Tiểu luận đường đi HAMILTON

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN LỚP CAO HỌC PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP K25 ***** Đề tài : ĐƯỜNG ĐI HAMILTON Tiểu luận kết thúc học phần Môn : Lý thuyết đồ thị NHÓM THỰC HIỆN : Lê Thị Sơn, Nguyễn Hạ Thi Giang, Nguyễn Ngọc Mỹ, Nguyễn Phương Thảo, Lê Thiện Trung Người Hướng Dẫn : PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Đà Nẵng – 2012 MỤC LỤC Lời giới thiệu………………………………………………………………………2 CHƯƠNG : CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐỒ THỊ Đồ thị - Cạnh - Đỉnh……………………………………………………… Bậc – Nửa bậc…………………………………………………………… Dãy – Đường – Chu trình……………………………………………… Đồ thị liên thông………………………………………………………… 10 Đồ thị - Thành phần liên thông……………………………………….10 Đồ thị k-chính quy……………………………………………………… 12 CHƯƠNG : ĐƯỜNG ĐI HAMILTON Định nghĩa……………………………………………………………… 14 Điều kiện cần…………………………………………………………… 14 Điều kiện đủ………………………………………………………………16 • Đồ thị vô hướng……………………………………………… 17 • Đồ thị có hướng……………………………………………… 21 • Một số kết cho đồ thị k-liên thông……………………… 23 • Một số kết cho đồ thị t- khó……………………………….25 • Một số kết cho đồ thị k – quy……………………….27 CHƯƠNG : ỨNG DỤNG VÀ BÀI TẬP Lời cảm ơn Tài liệu tham khảo Giới thiệu Sự đời Lý thuyết đồ thị bắt nguồn từ toán tưởng chừng đơn giản Từ toán cầu Konigsberg đến đường Hamilton bước phát triển vượt bậc Toán học lĩnh vực Cùng với thời gian vươn lên mạnh mẽ lĩnh vực công nghệ, khoa học kỹ thuật, Lý thuyết đồ thị có đóng góp to lớn mạng máy tính, mạng lưới giao thông vận tải, lý thuyết tối ưu Về mặt thuật toán, có định lý, tập chứng minh đơn giản lại có hàm lượng tư cao Nhiều toán đời để lại dấu ấn mạnh mẽ nhiều lĩnh vực khoa học : Đường Euler, đường Hamilton, Luồng vận tải… Trong khuôn khổ tiểu luận chúng em xin khai thác toán đường Hamilton phương pháp vận dụng giải tập Đã có nhiều ứng dụng mạng tin học đời từ thuật toán lý hạn hẹp thời gian hạn chế số lượng trang nên Tiểu luận gồm có : • Chương : Các khái niệm LTĐT • Chương : Bài toán đường Hamilton định lý liên quan • Chương : Ứng dụng giải tập Vì lý mà tiểu luận hệ thống lại định lý, khái niệm mà không chứng minh mệnh đề, hệ ví dụ ***** Nhóm thực : STT Họ Và Tên Công Việc Lê Thị Sơn Chương 2 Nguyễn Hạ Thi Giang Chương 3 Nguyễn Thị Ngọc Mỹ Chương Nguyễn Phương Thảo Chương Lê Thiện Trung Chương Chữ Ký Nhận Xét giáo viên CHƯƠNG : TỔNG QUAN VỀ ĐỒ THỊ ***** Đồ thị - Cạnh – Đỉnh : Đồ thị vô hướng : G = (V,E) gồm tập V đỉnh tập a) E cạnh Mỗi cạnh e ∈ E liên kết với cặp đỉnh v, w ( không kể thứ tự) v w Đồ thị có hướng : G = (V,E) gồm tập V đỉnh tập b) E cạnh có hướng gọi cung Mỗi cạnh e ∈ E liên kết với cặp đỉnh v, w có thứ tự v c) w Đồ thị lót : Cho đồ thị có hướng G = (V,E) Nếu ta thay đổi cung G cạnh, đồ thị vô hướng nhận gọi đồ thị lót G Ghi : Đồ thị vô hướng xem đồ thị có hướng cạnh e = (v,w) tương ứng với hai cung (v,w) (w,v) d) Đỉnh – cạnh : Cho đồ thị (có hướng vô hướng) G = (V,E) • Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w ta nói đỉnh e liên thuộc đỉnh v, w, đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, đỉnh v, w đỉnh biên cạnh e đỉnh v kề với đỉnh w • Cho đồ thị G, A(G) tập đỉnh không kề (các đỉnh độc lập nhau) Số phần tử lớn A(G) gọi số độc lập Kí hiệu : β • Nếu có cạnh e liên thuộc với cặp đỉnh v, w, ta viết e = (v, w) Nếu e cung v gọi đỉnh đầu w gọi đỉnh cuối cung e • Nếu có nhiều cạnh liên kết với cặp đỉnh ta nói cạnh song song • Cạnh có đỉnh liên kết trùng gọi khuyên • Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi đỉnh cô lập • Số đỉnh đồ thị gọi bậc đồ thị • Số cạnh số cung đồ thị gọi cỡ đồ thị e) Các loại đồ thị liên quan : • Đồ thị hữu hạn đồ thị có bậc cỡ hữu hạn • Đồ thị đơn đồ thị khuyên cạnh song song • Đồ thị vô hướng đủ đồ thị mà cặp đỉnh kề • Đồ thị có hướng đủ đồ thị có đồ thị lót đủ Khái niệm Bậc : a) Bậc : Cho đồ thị G = (V, E) • Bậc đỉnh v ∈ V tổng số cạnh liên thuộc với ký hiệu d(v) • Nếu đỉnh có khuyên khuyên tính tính bậc, vậy: d(v) :=Số cạnh liên thuộc + 2*Số khuyên Từ định nghĩa suy , đỉnh cô lập đồ thị đơn đỉnh có bậc • Số bậc lớn G ký hiệu ∆G • Số bậc nhỏ G gọi δ G • Đỉnh treo đỉnh có bậc b) Nửa bậc: Cho G = (V,E) đồ thị có hướng, v ∈ V • Nửa bậc đỉnh v, kí hiệu dO(v), số cung từ đỉnh v (v đỉnh đầu) • Nửa bậc vào đỉnh v ∈ V, kí hiệu dI(v), số cung tới đỉnh v (v đỉnh cuối) Ví dụ bậc : Trong đồ thị này, ta có : d(x1) = , d(x2) = d(x3) = 4, d(x4) = , d(x5) = , d(x6) = Đỉnh x1 có hai khuyên liên thuộc Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x2 đỉnh x3 Đỉnh x5 đỉnh cô lập Đỉnh x6 đỉnh treo x1 x2 e1 e4 e2 e3 x3 x6 x4 x5 Ví dụ nửa bậc : x2 Xét đồ thị có hướng sau : Trong đồ thị có hướng ta có: x6 x4 x1 dI(x1) = , dO(x1) = 2, dI(x2) = , dO(x2) = dI(x3) = , dO(x3) = 1, dI(x4) = , dO(x4) = x3 dI(x5) = , dO(x5) = 1, dI(x6) = , dO(x6) = x5 Bổ đề bắt tay ( Hand Shaking Lemma) : Cho đồ thị G = (V,E) Khi : ∑ d (v) = 2* card(E) ∑ d (v) = ∑ d (v) = card(E) , i) Tổng bậc đỉnh đồ thị số chẵn ii) Nếu G đồ thị có hướng : v∈V O v∈V v∈V I card(E) số phần tử tập E Hệ 1.1 : Số đỉnh bậc lẻ đồ thị vô hướng số chẵn Ghi : Bổ đề có tên bổ đề bắt tay từ toán thực tế sau: Trong hội thảo, đại biểu bắt tay Khi tổng số lần bắt tay tất đại biểu số chẵn c) • Các loại đồ thị liên quan : Đồ thị đầy đủ : Đồ thị Kn đồ thị đơn, đủ n đỉnh có cạnh liên kết) Ví dụ: sau đâylà đồ thị K5 Mệnh đề 1.1 : Mọi đỉnh đồ thị Kn có bậc n-1 có n(n-1)/2 cạnh • Đồ thị lưỡng phân : Đồ thị lưỡng phân : G = (V,E) đồ thị mà tập đỉnh phân làm tập rời V1 V2 cho cạnh liên kết với đỉnh thuộc V đỉnh thuộc V2 ký hiệu : G = ({V1 ,V2},E) Đồ thị lưỡng phân đầy đủK m,n : đồ thị lưỡng phân ( {V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh tập V2 có n đỉnh đỉnh V1được nối với đỉnh V2 cạnh Ví dụ : sau đồ thị K3,3 a b c x y z Mệnh đề 1.2 : Cho đồ thị lưỡng phân đủ Km,n=({V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh tập V2 có n đỉnh Khi đỉnh V có bậc n đỉnh V2 có bậc m Km,n có m.n cạnh • Đồ thị quy : đồ thị mà đỉnh kề có bậc Đồ thị k- quy : đồ thị quy mà đỉnh có số bậc k Ví dụ : Đồ thị - quy : Đồ thị gồm đỉnh cô lập Đồ thị - quy : Đồ thị gồm cạnh không nối với Đồ thị – quy : Đồ thị gồm chu trình không nối với Đồ thị quy mạnh : đồ thị quy mà đỉnh không kề có bậc Ví dụ : K n đồ thị k – quy mạnh với n Dãy - Đường - chu trình : a) Dãy : • Dãy µ từ đỉnh v đền đỉnh w : dãy đỉnh cạnh nối tiếp đỉnh v kết thúc đỉnh w Số cạnh dãy µ gọi độ dài dãy µ • Độ dài Dãy : Dãy µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài n biểu diễn sau : µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w ) : vi(i=1,…,n-1) đỉnh dãy e i(i=1,…,n) cạnh dãy liên thuộc đỉnh kề trước sau Các đỉnh cạnh dãy lắp lại • Dãy có hướng đồ thị có hướng dãy đỉnh cung nối tiếp (e1, e2,….,en) thỏa mãn đỉnh cuối cung ei đỉnh đầu cung ei+1, i=1,…n-1 • Định lý 1.1 : (i) Trong đồ thị vô hướng dãy từ đỉnh v đến w chứa đường sơ cấp từ v đến w (ii) Trong đồ thị có hướng dãy từ đỉnh v đến w chứa đường có hướng sơ cấp từ v đến w b) Vòng : • Vòng dãy có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng • Vòng có hướng dãy có hướng có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng c) • Đường : Đường từ đỉnh v đến đỉnh w dãy từ đỉnh v đến đỉnh w, cá cạnh không lặp lại • Đường sơ cấp đường không qua đỉnh lần • Đường có hướng đồ thị có hướng dãy có hướng, cung không lặp lại • Đường có hướng sơ cấp đường có hướng không qua đỉnh lần d) Chu trình : • Chu trình đường có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng • Chu trình sơ cấp chu trình không qua đỉnh lần • Chu trình có hướng đường có hướng đỉnh đầu đỉnh cuối trùng • Chu trình có hướng sơ cấp chu trình có hướng không qua đỉnh qua lần • Định lý 1.2 : Đồ thị G lưỡng phân G không chứa chu trình độ dài lẻ e) Trọng đồ : • Trọng đồ (có hướng ) đồ thị (có hướng ) mà cạnh (cung) gán số • Trọng đồ biểu diễn G =(V,E,w), V tập đỉnh , E tập cạnh (cung) w: E→R hàm số E,w(e) trọng số cạnh (cung) e với e ∈ E Trong trọng đồ độ dài trọng số đương µ tổng trọng số đường Đồ thị liên thông : • Đồ thị vô hướng gọi liên thông, cặp đỉnh có đường nối chúng với • Đồ thị có hướng gọi liên thông mạnh, cặp đỉnh có đường có hướng nối chúng với • Đồ thị có hướng gọi liên thông yếu, đồ thị lót (vô hướng) liên thông • Đồ thị có hướng gọi bán liên thông, với cặp đỉnh (u,v) tồn đường có hướng từ u đến v từ v đến u 10 d Một số kết cho đồ thị t-khó : Định nghĩa (Độ co dãn đồ thị) : Cho w(G) số thành phần liên thông đồ thị G Xét : τ (G ) = X ⊆V ( G ), w ( G \ X ) >1  |X|     w(G \ X )  Thì τ (G ) gọi độ co dãn đồ thị G Định nghĩa (đồ thị t-khó) : Nếu tồn số t cho : t ≥ τ (G ) đồ thị G gọi t-khó Nghĩa : Cho G đồ thị t-khó, k>1 ta chia G thành k thành phần liên thông cách loại bỏ t.k đỉnh Ví dụ : Đồ thị Petersen đồ thị 1-khó Nếu ta bỏ 1.k = k đỉnh, ta thu tối đa k thành phần liên thông Qui ước : Các đồ thị hoàn chỉnh có độ co dãn vô hạn Vaclav Chvatal người đưa lý thuyết độ co dãn đồ thị Sau đó, Bauer, Broersma Schmiechel phát triển với 99 định lý • Hệ : Nếu G đồ thị Hamilton G đồ thị 1-khó 25 • Định lý 2.22 (Bauer Schmiechel, 1991) :Cho G đồ thị 1-khó có bậc n với δ (G ) ≥ ( n + k (G ) − 2) Khi đó, G đồ thị Hamilton Định nghĩa (Tổng bậc dộc lập) : Cho đồ thị G, với k ≥ , ta có : k σ k = { ∑ deg(vi ) | v1 , , vk : đỉnh độc lập} i =1 Thì : σ k gọi : tổng bậc độc lập • Định lý 2.23 (Jung, 1978) : Cho G đồ thị 1-khó có bậc n ≥ 11 σ (G ) ≥ n − G đồ thị Hamilton Ví dụ : Ta có : n=12, σ (G ) = (Tổng bậc độc lập bé 8) Vậy σ (G ) ≥ n − suy G đồ thị Hamilton • Định lý 2.24 (Bigalke Jung, 1979) : Cho G đồ thị 1-khó, bậc n  n ≥ với δ (G ) ≥ max  , β − 1 G đồ thị Hamilton 3  Ví dụ : 26 Ta có : n=12, δ = 5, β (G ) = (Chỉ số độc lập) n 3   Vậy : δ (G ) ≥ max  , β − 1 Suy : G đồ thị Hamilton e Một số kết cho đồ thị k-chính quy : • Định lý 2.25 (Ước lượng bậc Bauer-Broersma-Veldman) : Cho G đồ thị 1-khó, 2-liên thông 4-chính quy có bậc n ≤ 17 G đồ thị Hamilton Định nghĩa (Đồ thị-(n,k)) : Đồ thị-(n,k) đồ thị không Hamilton, k-chính quy, 1-khó, n đỉnh Nếu tồn f ( k ) ≤ n đồ thị trở thành đồ thị Hamilton k-chính quy, 1khó, f(k) đỉnh Vậy n số đỉnh nhỏ để tồn Đồ thị-(n,k) Ví dụ : Sau Đồ thị-(18,4) Chứng minh ước lượng : 27 Trường hợp : ≤ n ≤ , ta sử dụng Định lý 2.3 (Dirac) Trường hợp : ≤ n ≤ 12 • Định lý 2.26 (Nash-Williams, 1969) : Cho G đồ thị k-chính quy, có 2k+1 đỉnh G đồ thị Hamilton • Định lý 2.27 (Erdos and Hobbs, 1978) : Cho G đồ thị 2-liên thông, k-chính quy có 2k+4 đỉnh ( k ≥ ) G đồ thị Hamilton ( • Định lý 2.28 (Bollobas and Hobbs, 1978) : Cho G đồ thị 2-liên thông, k-chính quy, có n đỉnh cho : 9k ≥ n G đồ thị Hamilton • Định lý 2.29 (Jackson, 1980) : Cho G đồ thị 2-liên thông, k-chính quy có nhiều 3k đỉnh G đồ thị Hamilton Trường hợp : 12 ≤ n ≤ 15 • Định lý 2.30 (Hilbig 1986) : Cho G đồ thị 2-liên thông, k-chính quy nhiều 3k+3 đỉnh G thỏa mãn mệnh đề sau : o G đồ thị Hamilton o G đồ thị Petersen, P (Ví dụ 2.19) o G đồ thị P’ sinh cách thay đỉnh P thành tam giác đỉnh Trường hợp : n = 16,17 Định nghĩa (Đồ thị [v,k]) : đồ thị 1-khó, 4-chính quy, có v đỉnh k-liên thông chặt 28 Ta xét đồ thị sau : [16,2][16,3][16,4][17,2][17,3][17,4] Ví dụ : Đồ thị [16,4] [17,4] Đây đồ thị 4-liên thông chặt (cũng liên thông 2-liên thông), 1-khó quy • Định lý 2.31 (Tutte, 1956) : Mọi đồ thị phẳng 4-liên thông có chu trình Hamilton Ví dụ : Đồ thị [16,4] [17,4] có chu trình Hamilton • Định lý 2.32 (Ước lượng đỉnh, Haggkvist) : Cho G đồ thị m-liên thông, k-chính quy, có tối đa (m+1)k đỉnh G đồ thị Hamilton • Định lý 2.33 (Haggkvist, 1976) : Cho G đồ thị lưỡng phân 2-liên thông, k-chính quy có tối đa 6k đỉnh G đồ thị Hamilton • Định lý 2.34 (Haggkvist, 1979) : Cho G đồ thị 2-liên thông, có nhiều 3k+2 đỉnh với dãy bậc tương ứng (k, k, …, k+1, k+1) G đồ thị Hamilton • Định lý 2.35 (Jackson and Jung) : Cho k ≥ G đồ thị 3-liên thông, k-chính quy có tối đa 4k đỉnh G đồ thị Hamilton 29 ***** CHƯƠNG : ỨNG DỤNG VÀ BÀI TẬP ***** Đường chu trình Hamilton có nhiều ứng dụng thực tế, đặc biệt tin học Toán tối ưu Nhưng lý hạn chế tiểu luận nên chúng em xin trình bày số dấu hiệu nhận biết đồ thị cho trước có đường đi, chu trình Hamilton hay không? Cũng tìm đường (nếu có) 30 • Qui tắc để xây dựng chu trình Hamilton H đồ thị vô hướng không Hamilton Qui tắc 1.Tất cạnh kề với đỉnh bậc phải H Qui tắc Không có chu trình con(chu trình có chiều dài 11 cạnh (vô lý) a g) * g * a→b→c→d→e→g→k→h→f→i k g d h d e i 10 Đồ thị petesen có đường Hamilton sau : h f e 11 (P) (P) phải có 11 cạnh b f chu trình Hamilton : Giả sử đồ thị có chu trình Hamilton (P) Thì (P) phải có cạnh c 35 Xét đỉnh không kề : a, d, c, f, i, h Mỗi đỉnh phải có cạnh liên thuộc (P) Vậy ta có 6.2=12 cạnh > cạnh (vô lý) Chú ý : Nếu bỏ đỉnh đồ thị Petersen, ta có chu trình Hamilton Ví dụ : Ta bỏ đỉnh f, có đồ thị sau a * Khi ta có chu trình Hamilton với đỉnh vòng : a→e→d→h→k→g→i→c→b→a c→i→g→k→h→d→e→a→b→c e g h i d e f g k b k c * Nếu ta bỏ đỉnh a ta có chu b trình Hamilton với tất đỉnh h h→d→e→g→k→b→c→i→f→h i f→h→d→e→g→k→b→c→i→f c d • Bài toán : Tìm điều kiện m, n để K m , n có đường Hamilton, chu trình Hamilton Giải : a) Đồ thị Km,n có chu trình Hamilton m = n Chứng minh Đồ thị Km,n có m+n đỉnh chia thành tập V1 V2 , : V1 = { u1 , u2 , , um } , V2 = { v1 , v2 , , } đỉnh ui ∈ V1 đỉnh kề tất đỉnh thuộc V2 ngược lại - Nếu m = n đồ thị Kn,n có chu trình Hamilton sau: v1 → u1 → v2 → u2 → v3 → → −1 → un −1 → → un → v1 36 - Nếu m ≠ n, không tính tổng quát ta giả sử m > n Khi ta bỏ đỉnh thuộc tập V2 cạnh liên thuộc đỉnh ta m (>n ) thành phần liên thông Suy Km,n chu trình Hamilton b) Đồ thị Km,n có đường Hamilton m − n = Chứng minh Đồ thị Km,n có m+n đỉnh chia thành tập V1 V2 , : V1 = { u1 , u2 , , um } , V2 = { v1 , v2 , , } đỉnh ui ∈ V1 đỉnh kề tất đỉnh thuộc V2 ngược lại - Nếu m − n = , không tính tổng quát ta giả sử m > n hay m – n = 1, ta có đường Hamilton sau : u1 → v1 → u2 → v2 → u3 → → un −1 → −1 → un → → un +1 = um - Nếu m − n ≠ , không tính tổng quát ta giả sử m > n hay m – n > ⇔ m>n+1 Khi ta bỏ đỉnh thuộc tập V cạnh liên thuộc đỉnh ta m (>n+1 ) thành phần liên thông Suy Km,n đường Hamilton ***** 37 Lời cảm ơn Dù có nhiều cố gắng có lẽ tiểu luận tránh sai sót định Kính mong thầy bạn học viên K25 Phương Pháp Toán Sơ Cấp có đóng góp để Tiểu luận hoàn chỉnh Nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TSKH Trần Quốc Chiến có buổi dạy nhiệt tình, để chúng em có kiến thức định môn học hay ***** 38 Tài liệu tham khảo : [1] Giáo trình Lý Thuyết Đồ Thị dành cho lớp Cao học, PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, Đà Nẵng – 2012 [2] A study of sufficient Conditions for Hamilton Cycle, Melissa de Leon, Seton Hall University South Orange, New Jersey, USA [3] Sách hướng dẫn tập Toán Rời Rạc, Ths Nguyễn Duy Phương, HV Công nghệ bưu viễn thông, Hà Nội – 2006 [4] Đề tài Toán Rời Rạc, Ths Lê Đình Huy, TP.HCM - 2011 [5] Bài tập Lý Thuyết Đồ Thị, Giảng viên : Nguyễn Ngọc Trung 39