Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều Vấn đề 5: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp.. Vấn đề 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đt và điểm đ[r]
(1)BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz không gian z k i O j y x M Ox M(x;0;0) M Oy M(0;y;0) M Oz M(0;0;z) i, j , k là các véctơ đơn vị O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ Các trục tọa độ: Ox : trục hoành Oy : trục tung Oz : trục cao Các mặt phẳng toạ độ: (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi vuông góc với nằm trên các trục Ox, Oy, Oz i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) 2 2 2 i j k 1 và i j k 1 i j , j k , k i i j 0 , j.k 0 , k i 0 i, j k j , k i k , i j , , CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ M (Oxy) M(x;y;0) M (Oyz) M(0;y;z) M (Oxz) M(x;0;z) O M x i y j z.k M ( x; y; z ) Tọa độ điểm: a a1.i a2 j a3 k a (a1; a2 ; a3 ) Tọa độ vectở: CÁCTÍNH CHẤT CẦN NHỚ a x ; y ; z ,b x ; y ; z 1 1 2 và số k tuỳ ý, ta có: Cho Tổng hai vectơ là vectơ a b x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 Hiệu hai vectơ là vectơ a b x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 Tích vectơ với số thực là vectơ k a k x1 ; y1 ; z1 kx1 ; ky1 ; kz1 hoành Độ dài vectơ Bằng a x12 y12 z12 2 tung cao (2) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Vectơ không có tọa độ là: 0;0;0 Hai vectơ nhau: Tọa độ tương ứng x1 x2 a b y1 y2 z z Tích vô hướng hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao a.b x1.x2 y1 y2 z1.z2 a b a.b 0 Góc hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài x1.x2 y1 y2 z1.z2 a.b cos a, b a.b x12 y12 z12 x22 y22 z22 CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB) Khi đó: AB x x ; yB y A ; z B z A B A 1) Tọa độ vectơ AB là: 2) Độ dài đoạn thẳng AB đồ dài AB : 2 AB AB xB x A yB y A z B z A Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách hai điểm A và B xA xB x I yA yB y I zA zB z I 3) Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: I xI ; y I ; z I 4) Tọa độ trọng tâm tam giác: Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC) x A xB xC xG y A yB yC G xG ; yG ; z G yG z A z B zC zG Khi đó toạ độ trọng tâm G ABC là: 5) Tích có hướng và tính chất tích có hướng: Cho a x1 ; y1 ; z1 , b x2 ; y2 ; z2 Khi đó: y z z x x y a, b 1 ; 1 ; 1 y2 z2 z2 x2 x2 y2 a, b 0 Hai vectơ a , b cùng phương (3) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 a, b 0 Hai vectơ a , b không cùng phương a , b c 0 Ba vectơ a, b, c đồng phẳng a , b c 0 Ba vectơ a, b, c không đồng phẳng 6) Chứng minh hai vectơ cùng phương Cách 1: a và b cùng phương a k b Cách 2: Các h 3: a a x1 y1 z1 x y2 z2 với x ,y ,z3 0 và b cùng phương x2 y2 z2 x y1 z1 với x1 ,y1 ,z1 0 và b cùng phương a, b 0 a và b cùng phương CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Ba điểm không thẳng hàng Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: Cần nhớ A B C Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB , AC cùng phương hai vectơ AB , AC 0 Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là ba điểm nằm trên đường thẳng Phương pháp Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực các bước sau: AB ; ; AC ; ; Bước 1: Tính AB , AC 0;0; 0 Bước 2: Tính Bước 3: Kết luận hai vectơ AB , AC cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng: Cần nhớ Phương pháp Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực các bước sau: A B C Ba điểm A, B, C không thẳng hàng AB ; ; AC ; ; Bước 1: Tính AB , AC ; ; 0 Bước 2: Tính (4) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 hai vectơ AB , AC Bước 3: Vậy hai vectơ AB , AC không cùng phương, nên ba không cùng điểm A, B, C không thẳng hàng AB , AC 0 phương Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh tam giác Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng Cần nhớ Phương pháp A Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng phẳng ta thực các bước sau: C B D Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng AB , AC , AD đồng phẳng AB , AC AD 0 AB ; ; AC ; ; AD ; ; Bước 1: Tính AB , AC ; ; AB , AC AD 0 Bước 2: Tính Bước 3: Vậy ba vectơ AB , AC , AD không đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Chú ý: A, B, C, D không đồng phẳng đó A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện ABCD Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện ta chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng Cần nhớ A D B Phương pháp Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta thực các bước sau: C Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng AB , AC , AD đồng phẳng AB , AC AD 0 Bước 1: Tính AB ; ; AC ; ; AD ; ; (5) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng AB , AC ; ; phẳng là bốn điểm thuộc mp AB , AC AD 0 Bước 2: Tính Bước 3: Vậy ba vectơ AB , AC , AD đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên các trục tọa độ Phương pháp Hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M(x0;0;0) Hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên trục Oy là: M(0;y0;0) Hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên trục Oz là: M(0;0;z0) Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên các phẳng tọa độ Phương pháp Hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0) Hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên (Oyz) là: M(0;y0;z0) Hình chiếu vuông góc điểm M(x0;y0;z0) trên (Oxz) là: M(x0;0;z0) Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện Cần nhớ Thể tích khối tứ diện ABCD A V= AB, AC AD D B C Phương pháp AB ; ; AC ; ; AD ; ; Bước 1: Tính AB , AC ; ; AB , AC AD Bước 2: Tính V= Bước 3: AB, AC AD Chú ý: Thể tích không âm Vấn đề 5: Diện tích tam giác (6) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Diện tích tam giác ABC S ABC AB ; ; AC ; ; Bước 1: Tính AB , AC ; ; Bước 2: Tính = AB , AC A B Chú ý: Diện tích không âm AB ,AC h t c2 Bước 3: Tính S ABC = AB , AC Bước 4: ADCT C MẶT CẦU Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu Dạng Dạng Mặt cầu (S): x y z 2ax-2by-2cz+d=0 heä soá x a -2 heä soá y b -2 heä soá z c -2 Có tâm I(a;b;c) với 2 2 x a y b z c R MC (S): Có tâm I(a;b;c) và bán kính R 2 2 Bán kính: R a b c d Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu x a Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng 2 y b z c R Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực) Phương pháp: 2 x a y b z c R Pt mặt cầu (S): (*) Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m Thế tâm I và bán kính R vào pt (*) Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính n (với n là số thực) Phương pháp: 2 x a y b z c R Pt mặt cầu (S): (*) (7) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 n Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R= Thế tâm I và bán kính R vào pt (*) Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và qua điểm A Phương pháp: 2 x a y b z c R Pt mặt cầu (S): (*) Mặt cầu có tâm I(a;b;c) IA IA Bán kính R= Thế tâm I và bán kính R vào pt (*) Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm với bán kính R hay độ dài đoạn thẳng IA với bán kính R Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB Phương pháp: 2 x a y b z c R Pt mặt cầu (S): (*) I ; ; Gọi I trung điểm AB Mặt cầu có tâm I(a;b;c) IA IA Bán kính R= Thế tâm I và bán kính R vào pt (*) Chú ý: Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính AB AB IB IB Ta có thể tính R theo cách sau: R= R= Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Phương pháp: 2 x a y b z c R Pt mặt cầu (S): (*) Mặt cầu có tâm I(a;b;c) Ax By Cz D R d I,(P) A B2 C2 Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên: Thế tâm I và bán kính R vào pt (*) 2 x y z 2ax-2by-2cz+d=0 Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D (8) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Phướng pháp 2 Pt mặt cầu (S) có dạng: x y z 2ax-2by-2cz+d=0 (*) Vì A, B, C, D thuộc (S): thế tọa độ điểm A vào pt (*) thế tọa độ điểm B vào pt (*) thế tọa độ điểm C vào pt (*) thế tọa độ điểm D vào pt (*) Giải hệ phương trình phương pháp thế, ta tìm a, b, c, d Sau đó a, ,b , c, d vào pt (*) Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp Loại 2: Lập Pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Phướng pháp 2 Pt mặt cầu (S) có dạng: x y z 2ax-2by-2cz+d=0 (*) Vì A, B, C thuộc (S): thế tọa độ điểm A vào pt (*) thế tọa độ điểm B vào pt (*) thế tọa độ điểm C vào pt (*) Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên tọa độ a;b;c vào pt (P) ta phương trình thứ tư Ta giải hệ bốn pt, ta tìm a,b,c,d VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến M x ;y ;z Loại và có vectơ pháp tuyến 1: Mặt phẳng (P) qua điểm n A; B;C Phương pháp: M x ;y ;z Mặt phẳng (P) qua điểm 0 n A; B;C Mặt phẳng (P) có VTPT A x x B y y C z z 0 Ptmp (P): Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm hai vectơ a , b M x ;y ;z và song song chứa giá P ) n a, b M n (9) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z Hai vectơ có giá song song nằm trên mp(P) là n a, b Mặt phẳng (P) có VTPT A x x B y y C z z 0 Ptmp(P): a= . , b Dạng3:2:Viết Viếtphương phươngtrình trìnhmặt mp phẳng (P) qua điểm M và songgóc với với mp(Q) Dạng qua điểm M song và vuông Phương pháp: đường thẳng d M x ;y ;z Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm 0 Mặt phẳng (P) qua M n P nQ Do mp(P) song song mp(Q) nên mặta phẳng (P) có VTPT nP ad 1;a ;a Mặt phẳng A (P) có VTPT: x x B y y C z z 0 Ptmp(P):A x x B y y0 C z z 0tuyến 0 Ptmp(P): Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua A n AB,AC Mặt phẳng (P) có VTPT: A x x B y y C z z 0 Pt(P): Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q) Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm A Hai vectơ có giá song song nằm trên mp(P) là: AB n Q n AB,n Q Nên mp(P) có VTPT: Ptmp(P): A x x B y y C z z 0 P Q ) n AB, AC A B C P B ) A Q ) Dạng 6: Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’ Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’ Phương pháp: Mặt phẳng (P) qua điểm M d Hai vectơ có giá song song nằm trên mp(P) là: ad ad ' n ad ,ad ' Mp(P) có VTPT: A x x B y y C z z 0 Ptmp(P): nQ (10) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d Phương pháp: Chọn điểm M thuộc đt d Mặt phẳng (P) qua điểm A AM .a d Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: n AM,ad Nên mp(P) có VTPT: A x x B y y C z z 0 Ptmp(P): Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S): Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) điểm A Phương pháp: Xác định tâm I mc(S) Mặt phẳng (P) qua điểm A n IA Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến Dạng 9: Viết phương trình mp (P) qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R) Phương pháp:A x x B y y C z z 0 Ptmp(P): Mặt phẳng (P) qua điểm M n Q ,n R Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: n n Q ,n R Nên mp(P) có VTPT: A x x B y y C z z 0 Ptmp(P): n m;n; p Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến và tiếp xúc mặt cầu (S) Phương pháp: Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R mặt cầu Ptmp(P) có dạng:Ax+By+Cz+D=0 I n m;n; p mx ny pz D 0 Vì mp(P) có VTPT r = d(I,(P)) d I; P R Do mp(P) tiếp xúc mc(S) P) A B A B A B Chú ý: Điều kiện tiếp xúc: Điều kiện tiếp xúc: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) (,)dIPR d ( I , d ) R 10 (11) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là d ( M , ( P)) Ax0 By0 Cz0 D A2 B C VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A,B Phương pháp: Đường thẳng d qua điểm A Đường thẳng d có VTCP: a AB x x0 at y y0 bt z z ct Pt tham số: Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song với đường thẳng d’ Phương pháp: Đường thẳng d qua điểmM. Đường thẳng d có VTCP: ad ad ' x x0 at y y0 bt z z ct Pt tham số: Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ phương Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) Phương pháp: Đường thẳng d qua điểm M. Đường thẳng d có VTCP: ad n P x x0 at y y0 bt z z ct Pt tham số: Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT mặt phẳng làm VTCP 11 (12) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG x x0 at y y0 bt z z ct Tìm giao điểm đường thẳng d: và mp(P): Ax+By+Cz+D=0 Phương pháp: Gọi H là giao điểm d và (P) x x0 at y y0 bt z z0 ct Ax+By+Cz+D=0 Tọa độ điểm H là nghiệm hệ pt: A x0 at +B y0 bt +C z0 ct +D=0 Xét pt: (*).Giải pt (*) tìm t x, y, z H VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P) Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) Tìm giao điểm H d và (P) Điểm H chính là hình chiếu vuông góc M lên (P) dM P) H Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc M lên (P) chính là giao điểm đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P) dM Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) Tìm giao điểm H d và (P) Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm đoạn thẳng MM” xM x M / xH xM / 2 x H xM y y M M/ yH yM / 2 y H yM zM zM / z M / 2 z H zM z H P) M’= 12 H M / (13) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng qua (P) đó H là trung điểm đoạn thẳng MM’ VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d (d) Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d Tìm giao điểm H d và (P) Điểm H chính là hình chiếu vuông góc M lên d H P) M Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng d chính là giao điểm đường thẳng d qua M và vuông góc với (P) VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d Tìm giao điểm H d và (P) Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm đoạn thẳng MM’ xM xM x H xM 2 x H xM y y M M yH yM 2 y H yM zM z M z M 2 z H zM z H M’= (d) H / M / / / / P) / Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng qua d đó H là trung điểm đoạn thẳng MM’ VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Bước 1: Xác định điểm M thuộc d và VTCP a d Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP a' d’ Bước 2: a,a' Xét cùng phương hai vectơ phương cách tính a,a' 0 a,a' Nếu thì cùng phương đó d song song với d d trùng với d’ 13 M / (14) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’ o Nếu M thuộc d và thuộc d’ thì d trùng với d’ a,a' 0 a,a' không cùng phương đó d cắt d’ d và d’ chéo Nếu thì a,a' MM' 0 o Nếu thì d và d’ cắt a,a' MM' 0 o Nếu thì d và d’ chéo VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP x x0 at y y0 bt z z ct Phương pháp: Để xét vị trí tường đối đt d: và mp(P): Ax+By+Cz+D=0 Ta làm sau: A x0 at +B y0 bt +C z0 ct +D=0 Xét pt: (*).Giải pt tìm t o Pt(*) có nghiệm t d cắt mp(P) điểm o Pt (*) vô nghiệm d song song với (P) o Pt(*) có vô số nghiệm t d nằm (P) Chú ý: 0t 1 voâ nghieäm 0t =-2 voâ nghieäm 0t 0 voâ soá nghieäm VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH 1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông A Cần nhớ: Tam giác ABC vuông A AB AC AB AC AB.AC 0 Phương pháp: ,AC Tính AB H.H T.T C.C 0 Tính AB.AC Suy AB AC Suy AB AC Kết luận tam giác ABC vuông A 14 (15) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 BC BA.BC 0 Chú ý: Nếu tam giác ABC vuông B BC BA Nếu tam giác ABC vuông C C CB CA CB CA.CB 0 2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ VUÔNG GÓC với Cần nhớ: d d ' ad ad ' ad ad ' 0 Phương pháp: Đường thẳng d có VTCP: a = Đường d’ có VTCP: a' = thẳng T.T C.C 0 Tính a.aH.H Suy ra: a a Kết luận d và d’ vuông góc với 3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’ Phương pháp: Do d d ' ad ad' ad ad ' 0 ta giải pt tìm tham số 4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường thẳng d’ Cần nhớ: Hai đường thẳng song song không có điểm chung tức là điểm thuộc đường thẳng này không thuộc đường thẳng Hai đường thẳng song song hai vectơ phương cùng phương với Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau: Cách 1: a,a' Bước 1: Chứng minh hai vectơ phương cùng phương: a,a' 0 Ta chứng minh Bước 2: Chọn điểm M thuộc d chứng minh M không thuộc d’ Rồi kết luận Cách 2: a a1 ;a2 ;a3 a a a a' a'1 ;a'2 ;a'3 cùng phương a'1 a'2 a'3 Bước 1: Lập tỉ số: Tức là Bước 2: Chọn điểm M thuộc d chứng minh M không thuộc d’ Rồi kết luận 5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’ Phương pháp: a a1 ;a2 ;a3 152 ;a'3 a' a'1 ;a' Bước 1: Chỉ hai vectơ phương a a a (16) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 6/ Tìm giao điểm hai đường thẳng: d: x x0 at y y0 bt z z ct và d’: x x '0 a ' t ' y y '0 b ' t ' z z ' c ' t ' Cách tìm: Bước 1: Gọi I là giao điểm d và d’ x0 at x '0 a ' t ' (1) y0 bt y '0 b ' t ' (2) z ct z ' c ' t ' (3) Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt: (*) Bước 2: Để giải hệ (*) ta giải hệ gồm pt (1) và (2), t và t’ vào pt(3) thử lại x0 at x '0 a ' t ' (1) at a ' t ' m y bt y '0 b ' t ' (2) bt b ' t ' n Tìm t và t’ Giải hệ pt Thế t và t’ vào pt (3) thỏa thì t và t’ là nghiệm hệ (*), không thỏa thì hệ (*) vô nghiệm Thế t và t’ vào pt d d’ để tìm tọa độ giao điểm I 7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT Cách 1: a Chỉ điểm M thuộc d và vectơ phương d Chỉ điểm M’ thuộc d’ và vectơ phương a' d’ a,a' 0 a,a' MM ' 0 Chứng minh: Cách 2: Tìm giao điểm d và d’ 8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO a Chỉ điểm M thuộc d và vectơ phương d Chỉ điểm M’ thuộc d’ và vectơ phương a' d’ a,a' MM ' 0 Chứng minh: VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Cách tính: Để tính khoảng cách hai mp song song (P) và (Q) ta làm sau: Chọn điểm M thuộc (P) d P , Q d M, Q Ax By Cz D A B2 C2 16 (17) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chọn điểm M thuộc d d d,d ' d M,d ' VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng d có phương trình tham số: Đường thẳng là tập hợp vô số điểm x x0 at y y0 bt z z ct Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: M x at;y bt;z ct VẤN ĐỀ 18: GÓC 1/ Góc hai đường thẳng là góc hai vectơ phương a.a' cos= cos a,a' a a' 00 90 Chú ý: 2/ Góc hai mặt phẳng là góc hai vectơ pháp tuyến n.n ' cos= cos n,n ' n n' Chú ý: 90 3/ Góc đường thẳng và mặt phẳng là góc vectơ phương và vectơ pháp tuyến a.n sin= cos a,n a.n 00 90 Chú ý: VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S) Xác định tâm I và bán kính r mặt cầu (S) Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): d d I, P o TH1: d r (P) (S)= (hay (P) và (S) không có điểm chung) o TH2: o TH3: d r (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S) d r (P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C) - Gọi H là tâm (C) Khi đó H chính là giao điểm đường thẳng d qua tâm I và vuông góc mp(P) - Gọi r’ là bán kính (C) 2 2 Khi đó: r R d r R d Cần nhớ: H là hình chiếu vuông góc I lên (P) nên tam giác IMH vuông H Với: R=IM, d=IH= d I, P và r=MH 17 (18) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng Kiến thức cần nhớ: - Vectơ pháp tuyến mặt phẳng: Vectơ n 0 đgl vectơ pháp tuyến mp(P) giá n vuông n (P) góc với (P), viết tắt là - b cùng phương có giá song song nằm trên mp(P) thì mp(P) có vectơ Nếu hai vectơ a, không pháp tuyến là: - n P a,b 2 Phương trình tổng quát mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A B C 0 n A;B;C Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x ;y ;z ) có vectơ pháp tuyến P có dạng: A x x B y y C z z 0 moät ñieåm M(x ;y ;z ) thuoäc mp moä t VTPT n P A;B;C Cần nhớ : - Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: Các dạng toán Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua điểm M(x ;y ;z0 ) và vuông góc với Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) HD VTPT n P ad đường thẳng d Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP đt làm VTPT ad làm vectơ pháp tuyến AC Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ Cần nhớ: Mp trung trực đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB trung điểm I đoạn thẳng AB Kiến thức cần nhớ: i 1;0;0 - Trục Ox có VTCP là j 0;1;0 - Trục Oy có VTCP là k 0; 0;1 - Trục Oz có VTCP là n i, j k 0;0;1 - Mp (Oxy) có VTPT: n j, k i 1;0;0 - Mp (Oyz) có VTPT: n k,i j 0;1;0 - Mp (Oxz) có VTPT: 18 (19) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i làm vectơ pháp tuyến Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j làm vectơ pháp tuyến Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k làm vectơ pháp tuyến Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C qua A(x ;y ;z ) Ñieåm ñi HD AB,AC VTPT n P Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua điểm M(x ;y ;z0 ) và song song với mp(Q) Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) HD VTPT n P n Q Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là n ABC AB,AC Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q) Ñieåm ñi qua A AB,n Q VTPT n P HD Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng Kiến thức cần nhớ: - Vectơ phương đường thẳng là vectơ có giá song song với đường thẳng trùng với đường thẳng - Đường thẳng d qua điểm M(x ;y ;z ) có vectơ phương ad a; b;c : x x at y y bt z z ct Có pt tham số: x x0 y y0 z z0 , a.b.c 0 a b c Có phương trình chính tắc: - một điểm M(x ;y ;z ) thuộc đường thẳng moä t VTCP a d a; b;c Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm: 19 (20) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Các dạng toán Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B Ñieåm ñi qua A HD VTPT a AB AB AB Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ phương là vectơ OG Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ phương là Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) Ñieåm ñi qua M HD VTPT ad n P Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT mp là VTCP Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’ Phương trình các trục tọa độ x t y 0 i 1;0;0 Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là có pt tham số là: z 0 x 0 y t j 0;1; Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP là có pt tham số là: z 0 x 0 y 0 k 0;0;1 Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP là có pt tham số là: z t Phương trình các mặt phẳng tọa độ n i, j k 0;0;1 Bài 1: Mp (Oxy) qua O(0;0;0) có VTPT: có pt: z=0 n k,i j 0;1;0 Bài 2: Mp (Oxz) qua O(0;0;0) có VTPT: có pt: y=0 n j, k i 1;0;0 Bài 3: Mp (Oyz) qua O(0;0;0) có VTPT: có pt: x=0 20 (21) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Kiến thức không quên: Pt mp(Oxy) là: z=0 Pt mp(Oxz) là: y=0 Pt mp(Oyz) là: x=0 Vấn đề 2: Các dạng toán khác Dạng 1: Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc dạng tham số Cần nhớ: Nếu đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với ad ad ' 0 Cần nhớ: Để CM hai đt vuông góc với ta chứng minh tích vô hướng hai VTCP Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với Cần nhớ: Hai đt song song không có điểm chung: hai VTCP cuøng phöông minh Ta chứng ñieåm ñt naøy khoâng ñt ba t baèng A d' ba t khoâng baèng A d' Cần nhớ: Khi tọa độ điểm A vào d’ Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và điểm thuộc đường thẳng này không thuộc đường thẳng ba phaân soá baèng d ba phaân soá khoâng baèng d Cần nhớ: Khi tọa độ điểm O vào d Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mp: Ta chứng minh a.n 0 và điểm thuộc đt không thuộc mp Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng VTCP và VTPT và điểm thuộc đường thẳng không thuộc mp Chú ý: Ta không cần viết pt mp(Oyz) mà ta cần VTPT mp(Oyz) Dạng 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp: 21 (22) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 Ta chứng minh VTCP và VTPT cùng phương với Vấn đề 4: Các bài toán tam giác Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh tam giác Ta chứng minh: AB,AC không cùng phương Dạng 2: Chứng ba điểm A, B, C thẳng hàng minh Ta chứng minh: AB,AC cùng phương Dạng 3: Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân Cần nhớ: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông vuông góc với Tam giác cân có hai cạnh bên Tam giác có ba cạnh Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác Vấn đề 5: Hình chiếu vuông góc điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp Vấn đề 6: Hình chiếu vuông góc điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt Vấn đề 7: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn điểm không đồng phẳng là bốn đỉnh tứ diện) AB,AC AD 0 Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Vấn đề 8: Chứng minh hai đường thẳng chéo a,a' AB 0 Hai đường thẳng d và d’ chéo Với A thuộc d và B thuộc d’ a,a' AB 0 Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CM Vấn đề 9: Tìm giao điểm hai đường thẳng Cần nhớ: Nếu t=-1 và t’=1 vào (3) mà không thỏa thì d không cắt d’ Ta có thể t’=1 vào pt d’ để tìm tọa độ điểm H Cần nhớ: 22 (23) BDVH Ly Tự Trọng Huỳnh Công Thành0909077549 1 t 2 2t ' (1) 2 3t t ' (2) Hệ phương trình: 3 t 9 3t ' (3) có hai ẩn là t và t’ Nghiệm hệ pt là cặp giá trị t, t’ thỏa ba pt (1), (2), (3) Để tìm t, t’ ta có thể giải hệ gồm pt (1) và (2) (1) và (3) (2) và (3) Rồi t và t’ vào pt còn lại 23 (24)