Gioi han

Giới hạn của hàm số dạng: o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp.. Chú ý rằng nếu coi như x0, nếu..[r]

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN un  P  n Q n Giới hạn dãy số (un) với với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao P là a0, hệ số cao Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk lim  un   o o a0 b0 để đến kết : Nếu bậc P nhỏ bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=0 Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đến kết :lim(un)=  un  o o C f  n g n Giới hạn dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp CÁC VÍ DỤ n   4n 1  n   4n 1 n n lim lim lim   3n  2 3n  3 3 n n  lim  n  2n   n  lim 2 2n  lim n  2n   n n2  2n   n   n     1 n n    1  1  1                2  8  2 q  n  2n  1 n  2n  n lim lim lim 2n  n  2n  n   n n lim  n2   n lim n2  lim  n2  2n   n     1 1     2 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn có công bội 3 n2  n  2    n 3  n n   n n3 n   n    n  n  n2      n  2  n  n  n  n  n  n2 n lim  1 1 1  1 n n và số hạng đầu u1=1  n2  2n   n là biểu thức liên hợp  n 1  lim n  2n   n 2 2n  lim n  2n   n n2  2n   n n2  2n   n  lim n2 n  n  2  n  n  n2 lim  n    n  n  n2 0 _ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: lim x a f  x   g  x    Giới hạn hàm số dạng: o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) (x-a) o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp f  x      x  g  x    lim Giới hạn hàm số dạng: o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý coi x<0 đưa x vào khỏi bậc chẵn Giới hạn hàm số dạng: thì coi x>0,      0. Ta biến đổi dạng:    lim  f  x  g  x   x  lim  f  x   Giới hạn hàm số dạng: x    f  x  g x  lim x  f  x  g x  o Đưa dạng: C CÁC VÍ DỤ x   g x    -  2 x  3x      3    12 lim    x  x   2  lim x  x    x  1 lim x  2  1 x  3x  lim   x x x x Chia tử và mẫu cho (x-2)  x    3x  3 lim  x     3x  3  3x    x     3x  3 x    3x  3  x  3  x  3  3x  3   3.3  3  1 lim lim  x  3  x     x        12 lim x 3 x 1  lim x 3x   x 1  x x x  x  3x    xlim  3 x   lim x  x     x (vì tử dần còn mẫu dần 0).Cụ thể:  x  x  3x  lim  x x 2x  x   x  1 x  x  2x3  x2  lim lim lim  x x  x  5x  x x   x  1  x    x  1  x    lim x  0 x  2x  x  3 2  2 x x x  2 lim x  x 1 1 2 x x 2x2  x  lim lim x  x  x2 1   x  thì lim x 1  lim x   x lim x 1  lim x   x x   x   x  lim  1 x   x x2 x 1 1  x 1 2 x  lim x  lim        x   x    x x x   x 1 x2  x   f  x   x+a   x 10 Cho hàm số : Ta có :  x 1  x>1 Tìm a để hàm số có giới hạn x dần tới và tìm giới hạn đó Giải lim  f  x   lim x  x  3 x x   x a a  x x x lim  f  x   3  a  3  a 2 Vậy x   0  x  2  x2  2x  4 x3  lim lim lim  x  x   12   x x x 11 x  x  Dạng   lim  f  x   lim x3  2x  1  3 x  2x  x x x 1 lim lim lim   3 x  x  x  2x 1 2x  2    x x3 12 Dạng    3x  x  3x  x    2 x2 lim  x  x   lim lim  3 x  x  x  x x  x x   x x   x2 13      x2  x   x   lim x  1  2    x x  lim   6 x  1 1 x lim 14  lim x   x    x   x   x   lim x 3 x2  x   x x2  x   x  x2  x   x x 3 1 x x  lim  x  x   x x      x x2 x x    lim x   x    x   x2 x2  x   x     Dạng _ HÀM SỐ LIÊN TỤC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  x x   x=x   g  x  f  x   a Xét tính liên tục hàm số dạng: o Tìm lim  g  x   x  x0 .Hàm số liên tục x0  lim  g  x   a x  x0 g  x   x<x0   f  x  a  x=x    x>x0  h  x  Xét tính liên tục hàm số dạng:  lim  f  x    lim  g  x   x  x0  x  x0   f  x    lim  g  x    xlim   x  x0   x0  f  x0  o Tìm :  Hàm số liên tục x = x0  lim  f  x    lim  f  x    f  x0  a x  x0 x  x0 Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b) o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b] o Chứng tỏ f(a).f(b)<0 Khi đó f(x) = có ít nghiệm thuộc (a;b) Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời và trên khoảng f(x)=0 có nghiệm C CÁC VÍ DỤ  x2   x 1  f  x   x  a  x=1 a là số Xét tính liên tục hàm số x0 =  Cho hàm số: Giải Hàm số xác định với x thuộc R Ta có f(1) = a lim x  x  1  x  1 lim x  2 x2  lim   x1 x  x1 x Nếu a=2 thì hàm số liên tục x0 = Nếu a 2 thì hàm số gián đoạn x0 =  x 1 f  x    x Cho hàm số:  x  0  x 0  Xét tính liên tục hàm số x = Giải Hàm số xác định với x thuộc R Ta có f(0) = lim  f  x    lim x 0 x  0 x lim  f  x    lim x  1  0= lim  f  x    lim x x x   x x Vậy hàm số không liên tục x0 = ax  f  x   x +x-1 Cho hàm số:  x 1  x  1 Xét tính liên tục hàm số trên toàn trục số Giải x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục Khi x = 1: Ta có f(1) = a+2 lim  f  x   lim  ax   a  x1 x1 lim  f  x   lim x  x  1 x1 x1   Hàm số liên tục x0 = a = -1 Hàm số gián đoạn x0 = a  -1 Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số a = -1.Hàm số liên tục trên   ;1   1;   a  -1