Đang tải... (xem toàn văn)
a Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN b Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một đường tròn cố định c Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN... Tác g[r]
(1)GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH Việc giải bài toán nhiều cách là phương pháp học tương đối hiệu Trong kỳ thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh THCS tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 – 2014 có bài toán sau: Bài toán: Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh CD cho CM = 2DM Gọi E là giao điểm đường thẳng AM và đường thẳng BD Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm E xuống cạnh AD, O và N là trung điểm DE và BC Chứng minh: a) Tứ giác ABOH nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN Sau đây tôi xin nêu số cách giải cho câu b Cách 1: Gọi K là giao điểm CE với AD Ta có: Δ AED=Δ CED (c.g.c) ⇒ ∠MAD =∠KCD ⇒ Δ ADM=Δ CDK ( g c g) ⇒ ∠AMD =∠CKD Mà ∠DKC=∠ KCB (so le trong) nên ∠ AMD =∠ KCB (1) A K H E D M Gọi I là giao điểm HE với BC, ta có: CI DE DM = = = Suy I là trung điểm CN IB EB AB Δ ENC Khi đó cân E nên ∠ ENC =∠KCB Từ (1) và (2) suy ∠ AMD =∠ ENC Do đó, tứ giác EMCN nội tiếp Mà ∠ NCM=90 nên ∠ MEN=900 Hay NE ⊥ AM (2) B Cách 2: Đặt cạnh hình vuông a Khi đó: a 2a CN= ;CM= ; MN=√ CN2 +CM2= N I A D 5a Do đó: CN + CM + MN = 2a Trên tia đối tia BC lấy điểm K, cho: KB = DM Ta có: Δ ADM=Δ ABK , suy ra: ∠ KAB=∠ DAM đó: ∠ KAM=90 Ta có: Δ AKN=Δ AMN (c.c.c) ⇒ ∠MAN =∠KAN=450K E B C N M C (2) Vậy tứ giác AENB nội tiếp (Vì có ∠ EAN =∠EBN=45 ) Mà ∠ ABN=900 nên ∠ AEN=90 Vậy NE ⊥ AM Cách 3: a Ta có: AF= AN= √ 3 a BF= BD= √ 3 AF √ 10 = Suy BF A D E Lại có: a NF= AN= √ EF=BD −BF −ED 1 5a ¿ a √ 2− a √ 2− a √ 2= √ 12 Suy ra: M (1) EF √ 10 = NF F B N C (2) Từ (1) và (2) ta có: AF EF = Khi đó: Δ AFE và Δ BFN đồng dạng với BF NF ⇒ ∠EAN =∠EBN=450 Suy tứ giác AENB nội tiếp Mà ∠ ABN=900 nên ∠ AEN=90 Vậy NE ⊥ AM Cách 4: Lấy các điểm K, P trên cạnh BC cho BK = KN = NP = PC Kẻ NKI//NH//PE(hình vẽ) AD+ CM a = Ta có: NH = AB+ NH 11 a = IK = 12 CM+NH a = EP= 12 a NP = EP Do đó: tan ENP=NP =3 AD tan AMD= =3 DM A D I H E M B K N P C (3) Suy ⇒∠ ENP =∠ AMD Suy tứ giác EMCN nội tiếp Mà ∠ NCM=90 nên ∠ MEN=900 Hay NE ⊥ AM Cách 5: Kẻ NK ⊥ BD a Ta có: KN= AC= √ A 4 KE=BD − BK − ED a √2 a √2 a √ ¿ a √ 2− − = 4 KN BN Suy ra: KE = Mà BA = Do đó: ΔEKN và Δ ABN đồng dạng với ⇒ ∠BAN =∠BEN Suy tứ giác AENB nội tiếp Mà ∠ ABN=900 nên ∠ AEN=90 Vậy NE ⊥ AM D E M O K B N C Cách 6: Chứng minh tam giác AEO đồng dạng với tam giác ANB Ta có: BD a √ a DE= = ⇒ OE= √ a √2 AO= ⇒ 4 A D AO =2 OE AB Do =2 BN ⇒ ΔABN ∞ Δ AOE ⇒ ∠ AEO=∠ ANB ⇒ AEB=∠ ANB E M O Suy tứ giác AENB nội tiếp Mà ∠ ABN=900 nên ∠ AEN=90 Vậy NE ⊥ AM B N Nhận xét: Thực chất đây là bài toán quen thuộc với bạn thích học toán, chí bài toán có tính chiều Chắc chắn còn có cách giải khác mong các bạn tiếp tục bổ sung Trong cách ta thấy CN + CM + MN = 2a Từ đây ta có thể phát biểu bài toán tổng quát sau: Cho hình vuông ABCD cạnh a Điểm M trên cạnh CD cho CM = m.a, trên cạnh BC lấy điểm N cho CN = n.a Gọi E là giao điểm đường thẳng AM và đường thẳng BD 2 Biết m+ n+ √ m + n =2 m, n là các số hữu tỉ Chứng minh: C (4) a) Đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng EN b) Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN Tác giả: Phan Đình Ánh Giáo viên: Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà – Hà Tĩnh Điện thoại: 0986 381 089 Email: info@123doc.org (5)