Ung dung tich phan

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2... Theå tích của caùc vaät theå :..[r]

1

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG II TÍNH THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Download tại:

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Ví dụ

Cho hình phẳng giới hạn đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = x =

5

1

I = (2x + 1)dx

Giải: Ta có (đvdt)

(AD + BC).CD

S = =28

2

5

1 = 28

I = (x +x)

a) Dùng công thức hình học tính diện tích hp b) Tính tích phân sau

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Bài tốn: Tính diện tích hp

'

y = f(x) lt u c/[a;b] y =

x = a; x = b 

  

 o a

y = f(x)

x y

b

S

y = - f(x) B’

A’

x

o a b

y

y = f(x) S

B A

S’

- Nếu f(x) ≥ [a;b]

b a

S = f(x).dx

- Nếu f(x) ≤ [a;b] b 

a

S = S' = -f(x) dx

- Nếu f(x) ≥ [a;c] [d;b], f(x) ≤ [c;d]

 

1

c d b

a c d

S = S + S + S

= f(x).dx + -f(x) dx + f(x).dx  

b a

c d b

a c d

f(x) f(x) f(x) f(x) dx

=  dx +  dx +  dx  

b a

= f(x) dx

b a

= f(x) dx

b a

S = f(x) dx

 

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành

Bài tốn: Tính diện tích hp

'

y = f(x) lt u c /[a;b] y =

x = a; x = b

   

 o

a

y = f(x)

x y

b

S b

a

S = f(x) dx

 

Ví dụ: Tính diện tích hp giới hạn

3 y = x y =

x = -1; x =

    

Chú ý: Khi tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối

2 -1

S = x dx 3

-1

( - x ).dx + x dx

  17

4

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng

1

' '

u c/ u c/

[a;b] [a;b]

y = f (x) lt y = f (x) lt

x = a; x = b

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng

1

' '

u c/ u c/

[a;b] [a;b]

y = f (x) lt y = f (x) lt

x = a; x = b

      

- Xét TH f1(x) ≥ f2(x) ≥ x  [a;b]

Khi S = S1 - S2

b b b

1 2

a a a

f (x).dx - f (x).dx = (f (x) - f (x)).dx

   

b

1 a

S = f (x) - f (x).dx

 

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng

1 ' ' u c/ uc/ [a;b] [a;b]

y = f (x) lt y = f (x) lt

x = a; x = b

       Cách tính:

- Giải pt f1(x) = f2(x) (f1(x) - f2(x) = 0)

[a;b] x c x d       

- Tách tích phân thành

b c d b

1 2 2

a a c d

S = f (x) - f (x).dx = f (x) - f (x)dx + f (x) - f (x) dx + f (x) - f (x)    dx

c d b

1 2

a c d

= [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x)]dx  

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng:

b

1

a

S = f (x) - f (x).dx

  2 (x) (x) =

= - 4x +1 - 3x +

y = f x

x = 0; x =

y =

3

f 2x

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong

Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng

1 ' ' uc/ uc/ [a;b] [a;b]

y = f (x) lt y = f (x) lt

x = a; x = b

      

Ví dụ: Tính diện tích hp:

b

1

a

S = f (x) - f (x).dx

  2 (x) (x) =

= - 4x +1 - 3x +

y = f x

x = 0; x =

y =

3

f 2x

    

Giải: - Ta có f1(x) - f2(x) = x2 -x - = 0

x = -1 [0;3] x = (t/m)

  

 

- Ta có 2 1 1 2

0 2 2 ] 31

S = [f (x) - f (x)]dx + [f (x) - f (x) dx = (-x +x+2)dx + (x -x-2)dx



 

 

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong

Ví dụ: Cho hình phẳng sau

Nhóm 1: Hãy cho biết S1 giới hạn đường nào?

Nhóm 2: Hãy nêu cơng thức tính diện tích S1 bằng tích phân phá bỏ (khơng có) dấu giá trị tuyệt đối?

Nhóm 3: Hãy cho biết S2 giới hạn đường nào?

Tóm lại

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh

2 Hình phẳng giới hạn hai đường cong

Bài toán: Tính dt

'

y = f(x) lt u c/[a;b] y =

x = a; x = b

S      b a

S = f(x) dx

 

o a

y = f(x)

x y

b

S

Bài tốn: Tính dt

1 ' ' uc/ uc/ [a;b] [a;b]

y = f (x) lt S y = f (x) lt

x = a; x = b

       b a

S = f (x) - f (x).dx

 

Chú ý: Tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối

Cách tính: - Giải pt f1(x) - f2(x) =

- Tách tích phân đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân

[a;b] x c x d       

b c d b

1 2 2

a a c d

11 11 x y

O

x y

O

R R

S1 Ta có:

Ta có: 2

1

0

4

R

S  S  R  x

Đặt x = Rsint

Đặt x = Rsint 0;

2 t    

 

 

/

2

0 /

2

2 / 2

0

4 os

2 1 os2

sin 2 2

2

S R c tdt

R c t dt

t

R t R









 

 

 

    

 

 

V

Với Elíp tương tự tới Elíp tương tự ta có:a có:

S  ab

BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Bài tập nhà: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:

2

2 4

y x

y x

y

    

(2)

S = b

a

|f1(x)- f2(x)|.dx

Ví dụ :

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x3 -3x y = x Giải :

Xét PT hđộ gđiểm:

 x3 - 4x =



x3 -3x = x

x= x= x= -2

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

S= |x3- 4x|.dx

2 -2

(x3- 4x)dx

=

0 -2

| |+

0

(x3- 4x)dx



| 2 |

= -2x2)

4 x4

|( |-20 | + -2x2)

4 x4

2/ Tính diện tích hình tròn x2 + y2 = R2   2 1 2 2 ( ) ( ) (1) ( ) ( )

y f x R x c

R x R

y f x R x c

   



   

   



1( ) 2( ) 0

x R

f x f x

x R        

 2 2 

2 2 R R R R

S R x R x dx R x dx

          sin 1 2 sin 1 2

x R t t

x R t t

 

    

    

Đặt x = R sint; Với , 2

t    

 

 

2

2

2

2 1 sin cos

S R t R tdt

      2 2 2

2 2

2

1 cos2

2 cos 2

2 sin 2

2

t

R tdt R dt

t

R t R dvdt

                        Giaûi

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong

Bài toán: Tính dt hình phẳng

1

' '

uc/ u c/

[a;b] [a;b]

y = f (x) lt S y = f (x) lt

x = a; x = b

      

Ví dụ: Tính diện tích hp:

b

1

a

S = f (x) - f (x).dx

 

x y = e y = 1

x = 1; x = 2

    

Giải: - Ta có pt ex = 1

 x =  [1;2]

- Ta có x x

1

2

x

1

S = e - 1dx = (e - 1)dx = (e - x) = e - e - 1

 

17 17

 



x b x

a

y

O

CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH

CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH  

b

a

V S x dx

S(x) S(x)

18 18





x x

O h

y

S(x)

THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt chóp cụt

THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt chóp cụt

 

b

a

V S x dx

Ta có:

Ta có:

X

Xét phép: ét phép:

   

2 2

2 :

3

x h O

h

x

V S S x S x S

h

S Sh

V x dx

h

  

   

Cho kh

Cho khối chóp (nối chóp (nón)ón) có có diện tích đáy S, đường

diện tích đáy S, đường

cao h Tính thể tích khối

cao h Tính thể tích khối

chóp (n

chóp (nón) ón) đó.đó.

19 19

• Từ cơng thức cách tính thể tích khối nón, chóp, xác Từ cơng thức cách tính thể tích khối nón, chóp, xác

định cơng thức tính thể tích khối nón cụt chóp cụt?

định cơng thức tính thể tích khối nón cụt chóp cụt?

THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt

THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt

và chóp cụt

và chóp cụt





h’ x

O h

y

S’

S

Ta có:

Ta có:

 

   

 

2 3

2

'

2

2

' 3

' ' '

. 3

' ' 3

h

h

S S

V x dx h h

h h

h hh h

h h S

h H

V S SS S

  

 

 

   

20 20

O x

x y

THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY

THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY

f(x)

a b

Ta có:

Ta có:   2

b b

a a

V S x dx  y dx

V

Vậyậy:: 2

b

a

V  y dx

S(x)

Ví dụ:

1/ Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình giới hạn

bởi đồ thị hàm số y= sinx , đoạn [0;] quay quanh Ox

Ta coù:

sin2xdx 



0

 =

0





dx 2

cos2x

-1

V =

|0

(x - )

2 sin2x

=

2

π

= (ñ.v.t.t)

2



x y

2/ Tính thể tích y= x2-4x quay quanh Ox, với  x  4

4

1

4

5 x

3 16 + x 2 -x 5 1

= π( )

15 619

= π

Giaûi:

( )

∫

4

1

2

4 -8x +16x dx

x = π

( )

∫

4

1

2 - 4 x dx

x =

V π

23 23

Tương tự ta có:

Tương tự ta có:

O

x

x

b) Vật thể tròn xoay sinh cho x = g(y) liên tục [a;b], y = a, y= b

quay quanh Oy tích:

2

b

a