Bài tập Vận Dụng Cao tổng hợp (8.9.10) Bắc Trung Nam môn Toán năm 2018

Bài tập Vận Dụng Cao tổng hợp (8.9.10) Bắc Trung Nam môn Toán năm 2018 Bài tập Vận Dụng Cao tổng hợp (8.9.10) Bắc Trung Nam môn Toán năm 2018 Bài tập Vận Dụng Cao tổng hợp (8.9.10) Bắc Trung Nam môn Toán năm 2018 Bài tập Vận Dụng Cao tổng hợp (8.9.10) Bắc Trung Nam môn Toán năm 2018 Bài tập Vận Dụng Cao tổng hợp (8.9.10) Bắc Trung Nam môn Toán năm 2018

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10) Chủ đề KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y  x  mx  , m tham số Hỏi hàm số cho có nhiều điểm cực trị A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: y  x  mx  Suy ra: y  3x5 x m  3x5  m x TH1: m  Ta có: y  x x x5 x  y 3 hàm số khơng có đạo hàm x   vơ nghiệm hàm số khơng có đạo hàm x     y Do hàm số có cực trị x  m TH2: m  Ta có: y   x5  m x   x 3 3 x  mx Bảng biến thiên x y  m     y Do hàm số có cực trị x  m x  TH3: m  Ta có: y   x5  m x   3 3 x  mx x y    m     y Do hàm số có cực trị Vậy trường hợp hàm số có cực trị với tham số m Chú ý:Thay trường hợp ta xét m  , ta chọn m số dương (như m  ) để làm Tương tự trường hợp , ta chọn m  3 để làm cho lời giải nhanh Câu 2: x  2017 (1) Mệnh đề đúng? x 1 A Đồ thị hàm số (1) tiệm cận ngang có tiệm cận đứng đường thẳng x  1 (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số y  B Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang đường thẳng y  2, y  khơng có tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số (1) có tiệm cận ngang đường thẳng y  khơng có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số (1) khơng có tiệm cận ngang có hai tiệm cận đứng đường thẳng x  1, x  Hướng dẫn giải Chọn B Hàm số y  lim x  x  2017 (1) có tập xác định  , nên đồ thị khơng có tiệm cận đứng x 1 x  2017 x  2017  2; lim  2 , nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang x  x 1 x 1 đường thẳng y  2, y  Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC)Tìm tất m cho điểm cực tiểu đồ thị hàm số y  x3  x  mx  nằm bên phải trục tung 1 A Không tồn m B  m  C m  D m  3 Hướng dẫn giải Chọn D Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị phương trình y  có hai nghiệm phân biệt x  x  m  (1) có hai nghiệm phân biệt    3m   m  Khi (1) có hai nghiệm phân biệt xCĐ , xCT hoành độ hai điểm cực trị Theo định lí Viet   xCĐ  xCT    (2) ta có  , xCĐ  xCT hệ số x lớn  x x  m (3)  CĐ CT Để cực tiểu đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung phải có: xCT  , kết hợp (2) (3) suy (1) có hai nghiệm trái dấu  xCĐ xCT  Câu 4: m   m  (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Phương trình x3  x  x  1  m  x  1 có nghiệm thực khi: A 6  m   B 1  m  C m  D   m  4 Hướng dẫn giải Sử dụng máy tính bỏ túi x3  x  x  1  m  x  1  mx  x3   2m  1 x  x  m  Chọn m  phương trình trở thành x  x3  x  x   (khơng có nghiệm thực) nên loại đáp án B, C Chọn m  6 phương trình trở thành 6 x  x3  13 x  x   (khơng có nghiệm thực) nên loại đáp án A Kiểm tra với m  phương trình trở thành  x3  x  x   x  nên chọn đáp án D Tự luận Ta có x3  x  x  1  m  x  1  m  Xét hàm số y  x3  x  x (1) x4  2x2  x3  x  x xác định  x4  2x2  y  x  3x    x  x   x  x  1   x3  x  x  x  x  1 x  x  1  x  1 x  x  1   x3  x  x  x3  x  x  x  1  x  x5  x  x  x   x  x  1   x  1 x  x  1   x  x  1 4 2 2 x  y     x  1 x  x  1     x  1 Bảng biến thiên Phương trình (1) có nghiệm thực đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số x3  x  x y x  2x2   1 m 4 Chọn đáp án D Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x  f  a   f  b   có giá trị A B C Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: b    a f a  9a 91 a ; f b   f  a       a 1 a 39 39  9a 9x , x  R Nếu a  b   9x D  f  a   f b  2  Câu 6: 9a  1 a   9a (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị m hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y  x  x  mx  m  nằm hai phía so với trục hoành? B 1  m  A m  C m  D  m  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: y  x  x  m Hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nên phương trình y  có nghiệm phân biệt Do    3m   m  Gọi x1 , x2 điểm cực trị hàm số y1 , y2 giá trị cực trị tương ứng Ta có: 1  2 1  y  x3  x  mx  m   y  x     m   x  m  3  3 3  nên y1  k  x1  1 , y2  k  x2  1 Yêu cầu m  y1 y2   k  x1  1 x2  1   x1 x2  x1  x2        m  toán Vậy m  thỏa mãn toán Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  x3  3mx  cắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn A m  2 B m  1 C m  2 D m  2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y  x  3m nên y   x  m Đồ thị hàm số y  x  3mx  có hai điểm cực trị Δ A H B m  I 1 Ta có y  x3  3mx   x  x  3m   2mx   x y  2mx  3 Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3mx  có phương trình  : y  2mx  1 AIB  sin  AIB  Ta có: S IAB  IA.IB.sin  2 Diện tích tam giác IAB lớn Gọi H trung điểm AB ta có: IH  Mà d I ,   AB   d I ,  2 2m   4m  Suy ra: d I ,   Câu 8: sin  AIB   AI  BI 2m   4m   2  4m    4m  1  8m  16m    m  2 (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng y  x  m  2x 1 cắt đồ thị hàm số y  hai điểm phân biệt A, B cho AB  x 1 A m   10 B m   C m   D m   10 Hướng dẫn giải Chọn A  f  x   x   m   x  m   2x 1 Hoành độ giao điểm nghiệm PT:  x  m 1   x 1  x  1 Đường thẳng y  x  m  cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt phương trình f  x   có hai nghiệm phân biệt khác 1 , hay   m  8m  12  m      f  1  m  1   *  x1  x2   m Khi đó, gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình f  x   , ta có  (Viète)  x1 x2  m  Giả sử A  x1 ; x1  m  1 , B  x2 ; x2  m  1  AB  x2  x1 Theo giả thiết AB   x2  x1    x1  x2   x1 x2   m  8m    m   10 Kết hợp với điều kiện * ta m   10 Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho x , y số dương thỏa mãn xy  y  Giá trị nhỏ  2x  y  x  2y P  ln a  ln b Giá trị tích ab x y A 45 B 81 C 108 D 115 Hướng dẫn giải Chọn B x, y dương ta có: xy  y   xy   y  y    Có P  12  Đặt t  x 4 y x  y  ln    x y  x , điều kiện:  t  y P  f  t   12   ln  t   t f  t    t  6t  12   t2 t  t t  2 t   21 f  t     t   21 t f  t   P  f t  27  ln Từ BBT suy GTNN  P   a 27  ln t  27 , b   ab  81 ax  x  có đồ thị  C  ( a, b số x  bx  dương, ab  ) Biết  C  có tiệm cận ngang y  c có tiệm cận đứng Tính Câu 10: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y  tổng T  3a  b  24c A T  B T  C T  Hướng dẫn giải Chọn D D T  11 lim y  x  a a Tiệm cận ngang y  c   c 4 (C) có tiệm cận đứng nên phương trình x  bx   có nghiệm kép 1    b  144   b  12 Vì b   b  12  a   c  12 Vậy T Câu 11:  11 (NGÔ GIA TỰ - VP) Tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x3   m  1 x   m   x  2017 nghịch biến khoảng  a; b  cho b  a  A m  B m  C m  m  D  m  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có y  x   m  1 x   m   Hàm số nghịch biến  a; b   x   m  1 x   m    x   a; b    m  6m  TH1:    x   m  1 x   m    x    Vơ lí TH2:    m   y có hai nghiệm x1 , x2  x2  x1   Hàm số nghịch biến  x1 ; x2  Yêu cầu đề bài:  x2  x1    x2  x1    S  P  m    m  1   m     m  6m    m  Câu 12: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất giá trị m để hàm số y  x  x mx đồng biến 1, 2 A m  B m  C m  1 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có y   x  x  m  x  x mx ln D m  8 Hàm số cho đồng biến 1, 2  y '  0, x  1, 2  x  x  m  0, x  1, 2 * Vì f  x   x  x  m có a   0,  b   nên 2a 1  3m        m     1  3m             m  1 *    x1  x2 m 1           m  m     x1  1 x2  1       3 Câu 13: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Biết đường thẳng y   3m  1 x  6m  cắt đồ thị hàm số y  x  x  ba điểm phân biệt cho giao điểm cách hai giao điểm lại Khi m thuộc khoảng đây? 3 A (1;0) B (0;1) C (1; ) D ( ;2) 2 Hướng dẫn giải Chọn A Yêu cầu toán tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng x3  x    3m  1 x  6m   x3  x   3m  1 x  6m   Giả sử phương trình x  x   3m  1 x  6m   có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  x3 (1) Mặt khác theo viet ta có x1  x2  x3  (2) Từ (1) (2) suy x2  Tức x  nghiệm phương trình Thay x  vào phương trình ta m   Thử lại m   thỏa mãn đề x2  Câu 14: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị x   3x  y là: x2  x A B C Hướng dẫn giải D Chọn A 1 1   Tập xác định: D   ;     ;1  1;    2 2   Tiệm cận đứng: x   3x  x   3x  lim y  lim   ; lim y  lim   x1 x1 x1 x1 x  x  1 x  x  1 Suy x  tiệm cận đứng Tiệm cận ngang:  3 2 2 x   3x  x x   y  tiệm cận ngang lim y  lim  lim x x x x  x x 1 x lim y  lim x x  3 2 x x x   y  tiệm cận ngang 1 x x   3x   lim x x2  x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho f  x   e m, n số tự nhiên A m  n  2018 1 x2   x 12 m Biết f 1 f   f  3 f  2017   e n với m tối giản Tính m  n n B m  n  2018 C m  n  D m  n  1 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có :    x  x  1 x  x  1 x  x  1 2 x2  x  1 1   1  1  x x x  x  1 x x 1 m Suy : f 1 f   f  3 f  2017   e n  f 1  f    f  3   f  2017    2018  m (lấy ln hai vế) n m 20182  m    2018 n 2018 n Ta chứng minh 20182  phân số tối giản 2018 Giả sử d ước chung 20182  2018 Khi ta có 20182  1 d , 2018 d  20182  d suy 1 d  d  1 Suy 20182  phân số tối giản, nên m  20182  1, n  2018 2018 Vậy m  n  1 Câu 16: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  sin x  cos x  mx đồng biến  A   m  B m   C   m  Hướng dẫn giải D m  Chọn D Ta có: y  sin x  cos x  mx y '  cos x  sin x  m Hàm số đồng biến   y  0, x    m  sin x  cos x, x   C Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình tròn có chiều dài 4p + 14 , p+4 p+4 D Khung có đáy hình vng, khung có đáy hình tròn có chiều dài 4p + 14 , p+4 p+4 Hướng dẫn giải Gọi V1, V2 thể tích khung hình trụ có đáy hình vng khung hình trụ có đáy hình tròn Gọi a chiều dài cạnh hình vng r bán kính hình tròn Ta có: V1 + V2 = a + pr (đơn vị thể tích) 4a + 2pr = Û a = Mà V (r ) = V1 + V2 = pr + V ¢ (r ) = 2pr - 2 - pr ) ( 2 - pr ), < r < ( p Suy Lập bảng biến thiên suy p (2 - pr ), V ¢ (r ) = Û r = (p + ) æ ửữ ữữ Vmin = ỗỗỗ ố p + ÷ø Vậy, phải chia sắt thành phần: phần làm lăng trụ có đáy hình vng 4p (m ) (p + ) Câu 93: Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: A r = 36 2p B r = 38 2p C r = 38 2p D r = Hướng dẫn giải Đáp án B Thể tích cốc: V = 81 81 pr h = 27 Þ r 2h = Þh = p p r Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ S xq = 2prl = 2pr r + h = 2pr r + = 2p r + 812 812 = p r + p2 r p2 r 812 812 812 812 r + ³ p 2p r 2p r 2p r 2p r 36 2p = 3p 814 (theo BĐT Cauchy) 4p 812 38 S xq nhỏ Û r = 2 Û r = Û r = 2p r 2p 38 2p Câu 94: Giả sử tỉ lệ lạm phát Việt Nam 10 năm qua 5% Hỏi năm 2007, giá xăng 12000 VND/lít Hỏi năm 2016 giá tiền xăng tiền lít A 11340, 000 VND/lít B 113400 VND/lít C 18615, 94 VND/lít D 186160,94 VND/lít Hướng dẫn giải Đáp án C Giá xăng năm 2008 12000 (1 + 0, 05) Giá xăng năm 2009 12000 (1 + 0, 05) … Giá xăng năm 2016 12000 (1 + 0, 05) » 18615, 94 VND/lit Câu 95: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm Ta gấp nhơm theo cạnh MN PQ vào phía đến AB DC trùng hình vẽ để hình lăng trụ khuyết hai đáy Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn ? A x = 20 B x = 15 D x = 30 C x  25 Hướng dẫn giải Đáp án A Ta có PN = 60 - 2x , gọi H trung điểm PN suy AH = 60x - 900 S DANP = (60 - 2x ) 60x - 900 = (60 - 2x ) ( ) 15x - 225 = f (x ) , chiều cao khối lăng trụ khơng đổi nên thể tích khối lăng trụ max f (x ) max f ' (x ) = -45 (x - 20) 15x - 225 = Û x = 20, f (20) = 100 3, f (15) = max f (x ) = 100 x = 20 Câu 96: Một lão nông chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m ) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? x C=800 m y A 200m ´ 200m B 300m ´ 100m C 250m ´ 150m D.Đáp án khác Hướng dẫn giải Đáp án A Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x( m) y( m) ( x , y > 0) Diện tích miếng đất: S = xy Theo đề thì: 2( x + y) = 800 hay y = 400 - x Do đó: S = x(400 - x) = -x + 400 x với x > Đạo hàm: S '( x) = -2 x + 400 Cho y ' = Û x = 200 Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 40000 x = 200 Þ y = 200 Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật 200 ´ 200 (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cô-Sy Câu 97: Một trang chữ tạp chí cần diện tích 384cm Lề trên, lề 3cm; lề phải, lề trái 2cm Khi chiều ngang chiều dọc tối ưu trang giấy là: A 24cm, 25cm B 15cm, 40cm C 20cm, 30cm D 22,2cm, 27cm Hướng dẫn giải Đáp án C Gọi a, b (cm )(a > 0, b > 0) độ dài chìu dọc chìu ngang trang chữ suy kích thước trang giấy a + 6, b + Ta có: a.b = 384 Þ b = 384 (1) a Diện tích trang sách là: S = (a + 6)(b + 4) Û S = 4a + Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có: Û S ³ 4a Suy MinS = 600 Û 4a = 30cm,20cm 2304 + 408 a 2304 + 408 = 600 a 2304 Û a = 24 , suy chiều dọc chiều ngang tối ưu là: a Câu 98: Ơng Bình muốn thiết kế mái cho xưởng may có diện tích 20000 m có hai đồ án sau: - Cơng ty A thiết kế dạng hình vng với mái hình chóp tứ giác có chiều cao 70m - Cơng ty B thiết kế dạng hình tròn với mái nửa mặt cầu úp xuống Hỏi thiết kế công ty A giúp tiết kiệm diện tích mái m ? B 20000 m A 11857 m C 9000 m D 5000 m Hướng dẫn giải Đáp án A Phương án A: Hình chóp tứ giác ( Chiều dài cạnh bên h + 50 Độ dài cạnh đáy là: ) = 4900 + 5000 = 30 11 (h = 70) 20000 chiều cao mặt bên.cạnh đáy = 2.30 11.100 = 6000 22 (m ) Phương án B: Mặt cầu: Diện tích hình tròn lớn 20000m Þ pR = 20000 Þ R = 20000 20000 ; Smat = 2pR = 2p = 40000m p p Kết luận: Vậy phương án A giúp tiết kiện diện tích mái 40000m - 6000 22m = 11857 m Câu 99: Trên cánh đồng cỏ có bò cột vào cọc khác Biết khoảng cách cọc mét sợi dây cột bò dài mét mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn mà bò ăn chung (lấy giá trị gần nhất) A 1, 034 m2 B 1, 574 m2 C 1, 989 m2 D 2, 824 m2 Hướng dẫn giải Diện tích mặt cỏ ăn chung lớn sợi dây kéo căng phần giao đường tròn Xét hệ trục tọa độ hình vẽ, gọi O, M vị trí cọc Bài tốn đưa tìm diện tích phần tơ màu Ta có phương trình đường tròn tâm (O ) : x + y = 32 phương trình đường tròn tâm (M ) : (x - 4) + y = 22 Phương trình đường cong đường tròn nằm phía trục Ox là: y = - x y = - (x - 4) Phương trình hồnh độ giao điểm: - (x - 4) = - x Û + 8x - 16 = Û x = 21 é 21 ù ê8 ú Diện tích phần tơ màu là: S = êê ò - (x - 4) dx + ò - x dx úú » 1, 989 Ta có ê2 ú 21 êë úû thể giải tích phân phép lượng giác, nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy Chọn C Câu 100: Bên nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m3 có nhện hay cãi vã nên phải sống riêng Mùa đơng đến, đói rét nên chúng đành định hợp tác với giăng lưới để bắt mồi Ba nhện tính tốn giăng mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi nhện đứng mép tường (có thể mép tường, tường với trần, tường với nền) phóng sợi tơ làm khung đến vị trí nhện lại sau phóng tơ dính đan phần lưới bên Nhưng vốn có hiềm khích từ lâu, nên trước bắt đầu, chúng quy định để tránh xô xát, khơng có nhện nằm mặt tường, trần nhà Tính chu vi nhỏ mảnh lưới giăng (biết sợi tơ khung căng không nhùn) A 15 mét B 30 mét C 12 10 mét D 10 mét Hướng dẫn giải Bài toán ta giải cách ứng dụng phương pháp tọa độ không gian Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khơng tính tổng qt, dựa vào yêu cầu vị trí nhện ta xác định điểm M , N , P nằm cạnh A ' B ',CC ', AD hình vẽ u cầu tốn cần tìm tọa độ điểm M , N , P để chu vi tam giác MNP nhỏ Đặt M (x ;10; 0), P (0; 0; z ), N (10; y;10) Chu vi tam giác MNP là: (x - 10) (10 - x ) + (y - 10) + 10 MN + NP + PQ = = 2 + (y - 10) + 102 + 102 + y + (z - 10) + x + 102 + z 2 + y + (z - 10) + 102 + z + (-x ) + 102 2 Áp dụng bất đẳng thức vecto : Þ MN + NP + PM ³ ³ = (10 - x + y ) + (y + z - 20) + 202 + z + (-x ) + 102 (10 - x + y + z ) + (y - 10 + z - 10 - x ) (y + z - x - 5) + 450 + (10 + 10 + 10) 2 2 + (10 + 10 + 10) ³ 15 ì ï ï ï y +z -x = ìy = z ï ï ï ï ï10 - x ï 10 10 y ï Dấu xảy í = = Ûï í2y - x = Û x = y = z = ï ï y z - 10 10 ï ï ï ï ï ïx + y = 10 + + 10 20 20 x y y z ỵ ï = = ï ï -x 10 z ï ỵ Vậy giá trị cần tìm 15 Chọn A M Câu 101: Một ngơi nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10  m  đặt song song cách mặt đất h (m ) Nhà x có trụ A, B, C vng góc với  ABC  Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N cho AM = x , AN = y góc  MBC  (NBC ) A C 10 y I 90 để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà N B (d) A B 10 C 10 D 12 Hướng dẫn giải Đáp án B Để nhà có chiều cao thấp ta phải chọn N nằm mặt đất Chiều cao nhà NM = x + y Gọi I trung điểm BC Ta có DABC Þ AI ^ BC , ìïMI ^ BC  = 900 MN ^ (ABC ) Þ MN ^ BC , từ suy Þ BC ^ (MNI ) ị ùớ ị MIN ùùNI ^ BC ợ ổ10 ửữ ỗ DIMN vuụng ti I nhn AI đường cao nên Þ AM AN = AI ị xy = ỗỗ ữữ = 75 ỗỗố ữứữ Theo bất đẳng thức Côsi: x + y ³ xy = 75 = 10 Û x = y = Do chiều cao thấp nhà 10 Câu 102: (NHO QUAN A) Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C khoảng cách ngắn từ C đến B km Khoảng cách từ B đến A Mỗi km dây điện đặt nước 5000 USD, đặt đất 3000 USD Hỏi diểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn A 15 km B 13 km C 10 D 19 Hướng dẫn giải Trước tiên, ta xây dựng hàm số f  x  hàm số tính tổng chi phí sử dụng Đặt BS  x ta được: SA   x, CS  x  Theo đề bài, km dây điện đặt nước 5000USD, đặt đất 3000USD, ta có hàm số f  x  xác định sau: f  x   3000   x   5000 x  với x   0; 4 Ta cần tìm giá trị nhỏ f  x  để có số tiền cần sử dụng từ xác định vị trí điểm S f '  x   3000  5000 x x 1 f '  x    3000  5000 x x 1   3000 x   5000 x   x2   5x  16 x  x     4x x   x  Hàm số f  x  liên tục đoạn  0; 4 3 4 Ta có: f    17000, f    16000, f    20615,52813 Vậy giá trị nhỏ f  x  16000 x  A đoạn SA   x   Khi chi phí thấp điểm S nằm cách 13  4 Vậy đáp án B Câu 103: (THTT SỐ 673) Có hai cọc cao 10 m 30 m đặt hai vị trí A, B Biết khoảng cách hai cọc 24 m Người ta chọn chốt vị trí M mặt đất nằm hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C D cọc (như hình vẽ) Hỏi ta phải đặt chốt vị trí đề tổng độ dài hai sợi dây ngắn nhất? A AM = m, BM = 18 m B AM = m, BM = 17 m C AM = m, BM = 20 m D AM = 12 m, BM = 12 m Hướng dẫn giải Đặt AM = x (0 < x < 24) Þ BM = 24 - x Ta có CM = CA2 + AM = MD = MB + BD = CM + MD = (24 - x ) (24 - x ) + 900 Suy tổng độ dài hai sợi dây : + 900 + x + 100 = f (x ),(0 < x < 24) Khảo sát hàm ta được: x = (m ) => BM =18 (m ) Chọn A x + 100 Câu 104: (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách 615m, nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người là: A 569,5 m B 671,4 m C 779,8 m D 741,2 m Hướng dẫn giải Giả sử người từ A đến M để lấy nước từ M B dễ dàng tính BD = 369, EF = 492 Ta đặt EM = x , ta được: MF = 492 - x , AM = x + 1182 , BM = (492 - x ) + 4872 Như ta có hàm số f (x ) xác định tổng quãng đường AM MB: f (x ) = x + 1182 + (492 - x ) + 4872 với x Ỵ éê0; 492ùú ë û Ta cần tìm giá trị nhỏ f (x ) để có quãng đường ngắn từ xác định vị trí điểm M f ' (x ) = x x + 1182 - 492 - x (492 - x ) + 487 f ' (x ) = Û Û x x + 1182 x - 492 - x (492 - x ) + 487 =0 492 - x = (492 - x ) + 487 Û x (492 - x ) + 487 = (492 - x ) x + 118 ìï é ù ïïx ê(492 - x ) + 487 ú = (492 - x ) (x + 118 ) Û ëê ûú x + 1182 2 2 2 2 2 2 í ïï0 £ x £ 492 ỵï 2 ìï ïï(487x ) = (58056 - 118x ) Ûí ïï0 £ x £ 492 ïỵ ìï ïïx = 58056 hay x = - 58056 58056 Ûí 605 369 Û x = ïï0 £ x £ 492 605 ùợ ổ 58056 ữ ữ Hm s f (x ) liên tục đoạn éê 0; 492ùú So sánh giá trị f (0) , f ỗỗ ỗố 605 ữữứ , f (492) ỷ ổ ỗố 605 ữứ 58056 ữ ữữ ằ 779, 8m ta cú giỏ tr nh nht l f ỗỗ Khi quãng đường ngắn xấp xỉ 779,8m Vậy đáp án C Câu 105: Anh Thái gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng Sau tháng, Tư đến ngân hàng rút tháng triệu đồng để chi tiêu hết tiền thơi Sau số tròn tháng Tư rút hết tiền gốc lẫn lãi Biết suốt thời gian đó, ngồi số tiền rút tháng Tư không rút thêm đồng kể gốc lẫn lãi lãi suất không đổi Vậy tháng cuối Tư rút số tiền (làm tròn đến đồng)? A 1840270 đồng B 3000000 đồng C 1840269 đồng D 1840268 đồng Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Áp dụng công thc tớnh ổ r ửữ ữ -1 ỗỗỗ1 + 100 ÷÷ø è số tiền X =3 lại sau n tháng n ỉ r ư÷ ÷ -X Sn = A ỗỗỗ1 + 100 ữữứ ố n Vi A = 50 triệu Sn = 50.1, 006n - r 100 đồng, 1, 006n - 0, 006 (9) r = 0, triệu đồng ta Để rút hết số tiền ta tìm số nguyên dương Sn < Û 50.1, 006n - n nhỏ cho 1, 006 - 500 Û 500 - 450.1, 006n < Û n > log1,006 Þ n = 18 0, 006 450 n Khi số tiền tháng cuối mà Anh Thái rút é 1, 00617 - ùú 17 ê S17 1, 006 = ê50.1, 006 - .1, 006 » 1, 840269833 triệu đồng » 1840270 đồng 0, 006 úû ë [Phương pháp trắc nghiệm] 1, 006X - , tính giá trị chạy từ 10 đến 20 với 0, 006 step ta giá trị tương ứng số tiền lại nhơ ứng với X = 17 Nhập lên hình máy tính 50.1, 006X - Từ tính số tiền rút tháng cuối é 1, 00617 - ùú S17 1, 006 = êê50.1, 00617 - ú 1, 006 » 1, 840269833 triệu đồng » 1840270 đồng 0, 006 ë û Câu 106: Một công ty vừa tung thị trường sản phẩm họ tổ chức quảng cáo truyền hình ngày Một nghiên cứu thị trường cho thấy, sau x quảng cáo phát số 100 , x  Hãy tính số quảng cáo % người xem mua sản phẩm P( x)   49 e 0.015 x phát tối thiểu để số người mua đạt 75% A 333 B 343 C 330 D 323 Hướng dẫn giải Khi có 100 quảng cáo phát tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: P  100   100  9.3799%  49 e 1.5 Khi có 200 quảng cáo phát tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: P  200   100  29.0734%  49 e 3 Khi có 500 quảng cáo phát tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: P  500   100  97.3614%  49 e 7.5 Đáp án: A Câu 107: (CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) A 19m3 B 21m3 C 18m3 D 40m3 Hướng dẫn giải Chọn D Chọn hệ trục Oxy hình vẽ 0,5m 2m 5m 0,5m 19m 0,5m Ta có  19  Gọi  P1  : y  ax  c Parabol qua hai điểm A  ;0  , B  0;       19  0  a    a   Nên ta có hệ phương trình sau:  x 2  361   P1  : y    2 361 2  b b    5 Gọi  P2  : y  ax  c Parabol qua hai điểm C 10;0  , D  0;   2   a   40 0  a 10      P2  : y   x  Nên ta có hệ phương trình sau:  40 5  b b    19  10      x  dx   40m3 Ta tích bê tơng là: V  5.2     x  dx     0 2  361     40 Câu 108: (NGUYỄN TRÃI – HD) Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20 cm , bán kính đáy cốc 4cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? A 59,98cm B 59,93cm C 58, 67 cm D 58,80 cm Hướng dẫn giải Chọn D Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB "  4 b cung lớn AA "  4 a Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l  BO  OA2  BO.OA.cos 2 (1) BA  AB  (a  b)  h ) OA OB  AB a 4 a l ( BB AB AB.      1  1  2 b b 4 b l (AA) OB OB 2 b    2 (a  b) 2 (a  b) (a )  AB ( a  b)  h b ( a  b)  h AB a a b  1   OB  (b) OB b b a b b ( a  b)  h  (a  b)  h (c) a b Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l l  58, 79609cm  58,80 OA  OB  BA   điểm khác B, Ghi Để tồn lời giải đoạn BA” phải khơng cắt cung BB  B Điều tương đương với 2  cos 1  b  Tuy tức BA” nằm tiếp tuyến BB   a nhiên, lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó) Câu 109: (NGÔ QUYỀN – HP) Một sở sản xuất khăn mặt bán khăn với giá 30.000 đồng tháng sở bán trung bình 3000 khăn Cơ sở sản xuất có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt Sau tham khảo thị trường, người quản lý thấy từ mức giá 30.000 đồng mà tăng giá thêm 1000 đồng tháng bán 100 Biết vốn sản xuất khăn không thay đổi 18.000 Hỏi sở sản xuất phải bán với giá để đạt lợi nhuận lớn A 42.000 đồng B 40.000 đồng C 43.000 đồng D 39.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn D Gọi số tiền cần tăng giá khăn x (nghìn đồng) Vì tăng giá thêm (nghìn đồng) số khăn bán giảm 100 nên tăng x (nghìn đồng) số xe khăn bán giảm 100x Do tổng số khăn bán tháng là: 3000  100x Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), khăn có lãi 12 (nghìn đồng) Sau tăng giá, khăn thu số lãi là: 12  x (nghìn đồng) Do tổng số lợi nhuận tháng thu sau tăng giá là: f  x    3000  100 x 12  x  (nghìn đồng) Xét hàm số f  x    3000  100 x 12  x   0;   Ta có: f  x   100 x  1800 x  36000  100  x    44100  44100 Dấu xảy x  Như vậy, để thu lợi nhuận cao sở sản xuất cần tăng giá bán khăn 9.000 đồng, tức khăn bán với giá 39.000 đồng Câu 110: (CHUYÊN VINH – L2) Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên Theo OECD (Tổ chức hợp tác phát triển kinh tế giới), nhiệt độ trái đất tăng lên tổng giá trị kinh tế tồn cầu giảm Người ta ước tính nhiệt độ trái đất tăng thêm 2C tổng giá trị kinh tế tồn cầu giảm 3%, nhiệt độ trái đất tăng thêm 5C tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10% Biết nhiệt độ trái đất tăng thêm t C , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f  t  % f (t )  k a t (trong a, k số dương) Nhiệt độ trái đất tăng thêm độ C tổng giá trị kinh tế tồn cầu giảm 20% ? A 9,3C B 7, 6C C 6, 7C D 8, 4C Hướng dẫn giải Chọn C k a  3% Theo đề ta có:  1 Cần tìm t thỏa mãn k at  20% k a  10% Từ 1  k  10 3% 3% 20 a  Khi k a t  20%  a t  20%  a t    t  6, a a 13, 2cm Câu 111: (CHUYÊN VINH – L2) Một xưởng sản xuất muốn tạo 1cm đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát hai nửa hình cầu Hình vẽ bên với kích thước cho thiết kế thiết diện qua trục đồng hồ (phần giới hạn hình trụ phần hai hình cầu chứa cát) Khi đó, lượng thủy tinh làm đồng hồ cát gần với giá trị giá trị sau A 1070,8 cm3 B 602, cm3 1cm C 711, cm3 D 6021,3 cm3 13, 2cm Hướng dẫn giải Chọn A Ta tích khối trụ V1   13, 2.6, 62  1086, Đường kính hình cầu 13,  2.1,  11, cm , suy thể tích hai nửa khối cầu V2   5, 63  735, 619 Vậy lượng thủy tinh làm đồng hồ gần với giá trị 1070,8 cm3 ... 2017    2018  m (lấy ln hai vế) n m 20182  m    2018 n 2018 n Ta chứng minh 20182  phân số tối giản 2018 Giả sử d ước chung 20182  2018 Khi ta có 20182  1 d , 2018 d  20182  d suy... 2018 Khi ta có 20182  1 d , 2018 d  20182  d suy 1 d  d  1 Suy 20182  phân số tối giản, nên m  20182  1, n  2018 2018 Vậy m  n  1 Câu 16: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Tìm tất giá trị... y Do hàm số có cực trị Vậy trường hợp hàm số có cực trị với tham số m Chú ý:Thay trường hợp ta xét m  , ta chọn m số dương (như m  ) để làm Tương tự trường hợp , ta chọn m  3 để làm cho lời