Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên kia.. Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB.[r]
(1)Gi¸o ¸n BDHSG To¸n TiÕt 1-2-3-4 Chuyên đề 1: phÐp nh©n vµ phÐp chia ®a thøc D¹ng tæng qu¸t: Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức: A(B+C) = A.B +A.C ( A + B)( C+ D ) = A C + A D + B C + B D Bµi to¸n 1: C¸c bµi to¸n vËn dông: Cho biÓu thøc: M = (2+ )− ⋅ 432 229 a) Bằng cách đặt 433 229 433 229 ⋅433 1 =a , =b , h·y rót gän biÓu thøc M theo 229 433 a vµ b b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M Gi¶i: a) M = a(2=b)− a(1 − b) − ab=5 a b) M = a=5 ⋅ = 229 Bµi to¸n 2: 229 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= x −5 x +5 x − x2 +5 x − víi x= Gi¶i: C¸ch Thay x=4 , ta cã A = ❑5 -5.4 ❑4 +5.4 ❑3 -5.4 ❑2 +5.4-1 = ❑5 -(4+1).4 ❑4 +(4+1).4 ❑3 -(4+1)4 ❑2 + (4+1).4-1 = 4-1 =3 C¸ch 2: Thay bëi x+ , ta cã: A = x −( x +1) x +(x +1)x −( x+1) x +(x +1)x −1 = x − x + x − x + x − x − x ❑2 + x 2+ x −1 = x −1 = NhËn xÐt: Khi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc, ta thêng thay ch÷ b»ng sè.Nhng ë vÝ dô vµ ë c¸ch cña vÝ dô 2, ta l¹i thay sè b»ng ch÷ Bµi to¸n 3: biÕt r»ng Gi¶i: Chứng minh đẳng thức (x − a)(x − b)+( x − b)( x − c)+(x − c)( x −a)=ab+ bc+ca − x 2 x =a+b+ c Biến đổi vế trái ta đợc: 2 x − bx − ·+ ab+ x − cx − bx + bc+ x − cx+ ab=3 x − x (a+ b+c )+(ab +bc +ca) Thay a+b +c x đợc vế trái − x +ab+ bc+ca , vế phải bµi tËp: Bµi tËp 1: Rót gän bÓu thøc (2) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n y − x − {2 x − y − [ y +3 x −(5 y − x) ] } Víi x=a 2+2 ab+ b2 , y =a2 −2 ab+b Bµi tËp 2: a)Chøng minh r»ng 210+ 211 +212 chia hÕt cho b) ViÕt 7.32 thµnh tæng cña ba luü thõa c¬ sè víi c¸c sè mò lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp Bµi tËp 3: TÝnh 1 upload.123doc.net ⋅ − ⋅5 − + 117 119 117 119 117 ⋅upload.123doc.net 39 Bµi tËp 4: Chứng minh đẳng thức: ( (a2 +b 2+ c − ab− bc −ca )(a+b+ c)=a( a2 − bc)+b (b2 −ca )+ c (c − ab) Bµi tËp 5: Rót gän biÓu thøc ( x+a)( x+b)(x+ c) biÓu r»ng a+b +c=6, ab+ bc+ ca=−7, abc=−60 TiÕt 5-6-7-8 Chuyên đề 2: các đẳng thức đáng nhớ Ngoài bảy đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các đẳng thức mở réng từ đẳng thức (1) ta suy ra: 2 2 a+b +c ¿ =a + b + c + 2ab+ bc+2 ca ¿ Më réng: a1 +a 2+ a n ¿2 =a1 +a2 + + an −1 +an +2 a1 a2 + .+2 an − a n ¿ 2 2 Tæng qu¸t: n n a+b ¿ =B(a )+ b =B(b) +a ¿ n C¸c vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i Cho x+y=9 ; xy=14 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a) x-y ; b) x ❑2 +y ❑2 ; c)x ❑3 +y ❑3 a) (x-y) ❑2 =x ❑2 -2xy+y ❑2 =x ❑2 +2xy+y ❑2 -4xy=(x+y) ❑ -4xy=9 ❑2 -4.14=25=5 ❑2 (3) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n suy x-y = ± b) (x+y) ❑2 =x ❑2 +y ❑2 +2xy suy x ❑2 +y ❑2 =(x+y) ❑2 -2xy = ❑2 -2.14 = 53 c) (x+y) ❑3 = x ❑3 +y ❑3 +3x ❑2 y+3xy ❑2 = x ❑3 +y ❑3 +3xy(x+y) suy x ❑3 +y ❑3 =(x+y) ❑3 -3xy(x+y) =9 ❑3 -3.14.9 = 351 NhËn xÐt: Hai số có bình phơng thì chúng đối nhau.Ngợc lại , hai số đối nhau có bình phơng ( A – B) ❑2 = ( B – A ) ❑2 §Ó tiÖn sö dông ta cßn viÕt: ( A + B) ❑3 = A ❑3 + B ❑❑ + 3AB(A+B) VÝ dô 3: ( A – B) ❑3 = A ❑3 - B ❑3 - 3AB(A-B ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = (x + 3y – 5) ❑2 - 6xy + 26 Gi¶i : A = x ❑2 + 9y ❑2 + 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26 = ( x ❑2 - 10x + 25) + ( 9y ❑2 - 30y + 25 ) + = ( x -5) ❑2 + ( 3y-5) ❑2 + V× (x-5) ❑2 (dÊu “ =” x¶y ⇔ x=5 ); (3y-5) ❑2 (dÊu “=” x¶y ⇔ y= ) nên A 1.Do đó GTNN a =1 (khi và x=5 ; y ¿ ) Ta viÕt A = NhËn xÐt : Các đẳng thức đợc vận dụng theo hai chiều ngợc Ch¼ng h¹n: (A – B ) ❑2 = A ❑2 - 2AB + B ❑2 hoÆc ngîc l¹i Bình phơng số không âm : ( A – B ) ❑2 (dÊu “ =” x¶y ⇔ A = B) VÝ dô 4: Cho ®a thøc 2x ❑2 - 5x +3.ViÕt ®a thøc trªn díi d¹ng mét đa thức biến y đó y =x+ Giải: thay x y-1, ta đợc : VÝ dô 5: Gi¶i: 1x ❑2 - 5x +3 = 2( y – 1) ❑2 - 5( y-1 ) + = ( y ❑2 - 2y + 1) – 5y + + = 2y ❑2 - 9y + 10 Sè nµo lín h¬n hai sè A vµ B ? A = (2+1)(2 ❑2 +1)(2 ❑4 +1)(2 ❑8 +1)(2 ❑16 +1) B = ❑32 Nhân hai vế A với 2-1, ta đợc : A = (2-1)(2+1)(2 ❑2 +1)(2 ❑4 +1)(2 ❑8 +1)(2 ❑16 +1) áp dụng đẳng thức (a+b)(a-b) = a ❑2 - b ❑2 nhiều lần, ta đợc: (4) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n A = ❑32 -1 VËy A < B VÝ dô 6: Gi¶i : Rót gän biÓu thøc : A = (a + b + c) ❑3 + (a - b – c) ❑3 -6a(b + c) ❑2 A = [a + (b + c)] ❑3 + [a – (b + c)] ❑3 - 6a(b + c ) ❑2 = a ❑3 + 3a ❑2 (b + c) + 3a(b + c) ❑2 + (b + c) + a -3a (b + c) + + a ❑ ❑ ❑3 - 3a ❑2 (b + c) + 3a(b + c) ❑2 - (b + c) ❑3 6a(b + c) ❑ = 2a ❑3 Bµi tËp vËn dông: A – C¸c Bµi 6: đẳng thức (1),(2),(3),(4) TÝnh nhamh kÕt qu¶ c¸c biÓu thøc sau: a) 127 ❑2 +146.127 + 73 ❑2 ; b) ❑8 ❑8 - (18 ❑4 - 1)(18 ❑4 + 1) ; c) 100 ❑2 - 99 ❑2 + 98 ❑2 - + ❑2 - ❑2 d) (20 ❑2 +18 ❑2 + +4 ❑2 +2 ❑2 ) – (19 ❑2 +17 ❑2 + +3 ❑2 +1 ❑2 ) ; e) ¿ 2 780 − 220 1252 +150 125+752 ¿ Bµi : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc b»ng c¸ch hîp lÝ : 2 a) A = 2582 − 242 254 −246 92.136 + 46 ❑2 ; ; b) B = 263 ❑2 + 74.263 + 37 ❑2 ; C = 136 ❑2 - c) D = (50 ❑2 + 48 ❑2 + +2 ❑2 ) – (49 ❑2 +47 ❑2 + +3 2 ❑ +1 ❑ ) Bµi : Cho a ❑2 + b ❑2 + c ❑2 = ab + bc + ca Chng minh r»ng a = b = c Bµi : T×m x vµ t×m n N biÕt x ❑2 + 2x + ❑n - ❑n+1 +2 = B – C¸c Bµi 10 : đẳng thức (5), (6), (7) : Rót gän c¸c biÓu thøc : a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ; b) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3; c) (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ; Bµi 11 : T×m x biÕt : 6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = Bµi 12 : Chứng minh các đẳng thức : (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a) Bµi 13 : (5) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Bµi 14 : Cho a+b+c+d = Chøng minh r»ng : a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) Cho a+b = TÝnh gi¸ trÞ cña M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2) TiÕt 9-10-11-12 Chuyên đề 3: Tø Gi¸c – h×nh Thang – H×nh thang c©n *) Kh¸i niÖm chung vÒ tø gi¸c: +) §Þnh nghÜa : a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA đó bất kì hai đoạn thẳng nào không cùng nằm trên đờng thẳng A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh Ta xét tứ giác đơn đó các cạnh có thể cắt các đỉnh Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề (cùng nằm trên cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau) Đờng chéo tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối Trong tập hợp , các điểm mặt phẳng chứa tứ giác đơn, ta phân biệt ®iÓm thuéc tø gi¸c, ®iÎm tø gi¸c, ®iÓm ngoµi tø gi¸c b) ABCD là tứ giác lồi ⇔ ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đờng th¼ng chøa bÊt kú c¹nh nµo cña nã Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm Trong h×nh, ABCD lµ tø gi¸c låi A B §Þnh lÝ: Tæng c¸c gäc tø gi¸c b»ng 3600 *) T×m hiÓu s©u vÒ tø gi¸c gi¸c låi: Định lí : Trong tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt Đảo lại, tứ giác có hai đờng chéo cắt thì đó là tứ giác låi ABCD lồi ⇔ ABCD có hai đờng chéo cắt D C Để chứng minh định lí, cần nhớ lại định lí sau đây: (I) Tia Oz n»m gäc xOy ⇔ tia Oz c¾t ®o¹n th¼ng MN, víi M Oz, N Oy (II) NÐu tia Oz n»m xOy th× Oz vµ Oy n»m nöa mÆt ph¼ng bê chøa Oy; Oz vµ O x n»m nöa mÆt ph¼ng bê chøa Oy (III) Cho tam gi¸c ABC a) C¸c trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ c¸c ®iÓm A vµ C c¾t t¹i ®iÓm M Tø gi¸c ABCM lµ låi hay kh«ng låi? V× sao? (6) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n b) M lµ mét ®iÓm tuú ý thuéc miÒn cña tam gi¸c ABC( kh«ng th¼ng hàng với hai đỉnh nào tam giác) Với vị trí nào điểm M thì ABCM lµ tø gi¸c låi? c) M vµ N lµ hai ®iÓm tuú ý thuéc miÒn cña tam gi¸c ABC( vµ kh«ng thẳng hàng với đỉnh nào tam giác) Chứng minh năm điểm A, B, M, N, C chọn đợc bốn điểm là đỉnh tứ giác låi B Gi¶i a) ABCM kh«ng låi (lâm), v× B vµ C n»m ë hai nöa mÆt phẳng đối có bờ chứa AM (h 2a) M b) Kết câu a/ đúng M là điểm bÊt k× thuéc miÒn cña tam gi¸c ABC NÕu M thuéc miÒn ngoµi cña ABC th× cã hai trêng hîp : A - M góc đối đỉnh góc tam giác h 2b, M góc đối đỉnh góc B Dễ thấy lúc đó đỉng B l¹i lµ ®iÓm thuéc miÒn tam giác MAC, đó AMCB không lồi(lõm) - M ë mét gãc cña tam gi¸c h×nh 2b, M’ n»m gãc A Do đó AM’ là tia góc A, mà A và M’ nằm hai phía cạnh BC, cho nên ®o¹n Am’ c¾t ®o¹n th¼ng BC vµ ABM’C lµ tø gi¸c låi C Tóm lại, h 2b, các miền đợc gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC lµ tø gi¸c lâm Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các đỉnh tứ giác lồi j M B M' A C c) §êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N bao giê không cắt cạnh tam giác ABC Trong h 2c, đờng thẳng MN không c¾t AC Tø gi¸c MNCA lµ tø gi¸c låi(®iÓm N thuéc miÒn ngoµi cña tam B gi¸c MAC vµ n»m gãc MAC) M N C A c¸c vÝ dô : VÝ dô 1: H 2a Chứng minh tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi) lớn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hai lần tổng độ dài các đờng chéo *) NhËn xÐt : (7) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức các độ dài nên kẻ thêm các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba” Gi¶i B Cho tø gi¸c ABCD(h 7) Ta ph¶i chøng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) C 1) Chøng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA Ta cã : o AC < AB +BC (bất đẳng thức Δ ABC) AC < AD + DC (bất đẳng thức Δ ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức Δ BCD) A BD < BA + AD (bất đẳng thức Δ BAD) Từ đó : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chøng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) Trong tam gi¸c ABO vµ CDO, ta cã : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Céng (1) vµ (2) ta cã : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) T¬ng tù, tam gi¸c BCO vµ ADO, ta cã : AD + BC < BD + AC (4) Từ (3) và (4) ta đợc : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) (®pcm) *) NhËn xÐt: 1) Từ bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng hai cạnh tứ giác, còn vế phải là tổng hai đờng chéo Vậy có thể phát biểu mệnh đề : “ Trong tứ giác giác lồi, tổng hai cạnh đối nhỏ tổng hai đờng chÐo” 2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức bài có còn đúng không ? vì sao? VÝ dô 2: Cho tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn AC + CD Chøng minh r»ng : AB < AC C Gi¶i Gäi giao ®iÓm cña AC vµ BD lµ O Trong tam gi¸c AOB, ta cã : B AB < AO + OB (1) O Trong tam gi¸c COD, ta cã : D CD < CO + OD (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < AC + BD (3) Theo gi¶ thiÕt : A AB + BD AC + CD (4) Tõ (3) vµ (4) suy AB < AC.(®pcm) VÝ dô : Cho tø gi¸c låi ABCD Gäi P vµ Q lµ trung ®iÓm cña hai c¹nh AD vµ BC Chøng minh r»ng : D (8) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n DC+ AB PQ Gîi ý : đây có bất đẳng thức độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đờng phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí đờng trung bình tam giác B Gi¶i GT Tø gi¸c ABCD A PA = PD, QB = QC DC+ AB KL PQ Cm: Q Ta kẻ thêm đờng chéo AC và lấy trung điểm P F F cña AC Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình, đó : PF = DC D Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình đó : QF = AB NÕu P,Q vµ F kh«ng th¼ng hµng th× tam gi¸c PQF ta cã: PQ < PF + QF = DC+ AB NÕu P, Q, vµ F th¼ng hµng th× F lµ ®iÓm n»m gi÷a cña hai ®o¹n th¼ng PQ vµ ta cã : PQ = PF + QF = DC+ AB Nh vËy mäi trêng hîp, ta cã : DC+ AB ( ®pcm) PQ NhËn xÐt : Cã thÓ thÊy r»ng : P, Q, F th¼ng hµng Do đó ta chứng minh đợc : ⇔ AB//CD DC+ AB PQ Trong đó dấu = xảy và AB//CD lÝ: Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng lúc hai định (1) NÕu ABCD lµ h×nh thang (AB//CD) th× PQ = CD+ AB (2) NÕu ABCD kh«ng lµ h×nh thang (AB//CD) th× PQ CD+ AB vµ PQ < DC+ AB Bµi tËp 1: C¸c bµi tËp : Cho A, B, C, D là bốn đỉnh tứ giác lồi,E là điểm thuộc miÒn cña ttam gi¸c OCD, víi O lµ giao ®iÓm cña hai ®o¹n th¼ng AC vµ BD ChØ tø gi¸c låi nhËn bèn n¨m ®iÓm A, B, C, D, E C (9) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng tõ n¨m ®iÓm bÊt k× mÆt ph¼ng(kh«ng cã ba điểm nào thẳng hàng) Bao chọn đợc bốn điểm là các đỉnh tứ gi¸c låi Bµi tËp 3: Chøng minh r»ng mét tø gi¸c låi cã c¸c gãc kh«ng b»ng th× cã Ýt nhÊt mét gãc tï Bµi tËp 4: Cho tø gi¸c låi ABCD, hai c¹nh AD vµ BC kÐo dµi gÆp t¹i E, hai c¹nh AB vµ CD kÐo dµi gÆp t¹i M KÎ hai ph©n gi¸c cña hai gãc CED vµ BMC c¾t t¹i K tÝnh gãc EKM theo c¸c gãc cña tø gi¸c ABCD *) h×nh thang – h×nh thang c©n: H×nh thang: -) §Þnh nghÜa: H×nh thang lµ tø gi¸c cã hai c¹nh song song AB//CD ABCD lµ h×nh thang ⇔ hoÆc (AB//CD,AD//BC) AD//BC B A D A B C A B D C D Trong h×nh thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh lµ hai c¹nh bªn, ®o¹n th¼ng C trung b×nh nối trung điểm hai cạnh bên gọi là đờng Định lí (về đờng trung bình) AB+ CD AB//CD ⇒ PQ//AB vµ PQ = h×nh thang c©n §Þnh nghÜa: Hình thang cân là hình thang có hai gọc đáy TÝnh chÊt: §Þnh lÝ 1: Trong h×nh thang c©n, hai c¹nh bªn b»ng H×nh thang ABCD (AB//CD) : ⇒ BC= AD Định lí : Trong hình thang cân hai đờng chéo H×nh thang ABCD(AB//CD) : ⇒ AC = BD Định lí :(đảo định lí 2) Nếu hình thang có hai đờng chéo thì nó là hình thang cân DÊu hiÖu nhËn biÕt h×nh thang c©n: §Ó chøng minh h×nh thang lµ c©n, ta cã thÓ chøng minh h×nh thang đó có các tính chất sau : 1) Hai gọc đáy nhau(định nghĩa) 2) Hai đờng chéo VÝ dô : (10) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB vµ AC cho : AE + AK = AB + AC Chøng minh r»ng : BC < EK A K L Gi¶i : LÊy trªn AB mét ®iÓm L cho AL = AK LÊy trªn AC mét ®iÓm D cho AD = AE Râ rµng c¸c tam gi¸c ALK vµ AED lµ nh÷ng tam giác cân có chung góc đỉnh A nên các góc đáy chúng Suy LK// ED, đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo DL = EK (1) Gọi O là giao điểm hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng : EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL) = (EO + OD) + (OK + OL) Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có : EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) O B C D E Nhng tam gi¸c OKL, ta cã : OK + OL > LK Trong DEO : EO + OD > ED Tõ (2), (3) vµ (4) : 2EK > LK + ED Tõ gi¶ thiÕt AE + AK = AB + AC Suy BE = CK MÆt kh¸c dÔ thÊy BCDE lµ h×nh thang c©n nªn BE = CK VËy DC = CK Tơng tự, ta chứng minh đợc B là trung điểm EL Từ đó, BC ;là đờng trung bình hình thang DELK, suy : LK + ED = 2BC Tõ (5) vµ (6), ta cã : EK > BC ( ® p c m) (3) (4) (5) (6) VÝ dô : Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đờng chéo vuông góc Biết đờng cao AH = h, Tính tổng hai đáy Gi¶i : VÏ AE// BD (E CD) V× AC BD (gt) nªn AC AE B A (quan hÖ gi÷a tÝnh song song vµ vu«ng gãc) Ta cã AE = BD ; AB = DE (tÝnh chÊt ®o¹n ch¾n) AC = BD (tính chất đờng chéo hình thang cân)Suy O AC = AE ; AEC vuông cân A ; đờng cao AH là trung tuyến, đó AH = 1 EC (AB CD) 2 hay E D H AB + CD =2h NhËn xÐt: Khi giải toán hình thang, đặc biệt là hình thang cân, cần vẽ đờng phô ta cã thÓ : - Từ đỉng vẽ đờng thẳng song song với đờng chéo (nh ví dụ trªn) - Từ đỉnh vẽ đờng thẳng song song với cạnh bên - Từ đỉnh vẽ thêm đờng cao C (11) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n VÝ dô : Cho tø gi¸c ABCD cã AD = AB = BC vµ A C 180 Chøng minh r»ng a) Tia DB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc D b) Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang c©n K Gi¶i : C A A a) VÏ BH CD, BK AD Ta cã (cïng bï A ) đó BHC = BKA(cạnh huyền, gãc nhän), suy BH = BK D VËy DB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc D b) Góc A1 là góc ngoài đỉnh A tam giác cân ADB nên B víi H 2D A ADC A AB// CD (vì có cặp góc đồng vị nhau) 1 VËy tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang H×nh thang nµy cã ADC C1 (v× cïng b»ng A1 ) nªn lµ h×nh thang c©n NhËn xÐt : Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ giác đó là hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề đáy nhau(theo định nghĩa) hai đờng chéo Trong ví dụ trên, sau chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho vì AD = BC (gt) nªn ABCD lµ h×nh thang c©n, sai lÇm ë chç h×nh thang cã hai c¹nh cha đã là hình thang cân C¸c bµi tËp vËn dônG Bµi tËp 5: Cho tứ giác lồi ABCD đó AD = DC và đờng chéo AC là phân gi¸c cña gãc DAB Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh thang Bµi tËp : Chứng minh hình thang đờng thẳng qua trung điểm cạnh bên song song với hai đáy thì qua trung điểm cạnh bên Bµi tËp 7: Cho tứ giác ABCD đó CD> AB Gọi E, F lần lợt là trung điểm cña BD vµ AC Chøng minh r»ng nÕu E F = CD − AB th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang Bµi tËp 8: Cho tam giác ABC đó AB > AC Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh A và M, N, P lần lợt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Chøng minh r»ng tø gi¸c MNHP lµ h×nh thang c©n Bµi tËp 9: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB vµ AC cho : AE + AK = AB +AC Chøng minh r»ng : BC < EK C (12) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n TiÕt 13 =>18 Chuyên đề (6tiết): §êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang *) KiÕn thøc c¬ b¶n : a) §êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh thø hai th× nã ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba b) §êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm mét c¹nh bªn cña h×nh thang vµ song song với hai đáy thì qua trung điểm cạnh bên thứ hai a) §êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c (h.8) b) §êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang.(h.9) A A E D B F E F C D C h.8 h.9 3.a) §êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa cạnh b) Đờng trung bình hình thang thì song song với hai đáy và nửa tổng hai đáy Bæ sung : Trong h×nh thang cã hai c¹nh bªn kh«ng song song, ®o¹n th¼ng nèi trung điểm hai đờng chéo thì song song với hai đáy và nửa hiệu hai đáy Trong h.10 : A B MN // AB // CD CD AB MN M N C¸c vÝ dô minh häa D *) VÝ dô 1: Cho tø gi¸c ABCD Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ AB CD MN Chøng minh r»ng nÕu th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang A O Gi¶i : Gäi O lµ trung ®iÓm cña BD C¸c ®o¹n th¼ng OM, ON lần lợt là đờng trung bình ABD và M BCD nªn D C B BC N C (13) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n AB vµ OM // AB ; (1) CD ON = vµ ON // CD ; (2) Suy O n»m gi÷a M vµ N VËy ba ®iÓm M, O, N th¼ng hµng (3) Từ (1), (2), (3) suy AB // CD đó tứ giác ABCD là hình thang OM +) NhËn xÐt : Trong giả thiết bài toán có trung điểm hai cạnh đối tứ giác, nối hai điểm này ta cha đợc đờng trung bình tam giác nào Vì ta đã vẽ thêm trung điểm đờng chéo BD ( AC ) và vận dụng đợc định lí đờng trung bình tam giác để chứng minh Việc vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng để vận dụng đờng trung bình tam giác là việc vẽ đờng phụ thờng gặp giải bài toán hình học *) VÝ dô : Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ đáy CD ) Tìm điều kiện hình thang này để hai đờng chéo nó chia đờng trung bình thành ba phần b»ng A B Gi¶i : Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC ; MN cắt BD P, cắt AC Q ; MN là đờng trung bình N M Q h×nh thang nªn MN // AB // CD P XÐt ABD cã MA = MD ; MP // AB nªn PB = PD D XÐt ADC cã MA = MD ; MQ // CD nªn QA = QC MP và NQ lần lợt là đờng trung bình ABD và ABC nên AB MP NQ PQ là đoạn nối trung điểm hai đờng chéo hình thang ABCD nên CD AB PQ AB2 CD AB 2 Ta cã : MP = +Q = QN AB CD AB CD 2.AB +) NhËn xÐt : Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ đáy CD thì AB = 2.CD , chứng minh tơng tự nh trên ta có hai đờng chéo chia đờng trung bình thành ba phÇn b»ng Tóm lại, hình thang có đáy gấp đôi đáy thì hai đờng chéo nó chia đờng trung bình làm ba phần *) VÝ dô : Từ ba đỉnh tam giác, hạ các đờng vuông góc xuống đờng thẳng d không cắt cạnh nào tam giác đó Chứng minh tổng độ dài ba đờng vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam giác xuống đờng thẳng d Gi¶i : Giả sử ABC có ba đờng trung tuyến AD, BE, CF cắt O; các đoạn thẳng AG, BH, OI, CK vuông góc với đờng thẳng d Ta phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI C (14) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n A F E O M C B D Tõ trung ®iÓm M cña BO vµ tõ E, ta h¹ MN vµ EP vu«ng gãc víi d Ta cã BH // MN // OI // AG // EP //CK ( chóng cïng vu«ng gãc víi d) V× O lµ täng t©m cña tam gi¸c ABC nªn BM = MO = OE Ta l¹i cã HN = N I G P K IN = IP (đờng thẳng song song H cách đều) Nh ta đợc ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lợt có MN, OI, EP là các đờng trung bình Từ đó suy MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta đợc BH + OI + AG + CK = 4.OI suy AG + BH + CK = 3.OI VÝ dô : Cho mét ®iÓm C ë ngoµi mét ®o¹n th¼ng AB Dùng c¸c tam gi¸c vu«ng AC = CBB' = 1v ) Chøng minh r»ng c©n ACA’, BCB’ ngoµi tam gi¸c ABC ( A' vÞ trÝ cña ®iÓm M ( trung ®iÓm cña A’B’) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ chän ®iÓm C Gi¶i : Hạ A’H, C E và B’F cùng vuông góc với đờng thẳng AB Ta dễ dàng chứng minh đợc các cặp tam giác vuông sau đây : B' A' HA = AEC (1) M B'FB = BEC (2) Suy AH = BF = CE Gäi N lµ C A' trung ®iÓm cña HF th× N còng lµ trung ®iÓm cña AB MN còng lµ đờng trung bình h×nh thang vu«ng A’HFB’ nªn F H E N B A A'H + B'F MN AB vµ MN = Nhng tõ (1) vµ (2) ta cã A’H = AE ; B’F = BE AE + BE AB MN = 2 nªn AB MN = , nghÜa VËy MN vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm N cña AB vµ là vị trí điểm M đợc hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C ( C là điểm bất kì, C và M cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AB) c¸c bµi tËp vËn dông Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC cã A = Trªn c¹nh CA lÊy ®iÓm D cho CD = AB KÎ đờng thẳng xy qua trung điểm AD và BC tính góc đờng thẳng xy tạo với AB Bµi : Trên hai cạnh góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD ( A n»m gi÷a O vµ B, C n»m gi÷a O vµ D) C¸c ®iÎm I vµ E lÇn lît lµ trung (15) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n điểm AC và BD Chứng minh đờng thẳng IE song song với tia phân gi¸c cña gãc xOy Cho tam gi¸c ABC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n ABD( vu«ng ë A, D vµ C cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AB), dùng tam gi¸c vu«ng c©n AEC ( vu«ng ë A, E vµ B cïng thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AC) Gäi K, I, M lÇn lît lµ trung ®iÓm cña EC, BD vµ BC Chøng minh r»ng tam gi¸c KMI vu«ng c©n Bµi 4: Cho hai điểm A và B ngoài đờng thẳng xy tìm hệ thức khoảng cách từ trung điểm O đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy Bµi5 : Cho tam giác ABC Đờng thẳng xy qua đỉnh A Gọi B’ và C’ là chân đờng vuông góc kẻ từ B và C xuống xy Hãy xác định vị trí đờng thẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn TiÕt 19 => 24 Chuyên đề 4: ( 6tiết) ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö *) KiÕn thøc c¬ b¶n: (16) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích cña nh÷ng ®a thøc C¸c ph¬ng ph¸p th«ng thêng : +) Phơng pháp đặt nhân tử chung AB + AC – AD = A(B+C-D) +) Phơng pháp dùng đẳng thức : A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2 A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3= (A ± B)3 A2 – B2 = (A-B)(A+B) A3- B3 = (A-B)( A2+ AB + B2) A3 + B3 = (A+ B)( A2 –AB + B2) +) Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö : AC –AD + BC – BD = (C –D )(A + B) *) N©ng cao : Dạng tổng quát các đẳng thức hiệu hai bình phơng, hiệu hai lËp ph¬ng lµ : An – Bn = (A – B)(An-1 + An-2B + + ABn-2 + Bn-1) Dạng tổng quát đẳng thức tổng hai lập phơng là : An + Bn = (A + B)(An-1 – An-2B +An-3B2 - – AB2 + Bn-1) ¸p dông vµo tÝnh chÊt chia hÕt : A n – Bn ⋮ A – B víi n N vµ A B ; An + B n ⋮ A + B víi n lÎ vµ A -B : A2k – B2k ⋮ A2 – B2 víi k N vµ A ± B c¸c vÝ dô minh ho¹: VÝ dô 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : a) x2 – 6x + ; b) 9x2 + 6x -8 ; Gi¶i : Ba h¹ng tö cña ®a thøc kh«ng cã nh©n tö chung , còng kh«ng lËp thµnh bình phơng nhị thức Do đó ta nghĩ đến việc tách hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn năm hạng tử a) C¸ch x2 -6x + = x2 – 2x – 4x + = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x- 4) C¸ch x2 – 6x + = x2 – 6x + – = (x -3)2- = (x – 2)(x – 4) C¸ch x2 – 6x +8 = x2 - - 6x+12 = (x+ 2)(x – 2)–6(x-2) =(x- 2)(x4) C¸ch x2– 6x+8 = x2- 16 – 6x+24 = (x+4)(x– 4) -6 (x- 4) = (x – 4)(x – 2) b) Có nhiều cách tách hạng tử thành hai hạng tử khác, đó hai cách sau lµ th«ng dông nhÊt : C¸ch 1: T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh hai h¹ng tö råi dïng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c hạng tử và đặt nhân tử chung 9x2 +6x – = 9x2 -6x + 12x – = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x -2)(3x + 4) Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu cña hai b×nh ph¬ng 9x2 + 6x – = 9x2+6x+1-9 = (3x + 1)2- 32= (3x +4)(3x -2) *) Chó ý : C¸ch t¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh hai h¹ng tö dùa vµo h»ng đẳng thức : mpx2 + (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q) Nh tam thức bậc hai : ã2 =bx + c, hệ số b đợc tách thành b1 + b2 cho b1b2 =ac Trong thùc hµnh ta lµm nh sau : (17) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n T×m tÝch ac Ph©n tÝch ac tÝch cña hai thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b Trong ®a thøc 9x2 + 6x -8 th× a=9, b=6, c = -8 Bíc : TÝch ac = (- 8) = -72 Bớc : Phân tích -72 tích hai thừa số trái dấu, đó thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn ( để tổng hai thừa số đó 6) -72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) 18 = (-6).12 =(-8).9 Bíc : Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng §ã lµ -6 vµ 12 Trong trêng hîp tam thøc a x2 + bx +c cã b lµ sè lÎ, hoÆc a kh«ng lµ b×nh ph¬ng cña mét sè nguyªn th× gi¶i theo c¸ch gän h¬n c¸ch VÝ dô : Ph©n tÝch thµnh nh©n tö :(x2 +x)2 +4x2 +4x -12 Giải : Ta nhận thấy đặt x2 +x =y thì đa thức có dạng y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai y Ta có : y2 +4y -12 = y2 +6y -2y -12 = y(y +6) – 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x2 +x +6)(x +x – 2)= (x2 + x +6)(x+2)(x – 1) Cách làm nh trên gọi là đổi biến Chú ý : Tam thức bậc hai a x2 +bx +c không phân tích tiếp đợc nhân tử ph¹m vi sè h÷u tØ nÕu : Theo c¸ch 1, ph©n tÝch ac tÝch cña hai thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch, kh«ng cã hai thõa sè nµo cã tæng b»ng b, hoÆc Theo c¸ch 2, sau ®a tam thøc vÒ d¹ng a ph¬ng cña sè h÷u tØ x2 – k th× k kh«ng lµ b×nh Tam thức x2 +x +6 không phân tích thành nhân tử đợc nữa(trong phạm vi sè h÷u tØ) v× : Theo c¸ch 1, tÝch ac =6 =1.6= 2.3, kh«ng cã hai thõa sè nµo cã tæng b»ng Cßn theo c¸ch 2, x2 + x+6 = x2 + 2x + + 23 = (x + )2 + 23 4 23 Ta thÊy kh«ng lµ b×nh ph¬ng cña mét sè h÷u tØ VÝ dô 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : x3 + 3x2 – Gi¶i : Ta t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc trªn b»ng ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc Ta nh¾c l¹i a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nÕu f(a)= Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) chøa nh©n tö x-a th× a ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc Ta l¹i chó ý r»ng, nÕu ®a thøc trªn cã mét nh©n tö lµ x-a th× nh©n tö cßn l¹i lµ x2 + bx + c, suy –ac = -4, tøc lµ a ph¶i lµ íc cña -4 Tæng qu¸t, ®a thøc víi hÖ sè nguyªn, nghiÖm nguyên có phải là ớc hạng tử không đổi Ước -4 là ± 1, ± 2, ± KiÓm tra ta thÊy -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc Nh vËy ®a thøc chøa nh©n tö x-1, đó ta tách các hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 C¸ch x3 +3x2 – = x3 -x2 + 4x2 -4 = x2 (x -1)+ 4(x-1)(x2 +4x+4) =(x-1)(x+2)2 C¸ch x3 +3x2 – 4= x3 -1 + 3x2 -3 = (x-1)(x2 +x+1) + 3(x-1)(x+4) = (x-1)(x2 +x+1+3x+3) = (x-1)(x+2)2 (18) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Ta còng chó ý r»ng nÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng th× ®a thøc chøa nh©n tö x-1, nÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ th× ®a thøc chøa nh©n tö x+1 VÝ dô : Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : 2x3 -5x2 + 8x -3 Gi¶i : C¸c sè ± 1, ± kh«ng lµ nghiÖm cña ®a thøc, vËy ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn Nhng ®a thøc cã thÓ cã nghiÖm h÷u tØ Trong ®a thøc với hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ có phải có dạng p đó p là ớc q hÖ sè tù do,q lµ íc d¬ng cña hÖ sè cao nhÊt Nh vËy nghiÖm h÷u tØ nÕu cã cña ®a thøc trªn chØ cã thÓ lµ ± 1, ± , ± 3, hoÆc ± Sau kiÓm tra ta 2 thÊy x= là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x- hay 2x-1 Do đó ta tìm cách tách các hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung 2x-1 2x3 -5x2 +8x -3 = 2x3 –x2 -4x2 +2x +6x -3 = x2 (2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1) = (2x-1)(x2 – 2x +3) Có thể giải bài tập trên phơng pháp hệ số bất định : đa thức trên phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng : ( a x +b)(cx2 +dx +m) PhÐp nh©n nµy cho kÕt qu¶ : a cx3 +(ad +bc)x2 +(am +bd)x +bm Đồng đa thức này với 2x3 -5x2 +8x -3, ta đợc ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3 Có thể giả thiết a > (vì a < thì ta đổi dấu hai nhân tử), đó a=1 a=2 XÐt a=2 th× c=1, ta cã 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b cã thÓ b»ng ± 1, ± XÐt b =-1 th× m=3, d=-2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn VËy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2 Ta cã : 2x3 -5x2 +8x -3= (2x-1)(x2 – 2x +3) VÝ dô 5: Cho x vµ y lµ hai sè kh¸c nhau, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 9x(x-y) – 10(y –x)2 = Chøng minh r»ng: x = 10y Gi¶i: 9x(x – y) – 10(y-x)2 = 9x(x-y) -10(x-y)2 =(x-y)[9x -10(xy)]=(x-y)(10y –x) Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = V× x y nªn –x +10y = hay x = 10y C- c¸c bµi tËp vËn dông Bµi tËp 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) 5x(x -2y) + 2(2y –x)2 ; b) 7x(y -4)2 – (4 –y)3 ; 2 2 c) (x +4y -5) – 16(x y +2xy +1) d) x4 -25x2+20x -4; e) (a+b+c)2+(a-b+c)2- 4b2 f) a5 + b5 – (a+b)5 Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng: (19) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n a) 432 + 43 17 ⋮ 60 b) 2110 - ⋮ 200 c) 20052007 + 20072005 ⋮ 2006 d) 495 – 49 ⋮ 100 Bµi tËp 3: Cho x2y-y2x + x2z – z2x+ y2z+z2y = 2xyz Chøng minh r»ng ba sè x,y,z Ýt nhÊt còng cã hai sè b»ng hoÆc đối Bµi tËp : Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : a) x5+x + b) x7+ x2+ Bµi tËp : Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) A = (a-b)3 + (b-c)3+ (c-a)3 b) B = (a+ b -2c)3 + (b + c -2a)3 + (c + a – 2b)3 Bµi tËp : Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh tÝch cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt víi mét ®a thøc bËc ba víi hÖ sè nguyªn cho hÖ sè cao nhÊt cña ®a thøc bËc ba lµ 1: A = 3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + Bµi tËp : Ph©n tÝch ®a thøc B thµnh tÝch cña hai tam thøc bËc hai víi hÖ sè nguyªn : B = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + TiÕt 25-26-27-28 Chuyên đề : ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n vÒ chia hÕt t¹p hîp z c¸c sè nguyªn I Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n ë líp vµ vÒ lÝ thuyÕt Z TÝnh chia hÕt : a) §Þnh nghÜa : Cho a, b Z ( b 0) (20) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n NÕu cã q Z cho a = bq Th× ta nãi: a lµ béi cña b hoÆc b lµ íc cña a a chia hÕt cho b hoÆc b chia hÕt a KÝ hiÖu: ab a b a = bq b) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña quan hÖ “ chia hÕt” Z Víi mäi a, b, c, m Z : a/ (a 0) 1/ a a/ a (a 0) (a, b 0) a/b vµ b/a a = b (a, b 0) a/ b vµ b/ c a/c (TÝnh chÊt b¾c cÇu) (c 0) c/a vµ c/b c/ (am + bn) PhÐp chia cã d : a) §Þnh lÝ : Cho hai sè nguyªn a, b (b> 0), bao giê còng cã nhÊt cÆp sè nguyªn q, r cho : a = bq + r víi r b r lµ sè d phÐp chia a cho b (r = : th× a chia hÕt cho b) Khi r 0 , cã thÓ lÊy sè d lµ sè ©m r’ = r- b b) Chia a cho b>0 th× sè d r lµ mét b sè : b r= 0, 1, 2, 3, + +) b ch¾n b r= 0, 1, 2, 3, 2) (hoÆc b-1 r= 0, 1, 2, 3, +) b lÎ Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN hai số : Ước chung lớn hai số dơng a và b đợc kí hiệu là ƯCLN(a, b) hoÆc (a, b) ThuËt to¸n Euclide gióp ta t×m ¦CLN mét c¸ch kh¸c ThuËt to¸n dùa trªn ®iÞnh lÝ sau ®©y : +) NÕu a lµ béi cña b th× ¦CLN(a, b) = b (a, b) = b a = bq +) NÕu a chia cho b, d r 0 , th× ¦CLN(a, b) b»ng ¦CLN(b, r) đó, ta có thể thực các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a, b) VÝ dô : T×m ¦CLN(300, 105) - Chia 300 cho 105, ta đợc d 90 - chia 105 cho 90, ta đợc d 15 - Chia 90 cho 15, ta đợc d VËy : ¦CLN(300, 105) = 15 Có thể thấy rõ điều đó nh sau : 300 = 105 + 90 (300; 105) = (105; 90) (21) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 105 = 90 + 15 (105; 90 ) = (105; 15) ( 90; 15 ) = 15 90 = 15 VËy : (300; 15) = 15 Trong thực hành, ta đặt phép tính nh sau : b 300 105 105 90 90 15 Một số định lí quan trọng : *) §Þnh lÝ : Mét sè d lµ íc chung cña a vµ b vµ chØ d lµ íc cña ¦CLN(a, b) d/a vµ d / b d / (a, b) *) §Þnh lÝ : Mét sè m lµ béi chung cña a vµ b vµ chØ m lµ béi cña BCNN(a, b) m a vµ m b m [ a, b] *) §Þnh lÝ : (a,b) [a, b] = ab *) §Þnh lÝ : NÕu a, b nguyªn tè cïng vµ tÝch a.c chia hÕt cho b th× c chia hÕt cho ac b vµ (a, b) = c b *) §Þnh lÝ : NÕu c chia hÕt a vµ cho b mµ a, b nguyªn tè cïng th× c cia hÕt cho tÝch a.b c a, c b vµ (a, b) = c a.b II – Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n vÒ chia hÕt : *) ph¬ng ph¸p : §Ó chng minh A(n) chia hÕt cho b, cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d chia n cho p Bµi to¸n 1: Chøng minh r»ng víi mäi n Z : A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) Gi¶i : XÐt mäi trêng hîp chia n Z cho 5, ta cã sè d lµ : r = 0, 1, n 5 b) r = n = 5k n 25 k 10k +1 (n 4) a) r = n = 5k n = 25k 20k c) r = ( n 1) A(n) là tích ba thừa số, trờng hợp có thừa số chia hết cho VËy A(n) , víi mäi n Z (22) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n VÝ dô : Chøng minh r»ng : a) Tæng cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho ; b) Tæng cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho ; c) Tæng cña 2k + sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2k + Gîi ý : a) (n – 1) + n + (n + 1) = 3n b) (n – 2) + (n – 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = 5n c) (n – k ) + (n – k + 1) + + n + (n + 1) + + (n + k – 1) + ( n + k) = (2k + 1) n VÝ dô : Chøng minh r»ng : a) Trong sè nguyªn liªn tiÕp, cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho (ch½n) ; b) Trong sè nguyªn liªn tiÕp, cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho ; c) Trong k sè nguyªn liªn tiÕp, cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho k ; *) Ph¬ng ph¸p : §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, nãi chung nªn ph©n tÝch m thõa sè : m = p.q 1) NÕu p, q nguyªn tè cïng : ta t×m c¸ch chøng minh : A(n) q A(n) p vµ (Suy A(n) p.q, theo định lí chia hết ) VÝ dô : a) Chøng minh r»ng tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) TÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho bao nhiªu Gi¶i : a) Gäi ba sè nguyªn liªn tiÕp lµ n, n +1, n + TÝch cña chóng lµ : A(n) = n(n + 1)(n + 2) Ta cã = 2.3 ( vµ lµ sè nguyªn tè) Trong số nguyên liên tiếp n và n + 1, có số chẵn, đó A(n) 2 Trong sè nguyªn liªn tiÕp n, n + 1, n + bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho 3, nªn tÝch cña chóng lu«n chia hÕt cho : A(n) A(n) vµ A(n) 3, mµ (2, 3) = nªn A(n) 2.3 = Chó ý r»ng : ba sè nguyªn liªn tiÕp cã thÓ lµ n – 1, n vµ n + b) A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Tríc hÕt, ta thÊy r»ng bèn sè nguyªn liªn tiÕp : n, n + 1, n + 2, n+3, bao giê còng cã mét sè cia hÕt cho vµ mét sè kh¸c chia hÕt cho ThËt vËy : NÕu n = 2k th× n + = 2k + = 2(k + 1) Do đó : - Khi k ch½n th× n cßn (n + 2) - Khi k lÎ th× (n + 2) cßn n T¬ng tù nh vËy, nÕu xÐt n + vµ n + cã mét sè chia hÕt cho 4, sè chia hÕt cho Do đó A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n +3) 4.2 = Theo a) th× n(n + 1)(n + 2)(n +3) 3 mµ (3, 8) = nªn A(n) 3.8 = 24 2) NÕu p, q kh«ng nguyªn tè cïng : Ph©n tÝch A(n) thõa sè : A(n) = B(n) C(n) vµ t×m c¸ch chøng minh (23) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n B(n) p vµ C(n) q suy B(n).C(n) p q Bµi tËp : Chøng minh r»ng tÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp chia hÕt cho Trong trêng hîp sè ch½n liªn tiÕp th× tÝch chia hÕt cho bao nhiªu *) Ph¬ng ph¸p : Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chứng minh hạnh tử đó chia hết cho m VÝ dô : Chøng minh r»ng lËp ph¬ng cña mét sè nguyªn bÊt k× (n > 1) trõ ®i 13 lÇn số nguyên đó thì luôn chia hết cho Gi¶i : Ta ph¶i chøng mhinh : A(n) = n3 – 13n Chú ý : 13n = 12n + n, mà 12n 6, ta biến đổi A(n) thành A(n) = (n3 – n) – 12n Ta cã : n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1) §©y lµ tÝch cña ba sè nguyªn liªn tiÕp, tÝch nµy lu«n chia hÕt cho A(n) là hiệu hai hạng tử : n3 – n và 12n, hạng tử chia hết cho 6, nªn : A(n) VÝ dô : Chøng minh r»ng tæng lËp ph¬ng cña ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho G¶i : Ba sè nguyªn liªn tiÕp lµ n, n +1, n+ 2, ta ph¶i chøng minh : A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hÕt cho Ta cã : A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + = 3n3 -3n + 18n + 9n2 + = 3n(n – 1)(n + 1) + 18n + + 9n2 n, n – 1, n + là ba số nguyên liên tiếp, đó số chia hết cho 3, vËy : B = 3n(n – 1)(n + 1) C = 18n + 9n2 +9 A = B +C mµ B 9, C nªn A §Ó chøng minh mét tæng kh«ng chia hÕt cho m, ta chøng minh mét h¹ng tử nào đó không chia hết cho m, còn tất các hạng tử chia hết cho m VÝ dô : Chøng minh r»ng : n2 + 4n + kh«ng chia hÕt cho víi mäi sè n lÎ Gi¶i : §Æt n = 2k + 1, ta cã : n2 + 4n + = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + = (4k2 + 4k + 1) + (8k + 4) +5 = (4k2 + 4k) + (8k + 8) + = 4k(k + 1) + 8(k + 1) +2 §©y lµ tæng cña ba h¹ng tö, h¹ng tö ®Çu 4k(k + 1) chia hÕt cho 8, h¹ng tö thø hai (k + 1) còng chia hÕt cho 8, riªng h¹nh tö hø ba lµ kh«ng chia hÕt cho Vậy tổng đã cho không chia hết cho Bµi tËp : Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n : a) n3 – n + kh«ng chia hÕt cho ; b) n2 + 11n + 39 kh«ng chia hÕt cho 49 ; (24) Gi¸o ¸n BDHSG To¸n c) n2 + 3n + kh«ng chia hÕt cho 121 *) Ph¬ng ph¸p : §Ó chøng minh r»ng A(n) chia hÕt cho m, ta cã thÓ ph©n tÝch A(n) thµnh nhân tử, đó có nhân tử m : A(n) = m B(n) Thờng phải sử dụng các đẳng thức Nói riên, từ các đẳng thức (9), (10) vµ (11) ta cã : an – bn chia hÕt cho a – b (a b) víi n bÊt k× an – bn chia hÕt cho a + b (a - b) víi n ch½n ( n = 2k) an + bn chia hÕt cho a + b (a - b) víi n lÎ ( n = 2k + 1) VÝ dô : Chøng minh r»ng : 25 + 35 + 55 Gîi ý : V× lµ sè lÎ, nªn 25 + 35 (2 + 3) VÝ dô : Chøng minh r»ng : 24n – chia hÕt cho 15 Gi¶i : 24n – = (24)n – 1n = (24 – 1)[(24)n – + + 1] = 15 M VËy : (24n – 1) 15 Bµi tËp : a)Chøng minh r»ng : A = 71 + 72 + .+ 74k (trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400 b) Chøng minh biÓu thøc : A = 75(41975+ 41974+ .+ 42 + 5) + 25 chia hÕt cho 41976 *) Ph¬ng ph¸p : Dïng nguyªn t¾c Dirichlet NÕu nhèt chó thá vµo c¸i chuång th× ph¶i cã mét c¸i chuång nhèt Ýt nhÊt lµ chó thá (25)