Bài 19: Cho ñoạn mạch R-L-C nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có L thay ñổi ñược, mạch ñiện ñặt dưới hiệu ñiện thế u = U 0cos ωt V U không ñổi, ω cho trước.. Khi thay ñổi L thì thấy hiệu [r]
(1)Facebook: matnasat-tran (2) Chuyên ñề khảo sát giá trị cực ñại, cực tiểu U, I, P I C¬ së lý thuyÕt: Thực tế giải các Bài tập Vật lý để tính giá trị cực đại cực tiểu các đại l−ợng Vật lý thì chúng ta th−ờng dùng số công thức, kiến thức toán học Do đó để giải đ−ợc các bài tập đó cần phải nắm vững số kiến thức toán học sau đây: Bất đẳng thức Côsi: a + b ≥ ab (a, b d−¬ng) a + b + c ≥ 3 abc (a, b, c d−¬ng) + DÊu b»ng x¶y c¸c sè b»ng + Khi Tích số không đổi tổng nhỏ số Khi Tổng số không đổi, Tích số lớn số * Ph¹m vi ¸p dông: Th−êng ¸p dông cho c¸c bµi tËp ®iÖn hoÆc bµi to¸n va ch¹m c¬ häc Bất đẳng thức Bunhia côpxki (a1b1 + a2b2)2 ≤ (a1 + a2)2 (b1 + b2)2 a b DÊu b»ng x¶y = a2 b2 * Phạm vi áp dụng: Th−ờng dùng các bài tập chuyển động học Tam thøc bËc y = f(x) = ax2 + bx + c + a > thì ymin đỉnh Parabol + a < thì ymax đỉnh Parabol b −∆ + Toạ độ đỉnh: x = - ; y = 2a 4a (∆ = b2 - 4ac) + NÕu ∆ = th× ph−¬ng tr×nh y = ax2= bx + c = cã nghiÖm kÐp + NÕu ∆ > th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt * Phạm vi áp dụng: Th−ờng dùng các bài tập chuyển động học và bài tập phÇn ®iÖn Giá trị cực đại, Hàm số sin côsin (cos ϕ )max = 1⇔ ϕ = 00 Và (sin ϕ )max = ⇔ ϕ = 900 (3) * Th−êng dïng c¸c bµi to¸n c¬ häc - §iÖn xoay chiÒu Kh¶o s¸t hµm sè - Dùng đạo hàm - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu Th−ờng áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều (vì lúc đó học sinh đ\ đ−ợc học đạo hàm) • Ngoµi qu¸ tr×nh gi¶i bµi tËp chóng ta th−êng sö dông mét sè tÝnh chÊt cña ph©n a c a+c a−c thøc = = = b d b+d b−d II NỘI DUNG Thay ñổi L,C, f ñể các hiệu ñiện cực ñại, công suất cực ñại, I cực ñại Loại 1: Thay ñổi w f ñể hiệu ñiện hai ñầu ñiện trở cực ñại Phương pháp: U R = I R = U R U R = Z AB R + ( Z L - ZC )2 ì ïU = U AB ï R ï U ï ® í I max = AB R ï LC ï ïP = U ïî max R Nhận xét: UR cực ñại mẫu số min, nên Z L = ZC ® w R = Loại 2: Thay ñổi w f ñể hiệu ñiện hai ñầu tụ ñiện cực ñại Phương pháp: U C = I Z C = = U Z C = Z AB U U Z C R + ( Z L - ZC ) = U = R + (Z L - ZC ) Z 2C = U ( L C )w + ( R C - L.C )w + æZ ö R2 1 + çç L ÷÷ - Z L + ZC Z C è ZC ø Đặt x = w ® y x = ( L2C )w + ( R 2C - L.C )w + 2 2 U R +Z = L + Z 2C - Z L Z C Z 2C U (1) yx Nhận xét : U c cực ñại mẫu số cực tiểu nên yx ñạt giá trị cực tiểu vị trí æ 2L ç - R2 ç C çw C = b L.C - R 2C 2 LU L x=«w2 = ® ® U Cmax = ç 2 2a L C ç R LC - R 2C 2 LC - R 2C ç çw C = L2C è Loại 3: Thay ñổi w f ñể hiệu ñiện hai ñầu cuộn cảm cực ñại (4) U L = I Z L = U Z L = Z AB U Z L R2 + (Z L - ZC )2 U = = U R + (Z L - ZC )2 Z 2L U = U = R + Z L + Z C - Z L Z C Z 2L = U (1) yx 1 R2 æ Z ö2 R2 C ÷ ( ) ( ) +1 + ç + ç ÷ - 2ZC + 2 LC w L LC w Z Z Z è Cø L L 1 R2 Đặt x = ® yx = ( 2 ) + ( - ) + Nhận xét UL cực ñại mẫu số cực tiểu, y cực w LC w L LC w æ çw L = R2 ç C 2L - R - ç b LU tiểu giá trị x = - « = LC L ® ç ® U Lmax = C w 2a ç R LC - R 2C 2 2 ç L C çw L = LC - R 2C è Chú ý: Hệ thức liên hệ giá trị trên là : ìïw R = w L w C í 2 îï f = f f Các bài tập mẫu Bài 1: Cho mạch gồm R = 40W , cuộn dây cảm L=1H, và tụ C = 625m F mắc nối tiếp Đặt vào hai ñầu mạch ñiện áp xoay chiều có biểu thức u = 220cosw t , thay ñổi w ñể ñiện áp hiệu dụng hai ñầu tụ cực ñại Tính giá trị w ? A 20,3 rad rad B 28,3 2 Bài giải: C 38,3 rad Khi w thay ñổi ñể U Cmax thì w C = D 18,3 rad 2 LC - R 2C rad = 28,3 2 2L C s Bài 2: Cho mạch gồm R = 50W , cuộn dây cảm L=0,314 H, và tụ C = 100 p m F mắc nối tiếp Đặt vào hai ñầu mạch ñiện áp xoay chiều có biểu thức u = 220cosw t , thay ñổi f ñể ñiện áp hiệu dụng hai ñầu tụ cực ñại Tính giá trị f ? A 53,87Hz B 23,87Hz C 33,87Hz D 43,87Hz Bài giải: Khi f thay ñổi ñể U Lmax thì w L = w ® f = = 53,87 Hz 2 LC - R C 2p Bài 4: Cho mạch R-L-C nối tiếp, hiệu ñiện hai ñầu mạch không ñổi, f thay ñổi Khi w = w1 = 50p rad rad thì U Lmax , còn w = w = 40p thì U Cmax Hỏi với giá trị nào w thì s s hiệu ñiện hai ñầu ñiện trở cực ñại? A 20p Bài giải: rad s rad rad C 15p s s ìïw R = w L w C áp dụng mối liên hệ í ® w = w1 w = 20p ïî f = f 21 f 2 B 10p D 30p rad s Bài 5: Cho mạch R-L-C nối tiếp, hiệu ñiện hai ñầu mạch không ñổi, f thay ñổi Gọi f ; f1 ; f là tần số ñể U Rmax ; U Lmax ; U Cmax Hỏi hệ thức nào sau ñây ñúng? A f = f` + f B f = f`1 f C f1 f = f0 f2 D f 21 f 2 f1 + f (5) ìw = w w f f Bài giải: áp dụng mối liên hệ ïí 2R L2 C ® f 20 = f1 f ® = îï f = f f f0 f2 Bài 6: Cho mạch ñiện xoay chiều R-L-C mắc nối tiếp biết C = 10−3 π F và L= π H ( Lấy π = 10 )Thay ñổi tần số có dòng ñiện hiệu dụng mạch lớn Tính giá trị tần số ñó? A 15Hz B.10Hz C 12,5Hz d 15,81Hz Bài giải: Dòng ñiện cực ñại mạch xảy cộng hưởng f = 2π LC = 1 10−3 2π π = 15,81Hz π ω Loại 4: Khi cho ω thay ñổi tới hai giá trị là → U L = U L Vậy với giá trị nào ω0 thì ω2 U Lmax ? Phương pháp: Từ phương trình x = w ® yx = ( 1 R2 ) +( ) + có hai nghiệm theo LC w L LC w 2 R2 − 2 1 −b ñịnh lý viét: x1 + x2 = ↔ + = LC L (1) Và w = (2) Từ (1) và (2) ta có a ω1 ω2 2LC - R 2C L2C 1 + = 2 ω ω ω Cách 2: Cho ω = ω1, ω = ω2 thì UL Tính ω ñể ULmax U Khi ω = ω1: U L1 = ZL1.I1 = 1 R + ω1L − ω1L ω1C U Khi ω = ω2: U L2 = ZL2 I2 = 1 R + ω2 L − ω2 L ω2 C U = = R2 + 1- 2 ω1 L ω1 LC U R2 + 1- 2 ω2 L ω2 LC UL khi: U L1 = U L2 R2 R2 ⇔ 2 + 1 − = 2 + 1 − ω1 L ω1 LC ω2 L ω2 LC ⇒ R2 1 1 1 − = − 2 − + L ω1 ω2 LC ω1 ω2 LC ω1 ω2 ⇒ R2 = 2 L LC 1 1 1 1 R 2C2 R2 2L LC − + ⇒ + = LC − = C − ω12 ω22 ω12 ω22 C R2 1 2L Điều kiện ñể ULmax khi: = C − = + ωL C ω1 ω2 Loại 5: Cho ω = ω1, ω = ω2 thì UC Tính ω ñể UCmax Khi ω = ω1: U C1 = ZC1.I1 = U ω1C R + ω1L − ω1C 2 = U ω12 C2 R + ( ω12 LC − 1) (6) Khi ω = ω2: U C2 = ZC2 I = U ω2 C R + ω2 L − ω2 C = U ω22 C R + ( ω22 LC − 1) UC khi: U C1 = U C2 ⇔ ω12 C2 R + ( ω12 LC − 1) = ω22 C2 R + ( ω22 LC − 1) 1 ⇒ C2 R ( ω12 − ω22 ) = LC ( ω22 − ω12 ) LC ( ω22 + ω12 ) − 2 ⇒ C2 R = −2L2C2 ( ω22 + ω12 ) − LC 2 1 L R2 ⇒ ( ω22 + ω12 ) = − L C Điều kiện ñể UCmax khi: ωC2 = L R2 2 − = ( ω1 + ω2 ) L2 C ìï L = L1 ® U L1 = U L2 ïî L = L2 Loại 6: Khi cho L thay ñổi tới hai giá trị í Vậy với giá trị nào L thì U Lmax ? Phương pháp: U Lmax xảy Z L = R + Z 2C (1) Còn ZC ìï L = L1 ZL Z L2 Z L1 U U ® U L1 = U L2 « « = Z L1 = Z L2 « = í Z AB Z ' AB Z AB Z ' AB ïî L = L2 R + ( Z L1 - Z C ) Z L2 R + ( Z L2 - Z C ) Bình phương hai vế kết hợp phương trình (1) cho ta kết quả: L L 1 = + «L= L L1 L2 L1 + L2 ìC = C1 Loại 7: Khi cho C thay ñổi tới hai giá trị ïí ® U C1 = U C2 Vậy với giá trị nào C thì ïîC = C2 U Cmax ? Phương pháp: U Cmax xảy ZC = R2 + Z 2L (1) Còn ZL ìïC = C1 ZC Z C2 Z C1 U U ® U C1 = U C2 « « = Z C1 = Z C2 « = í Z AB Z ' AB Z AB Z ' AB R + ( Z L - Z C1 ) îïC = C2 Z C2 R + ( Z L - Z C2 ) Bình phương hai vế kết hợp phương trình (1) cho ta kết quả: C= C1 + C2 Loại 8: Giá trị ZL ñể hiệu ñiện ULRrmax Khi R và L mắc nối tiếp thì : U LR = I R + Z L2 = Đặt MT = U R + Z L2 R + ( Z L − ZC )2 = U R + ( Z L − ZC )2 R + Z L2 R + ( Z L − ZC )2 , ta thực việc khảo sát hàm số MT theo biến số ZL ñể tìm giá R + Z L2 trị ZL cho MTmin ñó giá trị ULrmax Đạo hàm MT theo biến số ZL ta thu ñược : MT ' ( Z L ) = 2( Z L − Z C )( R + Z L2 ) − Z L [ R + ( Z L − Z C ) ] ( R + Z L2 ) (7) Cho MT’(ZL) = ta có : ZC Z L2 − Z C2 Z L − Z C R = Nghiệm phương trình bậc hai này là: Z + R + Z C2 Z L1 = C >0 Lập bảng biến thiên ta có: 2 Z R Z − + C Z = C <0 L2 ZL ZL = Z C + R + Z C2 +∞ MT’(ZL) - + 4R2 + Z − Z C C 2R MT (ZL) [ Từ bảng biến thiên ta thấy MT ñạt giá trị nhỏ nên ULR ñạt giá trị lớn Ta thu ñược kết sau: Z C + R + Z C2 Khi Z L = thì U RLMax = 2UR R + Z C2 − ZC Loại 9: Giá trị ZL ñể hiệu ñiện ULmax Ta có hiệu ñiện trên cuộn dây là : U L = IZ L = Z L U R + (Z L − ZC )2 , ñó R; ZC và U là các số không ñổi Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến số là ZL Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số phức tạp Với phương pháp dùng giản ñồ Vecto bài toán này có thể giải dể và rút nhiều kết luận UL Theo giản ñồ vectơ và ñịnh lý hàm số sin tam giác ta UL U = sin(α + β ) sin γ U Vì sin γ = cos β = R = U RC có : UL = U R R + Z C2 = const , suy U U sin(α + β ) = sin(α + β ) sin γ cos β Do cosβ và U là các giá trị không ñổi nên hiệu ñiện ULmax sin(α + β ) = ⇒ α + β = π O UR α β i 2 Theo hệ thức tam giác vuông ta có: U RC = U CU L , từ ñó suy 2 Z L ZC = R + Z C γ UC UR Tóm lại: Khi Z L = R + Z C2 thì U L max = U ZC R + Z C2 R Khi ULmax thì hiệu ñiện tức thời hai ñầu mạch luôn nhanh pha uRC góc 900 (8) Loại 10: Giá trị ZC ñể hiệu ñiện UCmax R + Z L2 thì : ZL Khi ZC = U CMax U R + Z L2 2 2 2 = và U CM ax = U + U R + U L ; U CMax − U LU CMax − U = R uRL vuông pha với hiệu ñiện hai ñầu mạch Có hai giá trị C1 ≠ C2 cho cùng giá trị UC ,giá trị ZC ñể UCmax tính theo C1 và C2 Khi có hai giá trị C = C1 C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị C làm cho UCmax C + C2 1 1 = ( + )⇒C = Z C Z C1 Z C2 Giá trị ZC ñể hiệu ñiện URCmax Z L + R + Z L2 2UR thì U RCMax = ( Với ñiện trở R và tụ ñiện mắc gần 2 R + Z L2 − Z L Khi ZC = nhau) III Các bài tập mẫu Bài 1: Cho mạch R-L-C nối tiếp, u không ñổi C thay ñổi Khi C = C1 = C = C2 = 200 p 100 p m F m F thì hiệu ñiện thê hai ñầu tụ ñiện tương ứng Hỏi với giá trị nào C thì U Cmax Tính C? A 150 p mF Bài giải: 250 B p C mF 50 D mF p C + C 150 áp dụng công thức C = = mF p 15 p mF Bài 2: Cho mạch R-L-C nối tiếp, u không ñổi L thay ñổi Khi L = L1 = L = L2 = p p H thì hiệu ñiện thê hai ñầu cuộn cảm tương ứng Hỏi với giá trị nào H L thì U Lmax Tính L? A 2p H Bài giải: 3p H 2 L L 2p áp dụng công thức L = = H L1 + L2 B p H C D p H Các bài tập tổng hợp hay Câu 1: Cho mạch ñiện xoay chiều AB gồm ñoạn AM và MB mắc nối tiếp Đoạn AM chứa R=20 Ω Đoạn MB gồm cuộn dây có r = 10Ω nối tiếp với tụ có ñiện dung C thay ñổi Điện áp hai ñầu mạch u = 120 2.cos100π tV Thay ñổi C ñể ñiện áp hiệu dụng hai ñầu MB cực tiểu Tính giá trị cực tiểu ñó? A 20V B.30V C.40V D.50V Bài giải: Ta có U MB = I Z MB = U r + (Z L − ZC )2 U UZ MB Z MB = = = Z AB ( R + r )2 + ( Z L − ZC )2 ( R + r )2 + (Z L − ZC )2 U ( R + r )2 + (Z L − ZC )2 r + ( Z L − ZC )2 (9) U MB = U R + R.r 1+ r + ( Z L − ZC )2 (*) Từ (*) ta thấy UMB cực tiểu Z L = ZC → U MB.min = U r = 40V R+r Bài 2: Đặt ñiện áp xoay chiều vào hai ñầu mạch nối tiếp R-L-C Với C thay ñổi ñược Khi thay ñổi C thì hiệu ñiện cực ñại trên R,L,C là x,y,z Nếu z/y=3 thì z/x bằng? A 2 B C D 2 Bài giải: Khi thay ñổi C ñể U Lmax , U Rmax thì phải xảy tượng cộng hưởng lúc ñó I max x = U Rmax = U U R2 + Z 2L U Còn thay ñổi C ñể U Cmax thì z = U Cmax = = → y = U L.max = I max .Z L = U Z L R R R Thay z=3y suy U R2 + Z 2L U R2 + Z 2L U Z L R z =3 ↔ R + Z L = 3Z L → Z L = →Z = = 0, 75 2U → = 0, 75 R R R x 2 Bài 3: Cho A,M,B là ñiểm liên tiếp trên mạch ñiện xoay chiều Biết biểu thức ñiện áp trên π π các ñoạn AM,MB là u AM = 40cos (ωt + )V , và uMB = 50cos(ωt + )V Điện áp cực ñại hai ñiểm A,B nhau? A 61,7V B 78,1V C 21,3V Bài giải: Ta có u AB = u AM + uMB ↔ U = U AM + U MB D 91,2V Hay U = U AM + U 2OMB + 2U AM U MB cos − = 78,1V π π Bài 4: Cho ñoạn mạch xoay chiều gồm R, C và cuộn dây cảm L = π H mắc nối thứ tự trên Điện áp hai ñầu mạch là u = 120 2cos(100π t )V Dùng vôn kế ño ñiện áp hai ñầu R và C Khi thay ñổi giá trị biến trở R người ta thấy số vôn kế không ñổi Điện dung C bao nhiêu? 10 -2 10 -3 10-4 F C F D F 5p 5p 5p Bài giải: Ta có Z L = 100Ω , Số vôn kế chính là ñiện áp hai ñầu mạch R-C U U UV = U RC = I Z.RC = Z RC = R + Z 2C (*) 2 Z AB R + (Z L − ZC ) A 10 -1 F 5p B Từ (*) ta thấy U R −C không phụ thuộc vào R và R + Z 2C = R + ( Z L − Z C ) → Z L = 2Z C ↔ Z C = ZL 10 −3 = 50Ω → C = = F ω Z C 5π Bài 6: Cho ñoạn mạch xoay chiều AB chứa linh kiện R,L,C Đoạn AM chứa L, MN chứa R và NB chứa C Biết R = 50Ω , Z L = 50 3Ω , ZC = 50 Ω Khi ñiện áp tức thời hai ñầu AN 80 3V thì ñiện áp tức thời hai ñầu MB 60V Tính giá trị cực ñại UAB? A 50 2V B 50 3V C 70 2V D 50 7V (10) ZL tan ϕ AN = R = Bài giải: Ta có → tan ϕ AN tan ϕ MB = −1 Suy ñiện áp tức thời hai − Z − C tan ϕ MB = = R ñầu AN và MB vuông pha vì u AN u MB (80 3) 602 + = ↔ + = 1(1) mà Z AM = 3.Z MB ↔ U OAN = 3U OMB (2) U AN U MB U AN U MB U Từ (1) và (2) suy U OMB = 100V → I = OMB = A → U OAB = I Z AB = 50 7V Z MB Bài 7: Cho mạch xoay chiều R-L-C nối tiếp có L thay ñổi ñược Dùng vôn kế có giá trị lớn ñể ño ñiện áp hiệu dụng trên phần tử Điều chỉnh giá trị L thì thấy ñiện áp hiệu dụng cực ñại trên cuộn cảm lớn gấp hai lần ñiện áp hiệu dụng cực ñại trên ñiện trở Hỏi ñiện áp hiệu dụng cực ñại trên cuộn cảm gấp bao nhiêu lần ñiện áp cực ñại trên tụ? A B C D Bài giải: Khi L thay ñổi thì U R.max và U C max lúc này xảy tượng cộng hưởng và I.ma x = U R.ma x = U U R + Z 2C U U → → = U Z C L.ma x R R U C ma x = I ma x Z c = R U L.ma x = 2U R.ma x ↔ U R + Z 2C R = 2U → Z C = R → U L.max = U C ma x Theo bài R2 + Z C = ZC R + 3R 2 = R 3 Bài 8: Cho ñoạn mạch R-L-C mắc nối tiếp R=100 Ω và cuộn dây có L thay ñổi ñược Khi công suất mạch ñạt giá trị cực ñại mà tăng cảm kháng thêm 50 Ω thì ñiện áp trên hai ñầu cuộn cảm cực ñại Tính dung kháng tụ? B 50 Ω C 150 Ω D.200 Ω A 100 Ω P.max ↔ Z C = Z L1 Bài giải: Khi L thay ñổi R + Z C mà U ↔ Z = L2 L.max ZC 1002 + Z C Z L2 = Z L1 + 50 → Z C + 50 = → Z C = 200Ω → D ZC Bài 9: (ĐH2011) Đặt ñiện áp xoay chiều u = U 2.cos100π t vào hai ñầu mạch R-L-C nối tiếp có L thay ñổi ñược Điều chỉnh L ñể ñiện áp hiệu dụng hai ñầu cuộn cảm cực ñại và 100V, UC=36V Tính giá trị hiệu dụng UAB? A 80V B.136V C.64V D.48V Bài giải: hiệu ñiện hai ñầu cuộn cảm cực ñại thì U AB ⊥ U R −C → U L.ma x = U + U R + U C (1) Mặt khác Z L = R + Z 2C → U L U C = U R + U 2C (2) thay (2) vào (1) ta có: ZC U L.ma x = U + +U LU C → U = U L − U LU C = 1002 − 100.36 = 80V Bài 10: Đặt ñiện áp xoay chiều u = 100 6.cos100π t vào hai ñầu mạch R-L-C nối tiếp có L thay ñổi ñược Điều chỉnh L ñể ñiện áp hiệu dụng hai ñầu cuộn cảm cực ñại U L.max , UC=200V Tính giá trị hiệu dụng U L.max ? A 100V B.150V C.300V D.200V 10 (11) Bài giải: U = U0 = 100 3V hiệu ñiện hai ñầu cuộn cảm cực ñại thì U AB ⊥ U R −C → U L.ma x = U + U R + U C (1) Mặt khác Z L = R + Z 2C → U L U C = U R + U 2C (2) thay (2) vào (1) ta có: ZC U L.ma x = U + +U LU C → U L − U L U C − U = ↔ U L − 200U L − (100 3)2 = → U L = 300V Bài 11: Đặt ñiện áp xoay chiều vào hai ñầu mạch R-L-C không phân nhánh có f thay ñổi 10 H và C = mF Để hiệu ñiện hai ñầu ñoạn mạch chứa L-C cực 6π 24π ñược R = 50Ω , L = tiểu thì tần số là: A 60Hz B 50 C 55 Bài giải: U L −C = I Z L −C = D 40 U R + (Z L − ZC ) Z L − ZC = U R + (Z L − ZC ) ( Z L − ZC ) Nhận xét U L −C mẫu số cực ñại → → Z L − ZC = → f = 2π LC R2 ( Z L − ZC ) 2 U = R2 ( Z L − ZC ) +1 cực ñại = 60 Hz Bài 12: Cho mạch ñiện nối tiếp gồm cuộn dây cảm có L thay ñổi ñược, tụ có ñiện dung C = mF , R = 20Ω , ñiện áp ñặt vào hai ñầu mạch u = U cos100π t Xác ñịnh ñộ tự cảm 6π L cuộn dây ñể ñiện áp hiệu dụng hai ñầu R-C cực ñại? A 0, p H B 0,8 p C H Bài giải: U R −C = I Z R −C = 0, p D H U R + (Z L − ZC ) 0, Z L − Z C = → Z L = Z C = 60 → L = H 0,3 p H R + Z 2C Nhận xét ñể U R −C cực ñại thì π Bài 13: Đặt ñiện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U không ñổi và tần số f thay ñổi vào hai ñầu mạch R-L-C nối tiếp thoã mãn ñiều kiện CR < L Điều chỉnh f ñến giá trị f1 f2 thì ñiện áp hiệu dụng hai ñầu cuộn cảm có giá trị Để ñiện áp hiệu dụng hai ñầu cuộn cảm cực ñại thì phải thay ñổi f tới giá trị là? f 21 + f 2 2 1 1 = + D = + 2 f f f 2f f f 1 2 1 Bài giải: áp dụng công thức ñã chứng minh + = → = + ω1 ω2 ω0 f f f 0, Bài 14: Cho mạch ñiện AB gồm ñiện trở R = 50Ω , cuộn dây có L = H và ñiện trở A f = 2( f 21 + f 2 ) B f = C π r = 60Ω , tụ có ñiện dung C thay ñổi ñược mắc nối ñúng thứ tự trên vào ñiện áp u = 220 2cos (200π t )V Người ta thấy C=C0 thì ñiện áp hiệu dụng hai ñầu mạch chứa cuộn dây và tụ ñiện ñạt cực tiểu Umin Gía trị C0 và Umin là: A 10−3 F ;100V 4π B 10−3 F ;100V 3π C 10 −3 F ;120V 4π Bài giải: Điện áp hai ñầu cuộn dây và tụ ñiện: D 10 −3 F ;100V 3π 11 (12) UV = I ZV = U ( R + r )2 + ( Z L − ZC )2 U r + (Z L − ZC )2 = 1+ R + Rr r + ( Z L − ZC )2 Nhận xét U cực tiểu mẫu số cực ñại suy Z L = ZC = 40Ω Khi ñó UV = 220.60 (50 + 60)2 = 120V Bài 15: Đặt ñiện áp u = U 0cos (ωt )V (U0 không ñổi, ω thay ñổi) vào hai ñầu mạch gồm R-LC nối tiếp thoã mãn ñiều kiện CR < L ) Gọi V1, V2, V3 là các vôn kế mắc vào hai ñầu R,L,C Khi tăng tần số thì thấy trên vôn kế ñều có giá trị cực ñại, thứ tự các vôn kế gía trị cực ñại tăng tần số là? A V1, V2,V3 B V3, V2, V1 C V3,V1,V2 D V1,V2, V3 Bài giải: Theo các công thức trên ta thấy ω 23 = R2 − < ω 21 = < ω 22 = LC L LC C (2 L − CR ) Theo thứ tự V3,V1,V2 Bài 16: Cho ñoạn mạch AB gồm cuộn cảm L, ñiện trở R và tụ có ñiện dung C thay ñổi ñược theo thứ tự trên M, N là ñiểm nối L và R, R và C Đặt vào hai ñầu AB ñiện áp xoay chiều có biểu thức u = U 0cos(ωt )V (U0 không ñổi, ω không ñổi) Biết R = 3Z L Điều chỉnh C=C1 thì ñiện áp hai ñiểm AN lệch pha π so với ñiện áp hai ñầu MB Khi C=C2 thì ñiện áp hiệu dụng hai ñiểm AM cực ñại Hệ thức ñúng C1 và C2 là? A C1 = 2C2 B C1 = 3C2 C C1 = 4C2 D C1 = 5C2 Bài giải: Theo giả thuyết ta có U AN ⊥ U MB → tan ϕ AN tan ϕ MB = −1 → Z C = 3Z L (1) Mặt khác C=C2 thì U AM = I Z AM = U Z L R + (Z L − ZC )2 Để UAM cực ñại thì mẫu số phải cực tiểu suy Z L = ZC (2) Từ (1) và (2) ta có: ZC = 3Z C → C2 = 3C1 Bài 17: Cho mạch ñiện xoay chiều R-L-C nối tiếp Điện áp hai ñầu mạch có biểu thức u = U cos(ωt )V Chỉ có ω thay ñổi ñược Điều chỉnh ω tới hai giá trị là ω1 và ω2 ( ω1 < ω2 ) thì A dòng ñiện hiệu dụng ñều nhỏ cường ñộ hiệu dụng cực ñại n lần ( I1 = I < I max ) Biểu n thức tính R là? A R = (ω1 − ω2 ) L n2 − B R = L (ω1 − ω2 ) n2 − C R = L (ω1 − ω2 ) n2 − D R = L (ω1.ω2 ) n2 − Bài giải: Theo giả thuyết với ω thay ñổi thì I cực ñại xảy có cộng hưởng ñiện và lúc ñó I ma x = U (1) Mặt khác R ω = ω1 1 → I1 = I ↔ Z AB = Z AB ' → ( Z L1 − Z C1 ) = −( Z L2 − ZC2 ) ↔ ω1 L − = − ω2 L ω = ω C ω ω 2C 1 1 L(ω1 + ω2 ) = ( + ) → LC = (2) ω1 ω2 C ω1.ω2 U U Ta lại có I ma x > nI1 → = nI1 = n → R ( n − 1) > ( Z L1 − Z C1 ) ↔ R n − > Z L1 − Z C1 R R + (Z L − ZC ) R n − > ω1 L − L (ω1 − ω2 ) 1 > L(ω1 − )(3) Thay (2) vào (3) suy R = ω1C ω1 LC n2 − 12 (13) Bài 18: Đặt ñiện áp xoay chiều u = 220 2cos (100π t )V vào hai ñầu mạch gồm R = 100Ω , cuộn dây cảm L=318,3m.H và tụ có C = 15,92µ F mắc nối tiếp Trong chu kỳ thì khoảng thời gian ñiện áp hai ñầu ñoạn mạch sing công dương cung cấp ñiện cho mạch là A 20ms B 17,5ms C 12,5ms D.15ms Bài giải: Ta có công A=P.t, công lớn không P>0 Vậy ta có biểu thức P thông qua biểu thức cường ñộ dòng ñiện sau: Z L = 100Ω; Z C = 200 → Z AB = 100 2Ω → I = tan ϕ AB = 220 = 2, A 100 Z L − ZC −π π π = −1 → ϕ AB = → ϕi = ϕu − ϕ AB = → i = 2, 2cos (100π t + ) A R 4 Vậy biểu thức công suất π π π P = u.i = 220 2cos (100π t ).2, 2cos (100π t + ) = 484 cos (200π t + ) + cos ( ) > 4 π π π π −1 P>0 cos(200π t + ) + cos ( ) >0 hay cos (200π t + ) >- cos ( ) = 4 4 Áp dụng vòng tròn lượng giác ta có: Nhìn trên vòng tròn lượng giác dễ dàng thấy khoảng từ M1 ñến M2 theo chiều kim π π 4 ñồng hồ thì cos (200π t + ) >- cos ( ) = −1 thời gian ñể sinh công dương là t = 3T = 15ms M2 − 2 M1 Bài 19: Cho ñoạn mạch R-L-C nối tiếp với cuộn dây cảm có L thay ñổi ñược, mạch ñiện ñặt hiệu ñiện u = U 0cos (ωt )V ( U không ñổi, ω cho trước ) Khi thay ñổi L thì thấy hiệu ñiện hiệu dụng trên R và L có giá trị cực ñại chênh lệch lần Hiệu ñiện cực ñại hai ñầu tụ ñiện có giá trị cực ñại nào sau ñây? A U 2V B U 3V C U 5V D 2U (V ) U Rmax = U Bài giải: Khi mạch cộng hưởng thì UR và UC cực ñại Z C (1) U = U Cmax R Mặt khác U Lmax = U R + Z 2C R ↔ Z L Z C = R + Z 2C Theo bài U Lmax = 2U Cmax ↔ R R + Z 2C ↔ Z C = R 3(2) Từ (1) và (2) ta có: U Cmax = U Bài 20: Cho mạch ñiện gồm cuộn dây có L = 0, π H mắc nối tiếp vào tụ ñiện C Đặt vào hai ñầu mạch ñiện áp u = U 2cos (ωt )V Khi C = C1 = C2 = 2,5C1 thì cường ñộ dòng ñiện trễ pha π ZC =U R 2.10−4 π F thì U Cmax = 100 5V Còn so với hiệu ñiện hai ñầu mạch Gía trị U là: 13 (14) A 50V B 100V C.100 D 50 Bài giải: Vì C2 = 2,5C1 thì cường ñộ dòng ñiện trễ pha π so với hiệu ñiện nên cuộn dây có R Lúc này ta có tan ϕ = Z L − Z C2 R Khi C = C1 = ZC = = tan 2.10−4 π π = → Z L − Z C2 = R → Z L = R + Z C2 = R + Z C1 2,5 = R + 0, Z C1 (1) F thì U Cmax = 100 5V lúc này R2 + Z 2L → Z L Z C = R + Z L ↔ Z C ( R + 0, Z C ) = R + ( R + 0, Z C )2 ↔ 1, Z C + R.Z C − 10 R = ZC Giải phương trình ẩn ZC ta ñược ZC = 2,5R thay vào (1) ta ñược Z L = R Mặt khác U C ma x = U R2 + ZC R = U = 100 → U = 100V KHẢO SÁT CÔNG SUẤT Sự thay ñổi R mạch R-L-C mắc nối tiếp: Xét mạch ñiện xoay chiều có hiệu hiệu hai ñầu ổn ñịnh : u = U cos(ωt + ϕu ) R là biến trở, các giá trị R0 , L và C không ñổi C R L,R0 Gọi Rtd = R + R0 A B a Có hai giá trị R1 ≠ R2 cho cùng giá trị công suất Công suất tiêu thụ trên mạch là : P = Rtd I = Rtd U2 Rtd2 + ( Z L − Z C )2 Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem công suất phương trình trên là số không ñổi ứng với hai giá trị R1 và R2 Khai triển biểu thức trên ta có: PRtd2 − RtdU + P( Z L − Z C ) = Nếu có giá trị ñiện trở cho cùng giá trị công suất thì phương trình bậc trên có hai nghiệm phân biệt R1 và R2 Theo ñịnh lý Viète (Vi-et): R1td R2td = ( Z L − Z C ) ( R1 + R0 )( R2 + R0 ) = ( Z L − Z C ) ⇔ U2 U2 R1td + R2td = R1 + R2 + R0 = P P Từ ñó ta thấy có giá trị R1 và R2 khác cho cùng giá trị công suất b.Giá trị R làm cho công suất cực ñại c.Giá trị R làm công suất toàn mạch cực ñại Ta có: P = Rtd I = Rtd Đặt A = Rtd + U2 = Rtd2 + ( Z L − ZC )2 U2 (Z − ZC )2 Rtd + L Rtd ( Z L − ZC )2 , áp dụng bất ñẳng thức Cauchy(Côsi) cho A Rtd A = Rtd + ( Z L − ZC )2 (Z − ZC )2 ≥ Rtd L = Z L − Z C = const Rtd Rtd Ta thấy Pmax Amin => “ =” xảy Vậy: Rtd = Z L − Z C 14 (15) Khi ñó giá trị cực ñại công suất là: Pmax = U2 U2 U2 = = Z L − Z C R1td R2 td ( R1 + R0 )( R2 + R0 ) Với R1td và R2td là hai giá trị R cho cùng giá trị công suất Lưu ý: Khi Z L − ZC < R0 thì giá trị biến trở R < 0, ñó giá trị biến trở làm cho công suất toàn mạch cực ñại là R = d.Giá trị R làm cho công suất R cực ñại Công suất biến trở R là PR = R I = R Đặt mẩu thức biểu thức trên là : A= U2 U2 = ( R + R0 )2 + ( Z L − Z C ) ( R + R0 )2 + ( Z L − Z C ) R ( R + R0 ) + ( Z L − ZC )2 R2 + (Z L − ZC )2 = R+ + R0 R R Áp dụng bất ñẳng thức Cauchy cho A ta ñược: A= R+ R02 + ( Z L − Z C )2 R + (Z L − ZC )2 + R0 ≥ R + R0 = R02 + ( Z L − Z C )2 + R0 = const R R Ta thấy PRmax Amin nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, ñó: R = R02 + ( Z L − Z C )2 Công suất cực ñại biến trở R là: PR max = U2 R02 + ( Z L − Z C )2 + R0 e.Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực ñại, cường ñộ dòng ñiệncực ñại, hiệu ñiện cuộn dây cực ñại, hiệu ñiện tụ ñiện cực ñại Ta có : Pdây = R0 I ;U d = I Z L2 + R02 ;U c = IZC I= U ( R + R0 ) + ( Z L − ZC )2 Vì R0; ZL; ZC và U là các ñại lượng không ñổi nên muốn ñạt giá trị cực ñại thì cần cường ñộ dòng ñiện qua mạch cực ñại Từ biểu thức dòng ñiện ta thấy Imax giá trị biến trở R = f Khảo sát biến thiên công suất vào giá trị R Để thấy rõ phụ thuộc công suất toàn mạch vào giá trị biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số: Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho hàm số: P = Rtd I = Rtd U2 Rtd2 + ( Z L − Z C )2 Rtd = R + R0 Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có: P ' ( R) = U ( Z L − Z C ) − Rtd2 ( Rtd2 + ( Z L − Z C )2 )2 Khi P ' ( R) = ⇒ ( Z L − Z C ) − Rtd2 = ⇒ Rtd = Z L − ZC ⇒ R = Z L − Z C − R0 Bảng biến thiên : 15 (16) R + P’(R) +∞ Z L − Z C − R0 Pmax = P(R) P = R0 U2 Z L − ZC U2 R02 + ( Z L − Z C )2 Sự thay ñổi L mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây cảm Xét mạch ñiện xoay chiều có hiệu hiệu hai ñầu ổn ñịnh : u = U cos(ωt + ϕu ) L là cuộn dây cảm có giá trị thay ñổi C R L R và C không ñổi A B Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho cùng giá trị công suất Vì có hai giá trị cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên: P1 = P2 ⇔ R U2 U2 = R R + ( Z L1 − ZC )2 R + ( Z L2 − ZC )2 Z L1 − Z C = Z L2 − Z C (loại) Khai triển biểu thức trên ta thu ñược : ( Z L − ZC )2 = ( Z L − Z C ) ⇔ Suy : ZC = Z L1 + Z L2 ⇔ L1 + L2 = Z L1 − Z C = −( Z L2 − Z C ) (nhaän) 2 ω 2C Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng ZL U2 Ta có công suất toàn mạch là: P = R , với R, C là các số, nên công suất R + (ZL − ZC )2 mạch là hàm số theo biến số ZL Đạo hàm P theo biến số ZL ta có: P '( Z L ) = RU Zc − ZL ⇒ P '( Z L ) = Z L = Z C [ R + ( Z L − Z C )2 }]2 Bảng biến thiên ZL ZL = ZC +∞ P’(ZL) P(ZL) + Pmax = P=R U2 R2 + ZC U R Sự thay ñổi ω mạch R-L-C mắc nối tiếp a.Giá trị ω làm cho Pmax 16 (17) U2 Ta có P = RI = R , từ công thức này ta thấy công suất mạch ñạt R + ωL − ωC giá trị cực ñại khi: ω L − = ⇒ ω = ω0 = ω Với Pmax = U R LC Khi ñó Zmin = R và hiệu ñiện giửa hai ñầu mạch và cường ñộ dòng ñiện qua mạch ñồng pha b.Có hai giá trị ω1 ≠ ω2 cho cùng công suất và giá trị ω làm cho Pmax tính theo ω1 và ω2: Nếu có hai giá trị tần số khác cho giá trị công suất thì: P1 = P2 ⇔ R U2 R + (ω1 L − ) ω1C U2 =R R + (ω2 L − ) ω2C 1 ω1 L − ω C = ω2 L − ω C (1) Biến ñổi biểu thức trên ta thu ñược : ω L − = −(ω L − )(2) ω1C ω2C Vì ω1 ≠ ω2 nên nghiệm (1) bị loại Khai triển nghiệm (2) ta thu ñược : ω1ω2 = Theo kết ta có : ω02 = ω1ω2 = LC với ω0 là giá trị cộng hưởng ñiện LC c.Khảo sát biến thiên công suất theo ω Ta có P = RI = R U2 R2 + ω L − ωC Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω việc lấy ñạo hàm và lập bảng biến thiên khó khăn vì hàm số này tương ñối phức tạp Tuy nhiên, ta có thể thu ñược kết ñó từ nhận xét sau: Khi ω = thì ZC = → ∞ làm cho P = ωC thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực ñại LC Khi ω → ∞ thì Z L = ω L → ∞ làm cho P = Khi ω = ω0 = Từ nhận xét ñó ta dễ dàng thu ñược biến thiên và ñồ thị : ω ω = ω0 = LC +∞ U2 R P(ω) 0 17 (18) MỜI CÁC BẠN THEO DÕI TIẾP TẬP ( Trong sách có sử dụng tư liệu các bạn ñồng nghiệp) 18 (19)