Đang tải... (xem toàn văn)
Chất lượng bộ môn được nâng cao, thể hiện cụ thể ở kết quả học tập của các em Kiểm tra Số Yếu TB Khá+giỏi Đạt giải Đạt giải HS cấp Huyện cấp Tỉnh Trước khi ôn 9 2 5 2 Sau khi ôn 9 0 2 7 [r]
(1)I- PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lí chọn đề tài Việc dạy và học toán có hỗ trợ máy tính đã trở nên phổ biến trên toàn giới Trong các tài liệu giáo khoa các nước có giáo dục tiên tiến luôn có thêm chuyên mục sử dụng máy tính để giải toán Ở nước ta, kể từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo ngoài việc đã tổ chức các kì thi học sinh giỏi cấp khu vực “Giải toán trên máy tính Casio” cho học sinh phổ thông còn cho phép tất thí sinh sử dụng các loại máy tính CASIO fx-500A, CASIlO fx-500MS, CASIO fx-570MS… các kì thi cấp quốc gia Nhưng số trường huyện, nhiều năm chưa có học sinh tham gia có tham gia kết đạt chưa cao, nguyên nhân kiến thức sử dụng máy tính bỏ túi còn mẻ nên bước đầu giáo viên còn bỡ ngỡ, gặp nhiều khó khăn việc nghiên cứu và tìm tòi tài liệu Do đó mà nhiều giáo viên còn ngại giao nhiệm vụ bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán rên máy tính điện tử Mặt khác các tài liệu để giáo viên tham khảo còn ít và chưa thực có tính hệ thống Trong đó nhu cầu học hỏi học sinh ngày càng cao, các em thích tìm hiểu ham học hỏi, khám phá kiến thức lạ trên máy tính điện tử Còn phía giáo viên lại không đào tạo nội dung này, hầu hết giáo viên tự tìm hiểu, nghiên cứu các kiến thức máy tính điện tử Máy tính điện tử giúp giáo viên và học sinh bổ sung nhiều kiến thức Toán học bản, đại và thiết thực Nhờ khả xử lí liệu phức tạp với tốc độ cao, máy tính điện tử cho phép thiết kế bài tập toán gắn với thực tế hơn.Chính vì tôi thấy việc giới thiệu sử dụng máy tính điện tử bỏ túi chương trình giáo dục phổ thông là việc cần thiết và thích hợp hoàn cảnh kinh tế và đưa vài giải pháp : “Giúp Học sinh tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio” I.2.Mục đích nghiên cứu Nâng cao chất lương giáo dục, đặc biệt là chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio Phát huy tính tích cực, chủ động sang tạo, lực tự học học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập môn Nêu nên số kinh nghiệm thân về: “Giúp Học sinh tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio” I.3 Thời gian – Địa điểm Thời gian: Năm học 2009 – 2010 Địa điểm: Trường THCS Thị trấn Đông Triều I.4 Đóng góp mặt lí luận mặt thực tiễn * Ý nghĩa lí luận: + Kết vận dụng giải pháp đóng góp phần định vào phát triển lí luận dạy học Toán nói riêng, các môn học khác nói chung thông qua giải các bài tập Toán máy tính bỏ túi Casio (2) + Nâng cao hiểu biết và kĩ vận dụng máy tính bỏ túi Casio vào giải Toán, Khẳng định vai trò máy tính Casio việc dạy, học giải toán *Ý nghĩa thực tiễn: + Nâng cao lực chuyên môn thân là việc “Giúp Học sinh tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio” Nâng cao chất lượng môn trường + Rèn luyện cho học sinh kĩ sử dụng máy tính bỏ túi Casio vào giải toán từ đó thành lập và bồi dưỡng đội tuyển thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio + Kích thích tư sáng tạo, tích cực tự giác học sinh, phát huy vai trò máy tính bỏ túi Casio II PHẦN NỘI DUNG II.1 Chương I: TỔNG QUAN II.1 1.Cơ sở lí luận Chúng ta đã biết môn học giải toán trên máy tính cầm tay là môn học học sinh THCS mà, vì để học sinh tiếp cận và vận dụng máy tính bỏ túi Casio vào giải Toán thì người thầy không phải hướng dẫn học sinh làm bài tập theo kiểu dạy nhồi nhét, thụ động Dạy thì học trò học đâu quên đó, làm bài tập nào biết bài tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn nhiều công sức mà không đọng lại đầu học sinh điều gì đáng kể Ngay học sinh khá giỏi vậy, đầu tư vào giải hết bài toán khó này đến bài toán khó khác mà chưa phát huy tính tư sáng tạo, chưa có phương pháp làm bài Trong đó từ đơn vị kiến thức nào đó Toán học lại có hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, bài là kiểu, dạng mà lời giải thì không theo khuôn mẫu nào Do mà học sinh lúng túng đứng trước đề toán Casio, vì mà số lượng và chất lượng môn giải toán trên máy tính bỏ túi Casio thấp, chưa đáp ứng lòng mong mỏi chúng ta Vì để nâng cao chất lượng môn giải toán trên máy tính bỏ túi Casio, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi môn này, hết người thầy đóng vai trò quan trọng, phải thực chuyên tâm tìm tòi, nghiên cứu, phân loại dạng toán và tìm phương pháp bấm máy nhanh, hợp lí nhất… Đồng thời phải tích cực hóa hoạt động học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, tính độc lập sáng tạo, qua đó nâng cao lực phát và giải vấn đề cách nhanh chóng Sau hai năm thực hướng dẫn học sinh giải toán trên máy tính bỏ túi và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cho môn này, tôi xin đưa số giải pháp thân việc: “Giúp học sinh tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio” II.1.2 Đặc điểm tình hình (3) II.1.2.1 Thuận lợi Học sinh đa số là em công nhân, nông dân nên có tính cần cù, chịu khó Các em thấy hữu dụng vận dụng máy tính vào giải toán nói riêng và các môn học khác nói chung, vì môn học dễ gây hứng thú học tập cho học sinh, kích thích các em tìm tòi và vận dụng máy tính vào giải toán Được quan tâm giúp đỡ Ban giám hiệu và tổ chuyên môn II.1.2.2 Khó khăn Trình độ học sinh không đồng đều, tính tự giác, khả tư còn hạn chế, số học sinh chưa chăm học Môn học này cần cần cù, việc tự học là quan trọng, song ít học sinh có tinh thần tự học, tự tìm hiểu thêm qua mạng II.2 chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU II.2.1 Sơ lược cách sử dụng máy II.2.1.1 Các phím chức trên máy II.2.1.1.1 Phím chức chung Phím Chức On Mở máy Shift off Tắt máy Di chuyển trỏ đến vị trí liệu < > 0; 1; 2…; Nhập các số từ 0;…;9 Nhập dấu ngăn cách phần nguyên, phần phân số TP Nhập các phép toán +;-;x;÷;= Xóa hết liệu trên máy tính (không xóa trên nhớ) AC Xóa kí tự nhập DEL (-) Nhập dấu trừ số nguyên âm Xóa màn hình CLR II.2.1.1.2 Khối phím nhớ Chức Phím Gán, ghi váo ô nhớ STO Gọi số ghi ô nhớ RCL Các ô nhớ A, B, C , D, E, F, X ,Y, M M Cộng thêm vào ô nhớ M M Trừ bớt từ ô nhớ II.2.1.1.3 Khối phím đặc biệt (4) Phím Shift Chức Di chuyển sang kênh chữ vàng Alpha Di chuyển sang kênh chữ đỏ Mode Ấn định kiểu,trạng thái,loại hình tính,loại đơn vị đo Mở, đóng ngoặc ( ) Nhân với lũy thừa 10 với số mũ nguyên Nhập số pi Nhập đọc độ, phút, giây, chuyển sang chế độ thập phân EXP o '" Chuyển đổi độ, Radian, grad Tính tổ hợp chập r n DRG nCr nCr n! n !( n r )! Tính chỉnh hợp chập r n n Pr n Pr n! (n r )! II.2.1.1.4 Khối phím hàm Phím Chức 1 -1 -1 Tính tỉ số lượng giác góc sin , cos , tan Tính góc biết tỉ số lượng giác x x Hàm mũ số 10, số e 10 , e Bình phương, lập phương x x2 , x3 , , x Căn bậc hai, bậc 3, bậc x x -1 Nghịch đảo x Mũ Tính giai thừa x Tính phần trăm Nhập đọc phân số, hỗn số, đổi phân số, hỗn số số thập phân ngược lại Đổi hỗn số phân số và ngược lại Chuyển kết dạng a.10n với n giảm dần Chuyển kết dạng a.10n với n tăng x! % ab / c d /c ENG suuuu ENG Nhập số ngẫu nhiên II.2.1.1.5 Khối phím thống kê Phím Chức Nhập liệu xem kết DT RAN S Sum Tính x2 tổng bình phương các biến lượng (5) x n S VAR CALC tổng các biến lượng tổng tần số Tính: x giá trị trung bình cộng các biến lượng n độ lệch tiêu chuẩn theo n n độ lệch tiêu chuẩn theo n-1 Tính giá trị biểu thức các giá trị biến II.2.1 2Các thao tác sử dụng máy II.2.1.2.1 Thao tác chọn kiểu Phím Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode Mode > Chức Kiểu Comp: Tính toán thông thường Kiểu SD: Giải bài toán thống kê Kiểu ENQ: Tìm ẩn số 1) Unknows? (số ẩn hệ phương trình) + Ấn vào chương trình giải hệ PT bậc ẩn + Ấn vào chương trình giải hệ PT bậc ẩn 2) Degree (số bậc PT) + Ấn vào chương trình giải PT bậc t + Ấn vào chương trình giải PT bậc Kiểu Deg: Trạng thái đơn vị đo góc là độ Kiểu Rad: Trạng thái đơn vị đo góc là radian Kiểu Grad: Trạng thái đơn vị đo góc là grad Kiểu Fix: Chọn chữ số thập phân từ đến Kiểu Sci: Chọn chữ số có nghĩa ghi dạng a.10n (0; 1; …;9) Kiểu Norm: Ấn thay đổi dạng kết thông thường hay khoa học Kiểu ab/c; d/c: Hiện kết dạng phân số hay hỗn số Kiểu Dot, Comma: chọn dấu ngăn cách (6) phần nguyên, phần thập phân; ngăn cách phân định nhóm chữ số II.2.1.2.2 Thao tác nhập xóa biểu thức - Màn hình tối đa 79 kí tự, không quá 36 cặp dấu ngoặc - Viết biểu thức trên giấy bấm phím trên màn hình - Thứ tự thực phép tính: { [ ( ) ] } lũy thừa Phép toán căn nhân nhân chia cộng trừ II.2.1.2.3 Nhập các biểu thức - Biểu thức dấu thì nhập hàm trước, biểu thức dấu sau - Lũy thừa: Cơ số nhập trước đến kí hiệu lũy thừa o '" - Đối với các hàm: x2; x3; x-1; ; nhập giá trị đối số trước phím hàm x x - Đối với các hàm ; ; c ; 10 ; sin; cos; tg; sin-1; cos-1; tg-1 nhập hàm trước nhập các giá trị đối số - Các số: π; e, Ran, ≠ và các biến nhớ sử dụng trực tiếp x - Với hàm nhập số x trước hàm biểu thức VD: 20 x x n - Có thể nhập: a a 20 n x VD: Tính 1Ấn: 4 4 Hoặc = = =>Ấn: x2 = ( : ) = II.2.1.2.4 Thao tác xóa, sửa biểu thức - Dùng phím < hay > để di chuyển trỏ đến chỗ cần chỉnh - Ấn Del để xóa kí tự dạng nhấp nháy (có trỏ) - Ấn Shift Ins trỏ trở thành (trạng thái chèn) và chèn thêm trước kí tự nhấp nháy Khi ấn Del , kí tự trước trỏ bị xóa - Ấn Shift Ins lần = ta trạng thái bình thường (thoát trạng thái chèn) - Hiện lại biểu thức tính: + Sau lần tính toán máy lưu biểu thức và kết vào nhớ Ấn V màn hình cũ lại, ấn V , màn hình cũ trước lại + Khi màn hình cũ lại ta dùng > < để chỉnh sửa và tính lại + Ấn > , trỏ dòng biểu thức + Ấn AC màn hình không bị xóa nhớ + Bộ nhớ màn hình bị xóa khi: (7) Ấn On Lập lại Mode và cài đặt ban đầu ( Shift Clr = ) Đổi Mode Tắt máy - Nối kết nhiều biểu thức Dùng dấu “:” ( Anpha : ) để nối hai biểu thức tính VD: Tính + và lấy kết nhân Ấn: + Ans x = = II.2.1.2.5.Thao tác với phím nhớ II.2.1.2.5.1 Gán giá trị vào biểu thức - Nhập giá trị - Ấn: Shift STO biến cần gán VD: Shift STO A - Cách gọi giá trị từ biến nhớ + Cách 1: RCL + Biến nhớ + Cách 2: RCL + Biến nhớ - Có thể sử dụng biến nhớ để tính toán VD: Tính giá trị biểu thức x5 + 3x4 + 2x2 +3 với x =35 Thực hành: Gán 35 vào biến X Ấn 35 Shift STO X Anpha X Anpha X + x Anpha X + x + II.2.1.2.5.2 Xóa biến nhớ Shift STO biến nhớ II.2.1.2.5.3 Mỗi ấn = thì giá trị vừa nhập hay kết biểu thức tự động gán vào phím Ans - Kết sau “=” có thể sử dụng phép tính - Dùng các hàm x2, x3, x-1,x!, +,-, … II.2 Lí thuyết và các dạng bài tập (8) II.2.2.1 Các phép toán tập hợp số tự nhiên II.2.2.1.1 Lí thuyết *Phép cộng và phép nhân - Ghi y hệt các biểu thức tính vào màn hình và ấn kết - Máy đọc số có 10 chữ số, ghi dài nữa, máy không hiểu - Dấu nhân liền trước dấu ngoặc có thể bỏ qua - Dấu ngoặc cuối cùng có thể khỏi ấn *Phép trừ và phép chia - Ghi y hệt các biểu thức tính vào màn hình và ấn kết - Phép nhân tắt ưu tiên phép nhân thường, đó phép nhân tắt ưu tiên phép chia II.2.2.1.2 Các dạng bài tập và cách giải II.2.2.1.2.1 Tìm kết phép nhân có kết quá 10 chữ số Bài 1: Tính kết đúng các tích sau: a) M = 2222255555 2222266666 b) N = 20032003 20042004 Giải: a) Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666 Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC Tính trên máy: A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630 Tính trên giấy: A 1010 8 0 0 0 0 0 AB.105 0 0 0 AC.10 8 0 0 BC M 4 4 9 b) Đặt X = 2003, Y = 2004 Ta có: N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY Tính XY, 2XY trên máy, tính N trên giấy câu a) Kết quả: M = 4938444443209829630 N = 401481484254012 Bài 2: Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! Giải: Vì n n! = (n + – 1).n! = (n + 1)! – n! nên: S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + + (17! – 16!) (9) S = 17! – 1! Không thể tính 17 máy tính vì 17! Là số có nhiều 10 chữ số (tràn màn hình) Nên ta tính theo cách sau: Ta biểu diễn S dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để thực phép tính, máy không bị tràn, cho kết chính xác Ta có : 17! = 13! 14 15 16 17 = 6227020800 57120 Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 106 + 208 102 nên S = (6227 106 + 208 102) 5712 10 – = 35568624 107 + 1188096 103 – = 355687428096000 – = 355687428095999 Bài tập tương tự: Tính chính xác các phép tính sau: a) A = 20!; 19! b) B = 5567866 6667766 c) C = 20092009 20102010 d) 14584713 e) 212220032 II.2.2.1.2.2 Tìm số dư phép chia *) Khi đề cho số bé 10 chữ số: Số bị chia = số chia thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) Suy r = a – b q Ví dụ : Tìm số dư các phép chia sau: 1) 9124565217 cho 123456 2) 987896854 cho 698521 *) Khi đề cho số lớn 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư A chia cho B ( A là số có nhiều 10 chữ số) - Cắt thành nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái) Tìm số dư phần đầu chia cho B - Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ chữ số) tìm số dư lần hai Nếu còn tính liên tiếp Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567: Được kết số dư là : 2203 Tìm tiếp số dư phép chia 22031234 cho 4567 Kết số dư cuối cùng là 26 Bài tập: Tìm số dư các phép chia: a) 97639875 cho 8604325 b) 903566893265 cho 38769 c) 1234567890987654321 : 123456 *) Dùng kiến thức đồng dư để tìm số dư Phép đồng dư: (10) + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a b(mod c) + Một số tính chất: Với a, b, c thuộc Z+ a a (mod m) a b(mod m) b a(mod m) a b(mod m); b c (mod m) a c(mod m) a b(mod m); c d (mod m) a c b d (mod m) a b(mod m); c d (mod m) ac bd (mod m) a b(mod m) a n b n (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 126 cho 19 Giải: 12 144 11(mod19) 126 122 113 1(mod19) Vậy số dư phép chia 126 cho 19 là Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 + Ta có: 20042 841(mod1975) 20044 8412 231(mod1975) 200412 2313 416(mod1975) 200448 4164 536(mod1975) Vậy 200460 416.536 1776(mod1975) 200462 1776.841 516(mod1975) 200462.3 5133 1171(mod1975) 200462.6 11712 591(mod1975) 200462.64 591.231 246(mod1975) Kết quả: Số dư phép chia 2004376 cho 1975 là 246 Bài tập tương tự: Tìm số dư phép chia : a) 158 cho 29 b) 2514 cho 63 c) 201038 cho 2001 d) 20099 cho 2007 e) 715 cho 2005 II.2.2.1.2.3 Tìm chữ số hang đơn vị, hàng chục, hàng trăm lũy thừa (11) Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị số 172002 17 9(mod10) 1000 17 17 2000 91000 (mod10) 92 1(mod10) 91000 1(mod10) 2000 Giải: 17 1(mod10) 2000 Vậy 17 17 1.9(mod10) Chữ số tận cùng 172002 là Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm số 232005 Giải + Tìm chữ số hàng chục số 232005 231 23(mod100) 232 29(mod100) 233 67(mod100) 234 41(mod100) Do đó: 2320 234 415 01(mod100) 232000 01100 01(mod100) 232005 231.234.232000 23.41.01 43(mod100) Vậy chữ số hàng chục số 232005 là (hai chữ số tận cùng số 232005 là 43) + Tìm chữ số hàng trăm số 232005 231 023(mod1000) 234 841(mod1000) 235 343(mod1000) 2320 3434 201(mod1000) 232000 201100 (mod1000) 2015 001(mod1000) 201100 001(mod1000) 232000 001(mod1000) 232005 231.234.232000 023.841.001 343(mod1000) Vậy chữ số hàng trăm số 232005 là số (ba chữ số tận cùng số 232005 là số 343) Bài tập vận dụng: 1.Tìm chữ số cuối của: 72010; 354; 2713; 4931 2.Tìm chữ số hang chục của: 252009; 372002; 192001 3.Tìm hai chữ số cuối của: 22001 + 22002 + 22003 + 22005 II.2.2.1.2.4 Tìm BCNN, UCLN II.2.2.1.2.4.1 Cách làm (12) A a Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản B b Ta áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN sau: + UCLN (A; B) = A : a + BCNN (A; B) = A b II.2.2.1.2.4.2 Ví dụ Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN 2419580247 và 3802197531 2419580247 HD: Ghi vào màn hình : 3802197531 và ấn =, màn hình 11 UCLN: 2419580247 : = 345654321 BCNN: 2419580247 11 = 2.661538272 1010 (tràn màn hình) Cách tính đúng: Đưa trỏ lên dòng biểu thức xoá số để còn 419580247 11 Kết : BCNN: 4615382717 + 2.109 11 = 26615382717 Ví dụ 2: Tìm UCLN 40096920 ; 9474372 và 51135438 Giải: Ấn 9474372 40096920 = ta : 6987 29570 UCLN 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356 Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c) Do đó cần tìm UCLN(1356 ; 51135438) Thực trên ta tìm được: UCLN 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678 Bài tập áp dụng: Cho số 1939938; 68102034; 510510 a) Hãy tìm UCLN 1939938; 68102034 b) Hãy tìm BCNN 68102034; 510510 c) Gọi B là BCNN 1939938 và 68102034 Tính giá trị đúng B2 II.2.2.1.2.5 Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện bài toán 17089a chia hết cho 109 VD1 : Tìm số tự nhiên a biết Thực hành: a {0; 1; 2;…;9} 1708902 SIHFT STO A alpha A ÷ 109 alpha : alpha A alpha = alpha + 10 = Ấn = liên tiếp để kiểm tra VD2: Tìm số tự nhiên lớn có dạng 1x2y3z4 chia hết cho 13 Thực hành: Số lớn x, y, z = 1929394 SIHFT STO A alpha A ÷ 13 alpha : alpha Ấn = liên tiếp để kiểm tra KQ: 1929304 A alpha = alpha 10 = (13) VD3: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho lập phương số đó ta số tự nhiên có chữ số cuối là chữ số và chữ số đầu là chữ số 7: n3 777 777 Nêu sơ lược cách giải 3 Giải: Hàng đơn vị có 27 có chữ số cuối là Với cac số a3 có 533 14877 có chữ số cuối là a53 Với các chữ số Ta có: 3 có 7533 có chữ số cuối là 777000 91.xxxx ; 7770000 198.xxxx , 777 106 919, xxx ; 777 107 1980, xxx ; 3 777 105 426, xxx ; 777 108 4267, xxx ; Như vậy, để các số lập phương nó có số đuôi là chữ số phải bắt đầu các số: 91; 198; 426; 91x; 198x; 426x; (x = 0, 1, 2, , 9) Thử các số: 917533 77243 ; 1987533 785129 ; 4267533 77719455 Vậy số cần tìm là: n = 426753 và 426753 77719455348459777 Bài tập áp dụng: 1.Tìm các số lớn và nhỏ các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chia hết cho 2.Biết số có dạng N 1235679 chia hết cho 24 Tìm tất các số N Số chính phương có dạng P 17712ab81 Tìm các chữ số a, b biết a +b = 13 II.2.2.1.2.6 Số nguyên tố II.2.2.1.2.6.1 Lí thuyết Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), cần chứng tỏ nó không chia hết cho số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a II.2.2.1.2.6.2 Ví dụ VD1: Số 647 có là số nguyên tố không Thực hành: 647 SIHFT STO A ÷2= alpha ÷ = ÷ 29 = 647 là số nguyên tố Hoặc 647 ÷ = Quay lại dòng biểu thức sửa thành = (14) Tiếp tục số 29 VD2: Tìm các ước nguyên tố A = 17513 + 19573 + 23693 Giải: Ghi vào màn hình 1751 ab/c 1957 = Chỉnh lại màn hình: 1751 17 = Kết quả: ƯCLN(1751;1957) = 103 (là số nguyên tố) Thử lại: 2369 M103 A =1033 (173 193 233 ) 173 193 233 23939 Tính tiếp: Chia 23939 cho các số nguyên tố được: 23939= 37 x 647 Kết A có các ước nguyên tố là 37; 103; 647 Bài tập áp dụng: Tìm các ước nguyên tố M = 18975 + 29815 + 35235 Số 211 – là số nguyên tố hay hợp số II.2.2.2 Liên phân số, phân số-số thập phân II.2.2.2.1 Liên phân số II.2.2.2.1 1.Lí thuyết Liên phân số (phân số liên tục) là công cụ toán học hữu hiệu các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó II.2.2.2.1.2 Cách làm Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân b a a0 a0 b b b a b0 số b có thể viết dạng: Vì b0 là phần dư a chia cho b nên b > b Lại tiếp tục biểu diễn b b a1 a1 b0 b0 b0 b1 phân số Cứ tiếp tục quá trình này kết thúc sau n bước và ta được: b a a0 a0 b b a1 1 .an an Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có biểu diễn dạng a ,a , ,a n liên phân số, nó viết gọn Số vô tỉ có thể biểu diễn dạng liên phân số vô hạn cách xấp xỉ nó dạng gần đúng các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số (15) a0 a1 .an a an dạng b Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số Dạng toán này gọi là tính giá trị liên phân số Với trợ giúp máy tính ta có thể tính cách nhanh chóng dạng biểu diễn liên phân số đó Qui trình ấn máy Ấn an a II.2.2.2.1.3 Ví dụ VD1: an an ab / c Ans a0 a b/ c Ans A ao 12 A 30 10 Cho b/ c 1 a1 an an 2003 Viết lại a0 , a1, , an 1, an , , , Viết kết theo thứ tự Giải: 12 A 30 10 Ta có 31 2003 3 12.2003 24036 4001 30 30 31 20035 20035 20035 20035 4001 30 5 4001 Tiếp tục tính trên, cuối cùng ta được: A 31 5 133 2 1 2 1 a , a , , a , a 31, 5,133, 2,1, 2,1, n n Viết kết theo ký hiệu liên phân số Bài tập vận dụng 1.Tính giá trị các biểu thức sau và biểu diễn kết dạng phân số: A 2 31 3 B 1 4 ; 7 10 6 C 3 5 ; 2003 5 7 Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315 (16) 1315 Riêng câu C ta làm sau: Khi tính đến 2003: 391 Nếu tiếp tục nhấn x 2003 = thì số thập phân vì vượt quá 10 chữ số Vì ta làm sau: 391 x 2003 = (kết 783173) C = 783173/1315 A 1 1 3 8 c) a) Viết quy trình tính: A 17 1 1 12 17 4 7 5 6 6 5 7 4 8 1 D 9 2 3 b) C 1 3 1 1 a) Tính 3 1 3 1 3 1 B 3 3 d) 2 23 3 12 2002 7 2003 b) Giá trị tìm A là bao nhiêu ? 2003 7 273 2 1 a b c d Tìm các số a, b, c, d Biết Tìm giá trị x, y Viết dạng phân số từ các phương trình sau: (17) x 4 1 3 a) 3 y 4 2 x 2 ; b) 1 3 1 2 4 1 1 y 1 2 4 3 1 2 , B= Hướng dẫn: Đặt A = x B A Ta có + Ax = Bx Suy 844 12556 24 x 1459 1459 (Tương tự y = 29 ) Kết 3 Tìm x biết: 8 8 381978 382007 8 8 8 8 8 8 8 1 x Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570MS 381978 : 382007 = 0.999924085 Ấn tiếp phím x-1 x – và ấn lần dấu = Ta được: Ans x Tiếp tục ấn Ans x-1 – = 17457609083367 Kết : x = -1,11963298 15592260478921 Thời gian trái đất quay vòng quanh trái đất viết dạng liên phân số là: 365 4 7 3 5 20 Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm số năm nhuận Ví dụ dùng phân số 365 thì năm lại có năm nhuận (18) 365 4 365 29 Còn dùng liên phân số thì 29 năm (không phải là 28 năm) có năm nhuận 1) Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) các liên phân số sau: 365 4 365 1 7 ; b) 7 4 4 365 1 3 ; c) 7 3 5 20 a) 2) Kết luận số năm nhuận dựa theo các phân số vừa nhận II.2.2.2.2 Phân số- số thập phân II.2.2.2.2.1 Tìm chữ số lẻ thập phân VD1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 phép chia 17 : 13 Giải: Bước 1: + Thực phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực phép tính làm tròn và hiển thị kết trên màn hình) Ta lấy chữ số đầu tiên hàng thập phân là: 3076923 + Lấy 1,3076923 13 = 16,9999999 17 - 16,9999999 = 0,0000001 Vậy 17 = 1,3076923 13 + 0.0000001 (tại không ghi số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn Không lấy số không vì 17 = 1,30769230 13 + 0,0000001= 1,30769230 13 + 0,0000001 Bước 2: + lấy : 13 = 0,07692307692 11 chữ số hàng thập phân là: 07692307692 Vậy ta đã tìm 18 chữ số đầu tiên hàng thập phân sau dấu phẩy là: 307692307692307692 Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm chữ số Ta có 105 = 6.17 + ( 105 3(mod 6) ) Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba chu kỳ Đó chính là số Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy phép chia 250000 cho 19 Giải: 250000 17 13157 19 Vậy cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu Ta có 19 phẩy phép chia 17 : 19 Bước 1: (19) Ấn 17 : 19 = 0,8947368421 Ta chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842 + Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 10-9 Bước 2: Lấy : 19 = 0,1052631579 Chín số hàng thập phân là: 105263157 + Lấy – 0,105263157 * 19 = 1,7 10-8 = 17 10-9 Bước 3: Lấy 17 : 19 = 0,8947368421 Chín số hàng thập phân là + Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 10-9 Bước 4: Lấy : 19 = 0,1052631579 Chín số hàng thập phân là: 105263157 Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 = 0,(894736842105263157) Chu kỳ gồm 18 chữ số 133 1(mod18) 132007 133 669 1669 (mod18) Ta có Kết số dư là 1, suy số cần tìm là sồ đứng vị trí đầu tiên chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân Kết : số II.2.2.2.2.1.2 Tìm phân số sinh số thập phân tuần hoàn II.2.2.2.2.1.2.1 Cách làm - Mẫu số là các số và các số tiếp theo: + Số chữ số số chữ số cụm tuần hoàn + Số chữ số số chữ số không tuần hoàn đứng sau dấu phẩy - Tử số số đã cho với cụm tuần hoàn đầu tiên không ghi dấu phẩy trừ cho phần không tuần hoàn không ghi dấu phẩy II.2.2.2.2.1.2.2 Ví dụ VD1: Phân số nào sinh số thập phân tuần hoàn sau a) 0,123123123… b) 4,(35) c) 2,45736736… Giải: 123 0,123123123 0.(123) 999 a) 435 431 4,(35) 99 99 b) 245736 245 245491 2,45736736 2,45(736) 99900 99900 c) Bài tập: 1.Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy chia: (20) a) chia cho 49 b) 10 chia cho 23 Tìm phân số sinh số thập phân tuần hoàn 3,15(321) Viết các số sau dạng phân số tối giản a) 3124,142248 b) 5,(321) a) Tính 2 A 0,20102010 0,020102010 0,0020102010 b) Tìm tất các ước nguyên tố A II.2.2.3 Đa thức II.2.2.3 Lí thuyết Một số kiến thức cần nhớ: II.2.2.3 1 Định lý Bezout Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a) Hệ quả: Nếu a là nghiệm f(x) thì f(x) chia hết cho x – a II.2.2.3 Sơ đồ Hor nơ Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a Ví dụ: Thực phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – cách dùng sơ đồ Hor nơ Bước 1: Đặt các hệ số đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột dòng trên -5 -4 a=2 Bước 2: Trong cột để trống dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư - Số thứ dòng = số tương ứng dòng trên - Kể từ cột thứ hai, số dòng xác định cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước cộng với số cùng cột dòng trên -5 -4 a=2 -3 Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + * Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r Theo sơ đồ Hor nơ ta có: a0 a b0 a0 a1 b1 ab0 + a1 a2 b2 a3 r ab1 + a2 ab2 + a3 (21) VD 1: Tìm số dư các phép chia sau: a) x3 – 9x2 – 35x + cho x – 12 b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617 c) Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + x 6, 723x 1,857 x 6, 458 x 4,319 x 2,318 d) e) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 + Tính P(2 ) + Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + VD2 : Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = 16 , P(5) = 15 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) Giải: Ta có P(1) = = 12; P(2) = = 22 ; P(3) = = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Suy 1; 2; 3; 4; là nghiệm đa thức Q(x) Vì hệ số x5 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 Hay P(6) = 5! + 62 = 156 Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 Hay P(7) = 6! + 72 = 769 Bài 3: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = , Q(2) = , Q(3) = , Q(4) = 11 Tính các giá trị Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Hướng dẫn Q(1) = = 2.1 + 3; Q(2) = = 2.2 + 3; Q(3) = = 2.3 + ; Q(4) = 11 = 2.4 + Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) Bài tập vận dụng Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) 2.Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Có P(1) = 0,5 ; P(2) = ; P(3) = 4,5 ; P(4) = Tính P(2002), P(2003) Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50 Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) 4.Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 Tính P(2007) (22) 5.Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 c) P(x) có nghiệm x = Tìm m x Cho P(x) = x3 x a) Tìm biểu thức thương Q(x) chia P(x) cho x – b) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – chính xác đến chữ số thập phân Tìm số dư phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652 Tìm hệ số x2 đ thức thương phép chia trên 8.Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho x – ta thương là đa thức Q(x) có bậc là Hãy tìm hệ số x2 Q(x) 9.Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b) Với m tìm câu a ) , hãy tìm số dư r chia P(x) cho 3x – và phân tích P(x) thành tích các thừa số bậc c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – Với n tìm trên , hãy phân tích Q(x) tích các thừa số bậc II.2.2.4 Dãy số VD1: Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức n 13 − √ ¿ ¿ 13+ √ ¿n − ¿ với n = , , , k , ¿ U n=¿ a) Tính U ,U , U ,U ,U , U , U ,U b) Lập công thức truy hồi tính U n+ theo U n và U n −1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+ theo U n và U n −1 Giải: a) Quy trình bấm phím (Máy fx-570MS) SIHFT STO A ((13 ) alpha A - (13 ) alpha A ) ÷ alpha : alpha A alpha = alpha A + = Ấn = liên tiếp ta kết U1 = 1; U2 = 26 ; U3 =510; U4 =8944; U5 = 147884 3) (23) U6 = 2360280; U7 = 36818536; U 8= 565475456 b) Giả sử Un+1 = a Un + b Un-1 + c Theo phần a ta có hệ 510 a.26 b.1 c 8944 a.510 b.26 c 147884 a.8944 b.510 c a 26 b 166 c 0 Un+1 = 26 Un -166 Un-1 c) SIHFT STO A 26 SIHFT STO B alpha A alpha = alpha B - 1 alpha A alpha : alpha B alpha = alpha A - 1 alpha B Bài tập áp dụng an3 an 1.Cho dãy số a1 = 3; an + = an a) Lập quy trình bấm phím tính an + b) Tính an với n = 2, 3, 4, , 10 xn3 1 xn 1 2.Cho dãy số x1 = ; a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + b) Tính x30 ; x31 ; x32 xn 1 xn xn (n 1) xn 1 xn2 xn2 (n 1) 3.Cho dãy số a) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = và tính x100 b) Lập quy trình bấm phím tính xn + với x1 = -2 và tính x100 4.Cho dãy số a) Cho x1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị xn + b) Tính x100 n Un 5 7 5 7 n 5.Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 b) Chứng minh Un + = 10Un + – 18Un c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + theo Un + và Un n n 3 3 U n 2 Cho dãy số với n = 1; 2; 3; a) Tính số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5 (24) b) Lập công thức truy hồi tính Un + theo Un và Un – c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + trên máy Casio U 7.Cho dãy số n tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau tích hai số trước cộng với 1, U0 = U1 = a) Lập quy trình tính un b) Tính các giá trị Un với n = 1; 2; 3; ; c) Có hay không số hạng dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ Nếu không hãy chứng minh 8.Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + = 3Un + Un – (n 2) a) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio b) Tính các giá trị Un với n = 18, 19, 20 9.Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + = Un + Un – (n 2) c) Hãy lập quy trình tính Un + máy tính Casio d) Tính các giá trị Un với n = 12, 48, 49, 50 10 Cho dãy số thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở tính theo công thức Un + = 2Un + Un + (n 2) a) Tính giá trị U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị Un với n = 22; 23, 24, 25 II.2.2.5 Các bài toán kinh tế *Lãi suất đơn: Tiền lãi không gộp vào vốn để tính *Lãi suất kép: Tiền lãi gộp vào vốn để tính II.2.2.5.1 Bài toán 1: Lãi suất đơn Một công nhân gởi vào ngân hàng a đồng, lãi suất m% trên tháng theo hợp đồng tiền gốc và tiền lãi hàng tháng toán lần ( tiền lãi hàng tháng không cộng vào gốc cho tháng sau) Tính số tiền lãi sau n tháng Giải: Tiền lãi tháng: a.m% Tiền lãi sau n tháng: n.a.m% II.2.2.5.2 Bài toán 2: Lãi suất kép * Bài toán 2.1: Lãi suất kép Gửi số tiền a đồng, lãi suất m% trên tháng (lãi tháng cộng vào gốc tháng sau) tính số tiền có sau n tháng Giải: Đầu tháng số tiền là: a Cuối tháng số tiền là: a + a.m% = a(1+m%) Đầu tháng số tiền là: a(1+m%)1 Cuối tháng số tiền là: a(1+m%)1 + a(1+m%).m% = a(1+m%) (1+m%) = a(1+m%)2 … Đầu tháng n số tiền là: a(1+m%)n (25) Cuối tháng n số tiền là: a(1+m%)n * Bài toán 2.2: Lãi suất kép Hàng tháng người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất m% trên tháng (tiền lãi tháng + gốc cho tháng sau) Tính số tiền gốc cộng lãi sau n tháng Giải: Đầu tháng số tiền là: a Cuối tháng số tiền là: a + a.m%= a(1+m%) Đầu tháng số tiền là: a(1+m%) +a = a[(1+m%)+1] Cuối tháng số tiền là: a[(1+m%)+1]+ a[(1+m%)+1]m% = a[(1+m%)+1](1+m%) a (1 m%) 1 (1 m%) 1 (1 m%) m% (1 m%)2 1 (1 m%) m% a (1 m)3 (1 m%) m% a (1 m%) (1 m)2 1 m% … Cuối tháng n số tiền là: a (1 m%)n1 (1 m%) m% a (1 m%) (1 m%)n 1 m% II.2.2.5.3 Ví dụ VD1: a) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta là bao nhiêu tỉ lệ tăng dân số trung bình năm là 1,2 ? b)Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ tăng dân số trung bình năm là ? Giải : a) 76300000(1+1,2%)9=76300000(1+0,012)9= 84947216,06 Dân số nước ta năm 2010 là : 84947216 người c) 100000000=76300000(1+r)19 (1+r)19 =100000000 ÷ 76300000 100000000 1+r = 76300000 19 (26) 100000000 r = 76300000 -1 19 = 0,014338521… Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì tỉ lệ tăng dân số trung bình năm là : 1,433852166% VD2: Một người gửi ngân hàng theo lãi suất kép Muốn có triệu sau 15 tháng thì phải gửi ngân hàng tháng số tiền là bao nhiêu lãi suất là 0,6% Giải : Số tiền sau n tháng tính : a A (1 m%) (1 m%)n 1 m% 1000000 a (1 0, 6%) (1 0.6%)15 1 0, 6% a 1000000 0, 6% (1 0, 6%) (1 0.6%)15 1 a 63530 Bài tập áp dụng Dân số quốc gia năm 2000 là 80 triệu dân, năm 2002 dân số nước đó là 81931520 người a) Tìm tỉ lệ sinh dân số quốc gia trên b) Dự đoán đến năm 2015 quốc gia đó có bao nhiêu người so với năm 2000 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền là 65 triệu đồng theo mức không kì hạn với lãi suất 0,4% tháng Nếu tháng người đó rút số tiền vào ngày ngân hàng tính lãi thì hàng tháng người đó cần rút bao nhiêu tiền (làm tròn đến trăm đồng) để sau đúng 60 tháng số tiền sổ tiết kiệm vừa hết Dân số thành phố năm 2007 là 330.000 người a) Hỏi năm học 2007-2008, dự báo có bao nhiêu học sinh lớp đến trường, biết 10 năm trở lại đây tỉ lệ tăng dân số năm thành phố là 1,5% và thành phố thực tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đến lớp ? (Kết làm tròn đến hàng đơn vị) b) Nếu đến năm học 2015-2016, thành phố đáp ứng 120 phòng học cho học sinh lớp 1, phòng dành cho 35 học sinh thì phải kiềm chế tỉ lệ tăng dân số năm là bao nhiêu, năm 2007 ? (Kết lấy với chữ số phần thập phân) II.2.2.6 Căn thức Cách giải: - Tìm quy luật biểu thức (27) - Chọn giá trị ban đầu để gán vào biến cho hợp lí - Dựa vào quy luật viết quy trình bấm phím VD1: Tính gần đúng đến chữ số thập phân A 7 Giải: Quy trình bấm phím trên máy fx570-MS SIHFT STO B SIHFT STO A SIHFT STO C alpha A alpha = ( -1 ( alpha B - ) alpha B alpha C alpha : alpha B alpha = alpha B - alpha : alpha C alpha = alpha C + KQ: 4,547219 VD2: Tìm 45 89 Giải: SIHFT STO A SIHFT STO B alpha B alpha = alpha A x ( alpha A alpha B ) alpha : alpha A alpha = alpha A - Ấn = lặp A = 2; KQ: 1,829 Bài tập vận dụng Tìm gần đúng đến chữ số thập phân 9 2 Tính giá trị biểu thức 5 8 9 Tính giá trị biểu thức 2 3 4 5 8 9 Tính giá trị biểu thức (gần đúng đến chữ số thập phân) 1 233 455 677 8899 10 10 II.2.2.7 Phương trình II.2.2.7.1 Tìm nghiệm gần đúng phương trình bậc cao (28) II.2.2.7.1.1 Cách làm - Ghi nguyên vào màn hình phương trình cần tìm nghiệm - Ấn phím Shift SOLVE (Máy X?) - Ấn phím Shift SOLVE (Máy cho kết quả) II.2.2.7.1.2.Ví dụ Tìm nghiệm gần đúng phương trình x6- 15x -25 =0 Alpha X - Alpha X - Alpha = Giải: Shift SOLVE Shift SOLVE KQ: -1,317692529 Bài tập vận dụng Tìm nghiệm gần đúng phương trình x31- 11x =13 Tìm nghiệm gần đúng phương trình x23- 19x -27 =0 Tìm nghiệm gần đúng phương trình 12x6- 17x -35 =0 II.2.2.7.2 Phương trình có chứa phần nguyên II.2.2.7.2.1 Lí thuyết x x Định nghĩa: Kí hiệu gọi là phần nguyên x, đó không vượt quá x x x: (1) Ví dụ x 2005n 2004 0(*) II.2.2.7.2.2 VD1: Giải phương trình2005n x2 x 2005 0 (1) x2004 2004 x n x + 2004 Giải: Đặt n= (2) 2005 Có: n x n +1 Từ (29) (2) n 0 n x (n +1)2 n 2004 x 2004 (n +1)2 2004 n 2004 x 2004 n 2n + 2005 n 2004 2005n n 2n + 2005 n 2004 2005n 0 n 2005n + 2004 0 n 2n + 2005- 2005n 0 n - 2003n + 2005 0 1 n 2004 1 n 2004 n =1 n 1,001 n 1,001 1 n 2004 n 2002;2003;2004 n 2001,999 n 2001,999 n 1;2002;2003;2004 Thay vào (*) tính được: x1=1; x2=2002,999251; x3 =2003,4999688; x4=2004 VD2: Giải phương trình 3 ( x3 1) 855 Giải: Ta có n 1 n 1;2; ;7 n 2 n 8;9; ;26 n 3 n 27;28;29; ;63 n 4 n 64;65;66; ;124 n k k n (k 1)3 Từ đây dễ dàng chứng minh: Do đó ta có: 31 3 215 7 1 19 2 37 3 614 915 855 31 3 ( x3 1) 855 x3 215 x 6 Bài tập áp dụng Giải phương trình x 2003 x 2002 0 (30) 2.Giải phương trình x 2002 x 2001 0 Giải phương trình 31 3 ( x3 1) 215 II.2.2.8 Một số đề thi BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI KHU VỰC GIẢI MÁY TÍNH TRÊN MÁY TÍNH NĂM 2007 Lớp THCS Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 13/03/2007 Bài (5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức lấy kết với chữ số phần thập phân : N= 321930+ 291945+ 2171954+ 3041975 b) Tính kết đúng (không sai số) các tích sau : P = 13032006 x 13032007 Q = 3333355555 x 3333377777 c) Tính giá trị biểu thức M với α = 25030', β = 57o30’ M= 1+tgα2 1+cotg β2 + 1-sin α2 1-cos β2 1-sin 2 1-cos β2 (Kết lấy với chữ số thập phân) Bài (5 điểm)Một người gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng (tiền Việt Nam) vào ngân hàng theo mức kỳ hạn tháng với lãi suất 0,65% tháng a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ngân hàng Biết người đó không rút lãi tất các định kỳ trước đó b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn tháng với lãi suất 0,63% tháng thì sau 10 năm nhận bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ngân hàng Biết người đó không rút lãi tất các định kỳ trước đó (Kết lấy theo các chữ số trên máy tính toán) Bài (4 điểm) Giải phương trình (lấy kết với các chữ số tính trên máy) 130307+140307 1+x =1+ 130307-140307 1+x Bài (6 điểm) Giải phương trình (lấy kết với các chữ số tính trên máy) : (31) x+178408256-26614 x+1332007 + x+178381643-26612 x+1332007 1 Bài (4 điểm)Xác định các hệ số a, b, c đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là và chia cho (x – 14) có số dư là (Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài (6 điểm) Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại các giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận các giá trị 1, 2, 3, thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45 (Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài (4 điểm)Tam giác ABC vuông A có cạnh AB = a = 2,75 cm, góc C = α = 37o25’ Từ A vẽ các đường cao AH, đường phân giác AD và đường trung A tuyến AM a) Tính độ dài AH, AD, AM b) Tính diện tích tam giác ADM (Kết lấy với chữ số phần thập phân) B Bài (6 điểm) H D M C Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chúng minh tổng bình phương cạnh thứ và bình phương cạnh thứ hai hai lần bình phương trung tuyến thuộc cạnh thứ ba cộng với nửa bình phương cạnh thứ ba Bài toán áp dụng : Tam giác ABC có cạnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25 cm và đường cao AH = h = 2,75cm a) Tính các góc A, B, C và cạnh BC tam giác b) Tính độ dài trung tuyến AM (M thuộc BC) c) Tính diện tích tam giác AHM (góc tính đến phút ; độ dài và diện tích lấy kết với chữ số phần thập phân A C B H M Bài (5 điểm)Cho dãy số với số hạng tổng quát cho công thức : (32) n 13+ - 13- U = n n với n = 1, 2, 3, ……, k, … a) Tính U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8 b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un+1 theo Un và Un-1 y= x+2 y = - x+5 (1) và Bài 10 (5 điểm)Cho hai hàm số (2) a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A(xA, yA) hai độ thị (kết dạng phân số hỗn số) c) Tính các góc tam giác ABC, đó B, C thứ tự là giao điểm đồ thị hàm số (1) và độ thị hàm số (2) với trục hoành (lấy nguyên kết trên máy) d) Viết phương trình đường thẳng là phân giác góc BAC (hệ số góc lấy kết với hai chữ số phần thập phân) KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2008 MÔN: TOÁN (THCS) THỜI GIAN: 150 PHÚT NGÀY THI: 14/03/2008 Câu 1: Tính giá trị biểu thức 2 1) A = 135791 246824 3sin15 25`4cos12 12`.sin 42 20` cos36 15` 2) B = 2cos15 25`3cos65 13`.sin15 12` cos31 33`.sin18 20` x x ) : ( x 1 x x x x x 3) C = , với x = 143,08 ax3 bx cx d x Câu 2: Cho P(x) = có P(0) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60 1) Xác định các hệ số a, b, c, d P(x) 2) Tính P(2006) 3) Tìm số dư phép chia đa thức P(x) cho (5x - 6) Câu 3: Tam giác ABC có AB = 31,48 (cm), BC = 25,43 (cm), AC = 16,25 (cm) Viết quy trình bấm phím liên tục trên máy tính cầm tay và tính chính xác đến 02 (33) chữ số sau dấu phẩy giá trị diện tích tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích phần hình tròn nằm phía ngoài tam giác ABC (Cho biết công thức tính diện tích tam giác: S = y Câu 4: Cho hai đường thẳng: ( d1 ) p( p a)( p b)( p c), S 1 x 2 (d ) : y abc 4R ) 51 x 2 1) Tính góc tạo các đường thẳng trên với trục ox (chính xác đến giây) 2) Tìm giao điểm hai đường thẳng trên (tính tọa độ giao điểm chính xác đến chữ số sau dấu phẩy) 3) Tính góc nhọn tạo hai đường thẳng trên (chính xác đến giây) Câu 5: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Cho biết MO = 2R và R = 4,23 (cm), tính chính xác đến chữ số sau dấu phẩy: 1) Phần diện tích tứ giác MAOB nằm phía ngoài đường tròn (O;R) 2) Diện tích phần chung hình tròn đường kính MO và hình tròn (O;R) an2 an a0 1, an 1 an Câu 6: Cho dãy số với n = 0,1,2,… 1) Lập quy trình bấm phím tính an1 trên máy tính cầm tay 2) Tính a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a10 , a15 Câu 7: Cho dãy số U1 2;U 3;U n1 3U n 2U n1 với n 2 1) Lập quy trình bấm phím tính U n1 trên máy tính cầm tay 2) Tính U ,U ,U ,U10 ,U15 ,U19 Bài 8: Cho đường tròn đường kính AB = 2R, M và N là hai điểm nằm trên đường tròn cho: cung AM = cung MN = cung NB Gọi H là hình chiếu N trên AB và P là giao điểm AM với HN Cho R = 6,25 cm 1) Tính: Góc (MBP) 2) Cho hình vẽ quay vòng xung quanh trục BM Tính diện tích xung quanh và thể tích hình tam giác MBP tạo thành (chính xác đến chữ số sau dấu phẩy) Bài 9: Dân số nước là 80 triệu người, mức tăng dân số là 1,1% năm Tính dân số nước đó sau n năm, áp dụng với n = 20 13x3 26102 x 2009 x 4030056 0 ( x x 4017)( y Bài 10: Giải hệ phương trình: y 1) 4017 KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009 MÔN: TOÁN (THCS) (34) THỜI GIAN: 150 PHÚT NGÀY THI: 13/03/2009 Câu 1: Tính giá trị biểu thức 1, 252 15,373 3, 754 4) A = 3 5) B = 3 2009 13,3 32 3 2 4 (1 sin 17 34`) (1 tg 25 30`)3 (1 cos 50 13`)3 2 3 6) C = (1 cos 35 25`) (1 cot g 25 30`) (1 sin 50 13`) Câu 2: Hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh AB = m, BC = n Từ A kẻ AH vuông góc với đường chéo BD a) Tính diện tích tam giác ABH theo m, n b) Cho biết m = 3,15 cm và n = 2,43 cm Tính ( chính xác đến chữ số thập phân) diện tích tam giác ABH Câu 3: Đa thức P( x) x ax bx cx dx ex f có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 x nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; a) Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f P(x) b) Tính giá trị P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 Câu 4: 4) Hình chóp tứ giác O ABCD có độ dài cạnh đáy BC a , độ dài cạnh bên OA l a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp O ABCD theo a và l b) Tính ( chính xác đến chữ số thập phân) diện tích xung quanh và thể tích hình chóp O ABCD cho biết a 5, 75cm, l 6,15cm 5) Người ta cắt hình chóp O ABCD cho câu mặt phẳng song song với đáy ABCD cho diện tích xung quanh hình chóp O.MNPQ cắt diện tích xung quanh hình chóp cụt MNPQ ABCD cắt Tính thể tích hình chóp cụt cắt ( chính xác đến chữ số thập phân ) Câu 5: (35) Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 10 phút, canô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền đó cách bến A 20,5 km Hỏi vận tốc thuyền, biết canô chạy nhanh thuyền 12,5km / h ( Kết chính xác với chữ số thập phân) Lức sáng, ô tô từ A đến B, đường dài 157 km Đi 102 km thì xe bị hỏng máy phải dừng lại sửa chữa 12 phút tiếp đến B với vận tốc ít lúc đầu là 10,5km / h Hỏi ô tô bị hỏng lúc giờ, biết ô tô đến B lúc 11 30 phút ( Kết thời gian làm tròn đến phút) n Un 1 1 n 2 Câu 6: Cho dãy số với n =1,2,…,k,… U U U n n với n 1 Chứng minh rằng: n1 Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n1 theo U n và U n với U1 1,U 2 Tính các giá trị từ U11 đến U 20 Câu 7: Hình thang vuông ABCD ( AB // CD) có góc nhọn BCD , độ dài các cạnh BC m, CD n 3) Tính diện tích, chu vi và các đường chéo hình thang ABCD theo m, n và 4) Tính ( chính xác đến chữ số thập phân ) diện tích, chu vi và các o , đường chéo hình thang ABCD với m 4, 25cm, n 7,56cm, 54 30 Bài 8: Số chính phương P có dạng P 17712ab81 Tìm các chữ số a, b biết a b 13 Số chính phương Q có dạng Q 15cd 26849 Tìm các chữ số c, d biết 2 c d 58 Số chính phương M có dạng M 1mn399025 chia hết cho Tìm các chữ số m, n xn 1 13 xn2 xn2 với x1 0, 09 , n = 1,2,3, Bài 9: Cho dãy số xác định công thức : …, k,… 3) Viết quy trình bấm phím liên tục tính xn1 theo xn 4) Tính x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ( với đủ 10 chữ số trên màn hình ) 5) Tính x100 , x200 ( với đủ 10 chữ số trên màn hình ) (36) Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A Từ A kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) Tính độ dài cạnh AB ( chính xác đến chữ số thập phân), biết diện tích tam giác AHC là S 4, 25cm , độ dài cạnh AC là m 5, 75cm UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HOC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2004 - 2005 Môn : MÁY TÍNH BỎ TÚI Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao ĐỀ CHÍNH THỨC đề) Bài 1: (2 điểm): Tính kết đúng các tích sau: M = 3344355664 3333377777 N = 1234563 Bài 2: (2 điểm): Tìm giá trị x, y viết dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau: 2x 5 3 5 7 y 1 4 5 8 y 3 3 x 1 2 5 Bài 3: (2 điểm): Cho ba số: A = 1193984; B = 157993 và C = 38743 a) Tìm ước số chung lớn ba số A, B, C b) Tìm bội số chung nhỏ ba số A, B, C với kết đúng chính xác Bài 4: (2 điểm): a) Bạn An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn) Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì vốn lẫn lãi vượt quá 1300000 đồng ? b) Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, bạn An gửi tiết kiệm có kỳ hạn tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì bạn An nhận số tiền vốn lẫn lãi là bao nhiêu ? Biết các tháng kỳ hạn, cộng thêm lãi không cộng vốn và lãi tháng trước để tình lãi tháng sau Hết kỳ hạn, lãi cộng vào vốn để tính lãi kỳ hạn tiếp (37) theo (nếu còn gửi tiếp), chưa đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng dư so với kỳ hạn tính theo lãi suất không kỳ hạn Bài 5: (2 điểm): Cho dãy số thứ tự u1 , u2, u3 , , un , un 1 , , biết u5 588 , u6 1084 và un 1 3un 2un Tính u1 , u2 , u25 Bài 6: (2 điểm): Cho dãy số thứ tự u1 , u2, u3 , , un , un 1 , biết: u1 1, u 2, u3 3; un un 2un 3un ( n 4) a) Tính u4 , u5 , u6 , u7 b) Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n 4 c) Sử dụng qui trình trên, tính giá trị u20 , u22 , u25 , u28 Bài 7: (2 điểm): Biết ngày 01/01/1992 là ngày Thứ Tư (Wednesday) tuần Cho biết ngày 01/01/2055 là ngày thứ tuần ? (Cho biết năm 2000 là năm nhuận) Bài 8: (2 điểm): Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ Kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội Huế), người ta cắm cọc MA và NB cao 1,5 m (so với mặt đất) song song, cách 10 m và thẳng hàng so với tim cột cờ Đặt giác kế đứng A và B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta đo các góc là 51 49'12" và 45039' so với phương song song với mặt đất Hãy tính gần đúng chiều cao đó Bài 9: (2 điểm): Cho tam giác ABC có các độ dài các cạnh AB = 4,71 cm, BC = 6,26 cm và AC = 7,62 cm a) Hãy tính độ dài đường cao BH, đường trung tuyến BM và đoạn phân giác BD góc B ( M và D thuộc AC) b) Tính gần đúng diện tích tam giác BHD Bài 10: (2 điểm): 11 n Tìm số nguyên tự nhiên nhỏ n cho là số chính phương II.3 Chương III: HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI (38) Sau thời gian dài áp dụng giải pháp, qua thực tế giảng dạy, tôi thấy giải pháp bước đầu đã mang lại hiệu qủa khả quan Học sinh yêu thích môn học này hơn, đồng thời kích thích trí tò mò tìm hiểu khoa học học sinh, các em tích cực chủ động việc lĩnh hội kiến thức các môn học nói chung và môn Toán nói riêng Chất lượng môn nâng cao, thể cụ thể kết học tập các em Kiểm tra Số Yếu TB Khá+giỏi Đạt giải Đạt giải HS cấp Huyện cấp Tỉnh Trước ôn Sau ôn 7 Trong quá trình thử nghiệm, tôi đã thu số thành công bước đầu: *Về phía học sinh: Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống các dạng bài tập máy tính bỏ túi Casio từ dễ đến khó, tôi thấy đã phát huy tính tích cực, tư sang tạo, say mê môn học học sinh, giúp học sinh hình thành phương pháp và cách làm việc với khoa học Toán học Đặc biệt các em xác định dạng và sử dụng phương pháp hợp lí để giải bài toán cách chủ động *Về phía giáo viên: Tôi thấy trình độ chuyên môn nâng cao hơn, đặc biệt phù hợp với quá trình đổi phương pháp dạy học ngành đề Đồng thời hình thành giáo viên phương pháp làm việc khoa học Hơn đã phát huy tích cực chủ động người học, hình thành học sinh kĩ năng, kĩ xảo giải toán III.KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT III.1 Kết luận Khi hướng dẫn học sinh giải toán trên máy tính bỏ túi (phần Đại số)theo hệ thống bài tập trên tôi thấy học sinh hiểu, vận dụng tốt, đặc biệt giúp các em nhớ lâu, phân biệt dạng bài tập Từ đó giúp các em say xưa với môn, tích cực sáng tạo giải Toán, là sở để tôi phát và bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi Đối với giáo viên để luyện tốt cho học sinh sử dụng máy tính bỏ túi Casio vào giải toán cần: - Phải nắm thật chương trình và đối tượng học sinh để chuẩn bị bài giảng tốt - Phải biết chọn lọc nội dung,phương pháp tập chung vào điểm mấu chốt, chọn kiến thức, kĩ nào hay ứng dụng để giảng tốt - Phải giảng đến đâu, luyện đến Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng bài tập - Suốt quá trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ sao, làm nào? Tại chọn cách giải đó??? Thì đạt kết III.2 Đề xuất (39) Đề nghị PGD, Sở GD thường xuyên mở lớp tập huấn để giáo viên có điều kiện giao lưu, học hỏi kinh nghiệm dạy đồng nghiệp IV TÀI LIỆU THAM KHẢO-PHỤ LỤC IV.1 Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Toán 6; Toán 7; Toán 8; Toán Sách giáo viên Toán 6; Toán 7; Toán 8; Toán Bài tập nâng cao và số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên Bài tập nâng cao và số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên Bài tập nâng cao và số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên Bài tập nâng cao và số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên Tuyển tập 250 bài toán bồi dưỡng HS giỏi Toán cấp (phần Đại số) – - Võ Đại Mau Giải toán trên máy tính Casio fx-570MS lớp 6-7-8-9 – Lê Hồng Đức Hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính Casio fx 500 MS – TS Nguyễn Văn Trang 10 Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio fx 570 MS – TS Nguyễn Văn Trang 11 Hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính Vinacal Vn-500 MS 12 Hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính Vinacal Vn-570 MS 13 Các đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính Casio 1996 – 2004 – Tạ Duy Phượng – Nguyễn Thế Thạch 14 Tài liệu tải trên mạng thuộc thư viện violet IV.2 Phụ lục STT 10 11 12 13 Nội dung I.Phần mở đầu I.1 Lí chọn đề tài I.2 Mục đích nghiên cứu I.3 Thời gian – Địa điểm I.4 Đóng góp mặt lí luận, mặt thực tiễn II Phần nội dung II.1 Chương I: Tổng quan II.1.1 Cơ sở lí luận II.1.2 Đặc điểm tình hình II.2 Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu II.2.1 Sơ lược cách sử dụng máy II.2.2 Lí thuyết và các dạng bài tập II.2.2.1 Các phép toán tập hợp số tự nhiên Trang 1 1 2 2 3 7 (40) 14 15 16 17 18 19 20 21 22 II.2.2.2 Liên phân số - phân số - số thập phân II.2.2.3 Đa thức II.2.2.4 Dãy số II.2.2.5 Các bài toán kinh tế II.2.2.6 Căn thức II.2.2.7 Phương trình II.2.2.8 Một số đề thi II.3 Chương III: Hiệu đề tài III Kết luận và đề xuất 13 19 21 23 26 27 29 37 37 Đông Triều, ngày 19 tháng năm 2010 Người viết Đào Thị Mai Phương V NHẬN XÉT CỦA HĐKH CẤP TRƯỜNG, PHÒNG GD-ĐT, SỞ GD-ĐT …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… (41) …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… (42) (43)