pp tich phan

PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH TRONG TÍNH PHÂN Nguyễn Văn Cường, THPT Mỹ Đức A, Hà Nội ĐT: 0127.233.45.98 - 04.33.741.526 Email: cuongvan12@gmail.com Đăng tải tại http://www.mathvn.com/2011/01/cac-phuong-phap-tinh-tich-phan-ien-hinh.html Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học nói riêng và trong Toán học nói chung,không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn có đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lý thuyết về hàm số. Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các môn khoa học khác như Vật lý Thiên văn học ,cơ học nó như là một giải pháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể Học sinh lớp 12 Khi ôn thi tốt nghiệp ,Thi đại học –cao đẳng thường rất gặp khó khăn khi giải các bài tập trong chuyên đề này. Những người mới học và làm quen với Tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết , đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán thực tế. Bài viết này xin nêu ra một số phương pháp điển hình thường được dùng để giải các bài tập về tích phân trong các kỳ thi Đại học. Nội dung bài viết cũng là nội dung cơ bản của đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi trong năm học 2010 đã được Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội xếp loại B. Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm song vì năng lực và thời gian có hạn ,rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để chuyên đề này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường ,góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài Tích phân trong các kỳ thi cuối cấp đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về phép tính vi phân –Tích phân trong những năm đầu học đại học. Xin vui lòng giới thiệu với các bạn đồng nghiệp và những người yêu toán chuyên đề : “Phương pháp và kỹ thuật điển hình tính tích phân” MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 2 I - Kỹ thuật biến đổi vi phân (đưa về bảng nguyên hàm) Khi sử dụng kỹ thuật bảng nguyên hàm ta cần lưu ý đến một số phép toán vi phân đơn giản sau: f (x)dx=dF(x) ,Trong đó F(x)- là một nguyên hàm của hàm sồ f(x) dx= 1 ( ) d ax b a + x k dx=d 1 ( ) 1 k x a k + + + sinxdx=d(-cosx) 2 2 2 ( ) dx d x x a x a x x a + + = + + + ; 2 (tanx) os dx d c x = ; 2 ( cot x) sin dx d x = - Một số công thức suy rộng sau cos sin kx kxdx c k = - + ò ; sin os kx c kxdx c k = + ò ; kx kx e e dx c k = + ò ; , ln kx kx a a dx c k R k a = + " Î ò Ví dụ 1( ĐHA -2010) Tính tích phân : 1 2 x 2 x x 0 x e 2x e I dx 1 2e + + = + ò Lời giải 1 1 1 2 2 0 0 0 (1 2 ) 1 2 1 2 x x x x x x e e e I dx x dx dx e e + + = = + + + ò ò ò ; 1 1 3 2 1 0 0 1 ; 3 3 x I x dx = = = ò 1 2 0 1 2 x x e I dx e = + ò = 1 0 1 (1 2 ) 2 1 2 x x d e e + + ò = 1 0 1 ln(1 2 ) 2 x e + = 1 1 2 ln 2 3 e + æ ö ç ÷ è ø Vậy I = 1 1 1 2 ln 3 2 3 e + æ ö + ç ÷ è ø Ví dụ 1( ĐHA -2009) Tính tích phaân 2 3 2 0 I (cos x 1)cos xdx p = - ò Lời giải ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 4 2 1 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 cos 1 cos cos cos , cos cos 1 sin cos 8 1 cos2 1 1 1 1 1 2sin sin (sinx) , cos cos2 sin2 15 2 2 2 2 4 4 I x xdx xdx xdx I x xdx x xdx x x x d I xdx dx dx xdx x x p p p p p p p p p p p p p = - = - = = - = + - + = = = = + = + = ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò Tính tích phân 3 x 1 dx I e 1 = - ò Ví dụ 3 ĐHKD -09) Tính tích phân 3 x 1 dx I e 1 = - ò Lời giải 3 3 3 x x x 3 x x x 1 1 1 1 1 e e e I dx dx dx 2 ln e 1 e 1 e 1 - + = = - + = - + - - - ò ò ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 3 3 2 2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1) = - + - - - = - + + + Ví dụ 1 (ĐHKB -03) Tính I= /4 2 0 1 2sin 1 sin2 x dx x p - + ò Lời giải: Nhận thấy d(1+sin2x)= 1 os2 2 c xdx , 1-2sin 2 x=cos2x nên ta có I = /4 /4 /4 2 /4 0 0 0 0 1 2sin os2 1 (1 sin2 ) 1 1 ln(1 sin 2 ) ln 2 1 sin2 1 sin2 2 1 sin 2 2 2 x c x d x dx dx x x x x p p p p - + = = = + = + + + ò ò ò Ví dụ 2 (ĐH KA-06) J = /4 2 2 0 sin 2 os 4sin x dx c x x p + ò Lời giải: Nhận thấy d(cos 2 x+4sin 2 x)=sin2xdx do đó ta có J= /4 2 2 0 sin 2 os 4sin x dx c x x p + ò = /4 2 2 2 2 0 1 ( os 4sin ) 3 os 4sin d c x x dx c x x p + + ò = 1 2 2 /4 2 0 2 ( os 4sin ) 3 c x x p + = 1 ( 10 2) 3 - Ví dụ 3 Tính K= 3 2 1 ln 2 ln e x x dx x + ò (ĐHKB-04) Lời giải: K = 3 2 3 2 2 1/3 2 3 3 1 1 1 ln 2 ln 1 3 2 ln ln (ln ) (2 ln ) (2 ln ) (3 3 2 2) 2 8 e e e x x dx x xd x x d x x + = + = + + = - ò ò ò Nhận xét 1: - Các tích phân trên có thể giải được bằng phương pháp đổi biến số song nếu ta khéo léo biến đổi vi phân thì đưa được về các tich phân cơ bản . -Dùng phép biến đổi vi phân đưa về bảng nguyên hàm cơ bản giúp Lời giải ngắn gọn,so với Phép đổi biến số thì không phải đổi cận ,Trong giải toán thêm một phép toán là thêm một nguy cơ sai. để làm rõ ưu điểm của phương pháp này ta xét bài toán sau Ví dụ 4: Tính L= ( ) ln ( ) ( ) ( )( ) b x a x b a dx x a x b x a x b + + é ù + + ë û + + ò với b>a>0 Lời giải: MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 4 Viết lại L= ( )ln( ) ( )ln( ) ( )( ) b a x a x a x b x b x a x b + + + + + + + ò dx = ln( ) ln( ) b a x a x b dx x b x a + + é ù + ê ú + + ë û ò = [ ] ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) b a x x d x b x b d x a + + + + + ò = [ ] ln( )ln( ) ln( )ln( ) ln ln( ) b b a a a d x b x b x a x b a b b + + = + + = + ò Nhận xét 2 -Đây là một trong những bài toán điển hình minh hoạ tính ưu việt cho phương pháp sử dụng phương pháp biến đổi vi phân đưa về bảng nguyên hàm -Một trong những phương pháp cơ bản nhất để tính tích phân lượng giác đó là biến đổi Vi phân đưa về bảng nguyên hàm cơ bản,khi đó ta cần dùng các công thức biến đổi lượng giác như hạ bậc ,nhân đôi ,tổng thành tích ta xét các ví dụ sau Ví dụ 5 Tính M= /2 sin 0 ( cos )cos x e x xdx p + ò (ĐH K D-05) Lời giải: M= /2 /2 sin 0 0 1 os2 (cos ) 1 2 4 x c x e d x dx e p p p + + = - + ò ò Ví dụ 6: Tính N= /3 2 2 /4 sin os 1 os xdx c x c x p p + ò Lời giải: N= /3 /3 /3 2 1/2 2 2 2 2 /4 /4 /4 2 sin tan 1 (2 tan ) (2 tan ) 5 3 2 1 os 2 tan os cos 1 os xdx xdx x d x c x x c x x c x p p p p p p - = = + + = - + + ò ò ò Ví dụ 7: Tính P= 2 3 1 2 0 1 x x e dx x + + ò Lời giải: P= 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 0 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 x x x x x e dx e x d x dx e d x e e e x - + + + + = + + = + = = - + ò ò ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 5 Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân bằng phương pháp biến đổi vi phân Vídụ 7 : Tính I= 0 1 sinx dx p + ò Nhận xét: Học sinh khi giải thường gặp sai lầm sau Đặt x=tanx/2 dx= 2 2 0 2 2 2 0 0 0 2 1 1 2 2 2 2 ; 2 (1 ) ( 1) 1 1 sinx (1 ) 1 sinx (1 ) tan0 1 t an 1 tan 1 2 2 dt t dx dt t d t x t t t p p p p p - + - - - = Þ = = + + = = - + + + + + + + + ò ò ò Do tan 2 p không xác định nên tích phân trên không tồn tại. Nguyên nhân sai lầm :Do tích phân là tổng vô hạn các hạng tử nên 2 0 tan 1 2 p - Þ + vẫn được thừa nhận. Lời giải đúng: I= 0 1 sinx dx p + ò = 0 1 os( ) 2 dx c x p p + - ò = 0 2 0 ( ) 2 4 tan( ) tan tan( ) 2 4 4 4 1 os ( ) 2 4 x d x x c p p p p p p p - = - = - - + - ò =2 Qua bài toán trên người thầy nên lưu ý với học sinh khi đổi biến số trước hết phải nghĩ ngay tới phép đổi biến có tồn tại hay không?( cũng giống như khi ta giải phương trình cần đặt điều kiện cho ẩn số nếu có) Ví dụ 8 I= 4 2 0 6 9 x x dx - + ò Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm sau I= 4 2 0 6 9 x x dx - + ò = 4 4 2 2 2 4 0 0 0 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 4 2 x x dx x d x - - = - - = = - ò ò Nguyên nhân sai lầm là phép biến đổi 2 ( 3) 3 x x - = - không tương đương đương trên [ ] 0,4 vì |x-3|= 3;3 4 3 ;0 3 x x x x - £ £ ì í - £ £ î Lời giẩi đúng là MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 6 I= 4 2 0 6 9 x x dx - + ò = 4 4 4 3 4 2 2 0 0 0 0 3 ( 3) ( 3) ( 3) | 3| ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) x dx x d x x d x x d x x d x - = - - = - - =- - - + - - ò ò ò ò ò = 2 2 3 4 0 0 ( 3) ( 3) | 5 2 2 x x- - - + = Ví dụ 9: Tính I= 2 2 2 ( 1) dx x - + ò Học sinh thường mắc sai lầm khi biến đổi như sau I = 2 2 2 ( 1) dx x - + ò = 2 2 2 ( 1) ( 1) d x x - + + ò = 2 2 1 4 | 1 3 x - - - = + Nguyên nhân sai lầm là do hàm số y= 2 1 ( 1) x + gián đoạn trên đoạn [ ] 2;2 - nên không sử dụng được công thức NeW ton –leibnitz như trên. Lời giải đúng là : hàm số y= 2 1 ( 1) x + không xác định tại x=-1 [ ] 2;2 Î - nên gián đoạn trên [ ] 2;2 - ,do vậy tích phân trên không tồn tại. Tổng kết: Để sử dụng được thành thạo kỹ thuật sử dung bảng nguyên hàm học sinh hiểu được bản chất của các công thức,phải hiểu công thức trong trạng thái động.khi đứng trước bài toán tính tích phân cần xem xét kỹ biểu thức dưới dẩu tích phân,nếu có ý tưởng sử dụng bảng nguyên hàm thì định đưa về công thức nào trong bảng nguyên hàm. Để làm được điều đó hoc sinh phải hiểu kỹ bản chất của công thức, có tư duy trong biến đổi vi phân một cách logic, để tiếp nhận nó một cách tự nhiên ,không gượng ép . Chẳng hạn khi hướng dẫn học sinh sử dung công thức 1 1 x x dx c a a a + = + + ò , học sinh phải hiểu giá trị x trong hai số x a và dx là giống nhau, nếu thay x trong hai số đó bởi một biểu thức khác thỉ công thức trên vẫn đúng ví dụ thay MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 7 X = 2t+1 thì ta có 1 (2 1) (2 1) (2 1) 1 t t d t c a a a + + + + = + + ò ,Nhưng nểu chỉ có dạng (2 1) t dt a + ò muốn sử dụng được công thức trên phải biến đổi dt = 1 (2 1) 2 d x + .nghĩa là ta đã biến đổi vi phân. Tương tự đối vói các nguyên hàm khác. Để luyện tập kỹ thuật trên ta có thể làm tương tự các bài tập sau 1/I= 4 3 sinx dx p p ò ; 2/J= 4 3 cos dx x p p ò ; 3/K= 32 3 1 x x dx - ò ;4/L= tan x dx ò ;5/ M= 4 dx cos x ò 6/N= 2 4 2 1 os 1 x x c x + + ò ; 7/ P= 2 1 ln (ln 1) e x x x + ò ; 8/Q= 2001 2 1002 (1 ) x dx x+ ò ; 9/y= 2 2 2 0 sin x cos 3sin 4 os xdx x c x p + ò ; 10/T= 3 3 5 6 sin os dx xc x p p ò ; 11/H= 4 6 6 0 sin 4 sin os xdx x c x p + ò II-Tính tích phân bằng cách đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạo hàm của một hàm số khi sử dụng kỹ thuật này ta chú ý đến các tính chất quan trọng sau · ( UV) ’ =UV ’ +U ’ V · ' ' ' 2 U U V UV V V - æ ö = ç ÷ è ø · ( ) ( ) ' ' U V UV dx d UV + = ò ò · ' ' 2 U V UV U dx d V V - æ ö = ç ÷ è ø ò ò Ví dụ 1 I= 2 1 2 ln ln e e x dx x æ ö + ç ÷ è ø ò (ĐH NT-00) Lời giải: Ta có ' ' ' 1 2 ln 2 ln .( ) (2 ln ) (2 ln ) ln x x x x x x x x + = + = MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, H Ni - www.MATHVN.com 8 Do ú I= 2 2 2 2 1 2 ln (2 ln )= 2 ln 2 2 2 ln e e e e e e x dx d x x x x e e x ổ ử + = = - ỗ ữ ố ứ ũ ũ Vớ d 2 J= 2 0 1 sinx 1 cos dx x p + + ũ (H -Dc -00) Li gii: J= 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 1 2sin os 1 sinx 1 2 2 tan tan 1 cos 2 2 2 os 2 os 2 2 tan 2 x x x x x x x x c x x e dx e dx e e dx d e x x x c c x e e p p p p p p ộ ự + ờ ỳ + ổ ử = = + = = ờ ỳ ỗ ữ + ố ứ ờ ỳ ở ỷ ổ ử = ỗ ữ ố ứ ũ ũ ũ ũ Nhn xột :Ngoi cỏch gii trờn ta cũn cú th gii nh sau Cỏch 2 Phõn tớch K= 2 2 2 1 2 0 0 0 1 sinx 1 sinx 1 cos 1 cos 1 cos x x x e dx e dx e dx K K x x x p p p + = + = + + + + ũ ũ ũ 2 2 2 2 2 1 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 (tan ) tan tan 1 cos 2 2 2 2 os 2 sin sin 1 cos 2 os 2 x x x x x x x x x x K e dx e dx e d e e dx x x c x x e e dx e e dx K K e K K e x x c p p p p p p p p p p p = = = = - + = - = - - ị = + - = + ũ ũ ũ ũ ũ ũ Cỏch 3: Cú th t 2 2 (1 cos ) sinx 1 sinx (1 cos ) (1 cos ) 1 cos x x x du u x x x dv e dx v e ỡ ộ ự + + ỡ = - = ù ù ờ ỳ + + ị + ớ ớ ở ỷ ù ù = = ợ ợ dx T ú ta cú K= 2 2 ' 2 2 2 2 0 2 2 2 1 sinx (1 cos ) sinx 1 e 2 ( ) 1 cos (1 cos ) (1 cos ) 2 (1 cos ) 1 2 ( ) 2 1 cos x x x x o o x o x e e e dx e dx x x x x e e e x p p p p p p p ộ ự + + - - = - - = ờ ỳ + + + + ở ỷ - - = + ũ ũ Vớ d 3 K = 2 2 . ( 2) x x e x + ũ dx Li gii: MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 9 K = 2 ' 2 2 2 ' . 4 4 2 1 1 1 4 4 ( ) ( ) ( 2) ( 2) ( 2) 2 2 4 ( ) 4( ) 2 2 x x x x x x x x x x x x e x x dx e e dx e dx e e e dx x x x x x e e e dx e C x x é ù + + - é ù = - = - = - + ê ú ê ú + + + + + ë û ë û - = - + + + ò ò ò ò ò Để luyện tập ta tính các tích phân sau I= 4 2 2 0 4 tan (1 tan ) 2 2 x x x x dx p é ù + + ê ú ë û ò HD: I= 2 tan 8 8 p p J= 1 2 2 0 ( 1) ( 1) x x e dx x + + ò HD: J=1 K= 2 sinx 0 (1 cos ) e x x dx p + ò HD: K= 2 e p III-Kỹ thuật đổi biến số 1/Đổi biến số dạng 1: Đổi biến số là một trong những phương pháp quan trọng nhất để tính nguyên hàm và tích Phân .Cơ sở của phương pháp đổi biến số dạng 1 là công thức sau , [ ( )] ( ) b a f u x u x dx ò = ( ) f u du b a ò Trong đó f(x) là hàm số liên tục và hàm số u(x) có đạo hàm liên tục trên K sao cho f[u(x) ] xác định trên K và ( ), ( ) u a u b a b = = . Áp dụng tính chất trên ta có quy tắc đổi biến sau Xét tích phân ( ) b a f x dx ò . Đặt t=V(x) khi đó ta biến đổi f(x)dx=g(t)dt do đó ( ) b a f x dx ò = ( ) g t dt b a ò và ( ), ( ) u a u b a b = = MATHVN.COM | www.MATHVN.com Nguyn Vn Cng, M c A, H Ni - www.MATHVN.com 10 Khi i bin s iu quan trng l chn c hm V(x) thớch hp sao cho tớch phõn vi bin mi phi n gin hn so vi tớch phõn ban u ,v gn lin vi vic i bin ú l phi i cn , ta xột mt s bi toỏn sau trc khi rỳt ra nhng kinh nghim trong vic la trn hm V(x). Vớ d 0(HKB-2010): Tớnh tớch phõn I = 2 1 ln (2 ln ) e x dx x x+ ũ ( ) 2 1 ln 2 ln e x I dx x x = + ũ ; 1 ln u x du dx x = ị = ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 2 2 2 2 u I du du u u u ổ ử = = - ỗ ữ ỗ ữ + + + ố ứ ũ ũ 1 0 2 ln 2 2 u u ổ ử = + + ỗ ữ + ố ứ ( ) 2 ln3 ln2 1 3 ổ ử = + - + ỗ ữ ố ứ 3 1 ln 2 3 ổ ử = - ỗ ữ ố ứ Vớ d 1: Tớnh I= 2 3 2 5 4 dx x x + ũ (HKA-03) Li gii: t t= 2 4 x + khi x= 5 ,t=3 x= 2 3 ,t=4. t 2 =x 2 +4 suy ra x 2 =t 2 - 4,tdt=xdx I= 2 3 2 5 4 dx x x + ũ = 2 3 2 2 5 4 xdx x x + ũ = 4 4 4 4 4 2 2 3 3 3 3 3 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) 1 ( 2) ( 4) 4 4 ( 2)( 2) 4 2 4 2 tdt dt t t d t d t dt t t t t t t t + - - - + = = = - = - - + - - + ũ ũ ũ ũ ũ 4 3 1 2 1 5 ln ln 4 2 4 3 t t - = + . Nhn xột 1: -Dng tng quỏt ca tớch phõn trờn l 2 ( ) b a dx mx n px qx c + + + ũ ngoi cỏch gii nh trờn l t t= 2 px qx c + + ta cũn cú th gii nh sau: t mx+n= 1 t . Sau ú chuyn tớch phõn trờn v bin mi t ta cng thu c kt qu trờn -i vi cỏc tớch phõn cú cha biu thc ( ) n f x ta thng ngh ti vic la chon t= ( ) n f x ( tr mt s trng hp s cú du hiu i bin s dng 2 s trỡnh by sau ).Ta xột thờm mt s vớ d lm sỏng t Vớ d 2 : Tớnh (HKA-04) [...]... 1 3 2 p 2 0 3 1 3 - K = ep - K 2 2 2 3 2 t ú ta cú K= ep - ( ep - K ) K = K nh vy ta khụng tớnh c tớch phõn trờn Hiờn tng ú gi l hin tng xoay vũng trong tớch phõn ú l iu m ta phi trỏnh khi tớnh tớch phan bng phng phỏp tng phn , Dng 4: b ũ P ( x)e kx dx a t ỡdu = P , ( x)dx ỡu = P( x) ù ịớ ớ 1 kx kx ợdv = e dx ùv = e dx k ợ Vớ d 1: 1 I= ũ ( x - 2)e2 x dx (HKD-06) 0 ỡdu = dx 1 ù 2x ịớ 1 2 x ị I = ( . Email: cuongvan12@gmail.com Đăng tải tại http://www.mathvn.com/2011/01/cac-phuong-phap-tinh -tich- phan- ien-hinh.html Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học nói riêng. giải được bằng phương pháp đổi biến số song nếu ta khéo léo biến đổi vi phân thì đưa được về các tich phân cơ bản . -Dùng phép biến đổi vi phân đưa về bảng nguyên hàm cơ bản giúp Lời giải ngắn