SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG THPT HỒNG MAI MƠN THI: TỐN – NĂM 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A = (3 32 18 50) : B = x 1 x x 2 x (với x �0; x �4 ) x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức A B b) Tìm giá trị x cho A > B Câu (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người thợ làm chung cơng việc sau 16 hồn thành Nếu hai người làm chung sau người thứ nghỉ người thứ hai làm hai người làm 25% cơng việc Hỏi làm riêng người phải làm hồn thành cơng việc? Câu (2,0 điểm) | x 1| 2( x y ) � � 1) Giải hệ phương trình: �4 | x 1| ( x y ) 2) Cho phương trình: x (2m 1) x 2m (1) a) Giải phương trình (1) với m b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: x1 x2 Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường trịn tâm O Kẻ đường cao AD đường kính AA’ Gọi E, F theo thứ tự chân đường vng góc hạ từ B C xuống đường kính AA’ Chứng minh: a) Tứ giác AEDB nội tiếp b) DB.AC = AD.A’C c) DE ⊥ AC Gọi M trung điểm BC Chứng minh MD = ME = MF Câu (0,5 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y �18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 18 y x y 2018 xy 12 -HẾT (Cán coi thi khơng giải thích thêm) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT - 2019 TRƯỜNG THPT HỒNG MAI ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM MƠN THI: TỐN (Đáp án có 05 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,5 điểm) A = (3 32 18 50) : = (3.4 2.3 2) : A = : 1 B= x 1 x x 2 4 x x 2 x 2 x 1 x x 2 x 2 x ( x 2)( x 2) 0,25 0,25 0,25 ( x 1)( x 2) x ( x 2) x ( x 2)( x 2) B= 0,25 3x x x ( x 2) B = ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) 0,25 x B = x 2 0,25 b) (0,5 điểm) ĐKXĐ: x �0; x �4 x 1� x x x A> B (vì x ) � x � x Kết hợp ĐKXĐ ta có �x Vậy với �x A > B � Tính thời gian làm riêng … (2,0 điểm) Gọi thời gian làm riêng hai người hồn thành cơng việc x, y (giờ) (x, y > 16) Trong giờ: Người thứ làm x công việc Người thứ hai làm y công việc Cả hai người làm 16 công việc 1 Dẫn tới phương trình: x y 16 (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 Nếu hai người làm chung sau người thứ nghỉ người thứ hai làm hai người làm 25% công việc �1 � 3 � � Dẫn tới phương trình: �x y � y (2) �1 1 �x y 16 � � �1 � � � � � x y� y Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: �� �3 3 �3 �x y 16 �y 16 � � �� �� �3 �1 � � �x y �x y 16 �1 � �x 24 �� �1 � �y 48 0,25 0,25 0,25 0,25 �x 24 � Giải hệ ta nghiệm �y 48 0,25 Kết luận: Người thứ làm riêng 24 hồn thành cơng việc Người thứ hai làm riêng 48 hồn thành cơng việc 0,25 | x 1| 2( x y ) � � 1) Giải hệ phương trình (1 điểm): �4 | x 1| ( x y ) | x 1| a (a �0) � � Đặt �x y b 3a 2b � � Hệ phương trình trở thành: �4a b a2 � � Giải hệ �b 1 x 1 x 1 � � | x 1| � � �� x 2 x 3 � � + Với x x y 1 � y 1 + Với x 3 0,25 0,25 0,25 x y 1 � y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (1; 1);(3;1) 0,25 2) Cho phương trình: x (2m 1) x 2m (1) 2a) Giải phương trình (1) với m (0,5 điểm) Với m = ta có phương trình: x2 x � x2 6x x � x ( x 6) ( x 6) 0,25 � ( x 6)( x 1) x6 x6 � � �� �� x 1 x 1 � � Kết luận: Vậy với m = phương trình có hai nghiệm 0,25 x 6; x 2b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x x 2 phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện: (0,5 điểm) ∆= (2m 1) ۹ m m� phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Vậy �x1 x2 2m � Theo định lý Viet �x1 x2 2m 0,25 x1 x2 � ( x1 x2 ) x1 x2 | x1 x2 | � 4m | m | 3 (1) TH1: m �0 � 1 m ( L) � � m 4m � � � m (TM ) � (1) TH2: m � 3 m (TM) � 2 � 4m 4m � � � m (L) � (1) �3 � m �� ; � �2 thỏa mãn điều kiện đề Vậy 0,25 1a) Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp (1 điểm) Vẽ hình cho câu a Xét tứ giác AEDB có: AEB = ADB = 900 (gt) => E, D nằm đường trịn đường kính AB => Tứ giác AEDB nội tiếp 1b) Chứng minh DB.AC = AD.A’C (1 điểm) Xét ∆ABD ∆AA’C có: 0,25 0,25 0,25 0,25 � ACA ' = 900 (GT) ABD = � 0,25 ABD = AA’C (hai góc nội tiếp chắn AC) => ∆ABD ∽ ∆ AA’C(g.g) 0,25 � DB AD � DB AC AD A ' C A ' C AC (đpcm) 0,25 0,25 1c) Chứng minh DE ⊥ AC (1 điểm) Tứ giác AEDB nội tiếp (câu a) => EDC = BAE (cùng bù với BDE) Mà BAE = BCA’ (hai góc nội tiếp chắn A’B) => CDE = DCA’, chúng vị trí so le => DE // A’C � Mặt khác: ACA' 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => A’C ⊥ AC => DE ⊥ AC (đpcm) Chứng minh MD = ME = MF (0,5 điểm) - Gọi N trung điểm AB 0,25 0,25 0,25 0,25 Xét ∆ABC có: MB = MC, NA = NB => MN // AC (tính chất đường TB) mà DE ⊥ AC (câu c) => MN ⊥ DE => MN qua trung điểm DE (đường kính vng góc dây cung) => MN đường trung trực DE => ME = MD (*) - Gọi I trung điểm AC Xét ∆ABC có MB = MC, IA = IC => MI // AB (t/c đường TB) (1) Có tứ giác ADFC nội tiếp (ADC = CFA = 900) => FAC = FDC (hai góc nội tiếp chắn FC) Mà FAC = A’BC (hai góc nội tiếp chắn A’C) => A’BC = FDC, mà A’BC, FDC vị trí đồng vị => DF // BA’(2) Có ABA’ = 900 => AB ⊥ A’B (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (3) => IM qua trung điểm DF (đường kính vng góc dây cung) => IM đường trung trực DF => MF = MD (**) Từ (*), (**) => MD = ME = MF (đpcm) Tìm GTNN P … (0,5 điểm) 0,25 0,25 18 x � �9 y � x y � 18 x y 2018 2018 � � � � x y 3 y x 12 � � � � = 18 x ; 0 Lập luận: Áp dụng BĐT Cô si cho x (với x > 0): P 18 x 18 x 18 x �2 � �6 x x x y ; 0 y Lập luận tương tự có: Áp dụng BĐT Cô si cho (với y>0): y y y �2 � �3 y y y x 2y x 2y 18 � 3 (do x y �18 ) Và 3 18 x � �9 y � x y 18 � � P � � � � 2018 �6 2018 2021 �x � �y � 3 Vậy MinP = 2021 18 x y � �x � ; �� �x y �y �x y �18; x, y � 0,25 0,25 ... x y 2018 xy 12 -HẾT (Cán coi thi không giải thích thêm) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT - 20 19 TRƯỜNG THPT HỒNG MAI ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM MƠN THI: TỐN (Đáp... �2 � �3 y y y x 2y x 2y 18 � 3 (do x y �18 ) Và 3 18 x � ? ?9 y � x y 18 � � P � � � � 2018 �6 2018 2021 �x � �y � 3 Vậy MinP = 2021 18 x y � �x � ; ��... Từ (*), (**) => MD = ME = MF (đpcm) Tìm GTNN P … (0,5 điểm) 0,25 0,25 18 x � ? ?9 y � x y � 18 x y 2018 2018 � � � � x y 3 y x 12 � � � � = 18 x ; 0 Lập luận: Áp dụng BĐT Cô