Tích phân lƣợng giác đặc biệt Tích phân chứa bậc chẳn thường đặt Ví dụ 4.. Tính các tích phân b.[r]
(1)TH.S ĐỖ XUÂN CHUYÊN ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2014 CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (2) TH.S ĐỖ XUÂN HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (3) TH.S ĐỖ XUÂN CHƢƠNG I: CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM I Công thức nguyên hàm ∫ ∫ ∫ | | ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ II Công thức hàm hợp ∫ ∫ | | ∫ ∫ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (4) TH.S ĐỖ XUÂN ∫ ∫ ∫ ∫ III Công thức khác ∫ | | ∫ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (5) TH.S ĐỖ XUÂN CHƢƠNG II: PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN I Phƣơng pháp biến đổi vi phân Phép biến đổi vi phân , hay Ví dụ , hay , hay , hay Các bài toán a ∫ Ví dụ Tính các nguyên hàm b ∫ c ∫ Giải a Phân tích Do đó ∫ ∫ | | b Phân tích Do đó ∫ ∫ | | HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (6) TH.S ĐỖ XUÂN c ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ Tính các tích phân a ∫ c ∫ b ∫ d ∫ Giải a ∫ ∫ ∫ ( | || √ ) b ∫ ∫ ∫ | || √ c HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (7) TH.S ĐỖ XUÂN ∫ √ | √ d √ ∫ ∫ √ || √ √ √ ∫ ∫ √ ∫ | √ ( || ) Ứng dụng phép biến đổi vi phân Ghi nhớ ∫ | | ∫ Ví dụ Tính các tích phân a ∫ c ∫ b ∫ d ∫ a Phân tích HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (8) TH.S ĐỖ XUÂN { { Giải ∫ ∫( ∫ ) ∫ b Phân tích Đặt { Giải ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ | | || c Phân tích { Giải ∫ ∫ ∫ | ∫ || ∫ ∫ | | || HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (9) TH.S ĐỖ XUÂN d Phân tích Giải ∫ ∫ | ∫ | || Ví dụ Tính các tích phân a ∫ b ∫ c ∫ a Phân tích Đặt { Giải ∫ ∫ | ∫ ∫ | || HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (10) TH.S ĐỖ XUÂN b Phân tích { Giải ∫ ∫ | ∫ ∫ | || c Phân tích Đây là dạng tích phân liên kết, nên cần thực nhƣ sau Xét ∫ ∫ ∫ ∫ | ∫ || Do đó HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (11) TH.S ĐỖ XUÂN II Phƣơng pháp đổi biến Loại Đặt Đổi cận, đổi biến Ví dụ Tính ∫ Phân tích Tích phân lượng giác chứa bậc lẻ đặt Giải Đặt bậc lẻ đặt chứa Đổi cận Khi đó ∫ ∫ ( )| a Tích phân chứa thức đơn giản Phƣơng pháp: đặt √ Ví dụ Tính các tích phân a.∫ √ b ∫√ √ √ c ∫ √ √ √ Giải: a HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (12) TH.S ĐỖ XUÂN Đặt √ 10 Đổi cận Khi đó ∫ ∫ √ | ∫ ∫ | | b Đặt √ Đổi cận √ √ Khi đó √ ∫ √ √ ∫ √ | √ ∫ || √ ∫ ∫ √ √ √ ∫ (√ √ √ √ ∫ √ ∫ √ Tính √ ) Đặt HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (13) TH.S ĐỖ XUÂN √ 11 Đổi cận √ √ Khi đó ∫ √ | √ √ Tính Đặt √ Đổi cận √ √ Khi đó √ |√ ∫ √ Vậy √ ∫ √ √ √ Ví dụ Tính các tích phân a.∫ b ∫ √ √ a Đặt √ Đổi cận √ √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (14) TH.S ĐỖ XUÂN √ ∫ ∫ √ | √ √ √ √ √ | |√ √ ∫ √ √ √ √ √ √ b Đặt √ Đổi cận Khi đó √ ∫ ∫ ∫ b Tích phân chứa thức đặc biệt a.∫ √ Ví dụ Tính các tích phân b ∫ c ∫ √ √ √ a Phân tích √ Giải √ Đặt √ √ √ √ √ √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 12 (15) TH.S ĐỖ XUÂN Đổi cận 13 √ Khi đó √ ∫ √ √ ∫ √ √ √ √ √ √ b Phân tích √ Giải Đặt √ √ √ Đổi cận √ Khi đó √ ∫ ∫ √ √ √ √ √ c Giải Đặt √ Đổi cận √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (16) TH.S ĐỖ XUÂN Khi đó 14 √ ∫ √ ∫ √ √ ∫ ( √ ) | | |√ √ √ c Tích phân lƣợng giác đặc biệt Tích phân chứa bậc chẳn thường đặt Ví dụ Tính các tích phân b ∫ a.∫ c ∫ d ∫ Giải a ∫ ∫ Đặt Đổi cận Khi đó HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (17) TH.S ĐỖ XUÂN ∫ √ √ ∫ √ √ | 15 √ b ∫ ∫ Đặt Đổi cận √ Khi đó ∫ | || √ √ √ c ∫ ∫ Đặt Đổi cận Khi đó HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (18) TH.S ĐỖ XUÂN ∫ ∫ | d ∫ ∫ Đặt Đổi cận Khi đó ∫ || | √ Loại Đặt Đổi cận, đổi biến a Tích phân lƣợng giác Ví dụ Tính các tích phân a.∫ b ∫ c ∫ Phân tích: Đây là dạng tích phân đặt biệt Nếu đặt HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 16 (19) TH.S ĐỖ XUÂN Giải a Đặt 17 Đổi cận Khi đó ∫ ∫ ∫ Vậy b Đặt Đổi cận Khi đó ∫ ∫ ∫ | HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (20) TH.S ĐỖ XUÂN Vậy 18 ∫ c Đặt Đổi cận Khi đó ∫ ∫ ∫ ∫ | Vậy a Tích phân có cận đối xứng Phƣơng pháp: Đặt Ví dụ Tính các tích phân √ a.∫ b ∫ c ∫ Giải a Đặt và √ √ Đổi cận HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (21) TH.S ĐỖ XUÂN Khi đó ∫ Vậy 19 √ b Đặt Đổi cận Khi đó ∫ Vậy c Đặt và Đổi cận Khi đó ∫ Vậy ∫ √ √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (22) TH.S ĐỖ XUÂN c Lƣợng giác hóa Ghi nhớ: 20 √ √ √ √ Ví dụ Tính các tích phân a.∫ √ b ∫ √ c ∫ √ a Đặt Đổi cận Khi đó ∫√ ∫ ∫ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (23) TH.S ĐỖ XUÂN III Tích phân phần Công thức tích phân phân ∫ | 21 ∫ Các dạng a Tích phân lƣợng giác ∫ Từng phần { Ví dụ Tính các tích phân b ∫ a.∫ c ∫ a Từng phần { { Khi đó | Tính { ∫ ( ) Từng phần { Khi đó | ∫ Vậy HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (24) TH.S ĐỖ XUÂN b ∫ Từng phần 22 { { Khi đó | √ ( ∫ ) || | √ ( ) b Tích phân hàm mũ ∫ Từng phần { Ví dụ Tính các tích phân a ∫ b ∫ c.∫ d ∫ Giải a ∫ ∫ Tính { Từng phần { HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (25) TH.S ĐỖ XUÂN Khi đó 23 ∫ | Vậy b ∫ Từng phần { { Khi đó | ∫ Tính Đổi biến Đổi cận Khi đó ∫ ∫ | || Vậy ∫ c ∫ ∫ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (26) TH.S ĐỖ XUÂN Tính Từng phần { { Khi đó ∫ | Vậy d ∫ ∫ Tính Từng phần { { Khi đó | ∫ Vậy c Tích phân hàm logarit ∫ Từng phần { HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 24 (27) TH.S ĐỖ XUÂN Ví dụ Tính các tích phân 25 b ∫ a.∫ Giải ∫ Từng phần { { Khi đó ∫ | Tính Đổi biến Đổi cận Khi đó ∫ | Vậy ∫ || b HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (28) TH.S ĐỖ XUÂN ∫ 26 Từng phần { { Khi đó | ∫ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (29) TH.S ĐỖ XUÂN Bài tập vận dụng Tính các tích phân 27 ∫ ∫ ∫ √ √ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) √ 10 ∫ 11 ∫ √ 12 ∫ 13 ∫ 14 ∫ √ 15 ∫ √ √ 16 ∫ 17 ∫ √ 18 ∫ 19 ∫ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (30) TH.S ĐỖ XUÂN 28 20 ∫ 21 ∫ 22 ∫ 23 ∫ √ 24 ∫ √ √ 25 ∫ √ 26 ∫ 27 ∫ 28 ∫ √ √ 29 ∫ √ 30 ∫ √ HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP (31)