TONG HOP TOAN 9 anh

Tâm của đờng tròn bàng tiÕp trong gãc A lµ giao điểm của hai đờng phân gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm của đờng phân giác góc A và đờng phân giác ngoài t¹i B hoÆc C.[r]

tæng hîp kiÕn thøc vµ c¸ch gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp to¸n PhÇn I: §¹i sè A KiÕn thøc cÇn nhí Điều kiện để thức có nghĩa A cã nghÜa A  Các công thức biến đổi thức a A2  A b AB  A B c A A  B B d e f ( A 0; B 0) ( A 0; B  0) A2 B  A B A B  A2 B ( B 0) ( A 0; B 0) A B  A2 B ( A  0; B 0) A  B B AB ( AB 0; B 0) i A A B  B B k C C ( A B )  A  B2 A B ( B  0) ( A 0; A  B ) C C( A  B )  A  B2 A B ( A 0; B 0; A B ) m Hµm sè y = ax + b (a  0) - TÝnh chÊt: + Hàm số đồng biến trên R a > + Hµm sè nghÞch biÕn trªn R a < - §å thÞ: Đồ thị là đờng thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hµm sè y = ax2 (a  0) - TÝnh chÊt: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < và đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < và nghịch biến x > - §å thÞ: Đồ thị là đờng cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành + Nếu a < thì đồ thị nằm phía dới trục hoành Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d') (d) vµ (d') c¾t  a  a' (d) // (d')  a = a' vµ b  b' (d)  (d')  a = a' vµ b = b' Vị trí tơng đối đờng thẳng và đờng cong Xét đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P) (d) vµ (P) c¾t t¹i hai ®iÓm (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung Ph¬ng tr×nh bËc hai XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a  0) C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän  = b2 - 4ac ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu  > : Ph¬ng tr×nh cã hai - NÕu ' > : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: nghiÖm ph©n biÖt: − b+ √ Δ ; − b −√ Δ − b' + √ Δ' ; − b' − √ Δ' x 1= x 2= x 1= x 2= 2a 2a NÕu  = : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : x 1=x 2= − b 2a NÕu  < : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm a a - NÕu ' = : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ' kÐp: x 1=x 2= − b a - NÕu ' < : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm HÖ thøc Viet vµ øng dông - HÖ thøc Viet: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a0) th×: b   S x1  x2  a   P  x x  c  a - Mét sè øng dông: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = (§iÒu kiÖn S2 - 4P  0) + NhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a0) NÕu a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: c x1 = ; x2 = a NÕu a - b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm:  c a x1 = -1 ; x2 = Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn A KiÕn thøc cÇn nhí PhÇn II: h×nh häc HÖ thøc lîng tam gi¸c vu«ng b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' ah = bc a2 = b2 + c2 1 = 2+ 2 h b c A b c B h c' b' C H a TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän < sin < < coss < tg α = sin α cos α tg.cotg = cos α sin α 1+tg α = cos α cot gα= sin2 + cos2 = 1+cot g2 α= sin α HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc tam gi¸c vu«ng B b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B a §êng trßn - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng c ta vẽ đợc và đờng tròn - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng - Quan hệ vuông góc đờng kính và dây Trong đờng tròn A b C + §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy + §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy - Liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đờng tròn: + Hai dây thì cách tâm + Hai dây cách tâm thì + Dây nào lớn thì dây đó gần tâm + Dây nào gần tâm thì dây đó lớn - Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y: Trong đờng tròn hay hai đờng tròn nhau: + Hai cung b»ng c¨ng hai d©y b»ng + Hai d©y b»ng c¨ng hai cung b»ng + Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n + D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n - Vị trí tơng đối đờng thẳng và đờng tròn: thøc liªn hÖ Vị trí tơng đối Sè ®iÓm chung HÖgi÷a d vµ R - Đờng thẳng và đờng tròn cắt d<R d=R d>R - Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc - Đờng thẳng và đờng tròn không giao - Vị trí tơng đối đờng thẳng và đờng tròn: Sè ®iÓm HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d Vị trí tơng đối chung vµ R - Hai đờng tròn cắt R - r < OO' < R + r - Hai đờng tròn tiếp xúc + TiÕp xóc ngoµi OO' = R + r + TiÕp xóc OO' = R - r - Hai đờng tròn không giao + (O) vµ (O') ë ngoµi OO' > R + r + (O) đựng (O') OO' < R - r + (O) và (O') đồng tâm OO' = Tiếp tuyến đờng tròn - TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm - DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn: + Đờng thẳng và đờng tròn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng bán kính + Đờng thẳng qua điểm đờng tròn và vuông góc với bán kính qua điểm đó A - TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn c¾t MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t th×: + MA = MB + MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB O M + OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB - Tiếp tuyến chung hai đờng tròn: là đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng tròn đó: B TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung d d d' O O' O O' d' Góc với đờng tròn Lo¹i gãc H×nh vÏ A B Gãc ë t©m C«ng thøc tÝnh sè ®o O AOB sd AB A B AMB  sd AB O Gãc néi tiÕp M x Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung A B  xBA  sd AB O B A Góc có đỉnh bên đờng tròn AMB  ( sd AB  sdCD  ) M O C D M D C AMB  ( sd AB  sdCD  ) Góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn O A B  Chú ý: Trong đờng tròn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng ch¾n c¸c cung b»ng - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng th× b»ng - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d l  Rn 180 - §é dµi cung trßn n b¸n kÝnh R : DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: Các loại đờng tròn §êng trßn ngo¹i tiÕp §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c tam gi¸c S  R n lR  360 §êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c A A A B C O O F B E J C B C Tâm đờng tròn là giao ba đờng trung trực cña tam gi¸c Tâm đờng tròn là giao ba đờng phân giác tam gi¸c Tâm đờng tròn bàng tiÕp gãc A lµ giao điểm hai đờng phân gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm đờng phân giác góc A và đờng phân giác ngoài t¹i B (hoÆc C)