu a >b thì a?"*! >b?"*! vn tự nhiên Chú ý :
Trang 3ta có
a" ~-b° =(a-b) (a"! + a"'#b + + ab™? +b™)
Do a - b>0 (vì a >b) còn biểu thức trong dấu ngoặc còn lại là tổng của n số dương, vì thế biểu thức ấy dương Vì thế a" - b" >0
Theo định nghĩa suy ra a° >b° Tính chất 7 được chứng minh - Chuyển sang chứng minh 8 |
Xét ba trường hợp sau :
1 Giả sử a =0 = a?"*! =0.Doa>b>b< 0 => b**! <0 (uỹ thừa bậc lẻ của một số âm là số âm) = a?"?! > b2n11,
2 Giả sửa <0.Vìa>b=>b<0
Từ a>b 0< -a <-b Vậy theo 7 suy ra
(-a)?n" < (-b)2n*1 => -a2n+I < -b2n+1 => a2n+! > b2n?1
3 Giả sử a> 0 Khi đó -
- Nếu b <0 thì an >0>b?n11,
- Nếu b > 0 thì từ a > b > 0, theo 7 suy ra a?n?! > p2n11,
Tóm lại ta luôn có a?"*! > b2"*!, Tính chất 8 được chứng minh 8 Các bất đẳng thức thông dụng 3,1 Bất đẳng thức Cô-sỉ Cho a¡,a¿, a„ là các số không âm Khi đó 3a, +as+ +a 1 2 n 1 ———————- 2 Wajao a, (1) n 2 Dấu bằng xảy ra trong (1) khi va chi khi a, =a, = = ay Chứng minh : Ta sử dụng nguyên lí quy nạp toán học để chứng minh - Với n = 2 bất đẳng thức (1) có dạng 41 2 > Jaya _ 3 => _ 2 8¡âa
Vì (3) hiển nhiên đúng, nên (2) đúng Từ (3) suy ra dấu bằng xảy
Trang 4G8 €0 - Giả sử bất đẳng thức (1) đã đúng đến n = k, tức là với mọi a¡, a¿, , 8y >0 ta có a tag ttn yo k — 1 2." k>?
và dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên © a; =a; = = 8c
- Xét khi n = k + 1 Với aj, ag, ., ayy, khéng 4m, ta có 8; +aAa+ +a 1 9 kủa ai +aa+ +a k k+1 Sw = kel 4 k+l k+1 k+1 4) ì o yyw Từ (4) và theo giả thiết quy nạp, ta có Su, > kRayas aw + 8x¿¡ +1 , + 5 k+l 6) Dấu bằng trong (5) xảy ra (theo giả thiết quy nạp) © 31 =8a = =8 Đặt aia¿ ay = ak) và Aye = ptt, Khi đó (5) có dạng kœÈ?1 + k+l Siu 2 xo +P k+1 (6) Từ (6) đi đến kơk#1 + gk k , Sv.¡ — FNfaias 8y¿ï X———————-~ 0` 8 (7) “k+l Bằng phép tính ta có
kok*! + pet _ kakp _ œ*B 1 k k k
VE) = k+1 “eal (a-B)- Bla -P |
Trang 5VF(7) >0 và VF(7) = 0 © œ = ÿ Từ đó dựa vào (7) và theo tính chất bắc cầu của bất đẳng thức ta có Sy.¡ —*Nfayas ay¿¡ >0 an 8; +as+ +a tức là ——®”————*#+>k*a¡a¿ A 1 (8) ai, =as= .=ay œ=ÿ
a, =a, = =a, = ayy
Vay bat đẳng thức Cô-si cũng đúng khi n = k + 1 Theo nguyên li
quy nạp suy ra (1) đúng với vn = 1, 2 Bất đẳng thức Cô-si được chứng - minh hoàn toàn
Chú ý :
Trang 6SPD
Cor
1
ta, +a, at 82 tas
ay Fag Fag: 3 a, +a, +a,
4 ở
ai+as+a a, ta,t+a
o> 1-23 2 ta, aja, 4-8 3 13283 3 (4) Do a,,a,a3 khéng 4m nén a,+a,+a, 2 0 Tuy nhién néu
a, +a, +a, =O thi bat ding thtic da cho hién nhiên đúng (vì khi đó
a, =a, =a, =0 va ca hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh đều >4la¡asaa bằng 0) Vì thế 4 a, +a, ta a,ta,t+a (4) § 2 3] > a¡asaa — 3 3 a, ta, +a,\ 1——2 3| >a;a¿a (sg +A + ——— > “2b 3/a aoa (5) Theo trường hợp n = 4, thì dấu bằng trong (5) xay ra khi va chi khi a;+as+a
ai =8; =aa =— 3 Sa, =a, =a, Vậy bất đẳng thức Cô-si đúng khi n = 3
38.9 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-sbi
Cho a,, ag, ., 2, Va bj, bạ, ., bạ là 2n số bất kì Khi đó ta có
(aj +a2 + +an (bỉ +bŸ+ + b)> (a,b, +agby+ +4a,b,)° (1)
Dau bang trong (1) xay ra khi va chi khi
41 82 2) Sn, b, by bạ ‹ (2)
(Lưu ý rằng nếu trong (2) b¡ = 0, thì ta sẽ hiểu là a; tương ứng
cũng = 0)
Chúng mình :
Xét tam thức bậc hai sau đây
f(x) = (aj +a5 gt tay jx? ~2(a,b, +agby + 4.a,b, )x +
| + (bỉ + bổ + + bà) Ta có thể viết lại f&) dưới dạng sau :
Trang 7Như vậy từ (3) suy ra f(x)>0, Vxe R (4) Ta chỉ quan tâm khi a? +a2 + +a2 >0 (Vì nếu ai +a2+ +aa =0 thi a, =a, = =a, =0 và lúc này (1) hiển nhiên đúng vì cả hai vế đều = 0) Nhu thé f(x) lA tam thức bậc hai mà f(x)>0, Vxe R, 2,22 a=a?+a2+ +a? >0, nên theo định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có A'<0, hay (a,b, +a,b, + +a„b„)” -(a te +a?)(b; to +ba) <0, tức là 2
(aj +a5 + +a2)(by +bj + +b; )>(ayb, +agb, + +a,by) «
Vậy phần 1 của bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski được chứng minh Theo (3) dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi hệ sau đây
a,x—b, = có nghiệm Điều này tương đương với
—-
bị bạ (với cách hiểu khi b; =0 thì a; =0)
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski được chứng minh hoàn toàn = On
bạ
Chú ý :
Ta cũng có thể thấy rằng : Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski xem - như hệ quả của bất đẳng thức Cô-si Thật vậy ‘ (1) @ |a,b, ta,b.+ +a,b,|< s fa? +az+ ta2 sb? +b? + +b? (5) Ta chỉ cần xét khi a? +a3+ 4a2>0 va b?7+b2+ +b2>0 (vì
nếu một trong hai tổng trên bằng 0, chẳng hạn b? + + bệ =0 thì (5)
hiển nhiên đúng vì cả hai vế của nó đều bằng 0) Vì thế
|arbi + a;b; + + anbạ|
(5) ©
Trang 8e ;Q> Theo tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có |aibi| | lanb,| VT(6) < + (7) a? + +a2 afb? + +b? he + +a? [bệ + + bể Theo bất đẳng thức Cô-si, thì |ai| [b, | < ls bị Ja? + t¢a2 b + ¢b? 2(a/+, E “hỷ + + Đã (8) HP PA P2 E0 000000020009560 0 000094999 906 Cộng từng vế n bất đẳng thức ta có aj + ita “‡| mi bi Ja? + +a2 Te +b? 2(aTƒ+ +a2 "Waa be trén, 2 2 2 2 VE(7) <2 + Pit +r =1 2(a7+ +a ? bƒ+ +b
Từ đó theo tính chất bắc cầu của bất đẳng thức suy ra (6) đúng
Dấu bằng trong (5) xảy ra
© đồng thời có dấu bằng trong (6) và (8) cùng dấu aib, asbạ, , anDn = la| -— bị vi =1,n \a?+ +a? vb?+ +b? e> “be, = 30 bị bạ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski được chứng minh hoàn toàn dựa vào bất đẳng thức Cô-si Bất đẳng thức Trê-bư-sep Cho hai day tăng ai <a¿ < <a„, và bị <b; < < bạ Khi đó ta có
(a, +a, + +a, )(b, +b, + +b,)<n(a,b, +agb,+ +a,b,) (1) Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi
Trang 9“8; : Lấy số b tuỳ ý sao cho bạ <b¿ < <b; <b<b;„¡ < < Dạ Khi đó với mọi k= 1n rõ ràng, ta có (a, —a)(b, ~b)20 = a,b, - bay -ab,+ab>0, ˆ vk=l,n (*) Cộng từng vế n bất đẳng thức dạng (*), ta có Sanh, bay — a> by +nab20 | (**) k=1 k=l Vi 3 8y = nab, nên từ (**) suy ra ¥ a,b; - -aS b, 20, k=1 k=1 k=1 hay Sanh, ` là Nil kel
n(a,b, + +a,b, )2(a, + +a,)(b, + +Db, )
Cũng từ đó suy ra dấu bằng trong (1) xảy ra, nghĩa là hoặc ai =a;= =an hoặc bị = bạ = = bạ Bất đẳng thức Trê-bư-sep được chứng minh Chú ý : Đôi khi bất đẳng thức Trê-bư-sep được phát biểu dưới dạng tương đương sau : Cho dãy tang a, <a, < <a, va day giảm bị > bạ > > bạ Khi đó ta có bất đẳng thức sau
(a, +aa + +an )(bị + bạ + + bạ )> n(aybi +a¿b¿ + +anb,) (2)
Dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên © hoặc a¡ =a¿ = =an hoặc bị = bạ = = bạ
Thật vậy bằng cách đặt b; =-—b/, ta có bị < bạ < < bị Áp dụng bất đẳng thức Trê-bư-sep cho hai dãy tăng
a, <Sa¿< <a„ và bị <b¿ > < bạ, ta có
(ai +a; + +an )(bị + bộ + + bạ )<n(a¡b +asb¿ + + a„ bị )
© -~(ai +a¿ + +an )(bị + bạ + + bạ) <=n(aibi +asbạ + + anba )
© (ai +aa + +an )(bị + bạ + + bạ )> n(arbi +azbạ + +a„ bạ )
Vậy (2) đúng
Trang 10§ 2 CAC TINH CHAT CO BAN CUA GIA TRI LON NHAT VA NHO NHAT CUA HAM SO
1 Dinh nghia
Cho hàm số f(x) xác định trên miền D Ta nói rằng
a) Số M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên miền Ð, và kí hiệu là M=maxf (x), xeD nếu như hai điều kiện sau đây đồng thời thoả mãn : 1 f(x) <M, VxeD
2 Tổn tại xạ eD sao cho f(x))=M
b) Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên miền D, và kí hiệu là m =minf(x), xeD nếu như hai điều kiện sau đây đồng thời thoả mãn : 1 f(x)>m, VxeD
2 Tổn tại xạ eD sao cho f(xạ)=m
-9 Các tính chất cơ bản của giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
9.1 Tính chất 1 :
Giả sử f() xác định trên D và A, B là hai tập hợp con của D, trong
đó A cB Giả sử tổn tai maxf(x), maxf(x), min f(x), minf(x) Khi đó
xeA xeB xeA xeB ta có max f(x) < maxf(x), ~ - (1) xeA - xeB min f(x) 2 min f(x) (2) xeA xeB ' Chitng minh : Ta chỉ cần chứng minh (1) (vì (2) được chứng minh hoàn toàn tương tự) Gia sử maxf(x) = f(xg), với x»eA.Do ACB, nén tu x, eAsuy xeA
ra xạcB Từ đó theo định nghĩa suy ra
f(xạ) < maxf(x), hay max(x) < maxf(x) xeB xeA xeB
Trang 112.2 Tinh chat 2:
Gia sử ham sé f(x) xác định trên D và tổn tại maxf(x) và min f(x) xeD xeD
Khi đó ta có
maxf(x) =— min(-f(x)) ; min f(x) = - max(—fŒ))
xeD xeD xeD xeD ' Chúng mình : Giả sử M = maxf(x) xeD Khi đó theo định nghĩa giá trị lớn nhất, ta có tn (x)<M VxeD fxg)=M, với xạ eD Từ hệ trên suy ra OF ie 2-M VxeD ® -fxo)=-M Theo định nghĩa của giá trị nhỏ nhất, từ (*) suy ra min (~f()) =—M xeD Như vậy ta đi đến max f(x) =-min(-f(x))=> đ.p.c.m xe xeD Phần sau chứng minh hoàn toàn tương tự Nhận xét :
Tính chất 2 cho phép ta chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất thành
bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc ngược lại Điều này có ích trong nhiều
trường hợp cụ thể sẽ xét sau này 3.3 Tính chất 3 :
Trang 129.4 Tính chất 4: * Giả sử fŒ&) xác định trên miền xác định D và miền D được biểu diễn dưới dạng D=D,UD: Giả thiết tổn tại maxf(x) và minf@&) Vi=l,n xeD, xeD,
Khi đó ta có công thức sau :
max f(x) =max {mas f(x), maxiG)) , (1)
xeD xeD, xeD,
min f(x) = min {min f(x),min | (2)
xeD xeD, xeD,
Chitng minh:
Ta chỉ cần chứng minh (1) (còn (2) được chứng minh bằng một cách hoàn toàn tương tự) Vì D, c<D,¡= 1, 2 ; nên theo tính chất 2, ta có
max f(x) < max f(x) ; maxf(x) < max f(x) (3)
xeD, xeD xeD; xeD
Từ (3) suy ra max {max f(x), max ra] <maxf(x) (4)
xeD, xeD, xeD
Giả sử maxf(x) = f(xạ), với xạ eD xeD
Vì D=D,UD; mà xạ eD nên xạ eD, UD; Do vậy xạ phải thuộc
về ít nhất một trong hai tập D,, Dạ Từ đó có thể cho là (mà không hề
làm giảm sự tổng quát) xạ eD;
Từ xạ e Dạ, nên theo định nghĩa về giá trị lớn nhất ta có
f(xạ) < max f(%) (5)
xeD, `
Lẽ hiển nhiên
max f(x) < max {mas f(x), maxf} (6)
xeD, : xeDy xeD;
Từ (5), (6) suy ra
f(xg) = max Í(x) < max {mas f(x), manfo} (7?
xeD xeD, xeD;
Bây giờ từ (4), (7) ta đi đến
max f(x) = taxman f(x), maxto}
xeD xeD, xeD;
Đó là đ.p.c.m
Trang 134° © ự Đ- So SẼ Nhận xét :
1 Tính chất 4 có thể phát biểu dưới dạng mở rộng chút ít như sau :
Nếu miền xác định D của ham sé f(x) c6 dang D=D,UD,U UD,
và giả sử tổn tại maxf(x), minf(x), Vi=lL,n Khi đó ta có
xeD, xeD;
max f(x) = max {mas f(x), max rao] ,
xeD xeD, xeD,
min f(x) = mắn min f(x), min re}
xeD xeD, xeD,
2 Nhờ tính chất 4 nói trên cho phép ta có thể biến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên một miền xác định phức tạp thành một dãy các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ấy trên các miền xác định đơn giản hơn (dĩ nhiên việc giải các
bài toán : tìm max f(x), min f(x) nói chung là đơn giản hơn nhiều so với
xeD; xeD,
việc giải các bài toán tìm maxf(x), minf(x)) Vì lí do ấy nên tính chất 4
xeD xeD
còn hay gọi là nguyên lí phân rã
3 Dựa vào tính chất 2 ta có thể dựa vào phần 1 để chứng minh
phần 2 của tính chất 4 như sau : Theo tính chất 2 thì minf(x)= -max(-f(x)) xeD xeD Dựa vào phần 1 của tính chất 4 (vừa chứng minh), ta có minf(x)= de ng nax( 0}
xeD xeD, xeD;
Trang 142.5 Tinh chat 5:
Cho các hàm số f,(x), £,(x), ., £,(x) cling x4ec dinh trén mién D
Đặt f(x) = f,(x)+f,(x)+ +£,(x) Gia si tén tai maxf(x), min f(x)) xeD xeD
max f;(x), min fj (x) VỚI mọi 1= 1,n
xeD xeD
Khi đó ta có
max f(x) < max f, (x)+ max f,(x)+ + max f, (x), (1)
xeD xeD xeD xeD
min f(x) > min f, (x)+ min f,(x)+ + min f, (x) (2)
xeD xeD xeD xeD
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tổn tại xạ e D sao cho max f,(x) = f,(x)), Vi=1n xeD Dau bing trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại xạ eD sao cho minf(x)=fÍ(%ạ), Vi= ln xeD Chứng mình :
Ta chứng minh (1) (với (2) phép chứng minh hoàn toàn tương tự) Lấy tuỳ ý xeD Theo định nghĩa của giá trị lớn nhất ta có f.(x)< maxf,(x), Vi=1,n - (8) xeD Cộng từng vế n bất đẳng thức (3), ta có f(x) = f(x) + + f, (x) < max f, (x)+ + max f, (x) (4) x;eD x,eD
Vì bất đẳng thức (4) đúng với mọi xe D, nên ta có
max f(x) $ max f,(x)+ + max f, (x) (5)
xeD xeD xeD
Vậy (1) đúng Bây giờ ta xét khả năng có dấu bằng trong (1) Giả sử tổn tại xạ eD mà maxf.(x)=f,(xạ), Vi=l,n xeD Từ đó ta có max f, (x)+ + max f, (x) = f, (Xp) + +f, (X%) =f@xạ) (6) xeD xeD Do (xạ) < maxf(x), nên từ (6) suy ra xeD
max f, (x)+ + max f, (x) < max f(x) (7)
xeD xeD xeD
Từ (5), (7) suy ra trong trường hợp này xây ra dấu bằng trong (1)
Đảo lại, giả sử dấu bằng trong (1) xảy ra, tức là -
max f(x) = max f, (x)+ + max f, (x) (*)
xeD xeD xeD
Trang 150? GEE Khi đó, gọi xạ là giá trị (cD) sao cho f(xạ)= maxf(x) Như thế, với xeD Vi= 1,2, ,n, ta cũng có f,(xạ)=maxf(x), vì nếu ngược lại, sẽ tổn tại xeD ke{1, n} mà Ít (xạ)< maxft(x), suy ra (*) không còn đúng nữa (vế trái xeD lớn hơn vế phải) Vậy tính chất 5 được chứng minh Nhận xét :
1 Tinh chat 5 cho ta thay rang nói chung không thể thay việc tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một tổng các hàm số bằng việc tìm tổng các giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của từng hàm số đơn lẻ Tuy nhiên, nếu điều này sẽ thực hiện được trong các trường hợp như đã xét ở trên, bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nhiều
2 Tính chất 5 cũng cho phép ta chứng minh bất đẳng thức Svác-xơ một cách độc đáo như sau : Bất đẳng thức Suác-xơ Cho ay, a;, , an >0 Khi đó ta có 2 2 2 2 bí b b b, +b, + +b br bộ, bh (i tbe + tba) a, a, ay a, tagt ta, Chúng mình : Giả sử xét hàm số f,(x) =a¡x? +2b¡x Do a; >0 nên theo tính chất của hàm số bậc hai, ta có min f, (x) = f, (-2] = ch, xeR a ay Tương tự xét f (x) =ayx? +2b,x và cũng có —b? min f,, (x) = —È*, k=2,3, ,n xeR a, Dat f(x) = f(x) + f(x) + + f(x)
=(a, tag + +a,)x? +2(b, +b, + +b,)x
Theo tính chat 5 của giá trị lớn nhất, ta có
min Í (x)+ min f; (x)+ + min f, (x) < min f(x) (1) xeR xeR xeR xeR
bị + bạ + + bạ )Ÿ
Ta lại có min f(x) = (dy + bp tt Pa)
xeR ay +a, + tan
Trang 16c® 2 Ai 42 an 8¡+aa+ +an Lạ Để 2 (by tby+ +by)” bh ee Pay (br tby tt Pa) (2) a, ay a, ata t ta,
Bất đẳng thức Svac-xơ được chứng minh
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi, tất cả các hàm số f,(x), f;(x), f () cùng đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm chung Vi ¬ as ay gi ee b f, (x) dat gia tri nho nhất tại một điểm duy nhat x, = ——*, và cũng như a, “sg eo AT x⁄ +b + +b vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm duy nhất x, = _Địtba+ tạ ai +aa + tần nên dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi _ĐL_~_ĐPz_. Pn = n Dị bạ by a, 8a ay ay, 8a an Hoàn toàn tương tự như tính chất 5, ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau đây : 3.6 Tính chất 6:
Gia su f,(x), £,(x), ., £,(x) cing xdc định trên miển D và ta có f(x)>0 VxeD, Vi=l,n Giả thiết tén tai maxf,(x), minf,(x),
xeD xeD
maxf(x), minf(x), ở đây f(x)=fi(%) É(%) f œ%) vài = 1,n Khi đó
xeD xeD
ta có
max f(x) < [max f, (x) | max (0) ~{ max fi, @) , (1)
xeD xeD xeD xeD
min f(x) < (min fi (x) | min f, «| vee min fi, «0 (2)
xeD xeD xeD xeD
2.7 Tính chất 7:
Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số cùng xác định trên miền D Đặt
h(x) =f(x)—g(x) Giả sử tổn tại các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các
hàm số f(x), g(x), h(x) trên D Khi đó ta có
max h(x) < max f(x)- min g(x), (1)
xeD xeD xeD
min h(x) 2 min f(x)- max g(x) (2) xeD xeD xeD
Trang 17AS ` Ye 9 “Oy, Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tổn tại xạ e D sao cho maxf(x) = f(x;) ; min gŒ) = g(%Xạ) xeD xeD Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tổn tai xy ¢ D sao cho min Ẩ(x) = (xạ); maxg() = g(%ọ) xeD xe Chitng minh : Ta chỉ cần chứng minh (1) Ta có h(x) = Í() - g(x) = f(x) + (-g(x)) Theo tính chất 5 ta có
max h(x) < max f(x) + max (—g(x)) _ (3) xeD xeD xeD
Theo tính chất 2, ta có
max(-g(x)) = - min [-(-gœ)) | =-mỉn g(x) (4)
xeD xeD xe
Thay (4) và (8) ta có
max h(x) < max(x) - ming(x)
xeD xeD xeD
Vậy (1) đúng
Vẫn theo tính chất 5 thì dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi
tổn tại xạ eD sao cho ta có max f(x) = f(xạ) ; max(-g()) = —g(%q) xeD xeD Nhung max(-g(x)) = -g(x9) © ~min g(x) =—g(Xq) xeD xe = min g(x) = g(X9) D6 chinh 1a d.p.c.m 2.8 Tinh chat 8:
Gia su f(x), g(x) là các hàm số xác định và dương khi xeD Đặt
f * AZ, è z "z “ AZ, ` 3 a’, ° z
Trang 18“Vaya CY SOD OY Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tổn tại xọ e D, sao cho maxf(x) = Í(xạ) ; ming(x) = ø(%ạ) xeD xeD Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tổn tại xạ eD, sao cho min f(x) = f(xg) ; max g(x) = ø(Xạ) xeD xeD Chitng minh : Tính chất 8 suy ra trực tiếp từ tính chất 6 với chú ý rằng (do f(x)>0, g(x)>0, VxeD) 1 1L, 1 | 1—_ na)" min g(x) ° xD (zs) max g(x)’ xeD xeD 2.9 Tính chất 9: 1 Giả sử f(x) là hàm số xác định trên miền D Khi đó với mọi n nguyên dương ta có =3n+ 2n+1 max f(x) =2 ymax Lí (x)],
min f(x = ane] min| f?*?!(x) |, min f(x) = ®mÙmip[F?66)]
2 Nếu thêm vào giả thiết f(x) 20, thi với mọi n nguyên dương ta cũng có các công thức sau : - max f(x) = ›p|max f?"(x) |, xeD &) xeD L _ 2n min f(x) = 2min| f (x)} Chứng mình : Tính chất 9 được suy trực tiếp từ định nghĩa của giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và các tính chất 7 và 8 của bất đẳng thức Nhận xét :
Trong thực tiễn, người ta thường sử dụng một trường hợp riêng
của tính chất 9 như sau :
Nếu f(x)>0 với VxeD, thì
max f(x) = |max f?(x) ; minf(x) = lmin f?(x)
xeD xeD xeD xeD
Điều này sẽ rất có ích để giải các bài toán thuộc dạng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số f(x) khi chúng được cho dưới đạng
căn bậc hai hoặc có chứa biểu thức uới dấu giá trị tuyệt đối
Trang 192.10 Tính chất 10 : Giả sử f(x) là hàm số xác định trên D và tổn tại maxf(x), xeD Lo Chitng minh : Áp dụng tính chất 2, thì hệ thức (1) có dạng tương đương sau đây : min f(x) Khi dé ta cé xeD min f(x) xeD , max|f(x)| = max| xeD max f(x) xeD max f(x), jmin f(x) xeD , xeD max|f (x)|= max| Lấy tuỳ ý xạ eD, khi đó xảy ra hai khả năng sau : 1 Nếu f(xs)>0 Khi đó ta có |f(xo )| = f(x 9) < max f(z) < |max f(x)| (3) xeD xeD Từ (3) hiển nhiên suy ra |f(x)| < a max f(x)}, max (-f(x)) | (4) xeD xeD 2 Nếu f(xạ)<0 Lúc này ta lại có |f(xg)|=—f(xạ) < max(-f()) < |max(-f(z))) xeD xeD Vì vậy ta cũng có |f(xe)|< max| max(-f())|, [max f(x) | (5) xeD xeD
Từ (4), (5) và để ý rằng xạ là phần tử tuỳ ý của D, suy ra
|f()|< mai maxf(x)|, max(fo) | VxeD (6)
xeD xeD
Không giảm tổng quát có thể cho là
man max f(x)|, [max (-f(x)) =|max f(x) (7)
Trang 20Gia sử |maxf(x)| =|f(o)|, xẹeD - (8) xeD Từ (7), (8) suy ra |f(Xp)| == mai max f(x)}, |max(-f(%)) L (9) xeD xeD Từ (6), (9) và theo định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số, ta có ngay | lfœj)|= man L Đó chính là d.p.c.m 9.11 Tính chất 11 : Xét hàm số f(x) xác định trên miền D và giả sử tổn tại minf(x), xeD max(-f()) xeD max f(x) xeD max f(x), trong dé xeD D, ={xe D: f(x) >0} va D, = {xe D: f(x) <0} Khi đó ta có công thức sau : Chứng mình :
Vì Dị ={xeD:f(x) >0}, nên Jf()| =f(x), VxeD, Theo giả thiết
Trang 21Oh ode ogi = Day We eco = max f(x) xeD, Từ (3), (4) và theo định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta thu được (4) min (|f(x)|) = xeD; max f(x) xeD; (5) Áp dụng nguyên lí phân rã (tính chất 4) kết hợp với (1), (5) ta có
min |f(x)| =min i f(x),|min f(x)
xeD xeD, xeD,
= min in f(x),|max f(x) L
xeD, xeD;
Tính chất 11 được chứng minh hoàn toàn
2.12 Tính chất 12 :
— Giả sử f(x) là hàm số xác định và liên tục trên D Khi đó nếu gọi
M, m tương ứng là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) trên miền D, thì 0, néuMm < 0 min|f(s) ~ (min {MI, JmÌÌ, néu Mm > 0 Chứng mình : 1 Nếu Mm <0 Khi đó ta có M>0>m (Chú ý là M>m) Vì vậy dựa vào tính liên tục của hàm số f(x) suy ra tổn tại xạ eD sao cho (xạ) =0 |f(x) 20 VxeD Ta có |xe)=0 xạeD Dựa vào định nghĩa của giá trị bé nhất của hàm số suy ra min |£(x)| =0 : xeD
2 Nếu Mm >0 Không giảm tổng quát có thể cho là M>m>0
Trang 22Chương II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) trên một
miền D cho trước, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác
nhau Trong phạm vi của cuốn sách này (dùng cho chương trình trung học cơ sở), chúng tôi chỉ trình bày ba phương pháp sau đây
- Phương pháp bất đẳng thức - Phương pháp miền giá trị hàm số
- Phương pháp chiều biến thiên hàm số
§ 1 PHUONG PHAP BAT BANG THUC
Phương pháp bất đẳng thức được xem như là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Phương pháp này, như tên gọi của nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa
của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số Vì thế lược đồ chung
của phương pháp bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số f(x) trên một miền D cho trước nào đó có thể miêu tả như sau :
- Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng f(x)>œ VxeD với bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc f(x)<œ VxeDvwới bài
toán tìm giá trị nhỏ nhất)
- Sau đó chỉ ra một phần tử xạeD sao cho ta có đẳng thức f(xạ)= œ Cần lưu ý rằng trong hai bước nói trên, không được xem nhẹ
bước nào Tuỳ dạng của bài toán cụ thể, mà ta sẽ lựa chọn một phương
pháp chứng minh bất đẳng thức thích hợp, cũng như cách chỉ ra phần tử
xọ €D ở bước 2 của thuật toán
Trang 231 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si Bài 1 - Cho hàm số f(x) = Ÿ1—- x? +ÿ1-x+Ÿ1+x xét trên miền D={x:-1<xs]} Tìm giá trị lớn nhất của f(x) trên D Bài giỏi : Từ hệ bất phương trình 1-x?>0 1-x20 = -I1sx<i, 1+x20 suy ra D cũng chính là miền xác định của f(x) Với mọi xeD, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ÑI-xt=i~x.1+xs TT, — QQ) W1-x=41-x,1<—<=”, (2) UTex = fire 1s Ett, (3) Từ (1), (2), (3) bằng cách cộng từng vế của chúng, ta có f(x)<1+V1+x+Vvl-x VxeD (4)
Vì dấu bằng trong (1), (2), (3) đều xảy ra khi và chỉ khi x=0, nên dấu bằng trong (4) xây ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng xảy ra
trong (1), (2), (3) Do vậy dấu bằng trong (4) chỉ xảy ra khi x = 0
Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si, với mọi xe D ta có
ýax-vix.l<t2Ð 3), (5)
Jive = Vinx 1s** 073) (6)
Tw (5), (6) di dén
1+V1+x=V1-x <3 (7)
Vi d&u bang trong (5), (6) déu xay ra khi và chỉ khi x = 0, nên dấu bằng trong (7) xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng xảy ra trong
(ð) và (6) Vì thế dấu bằng trong (7) xảy ra khi và chỉ khi x = 0 Từ (4) và
(7) đi đến
Trang 24f(x)<3, VxeD Theo trên ta có f(0) =3, mà 0e D Từ đó ta đi đến kết quả sau : max f(x) =3 xeD / Bai 2
Tim giá trị bé nhất của hàm số
F&y.2)=(sye+1)(Š +2 về | Š + Š + Ễ =xs y—s trên miền
x y z) y #ø# xX
D = {(x,y,z): x > 0,y > 0,z > 0}
Bai gidi: Viết lại hàm sé f(x, y, z) dưới dạng sau :
f(x, y,Z) -(z+Ÿ)*(v+Š)x(ø+#]+‡+Ö+2~+y xe, (1) Z y “ x} y y x Lay (x, y, z) tuỳ ý thuộc D Áp dụng bat đẳng thức Cô-si, ta có yz+~>2y, Z xy +~ 2 2x, y Xz+^>9z x (Chú ý là x>0, y>0, z>0) Từ đó suy ra 1 fx,y,z)>x+y+z+++++t x y Z7 fonsade(x+2)+[y+2)+(242) 20 x y Zz
Như vậy ta có f(x,y,z)>6, V(x,y,z)¢D
Trang 26Lai theo bất đẳng thức Cô-si, ta có
Trang 27f(x, y,z) 218, Vi (1, 1, 1) e D va f(1, 1, 1) = 18, nên suy ra min f(x,y,z) =18 (x,y,z)eD V(x,y,z) € D '@ Bài 4 Cho hàm số £(x,y,2,t) == ++-y ,J-Z,Z-x HT YtZ Z+X x+t’
xét trén mién D = {(x, y, z, t):x>0, y>0, z>0, t>O}
Trang 281 + 1 2 4 yrs X+t X+y+Z+t (5) Từ (3), (4), (B) có " 4(x+y) + 4(z+t) X+y+Z+t Xx+y+Z+t f(x, y, z, t)20, V(x, y, z, t)eD Lại có f(1, 1, 1, 1) =0 mà (1, 1, 1, 1) € D _ Vì thế suy ra kết quả sau : f(x, y,z,t)2 -4, hay mn f(x, y,z,t)=0 — (x,y,zt)eD Chú ý :
Nếu đầu bài đòi hỏi : Tìm mọi giá trị của (x, y, z, t) e D làm cho
hàm số f(x, y, z, t) đạt giá trị nhỏ nhất trên miền D-thì ta làm như sau : _ Dấu bằng trong (4) xảy ra ©t+y=z+x (*)
Dấu bằng trong (5) xayrac>y+z=xtt (**)
Trang 29sô & VN ( ` x+- >2 (2) 2x 1 +— 2,2 | 2y @) xX y “+#*>2 yx (4) 1(1 1 1 v23 -|—+—l>——>———=-42 HỆ 3 Vxy lx2 + y2 (5) _ Cộng từng vế (2), (3), (4), (5) và để ý đến (1) suy ra f(x,y) 2 3V2 +4
Nhu vay tacé (x,y)> 3V2 + 4, V(x,y)cD
Trang 30EOD
eo”
Tuy nhiên ta có hai hệ phương trình tương đương :
r
& < [x>0, y>0; x+y? =1 xX y (**)
Mà hệ (**) vô nghiệm, vậy ta có từ (*)
f(x, y)>8 V(x, y)eD,
Từ đó chưa có thể nói gì đến min f(x,y) Đó chính là lí do vì sao phải
` (x,y)eD
viết f(x,y) dưới dạng như trên !
Qua đây cũng thấy rõ vai trò của phần 2/ trong các định nghĩa về
Trang 3193
> Sơ S88:
<> f(x, y)23 (1)
Như vậy V(x, y)eD, ta có đánh giá (1) Lại theo bất đẳng thức
Trang 32v 1 > >8 Xyz hay (1+x)1+y)1+z) (l+x)1+y)1+z) 1 Xyz<-— yas (4) 4 Như vậy ta đã chứng mình được f(xy,2) <<, V(x, y,z) € D Mặt khác f| 1,1 +Ì~1 mà giang JeÐ, nên 222)78 2'95 max f(x,y,z) =4, (x,y,z)eD 8 Bài 8 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số Í(x, y,Z) = (1 ih +} +2) xX y Z
trén mién D={(x, y, Z):X>0, y>0, z>0 và x+y+z= 1}
Trang 33(1+x)(1 +y)(1 + y) > 64xyz Từ (1), (5) suy ra f(x,y,z)264, V(x,y,z)eD 111 Matkhae ¢(i,+ 3) 64, v à (Š:a›g)= nên ta đi đến 3°3°3 3°3°3 min f(x,y,z) = 64 (x,y,z)eD 2 Viết lại hàm số f(x, y) đã cho dưới dạng sau đây 1 ởx 6 by | 10
8Œ%,y)= 2 (X+y)+- + tr + y"
Trang 34OO SS 2x=Šœx=3; còn dấu bằng trong (7 xảy ra © x : 3y =1 a y= = Diéu dang nói là 6H lại «D y vi v3 +, | <4| Vì thế chưa có thể nói gì về min f(x,y) 3 (x,y)eD
Nói khác đi bài tốn khơng “q đơn giản” như nhiều bạn tưởng
2 Chìa khoá để giải bài toán trên là tách ra khỏi hàm số ban đầu thành phần s(x +y) Lam sao lại “nghĩ” ra điều ấy ! Bản chất của vấn để có thể được lí giải như sau :
Trang 35Bai 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 6 6 6 x yŠ z Í(x,y,z)=-g——y†~§—g† 7g x+ty) y°+z? z2+x Ta xét trên miền D= Í(@,y,5): x > 0,y > 02 > 0,xyjXy + y2 yz +2xvzx = 1} 36 Bài giải : Đặt X=xỶ, Y=yŸ, Z=z3 „ thì min f(x,y,z)= min F(X,Y,Z), 6 day (x,y,z)eD (x,y,z)eD x? v2 72
F(X, Y,Z) = CXY,Z2=v.LÝY yon asx + + à
D{@,Y,Z):X >0,Y >0,Z>0, JXY + JVYX + VZX =1)
Trang 362° tên Q¡ Từ đó theo trên, suy ra ngay kết quả sau : , min Í(x,y,z)= i (x,y,z)eD 2 Nhận xét : Cách giải trên là của Phan Huy Đức”) Bài 10 Cho hàm số f(x, y,Z) = 5 5 pta+te, xe +y? +27 xy yz 2x xác định trên miền Tìm giá trị bé nhất của f(x, y, z) trên D D=ÍŒ, y, z):x>0, y>0, z>0 và x+y+z= 1} Bài giải :
Với mọi (x, y, z) e D và theo bất đẳng thức Cô-si, ta có oy tyz+en( tated leg
xy yZ 2x
nay boty xy ÿZ 7X xy+yz+zx ty 9
Từ (1) suy ra V(x,y,z) c D, ta có
1 1 1 1 1 9
Trang 37Bây giờ từ (2), (3) suy ra bất dang thức sau đây đúng V(x,y) eD
f(x,y,z)> 3 "- À1
§(x? +yˆ? +z?)(xy +yz+ zx) 3(xy + yz + 2x) Theo bat đẳng thức Cơ-si lai cé6 V(x, y)¢D
x? +y? +2°(xy + yz+zx) _ (x? +y?+ z?)(xy +yz+ZX) < 3 _(xt+y+z 1 (B) 3 3’ va 3(xy + yz t+ zx) <(x+y+z)? =1 (6) Từ (4), (5), (6) ta đi đến bất đẳng thức sau đây đúng V(x,y,z) eD 3 21 Poy 227+ hay 8 f(x, y, z)230, V(x, y, z)eD (7) vi(+ 2 cs]<Ð và tÍ ià, 3)" 30 318'3 333 —— 8 nên từ (7), (8) suy ra min (x,y,z) = 30 (x,y,z)<D Nhận xét :
Nếu bài toán đòi hỏi thêm : Tìm tất cả các giá trị (x, y, 2 e D để cho f(x, y, z) đạt giá trị bé nhất, thì ta sẽ làm như sau :
Dấu bằng trong (7) xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng
trong (1), (3), (5), (6) Theo bất đẳng thức Cô-si, thì điều ấy xảy ra khi và
chỉ khi hệ phương trình sau được nghiệm đúng xy = yz = zx (9) x? +y2 +22 =xy + yz + zx (10) x=y=z (11) x,y,z > 0 (12) xty+z=1 (13)
(9) 1a diéu kién để trong (1) có dấu bằng ; (10) là điều kiện để
trong (3) và (5) có dấu bằng ; (11) là điều kiện để trong (6) có đấu bằng ;
còn (12) và (13) là điều kiện để (x, y, z) e D)
38
Trang 38-Dé thay (7), (8), (9), (10), (11) có nghiệm duy nhất x = y = z = G52|— 11 3) là giá trị duy nhất của các biến số thuộc miền D va “y (3 3°3 Do’ a? thoả mãn yêu cầu đặt ra Bài 11 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x,y,Z)=—————+—————+——^——+(1-x)(1-y)(-—z) y+z+l z+x+l l+x+y
trên miền D={(x, y, z):0<xs1;0sy<1; 0<z<1}
Bài giải :
Lấy phần tử tuỳ ý (x.y,z)eD, khi đó 0<x<1, 0<y<1, 0<z<1
Trang 39Như vậy ta đã chứng minh được V(x,y,z) eD, thì f(x, y,2) <1 (6) Do (1, 1, 1) e D mà f(1, 1, 1) = 1, nên từ đó ta đi đến điều khẳng định max (x,y,z) =1 (x,y,z)eD Nhận xét :
1 Nếu đầu bài cũng đòi hỏi tìm mọi giá trị (x, y, z) e D để ứng với nó hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất, thì ta phải làm như sau :
Dấu bằng trong (1) xảy ra © đồng thời có dấu bằng trong (1), (2), (3), (4)
Dấu bằng trong (1 xảy ra © 1—-b=1-c=1+b+c
@b=c=0
Dấu bằng trong (2) xảy ra © y = z = 0 hoặc x = 1 Dấu bằng trong (3) xảy ra © y = 0 hoặc x = y Dấu bằng trong (4) xảy ra © z = 0 hoặc x = z
Từ đó suy ra với giả thiết x>y >z, thì dấu bằng trong (5ð) xảy ra khi và chỉ khi * Hoặc là y = z = 0 * Hoặc là x= 1; y=1;z=0 * Hoặc là x=1;y=0;zZ1 * Hoặc là x = 1 ;y =1; z = 1
Như vậy tập hợp tất cả các giá trị cần tìm của các phần tử (x, y,z)eD làm cho hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bao gồm các phần tử sau :
* Có hai thành phần bằng 0, thành phần thứ ba tuỳ ý _* Có hai thành phần bằng 1, thành phần thứ ba = 0
* Có ba thành phần bằng 1
Chính vì thế, nếu đầu bài chỉ đòi hỏi tìm giá trị lớn nhất hoặc
nhỏ nhất của hàm số trên một miền đã cho, thì chỉ cần làm như định
nghĩa để tránh những phức tạp không cần thiết !
*
40
3
Trang 40Bai 12 Tim giá trị lớn nhất của hàm số f(x,y,z)= J1—x +xj1-y +v1-z, trên miền D=Í{Œ,y,z):x>0, y>0, z>0, x+y+z=]) Bài giải : Lấy (x, y, z) tuỳ ý thuộc miền D Theo bất đẳng thức Cô-si ta có a-x).Š <——Š (1) a-y).5 < ——3, (2) 4-2 <——Ê (3) - Cộng từng vế (1), (2), (3) với chú ý x + y + 2 = 1, ta có J2RX+y+2)<2 => f(x,y,z)< V6, V@y,z)eD Mặt khác dễ thấy Iiiao và do (sealed nén suy ra max f(x,y,z)= V6 (x,y.zeD Nhận xét :
1 Dễ thấy ($2) cũng là phần tử duy nhất của D làm cho
f(x, y, z) đạt giá trị lớn nhất nói trên
2 Bằng cách lập luận hoàn toàn tương tự, ta có kết quả tổng quát
sau : Với n>2, thì ‘
max f(Xi,xs, x,) =jaœ =1), ở đây (X,X;, ,Xa )€D