Tiểu luận đường đi HAMILTON

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN LỚP CAO HỌC PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP K25 ***** Đề tài : ĐƯỜNG ĐI HAMILTON Tiểu luận kết thúc học phần Mơn : Lý thuyết đồ thị NHĨM THỰC HIỆN : Lê Thị Sơn, Nguyễn Hạ Thi Giang, Nguyễn Ngọc Mỹ, Nguyễn Phương Thảo, Lê Thiện Trung Người Hướng Dẫn : PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Đà Nẵng – 2012 MỤC LỤC Lời giới thiệu………………………………………………………………………2 CHƯƠNG : CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐỒ THỊ Đồ thị - Cạnh - Đỉnh……………………………………………………… Bậc – Nửa bậc…………………………………………………………… Dãy – Đường – Chu trình……………………………………………… Đồ thị liên thông………………………………………………………… 10 Đồ thị - Thành phần liên thơng……………………………………….10 Đồ thị k-chính quy……………………………………………………… 12 CHƯƠNG : ĐƯỜNG ĐI HAMILTON Định nghĩa……………………………………………………………… 14 Điều kiện cần…………………………………………………………… 14 Điều kiện đủ………………………………………………………………16 • Đồ thị vơ hướng……………………………………………… 17 • Đồ thị có hướng……………………………………………… 21 • Một số kết cho đồ thị k-liên thơng……………………… 23 • Một số kết cho đồ thị t- khó……………………………….25 • Một số kết cho đồ thị k – quy……………………….27 CHƯƠNG : ỨNG DỤNG VÀ BÀI TẬP Lời cảm ơn Tài liệu tham khảo Giới thiệu Sự đời Lý thuyết đồ thị bắt nguồn từ toán tưởng chừng đơn giản Từ toán cầu Konigsberg đến đường Hamilton bước phát triển vượt bậc Toán học lĩnh vực Cùng với thời gian vươn lên mạnh mẽ lĩnh vực công nghệ, khoa học kỹ thuật, Lý thuyết đồ thị có đóng góp to lớn mạng máy tính, mạng lưới giao thông vận tải, lý thuyết tối ưu Về mặt thuật tốn, có định lý, tập chứng minh đơn giản lại có hàm lượng tư cao Nhiều toán đời để lại dấu ấn mạnh mẽ nhiều lĩnh vực khoa học : Đường Euler, đường Hamilton, Luồng vận tải… Trong khuôn khổ tiểu luận chúng em xin khai thác toán đường Hamilton phương pháp vận dụng giải tập Đã có nhiều ứng dụng mạng tin học đời từ thuật tốn lý hạn hẹp thời gian hạn chế số lượng trang nên Tiểu luận gồm có : • Chương : Các khái niệm LTĐT • Chương : Bài toán đường Hamilton định lý liên quan • Chương : Ứng dụng giải tập Vì lý mà tiểu luận hệ thống lại định lý, khái niệm mà không chứng minh mệnh đề, hệ ví dụ ***** Nhóm thực : STT Họ Và Tên Công Việc Lê Thị Sơn Chương 2 Nguyễn Hạ Thi Giang Chương 3 Nguyễn Thị Ngọc Mỹ Chương Nguyễn Phương Thảo Chương Lê Thiện Trung Chương Chữ Ký Nhận Xét giáo viên CHƯƠNG : TỔNG QUAN VỀ ĐỒ THỊ ***** Đồ thị - Cạnh – Đỉnh : Đồ thị vô hướng : G = (V,E) gồm tập V đỉnh tập a) E cạnh Mỗi cạnh e ∈ E liên kết với cặp đỉnh v, w ( không kể thứ tự) v w Đồ thị có hướng : G = (V,E) gồm tập V đỉnh tập b) E cạnh có hướng gọi cung Mỗi cạnh e ∈ E liên kết với cặp đỉnh v, w có thứ tự v c) w Đồ thị lót : Cho đồ thị có hướng G = (V,E) Nếu ta thay đổi cung G cạnh, đồ thị vơ hướng nhận gọi đồ thị lót G Ghi : Đồ thị vơ hướng xem đồ thị có hướng cạnh e = (v,w) tương ứng với hai cung (v,w) (w,v) d) Đỉnh – cạnh : Cho đồ thị (có hướng vơ hướng) G = (V,E) • Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w ta nói đỉnh e liên thuộc đỉnh v, w, đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, đỉnh v, w đỉnh biên cạnh e đỉnh v kề với đỉnh w • Cho đồ thị G, A(G) tập đỉnh không kề (các đỉnh độc lập nhau) Số phần tử lớn A(G) gọi số độc lập Kí hiệu : β • Nếu có cạnh e liên thuộc với cặp đỉnh v, w, ta viết e = (v, w) Nếu e cung v gọi đỉnh đầu w gọi đỉnh cuối cung e • Nếu có nhiều cạnh liên kết với cặp đỉnh ta nói cạnh song song • Cạnh có đỉnh liên kết trùng gọi khun • Đỉnh khơng kề với đỉnh khác gọi đỉnh lập • Số đỉnh đồ thị gọi bậc đồ thị • Số cạnh số cung đồ thị gọi cỡ đồ thị e) Các loại đồ thị liên quan : • Đồ thị hữu hạn đồ thị có bậc cỡ hữu hạn • Đồ thị đơn đồ thị khơng có khun khơng có cạnh song song • Đồ thị vơ hướng đủ đồ thị mà cặp đỉnh kề • Đồ thị có hướng đủ đồ thị có đồ thị lót đủ Khái niệm Bậc : a) Bậc : Cho đồ thị G = (V, E) • Bậc đỉnh v ∈ V tổng số cạnh liên thuộc với ký hiệu d(v) • Nếu đỉnh có khun khun tính tính bậc, vậy: d(v) :=Số cạnh liên thuộc + 2*Số khuyên Từ định nghĩa suy , đỉnh lập đồ thị đơn đỉnh có bậc • Số bậc lớn G ký hiệu ∆G • Số bậc nhỏ G gọi δ G • Đỉnh treo đỉnh có bậc b) Nửa bậc: Cho G = (V,E) đồ thị có hướng, v ∈ V • Nửa bậc đỉnh v, kí hiệu dO(v), số cung từ đỉnh v (v đỉnh đầu) • Nửa bậc vào đỉnh v ∈ V, kí hiệu dI(v), số cung tới đỉnh v (v đỉnh cuối) Ví dụ bậc : Trong đồ thị này, ta có : d(x1) = , d(x2) = d(x3) = 4, d(x4) = , d(x5) = , d(x6) = Đỉnh x1 có hai khuyên liên thuộc Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x2 đỉnh x3 Đỉnh x5 đỉnh cô lập Đỉnh x6 đỉnh treo x1 x2 e1 e4 e2 e3 x3 x6 x4 x5 Ví dụ nửa bậc : x2 Xét đồ thị có hướng sau : Trong đồ thị có hướng ta có: x6 x4 x1 dI(x1) = , dO(x1) = 2, dI(x2) = , dO(x2) = dI(x3) = , dO(x3) = 1, dI(x4) = , dO(x4) = x3 dI(x5) = , dO(x5) = 1, dI(x6) = , dO(x6) = x5 Bổ đề bắt tay ( Hand Shaking Lemma) : Cho đồ thị G = (V,E) Khi : ∑ d (v) = 2* card(E) ∑ d (v) = ∑ d (v) = card(E) , i) Tổng bậc đỉnh đồ thị số chẵn ii) Nếu G đồ thị có hướng : v∈V O v∈V v∈V I card(E) số phần tử tập E Hệ 1.1 : Số đỉnh bậc lẻ đồ thị vô hướng số chẵn Ghi : Bổ đề có tên bổ đề bắt tay từ toán thực tế sau: Trong hội thảo, đại biểu bắt tay Khi tổng số lần bắt tay tất đại biểu số chẵn c) • Các loại đồ thị liên quan : Đồ thị đầy đủ : Đồ thị Kn đồ thị đơn, đủ n đỉnh có cạnh liên kết) Ví dụ: sau đâylà đồ thị K5 Mệnh đề 1.1 : Mọi đỉnh đồ thị Kn có bậc n-1 có n(n-1)/2 cạnh • Đồ thị lưỡng phân : Đồ thị lưỡng phân : G = (V,E) đồ thị mà tập đỉnh phân làm tập rời V1 V2 cho cạnh liên kết với đỉnh thuộc V đỉnh thuộc V2 ký hiệu : G = ({V1 ,V2},E) Đồ thị lưỡng phân đầy đủK m,n : đồ thị lưỡng phân ( {V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh tập V2 có n đỉnh đỉnh V1được nối với đỉnh V2 cạnh Ví dụ : sau đồ thị K3,3 a b c x y z Mệnh đề 1.2 : Cho đồ thị lưỡng phân đủ Km,n=({V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh tập V2 có n đỉnh Khi đỉnh V có bậc n đỉnh V2 có bậc m Km,n có m.n cạnh • Đồ thị quy : đồ thị mà đỉnh kề có bậc Đồ thị k- quy : đồ thị quy mà đỉnh có số bậc k Ví dụ : Đồ thị - quy : Đồ thị gồm đỉnh cô lập Đồ thị - quy : Đồ thị gồm cạnh không nối với Đồ thị – quy : Đồ thị gồm chu trình khơng nối với Đồ thị quy mạnh : đồ thị quy mà đỉnh khơng kề có bậc Ví dụ : K n đồ thị k – quy mạnh với n Dãy - Đường - chu trình : a) Dóy : ã Dóy t nh v đền đỉnh w : dãy đỉnh cạnh nối tiếp đỉnh v kết thúc đỉnh w Số cạnh dãy µ gọi độ dài dãy µ • Độ dài Dãy : Dãy µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài n biểu diễn sau : µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w ) : vi(i=1,…,n-1) đỉnh dãy e i(i=1,…,n) cạnh dãy liên thuộc đỉnh kề trước sau Các đỉnh cạnh dãy lắp lại • Dãy có hướng đồ thị có hướng dãy đỉnh cung nối tiếp (e1, e2,….,en) thỏa mãn đỉnh cuối cung ei đỉnh đầu cung ei+1, i=1,…n-1 • Định lý 1.1 : (i) Trong đồ thị vô hướng dãy từ đỉnh v đến w chứa đường sơ cấp từ v đến w (ii) Trong đồ thị có hướng dãy từ đỉnh v đến w chứa đường có hướng sơ cấp từ v đến w b) Vịng : • Vịng dãy có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng • Vịng có hướng dãy có hướng có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng c) • Đường : Đường từ đỉnh v đến đỉnh w dãy từ đỉnh v đến đỉnh w, cá cạnh khơng lặp lại • Đường sơ cấp đường không qua đỉnh q lần • Đường có hướng đồ thị có hướng dãy có hướng, cung khơng lặp lại • Đường có hướng sơ cấp đường có hướng khơng qua đỉnh lần d) Chu trình : • Chu trình đường có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng • Chu trình sơ cấp chu trình khơng qua đỉnh q lần • Chu trình có hướng đường có hướng đỉnh đầu đỉnh cuối trùng • Chu trình có hướng sơ cấp chu trình có hướng khơng qua đỉnh qua lần • Định lý 1.2 : Đồ thị G lưỡng phân G khơng chứa chu trình độ dài lẻ e) Trọng đồ : • Trọng đồ (có hướng ) đồ thị (có hướng ) mà cạnh (cung) gán số • Trọng đồ biểu diễn G =(V,E,w), V tập đỉnh , E tập cạnh (cung) w: E→R hàm số E,w(e) trọng số cạnh (cung) e với e ∈ E Trong trọng đồ độ dài trọng số đương µ tổng trọng số đường Đồ thị liên thơng : • Đồ thị vô hướng gọi liên thông, cặp đỉnh có đường nối chúng với • Đồ thị có hướng gọi liên thơng mạnh, cặp đỉnh có đường có hướng nối chúng với • Đồ thị có hướng gọi liên thơng yếu, đồ thị lót (vơ hướng) liên thơng • Đồ thị có hướng gọi bán liên thông, với cặp đỉnh (u,v) tồn đường có hướng từ u đến v từ v đến u 10 Đồ thị – Thành phần liên thông : a) Đồ thị : Cho đồ thị G = ( V, E ) Đồ thị G’ = ( V’, E’ ) gọi đồ thị G V’ ⊂ V E’ ⊂ E • Nếu F ⊂ E, ký hiệu G – F đồ thị ( V, E-F ) G gồm tập đỉnh V tập cạnh ( cung ) E – F • Nếu U ⊂ V, ký hiệu G- U đồ thị G thu từ G sau loại bỏ đỉnh U cạnh liên thuộc chúng • Cho U ⊂ V, đồ thị G sinh U (ký hiệu < U >) đồ thị ( U, EU) với EU = { e ∈ E / e liên thuộc đỉnh U } • Đồ thị tự {K1,3 , K1,3 + x} : đồ thị không nhận {K1,3 , K1,3 + x} làm đồ thị b) Thành phần liên thơng : • Đồ thị G’ = ( V’, E’ ) đồ thị ( có hướng ) G (V,E) gọi thành phần liên thơng (mạnh ) đồ thị G • Nếu đồ thị liên thông (mạnh) tối đại G, tức không tồn đồ thị liên thông (mạnh) G’’= (V”,E”) ≠ G’ G thỏa V’ ⊂ V”, E’ ⊂ E” Ví dụ : Xét đồ thị G = ( V,E) ví dụ trước x2 x1 e1 e4 e2 e3 x3 x4 x6 x5 Đồ thị G1 = (V1, E1), với V1 = { x1, x2, x3, x4} E1= { e1, e2, e3, e4} đồ thị đồ thị G khong phải thành phần liên thông Đồ thị G2 = { V – {x5} , E } = < V – {x5} > thành phần liên thông G Định lý 1.3 : Cho đồ thị đơn G = (V,E ) với n đỉnh, k thành phần liên thông Khi số cạnh m đồ thị thỏa bất đẳng thức n–k ≤ m ≤ (n − k )(n − k + 1) 11 Hệ 1.2: Mọi đơn đồ thị n đỉnh với số cạnh lớn (n -1)(n - 2) liên thông Đồ thị k – liên thông : a) Đồ thị k – cạnh liên thông : Cho đồ thị G = (V,E) • Tập tách cạnh : Tập cạnh F ⊂ E gọi tập hợp tách cạnh đồ thị liên thơng G, G-F khơng liên thơng • Tập cắt cạnh : Hơn nữa, F tập hợp tách cạnh cực tiểu ( tức không tồn F’ ⊂ F, F’ ≠ F, F’ tập tách cạnh ), F gọi tập cắt cạnh Nếu tập cắt cạnh có cạnh,thì cạnh gọi cầu Đại lượng λ (G ) = min{card (F) /F tập tách cạnh G} gọi số liên thơng cạnh G • Đồ thị k – cạnh liên thông : Đồ thị G gọi k - cạnh liên thơng, tập tách cạnh có k cạnh Ghi Từ định nghĩa ta có λ (G ) ≥ k ∀ k, G k - cạnh liên thông λ (G ) = max {k / G k - cạnh liên thông} b) Đồ thị k – liên thơng : • Tập tách đỉnh : Tập đỉnh U ⊂ V gọi tập hợp tách đỉnh đồ thị liên thông G, G- U khơng có liên thơng • Tập cắt đỉnh : Hơn nữa, U tập hợp tách đỉnh cực tiểu (tức không tồn U’ ⊂ U, U’ ≠ U, U’ tập hợp tách đỉnh) U gọi tập cắt đỉnh Nếu tập tách đỉnh có đỉnh, đỉnh gọi đỉnh tách Đại lượng k(G ) = min{card (U) /U tập tách đỉnh G} gọi số liên thông đỉnh G • Đồ thị k – liên thơng : Đồ thị G gọi k- liên thông, tập tách đỉnh có k đỉnh Ghi : Từ định nghĩa ta có 12 o k(G) ≥ k ∀ k G k - liên thông k(G) = max { k / G k - liên thơng} o Nếu k(G) = k G k – liên thơng chặt Ví dụ : Với G đơn đồ thị bất kì, ta có : k(G) = Khi đó, (G) đồ thị 2-liên thông 3-liên thông 3liên thông chặt Ghi : (i) Tập V V – {v} ∀ v ∈ V tập tách đỉnh (ii) Đồ thị đủ K n khơng có tập tách đỉnh Vì ta qui ước số liên thơng đỉnh Kn (n-1) Ví dụ : Xét đồ thị sau f b e a d c h g Các tập cạnh sau {b,c} , {e,g} , {b,c,d} , {d,e,g} , {d} Là tập tách cạnh, cạnh d cầu, {b,c} {e,g} tập cắt cạnh Các tập đỉnh sau {2,3} , {3,4} , {3} , {4} , {5,7} Là tập tách đỉnh, đỉnh {3,4} đỉnh tách , {5,7} tập cắt đỉnh • Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Whiney) Với đồ thị G ta có k(G) ≤ λ (G ) ≤ δ (G) • Định lý 1.5: Đồ thị G = (V,E) bậc n k-liên thông ( ≤ k ≤ n − ) δ (G ) ≥ (n + k − 2) / 13 CHƯƠNG II: ĐƯỜNG ĐI HAMILTON ***** Định nghĩa : Cho đồ thị (có hướng) G=(V,E) a Chu trình (có hướng) Hamilton chu trình (có hướng) sơ cấp qua đỉnh đồ thị b Đường (có hướng) Hamilton đường (có hướng) sơ cấp qua đỉnh đồ thị Như chu trình Hamilton có độ dài số đỉnh, đường Hamilton có độ dài số đỉnh trừ c Đồ thị Hamilton đồ thị chứa chu trình (có hướng) Hamilton Ví dụ 2.1: Hình 2.1 Đồ thị có chu trình Euler chu trình Hamilton: → → → → → → →1 Điều kiện cần a Định lí 2.1 : Giả sử đồ thị G có chu trình Hamilton C Khi đó: • Đồ thị G liên thông • Mọi đỉnh G có bậc lớn 2, có hai cạnh liên thuộc nằm chu trình C • Nếu xóa k đỉnh cạnh liên thuộc chúng, đồ thị cịn lại có tối đa k thành phần liên thơng 14 b Hệ : Giả sử đồ thị n đỉnh G có đường Hamilton P Khi đó: • Đồ thị G liên thơng • Có n-2 đỉnh bậc 2,và đỉnh có cạnh liên thuộc nằm đường P • Nếu xóa k đỉnh cạnh liên thuộc chúng, đồ thị cịn lại có tối đa k+1 thành phần liên thơng Ví dụ : Xét đồ thị: V1 V5 V2 V4 V3 Hình 2.2 Đồ thị có đường Hamilton: v1 → v2 → v3 → v4 → v5 Đồ thị khơng có chu trình Hamilton Thật vậy, tồn chu trình Hamilton C phải có cạnh Vì bậc deg(v2)=deg(v4)=3 nên phải có cạnh tới v2 cạnh tới v4 không thuộc chu trình C Số cạnh cịn lại nên C khơng thể có cạnh được, mâu thuẫn Ta áp dụng trực tiếp định lý 2.4.1 Nếu bỏ đỉnh v v4 cạnh liên thuộc chúng đồ thị cịn lại đỉnh độc lập, có thành phần liên thông Như theo mệnh đề (iii) định lý 2.4.1 đồ thị khơng có chu trình Hamilton Ví dụ 2.3: (Bài toán xếp chỗ ngồi) người bạn ngồi ăn bàn tròn lần Mỗi lần họ xếp ngồi theo thứ tự Hãy thay đổi chỗ ngồi lần cho khơng có người ngồi gần lần 15 Ta lập đồ thị đỉnh 1, 2, ,9, đỉnh i người i Ta đặt đỉnh tâm đỉnh cịn lại đường trịn hình vẽ Mỗi cách xếp chu trình Hamilton đồ thị Chu trình thứ hình vẽ → → → → → → → → →1 Hình 2.3 Xoay chu trình góc π theo chiều kim đồng hồ ta nhận chu trình, cách xếp sau: → → → → → → → → →1 Hình 2.4 → → → → → → → → →1 16 Hình 2.5 → → → → → → → → →1 Hình 2.6 Điều kiện đủ a Điều kiện đủ cho đơn đồ thị vơ hướng: • Định lý 2.2 Đồ thị đủ Kn với n lẻ (n ≥ 3) có (n − 1)/2 chu trình Hamilton đơi khơng giao (tức khơng có cạnh chung) Chứng minh : Tương tự lời giải toán xếp người bàn tròn, ta xây dựng cách xếp theo chu trình Hamilton đồ thị sau (n=2k+1): → → → → 2k → 2k + → 17 2k-1 2k+1 2k Hình 2.7 Xoay chu trình góc π theo chiều kim đồng hồ ta nhận k k chu trình • Định lý 2.3 (Dirac) Cho G đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 3) Nếu bậc deg(v ) ≥ n với đỉnh v G, G có chu trình Hamilton Ví dụ 2.4 : Hình 2.9 Theo định lý Dirac, xét đồ thị W6 hình vẽ Trong đồ thị ta có deg(v) = ≥ Hamilton Khi đồ thị W6 có chu trình Tải FULL (39 trang): https://bit.ly/3vgLjMv Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net → → → → → →1 • Hệ : Cho G đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 3) Nếu bậc deg(v) ≥ đỉnh v G, G có đường Hamilton 18 n −1 với • Định lý 2.4 Cho G đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 3) Giả sử u v hai đỉnh không kề G cho deg(u ) + deg(v) ≥ n Khi G có chu trình Hamilton đồ thị G+(u,v) (đồ thị G thêm cạnh (u,v)) có chu trình Hamilton • Định lý 2.5 Cho G đồ thị đơn giản n đỉnh Giả sử G’ G” hai đồ thị thu từ G quy nạp nối tất cặp đỉnh khơng kề có tổng bậc n Khi ta có G’ = G”  Định nghĩa (Bao đóng) : Bao đóng C(G) đồ thị G n đỉnh đồ thị thu từ G cách : Theo quy nạp, nối tất cặp đỉnh khơng kề mà tổng số bậc n khơng cịn cặp đỉnh • Định lý 2.6 : Đồ thị G có chu trình Hamilton bao đóng G có chu trình Hamilton • Định lý 2.7 : Nếu bao đóng C(G) = Kn (n ≥ 3) đồ thị G có chu trình Hamilton • Định lý 2.8 (Ore) Cho G đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 3) Nếu deg(u ) + deg(v) ≥ n với cặp đỉnh không kề đồ thị G có chu trình Hamilton Tải FULL (39 trang): https://bit.ly/3vgLjMv Dự phịng: fb.com/TaiHo123doc.net Ví dụ 2.5 Đồ thị W6 ví dụ thỏa mãn định lý Ơre Ta có: deg(u ) + deg(v) ≥ với cặp đỉnh không kề nên đồ thị W6 có chu trình Hamilton Ví dụ 2.6 Cho G đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 3) có deg(u ) + deg(v) ≥ n − với cặp đỉnh không kề đồ thị G CMR: G có đường Hamilton Chứng minh 19 Ta thêm vào đồ thị G đỉnh x nối x với đỉnh G cạnh, ta thu đồ thị G’ có n+1đỉnh Bậc đỉnh G’ lớn bậc cũ đơn vị (trừ z), cịn bậc z n Do G’thì ta có: deg G ' (u ) + deg G ' (v) = deg G (u) + + deg G (v) + ≥ n − + + = n + ∀u , v ≠ z deg G ' (u ) + deg G ' ( z ) = deg G (u) + + n ≥ n + ∀u ≠ z Theo ĐL Ore G’ có chu trình Hamilton, suy G có đường Hamilton • Định lý 2.9 : Cho G đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 3) m cạnh Nếu m ≥ C (n − 1, 2) + đồ thị G có chu trình Hamilton • Định lý 2.10 : Cho đồ thị đơn G đồ thị lưỡng phân với hai tập đỉnh V V2 cho card(V1 ) = card(V2 ) = n ≥ Nếu bậc deg(v) > n với đỉnh v G, G có chu trình Hamilton Ví dụ 2.7 Hình 2.10 Cho hai tập đỉnh V1 V2 cho card(V1 ) = card(V2 ) = hình vẽ Ta có: với đỉnh v G có bậc 2, mà > , G có chu trình Hamilton Ví dụ 2.8 Đồ thi sau có chu trình Hamilton khơng? 4163764 20 ... lại dấu ấn mạnh mẽ nhiều lĩnh vực khoa học : Đường Euler, đường Hamilton, Luồng vận tải… Trong khuôn khổ tiểu luận chúng em xin khai thác toán đường Hamilton phương pháp vận dụng giải tập Đã có... CHƯƠNG II: ĐƯỜNG ĐI HAMILTON ***** Định nghĩa : Cho đồ thị (có hướng) G=(V,E) a Chu trình (có hướng) Hamilton chu trình (có hướng) sơ cấp qua đỉnh đồ thị b Đường (có hướng) Hamilton đường (có... chế số lượng trang nên Tiểu luận gồm có : • Chương : Các khái niệm LTĐT • Chương : Bài tốn đường Hamilton định lý liên quan • Chương : Ứng dụng giải tập Vì lý mà tiểu luận hệ thống lại định lý,