Phương pháp ACO và bài toán thời khóa biểu cho trường đại học

Ký hiệu là vectơ các trọng số heuristic của cạnh (trong bài toán TSP đó là vectơ có các thành phần là nghịch đảo của độ dài cạnh tương ứng), còn là vectơ biểu thị các thông tin học [r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN VĂN TUÂN

PHƯƠNG PHÁP ACO VÀ BÀI TOÁN THỜI KHOÁ BIỂU CHO TRƯỜNG ĐẠI HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN VĂN TUÂN

PHƯƠNG PHÁP ACO VÀ BÀI TOÁN THỜI KHOÁ BIỂU CHO TRƯỜNG ĐẠI HỌC

Ngành: Công nghệ Thông tin

Chuyên ngành: Hệ thống Thông tin

Mã số: 60.48.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS HOÀNG XUÂN HUẤN

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Hoàng Xn Huấn, người thầy đáng kính tận tình bảo, hướng dẫn tơi suốt q trình tìm hiểu, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Với kiến thức sâu rộng, nhiều năm nghiên cứu lĩnh vực tối ưu hóa phương pháp tối ưu hệ kiến thầy giúp hiểu rõ, sâu sắc nhiều tốn khó khăn gặp phải q trình nghiên cứu Thầy đưa góp ý chi tiết, tỉ mỉ q báu giúp cho tơi hồn thành luận văn

Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến Sĩ Đỗ Đức Đông Thạc sĩ Trần Ngọc Hà, người giúp đỡ giải khúc mắc trình viết chương trình để chạy thực nghiệm

Do thời gian kiến thức có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định Tơi mong nhận góp ý quý báu thầy cô bạn

Hà Nội, tháng 01 năm 2015

TĨM TẮT

ài tốn lập thời khóa biểu lĩnh vực nhiều người uan tâm tính ứng ng cao t chức giáo c, trường học giới, vấn đề đau đầu mà hàng năm bất k hệ thống trường học giới phải đối mặt ác tốn lập thời khóa biểu phong phú đa ạng b i ràng buộc yêu cầu t ng t chức

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu cá nhân ưới hướng dẫn giúp đỡ PGS.TS Hoàng Xuân Huấn Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý tác giả trước đưa vào luận văn Trong toàn nội dung nghiên cứu luận văn, vấn đề trình bày tìm hiểu nghiên cứu cá nhân tơi trích dẫn t nguồn tài liệu có ghi tham khảo rõ ràng, hợp pháp

Trong luận văn, tơi có tham khảo đến số tài liệu số tác giả liệt kê m c tài liệu tham khảo

Hà nội, tháng 01 năm 2016

MỤC LỤC

TÓM TẮT i

LỜI AM ĐOAN ii

MỤC LỤC iii

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ vi

DANH SÁCH BẢNG BIỂU vi

MỞ ĐẦU

hương GIỚI THIỆ I TO N P T ỜI A IỂ

1.1 ác toán lập thời khóa biểu

1.1.1 ài tốn lập thời khóa biểu cho trường ph thơng (School timetabling)

1.1.2 Bài toán xếp lịch thi (Examination timetabling)

1.1.3 ài tốn lập thời khóa biểu cho trường đại học ( niversity timetabling)

1.2 Các cách tiếp cận

hương P ƯƠNG P P TỐI Ư Đ N IẾN

2.1 T kiến tự nhiên đến kiến nhân tạo

2.1.1 Kiến tự nhiên

2.1.2 Kiến nhân tạo (Artificial Ant) 11

2.2 Phương pháp tối ưu đàn kiến 11

2.3 Đồ thị cấu trúc 12

2.4 Mơ tả thuật tốn ACO t ng qt 14

2.5 Các hệ kiến 16

2.5.1 Hệ kiến AS 16

2.5.2 Hệ kiến ACS 18

2.5.3 Hệ kiến MAX-MIN 20

2.5.4 Hệ kiến ba mức 22

2.5.5 Hệ kiến đa mức 23

2.5.6 Hệ kiến Smooth-Max Min 23

2.6 Một số vấn đề liên quan 24

2.6.1 Đặc tính hội t 24

2.6.5 Tham số bay 26

hương P ƯƠNG P P A O CHO BÀI TOÁN UTCP 27

3.1 Áp d ng thuật toán ACO cho toán UCTP 27

3.1.1 ây ựng đồ thị cấu trúc cho toán TP 27

3.1.2 Ma trận m i 28

3.1.3 Thông tin heuristic 28

3.1.4 Tìm kiếm c c 28

3.1.5 Thuật toán ghép cặp cực tìm lời giải hồn chỉnh 30

3.1.6 Mơ tả thuật toán 29

3.2 Các thuật toán ACO áp d ng cho toán UCTP 32

3.2.1 Thuật toán hệ kiến MMAS 32

3.2.2 Thuật toán hệ kiến Smooth-Max Min Ant System 34

hương T ỰC NGHIỆM 36

4.1 Dữ liệu thực nghiệm 36

4.2 Thực nghiệm 39

4.3 Kết 39

ẾT N 42

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

STT Từ viết tắt Từ cụm từ

1 ACO Ant Colony Optimization (Tối ưu hóa đàn kiến)

2 AS Ant System

(Hệ kiến AS)

3 ACS Ant Colony System

(Hệ kiến ACS)

4 MMAS Max-Min Ant System

(Hệ kiến MMAS)

5 SMMAS Smooth-Max Min Ant System

(Hệ kiến MMAS trơn)

6 MLAS Multi-level Ant System

(Hệ kiến đa mức MLAS)

7 Opt Optimization

8 Avg Average

9 TSP Travelling Salesman Problem ( ài toán người chào hàng)

10 g-best global-best

11 i-best iteration-best

12 UCTP University Course Timetabling Problem

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 2.1 Thể hành vi kiến tự nhiên

Hình 2.2: Thực nghiệm cầu đơi

Hình 2.3 Thí nghiệm b xung 10

ình 2.4 Đồ thị cấu trúc t ng quát cho toán cực trị hàm 14

Hình 2.5 Lựa chọn đỉnh 15

ình 2.6 Đặc tả thuật tốn ACO 15

ình 3.1 Đồ thị cấu trúc cho toán UCTP 27

DANH SÁCH BẢNG BIỂU

ảng 4.1 Giá trị tham số đầu vào cho ba loại liệu 39

ảng 4.2 ác tham số tĩnh sử d ng cho toán UCTP thuật toán đàn kiến 40

MỞ ĐẦU

ài tốn lập thời khóa biểu lĩnh vực nhiều người uan tâm tính ứng ng cao t chức giáo c, trường học giới, vấn đề đau đầu mà hàng năm bất k hệ thống trường học giới phải đối mặt ác tốn lập thời khóa biểu phong phú đa ạng b i ràng buộc yêu cầu t ng t chức

Bài tốn thời khóa biểu thuộc lớp NP khó[12] nên khó giải thuật tốn truyền thống Đến thuật tốn mơ tự nhiên tỏ phương pháp hữu hiệu để giải toán Thuật toán i truyền thuật tốn mơ tự nhiên dựa vào tiến hóa phát triển ngành di truyền học Gần phương pháp tối ưu hóa đàn kiến o Dorigo đề xuất số cách tiếp cận Đây hai thuật tốn tiêu biểu cho lớp thuật tốn mơ tự nhiên để giải uyết toán tối ưu khó nói chung tốn thời khóa biểu nói riêng

Trong nước ta, mơ hình đào tạo đại học theo niên chuyển sang đào tạo hệ tín tốn chưa nghiên cứu nhiều thực tế chưa có phần mềm sử d ng Với đề tài “Phương pháp ACO toán thời khoá

biểu cho trường Đại Học”, luận văn mạnh ạn nghiên cứu phương pháp giải cho

tốn lập thời khóa biểu trường đại học hệ tín theo mẫu toán chu n internet (www.metaheuristics.org) thực thực nghiệm thuật toán tối ưu đàn kiến Đối với thuật tốn tối ưu đàn kiến chúng tơi tìm hiểm hệ kiến áp ng cho toán thời khoá biểu bao gồm hệ kiến ACS, hệ kiến Max-Min Ant System(MMAS) đồng thời sử d ng qui tắc cập nhật mùi Smooth-Max Min Ant System(SMMAS) áp d ng cho bào toán iệu uả thuật toán áp d ng quy tắc cập nhật mùi Smooth-Max Min Ant System so với MMAS so sánh thực nghiệm dựa test chu n mạng (http://iridia.ulb.ac.be/~msampels/tt.data) Kết thực nghiệm cho thấy hiệu thuật tốn Smooth-Max Min tốt Max-Min Vì thời gian làm luận văn ngắn, nên chưa đưa phần mềm sử ng tốn này, hi vọng thời gian tới phát triển mơ hình áp ng cho tốn lập thời khóa biểu cho số trường đại học thực tế Việt Nam

Phần lại luận văn t chức sau:

Chương 1: Trong chương luận văn giới thiệu mô hình thời khóa biểu

Chương 2: Giới thiệu phương pháp tối ưu hóa đàn kiến lịch sử phát triển,

thuật toán A O, số nguyên tắc ứng ng A O

Chương 3: Trình bày cách thức chung để áp ng tối ưu đàn kiến giải

tốn UCTP (Đồng thời chương chúng tơi trình bày cải tiến c thể áp d ng tối ưu hóa đàn kiến với tốn UCTP)

Chương 4: Chương giới thiệu ữ liệu chu n cho toán TP,

Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN ẬP THỜI H A BIỂU

1.1 C n h h u

ác t chức giáo c giới hàng k phải đối mặt với cơng việc khó khăn đưa lịch học học viên đáp ứng nhiều ràng buộc khó phức tạp ài tốn lập thời khóa biểu tốn tối ưu t hợp NP-khó[12] trường hợp riêng tốn lập lịch đưa chuỗi kiện (thơng thường môn học, giảng môn thi) bao gồm giáo viên học viên khoảng thời gian định trước thỏa mãn tập hợp ràng buộc t ng loại thời khóa biểu khác ác ràng buộc bao gồm khả học tập sinh viên khả làm việc giáo viên, sức chứa ph ng học yêu cầu đáp ứng kiện

ài tốn thời khóa biểu bao gồm nhiều loại khác đưa xuất phát t loại kiện, loại t chức (trường học, viện nghiên cứu trường đại học ) loại ảnh hư ng khác đến ràng buộc toán t y thuộc vào t ng điều kiện khác Nói chung tốn lập thời khóa biểu chia làm ạng chung mô tả khác ài tốn lập thời khóa biểu cho trường ph thơng, tốn lập thời khóa biểu cho trường đại học, toán xếp lịch thi

1.1.1 B n h h u h ng h h ng S h ng

ài tốn lập thời khóa biểu cho trường ph thơng hay toán phân chia giáo viên, lớp học tuần tất môn học trường học

Với ba tập hợp cho trước tập giáo viên, tập lớp học tập tiết học ma trận ràng buộc số giảng giáo viên phân công ạy lớp ài toán yêu cầu phân chia giảng vào tiết cho không giáo viên hay lớp học có c ng giảng c ng thời gian giáo viên có số lượng định giảng với lớp học

1.1.2 Bài toán xếp lịch thi (Examination timetabling)

ài toán lập lịch thi yêu cầu đưa lịch số k thi cho trước với lượng thời gian cho trước tập hợp ph ng thi

ài toán lập lịch thi tương tự toán lập thời khóa biểu cho trường đại học ta cần phân biệt khác hai toán ài tốn lập lịch thi có đặc điểm khác sau đây:

 hỉ có k thi cho môn thi

 ác điều kiện xung đột nói chung hạn chế Thực tế, chấp nhận sinh viên bỏ ua giảng o chồng ch o mơn học khơng có sinh viên ph p bỏ ua k thi

 Và số ràng buộc khác ví hầu hết sinh viên có k thi ngày khơng có nhiều k thi liên tiếp với sinh viên

 Số tiết k thi khác nhau, ngược lại với tốn lập thời khóa biểu cho trường đại học cố định

 ó thể có nhiều k thi ph ng lại khơng thể có nhiều bài giảng diễn phòng thời điểm

1.1.3 B n h h u h ng h Un ng)

ài tốn lập thời khóa biểu cho trường đại học toán lập lịch cho giảng (lectures) vào t ng khóa học với số lượng ph ng học tiết học cho trước Điểm khác biệt với tốn lập thời khóa biểu trường ph thơng đặc trưng khóa học trường đại học, sinh viên tham ự khóa học, lớp học trường ph thông tạo b i tập hợp học sinh coi thực thể đơn Ở trường đại học, hai khóa học khác có tr ng sinh viên tham ự điều tạo xung đột lập lịch c ng tiết học

Thêm vào đó, giáo viên trường ph thơng ln ạy nhiều lớp trường đại học giáo sư thường ạy khóa học hay môn học k

Trong luận văn xét toán lập thời khóa biểu cho trường đại học theo hệ tín ( niversity ourse Timetabling Problem - UCTP) Để tiện cho việc so sánh thuật toán, toán lập thời khóa biểu cho trường đại học thu gọn thành toán mẫu chu n (được phát biểu tại: www.metaheuristics.org) để thực nghiệm với thuật tốn mơ tự nhiên

ài toán phát biểu sau

Có N mơn học sinh viên đăng ký tham gia cần xếp lịch vào tuần gồm K tiết học tương ứng ác môn học t chức ph ng học đáp ứng đủ điều kiện học tập môn học (mỗi ph ng học chứa lượng người định đáp ứng số điều kiện học tập cho trước, mơn học lại u cầu phải có số điều kiện học tập cho riêng nó)

Một lời giải hay thời khóa biểu chấp nhận tất môn học chia vào tiết học ph ng tương ứng thỏa mãn điều kiện ngặt sau:

- hông sinh viên tham ự môn học c ng thời gian - Ph ng học đủ lớn cho sinh viên đăng ký môn học đáp ứng đủ điều

kiện môn học

- hỉ có mơn học t chức ph ng bất k khoảng thời gian cho trước

Thêm vào đó, thời khóa biểu chấp nhận đánh giá số vi phạm ràng buộc mềm cho sau:

- Hạn chế số sinh viên phải tham ự môn học vào tiết cuối c ng ngày (tồn sinh viên tính vi phạm)

- Hạn chế sinh viên phải tham ự uá nhiều môn học liên tiếp ngày (trong thực nghiệm, có ba mơn học t chức liên tiếp với sinh viên ngày tính vi phạm)

- Hạn chế sinh viên học có mơn học ngày (một sinh viên tương ứng với vi phạm)

1.2 Các cách tiếp c n

Như biết, thuật tốn “v t cạn” (tìm kiếm theo bề rộng theo độ sâu), mặt nguyên tắc phương pháp tìm nghiệm tốn tốn có nghiệm, song thực tế, tốn NP-khó khơng thể áp d ng phương pháp này, ta phải phát triển khơng gian trạng thái lớn, trước tới trạng thái đích, mà o hạn chế thời gian tính tốn ung lượng nhớ, không cho ph p làm điều

Chẳng hạn, với tốn thời khóa biểu cho 40 lớp học, lóp có mơn học, lớp có 25 tiết tuần khơng gian tìm kiếm lớn 825*40 trường hợp Rõ ràng, ng phương pháp v t cạn thời gian chạy lâu, khó chấp nhận

Vì có nhiều thuật tốn đề xuất để giải gần toán NP khó ác thuật tốn tìm lời giải gần tối ưu xu phát triển toán chưa thể tìm lời giải tối ưu thực thuật tốn mơ theo tự nhiên thuật toán luyện kim, thuật toán di truyền, thuật toán hệ kiến Trong thuật tốn i truyền thuật toán hệ kiến tỏ phương pháp hữu hiệu

Thuật toán i truyền[12] kết hợp ý tư ng leo đồi thuật toán luyện kim Trong thuật toán “leo đồi” sử d ng kỹ thuật “nâng cấp lặp”, kỹ thuật áp d ng cho điểm đơn (điểm tại) khơng gian tìm kiếm Trong lần nâng cấp, điểm chọn số điểm lân cận điểm hành điểm cho kết tốt hàm m c tiêu Việc tìm kiếm kết thúc nâng cấp thêm Rõ ràng thuật toán leo đồi cho ta kết tối ưu c c bộ, kết ph thuộc vào lựa chọn điểm xuất phát, mặt khác ta thơng tín sai số kết tìm so với kết tối ưu toàn c c

Để khắc ph c nhược điểm trên, thuật toán leo đồi cải tiến cách tăng số lượng điểm xuất phát (điểm xuất phát cho lần chạy lựa chọn ngẫu nhiên chọn tùy theo kết lần chạy trước) Sự thành công hay thất bại lần chạy (cho ta kết tối ưu toàn c c hay c c bộ), ph thuộc vào lựa chọn điểm xuất phát hình dáng “mặt cong” hàm giá Nếu mặt cong có số cực trị địa phương tối ưu tồn c c tìm nhanh Nhưng ngược lại, số cực đại địa phương nhiều khả tìm tối ưu tồn c c nhỏ Chính mà kể sau cải tiến thuật toán chưa tốt

nhiệt độ T t ng bước (đến mức đó) Tuy nhiên T giảm đến mức định, phương pháp khơng tránh khỏi hạn chế việc khám phá khơng gian tìm kiếm s hội t địa phương

Bằng cách trì quần thể (tập hợp lời giải có thể) thuật tốn i truyền khuyến khích hình thành trao đ i thông tin cá thể (thể qua phép tráo đ i chéo) Một q trình tiến hóa thực quần thể tương đương với tìm kiếm khơng gian lời giải Sự tìm kiếm đ i hỏi cân hai m c đích tìm lời giải tốt khám phá khơng gian tìm kiếm

Chương PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU ĐÀN KIẾN

Ở chương luận văn tìm hiểu toán UCTP số cách tiếp cận để giải tốn, chương luận văn tìm hiểu phương pháp tối ưu đàn kiến để giải toán

2.1 Từ kiến tự nh ên ến kiến nhân t o

Những hình ảnh nhận thức đặc biệt đàn kiến đơn giản phát triển hồn tồn mị mẫm Trong thực tế, điều quan trọng nghiên cứu loài kiến hành vi liên lạc kiến cá nhân với môi trường, dựa việc sử d ng sản ph m hóa chất lồi kiến Các hóa chất gọi mùi (vết mùi)

2.1.1 Kiến tự nhiên

hi tìm đường đi, đàn kiến trao đ i thông tin gián tiếp hoạt động theo phương thức tự t chức Phương thức đơn giản giúp cho đàn kiến thực công việc phức tạp vượt xa khả t ng kiến, đặc biệt khả tìm đường ngắn t t đến nguồn thức ăn (xem hình 2.1) (mặc dù, kiến khơng có khả đo độ ài đường đi) iến chịu ảnh hư ng vết mùi kiến khác ý tư ng thiết kế thuật toán ACO

Hình 2.1 Thể hành vi kiến tự nhiên

nguồn thức ăn kiến khác khám phá theo phương thức chọn ngẫu nhiên, có định hướng theo nồng độ vết mùi

Con kiến chịu ảnh hư ng vết mùi kiến khác, ý tư ng để thiết kế thuật tốn ACO

Thí nghiệm cầu :

Có nhiều thực nghiệm nghiên cứu hành vi để lại vết m i theo vết mùi loài kiến Thực nghiệm, thiết kế b i Deneubourg đồng nghiệp [15] dùng cầu đôi nối t t kiến tới nguồn thức ăn, minh họa hình 2.2 Họ thực nghiệm với tỉ lệ độ ài đường hai nhánh khác cầu đơi, độ dài nhánh dài độ dài nhánh ngắn

Trong thực nghiệm thứ nhất, cầu đơi có hai nhánh ( hình 2.2.a) an đầu, kiến lựa chọn đường cách tự o t t đến nguồn thức ăn, hai nhánh có kiến đi, sau thời gian kiến tập trung theo nhánh Kết giải thích sau an đầu khơng có vết mùi hai nhánh, o kiến lựa chọn nhánh bất k với xác suất Một cách ngẫu nhiên, có nhánh có số lượng kiến lựa chọn nhiều nhánh Do kiến để lại vết mùi trình di chuyển, nhánh có nhiều kiến lựa chọn có nồng độ mùi lớn nồng độ mùi nhánhcòn lại Nồng độ mùi cạnh lớn ngày lớn ngày có nhiều kiến lựa chọn Cuối cùng, tất kiến tập trung nhánh.Thực nghiệm cho thấylà tương tác c c kiến với thông tin gián tiếp vết m i để lại cho ph p điều chỉnh hoạt động vĩ mô đàn kiến

Trong thực nghiệm thứ hai (xem hình 2.2 b), độ dài nhánh dài gấp đơi độ dài

nhánh ngắn (tỉ lệ ) Trong trường hợp này, sau thời gian tất kiến chọn đoạn đường ngắn ũng thực nghiệm thứ nhất, ban đầu đàn kiến lựa chọn hai nhánh nhau, nửa số kiến theo nhánh ngắn nửa theo nhánh ài (mặc dù thực tế, tính ngẫu nhiên nhánh nhiều kiến lựa chọn nhánh kia) Nhưng thực nghiệm có điểm khác biệt quan trọng với thực nghiệm thứ nhất: Những kiến lựa chọn theo nhánh ngắn nhanh chóng quay tr lại t phải lựa chọn nhánh ngắn nhánh dài, kiến thấy nồng độ mùi nhánh ngắn cao nồng độ m i nhánh ài, o ưu tiên lựa chọn theo nhánh ngắn Tuy nhiên, thời gian đầu tất kiến theo nhánh ngắn hơn.Phải khoảng thời gian bầy kiến lựa chọn theo nhánh ngắn Điều minh chứng bầy kiến sử d ng phương thức thăm , tìm đường

Một điểm thú vị quan sát xem xảy điều trình tìm kiếm hội t , lại xuất đường t t đến nguồn thức ăn Việc thực nghiệm sau an đầu t t đến nguồn thức ăn có nhánh dài sau 30 phút, thêm nhánh ngắn (xem hình 2.3) Trong trường hợp này, nhánh ngắn thường không kiến chọn mà chúng tập trung nhánh ài Điều giải thích sau nồng độ vết mùi cạnh dài cao bay vết mùi diễn chậm nên đại đa số kiến lựa chọn nhánh dài (có nồng độ vết mùi cao).Hành vi tiếp t c củng cố kiến chọn theo nhánh ài, có nhánh ngắn xuất Việc bay vết m i chế tiện lợi cho việc tìm đường mới, nghĩa việc bay giúp kiến uên đường tối ưu địa phương tìm thấy trước để tìm khám phá đường mới, tốt

Hình 2.3 Thí nghiệm b xung

2.1.2 Kiến nhân t o (Artificial Ant)

Thực nghiệm cầu đôi cho thấy đàn kiến tự nhiên sử d ng luật di chuyển theo xác suất, dựa thơng tin địa phương để tìm đường ngắn hai địa điểm Vết mùi đàn kiến cho ph p liên tư ng tới cách học tăng cường (reinforcement learning) toán chọn tác động tối ưu[2], gợi m mơ hình mơ cho tốn tìm đường ngắn hai nút (tương ứng t nguồn thức ăn) đồ thị, tác tử (agent) đàn kiến nhân tạo

Tuy nhiên, toán ứng d ng đồ thị thường phức tạp hơn.T đỉnh có nhiều cạnh, nên mơ thực hành vi đàn kiến tự nhiên nhiều kiến lu n qu n o hiệu thuật tốn Vì vậy, người ta dùng kỹ thuật đa tác tử (multiagent) mơ đàn kiến nhân tạo, kiến nhân tạo có khả nhiều so với kiến tự nhiên Kiến nhân tạo (về sau luận án ta gọi đơn giản kiến) có nhớ riêng, có khả ghi nhớ đỉnh thăm hành trình tính độ ài đường chọn Ngồi ra, kiến trao đ i thơng tin với nhau, thực tính tốn cần thiết, cập nhật m i…

Sử d ng mô hình kiến nhân tạo này, Dorigo (1991) [15] xây ựng thuật toán Hệ kiến (AS) giải toán người chào hàng Hiệu thuật toán so với phương pháp mô tự nhiên khác SA GA kiểm chứng thực nghiệm Thuật toán sau phát triển có nhiều ứng d ng phong phú, gọi chung làphương pháp A O

2.2 Phương h ố ưu n ến

Tối ưu đàn kiến (Ant Colony Optimization - ACO) phương pháp metaheuristic đề xuất b i Dorigo vào năm 1991[14] dựa ý tư ng mơ cách tìm đường t t tới nguồn thức ăn ngược lại kiến tự nhiên để giải gần tốn TƯT NP-khó

các mô tự nhiên khác SA (mô luyện kim) GA (giải thuật di truyền) Thuật toán sau phát triển có nhiều áp d ng phong phú thực tế, gọi chung phương pháp A O

Theo ý tư ng này, thuật toán ACO sử d ng thông tin heuristic kết hợp thông tin học tăng cường qua vết mùi kiến nhân tạo (artificial ant) để giải toán tối ưu t hợp khó cách đưa tốn tìm đường tối ưu đồ thị cấu trúc tương ứng xây dựng t đặc điểm t ng toán c thể Thuật toán A O hệ kiến (Ant System - AS) giải toán Người chào hàng TSP, đến thuật toán A O áp ng cách phong phú để giải nhiều toán tối ưu t hợp khác hiệu uả n i trội chứng tỏ thực nghiệm

Nhờ thành uả to lớn việc ứng ng phương pháp tối ưu đàn kiến vào giải toán tối ưu t hợp khó m lĩnh vực nghiên cứu ứng ng thu hút uan tâm đông đảo nhà khoa học giới, Dorigo được ội đồng châu u trao giải thư ng đặc biệt Marie urie (Marie Curie

Excellence Award) trao hai năm lần giành cho năm nhà khoa học có nhiều đóng

góp cho khoa học công nghệ châu u vào ngày 05 11 2003 ho đến nay, hội nghị đàn kiến t chức lần (ANT 98, ANT 2000, ANTS 2002, ANTS 2004, ANTS 2006, ANTS 2008) hội nghị có khoảng 30-40 báo cáo cơng trình nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm có ý nghĩa khoa học ứng ng uan trọng góp phần chứng tỏ A O phương pháp tối ưu m hiệu uả (xem http://iridia.ulb.ac.be/~ants/)

2.3 Đồ thị cấu trúc

t toán TƯT t ng t ưới dạng tốn cực tiểu hóa (S,f,Ω), S tập hữu hạn trạng thái, f hàm m c tiêu xác định S, c n Ω ràng buộc để xác định tập S có thành phần lấy t tập hữu hạn C Các tập S, Ω có đặc tính sau:

1) Ký hiệu tập dãy độ dài không { } hi đó, phương án xác địnhb i vectơ

2) Tồn tập ánh xạ t lên cho không rỗng với , tập xây dựng t tập nhờ m rộng ưới

3) T ta m rộng thành sau

ii) Giả sử m rộng chưa thuộc T tập ràng buộc , xác định tập , cho với

m rộng

iii) Áp d ng thủ t c m rộng t phần tử cho phép ta xây dựng phần tử

Như nói chương 1, toánTƯT xem tốn tìm kiếm vectơ độ dài khơng q đồ thị đầy đủ có đỉnh gán nhãn tập Để tìm lời giải chấp nhận được, ta xây dựng đồ thị đầy đủ với tập đỉnh , đỉnh tương ứng với thành phần Các lời giải chấp nhận vectơ xác định theo thủ t c m rộng hay m rộng ngẫu nhiên

Thông thường, tốn thuộc loại NP-khó, người ta đưa phương pháp heuristic tìm lời giải đủ tốt cho toán Các thuật toán ACO kết hợp thông tin heuristic với phương pháp học tăng cường, mơ hành vi đàn kiến, để tìm lời giải tốt

Mỗi cạnh nối đỉnh có trọng số heuristic để định hướng chọn thành phần m rộng thành phần cuối trạng thái (theo thủ t c m rộng nêu trên) Ký hiệu vectơ trọng số heuristic cạnh (trong toán TSP vectơ có thành phần nghịch đảo độ dài cạnh tương ứng), vectơ biểu thị thông tin học tăng cường (gọi vết m i, ban đầu kh i tạo giá trị >0) Trường hợp đặc biệt ph thuộc vào , thông tin gắn với đỉnh Không làm tính t ng uát, ta x t trường hợp thông tin gắn vào cạnh

Ta gọi đồ thị đồ thị cấu trúc tốn tối ưu t hợp, tập đỉnh, tập cạnh, thông tin gắn với cạnh T cạnh, xây dựng tập nhờ m rộng tập theo thủ t c Nếu khơng có thơng tin heuristic ta xem có thành phần

Hình 2.4 Đồ thị cấu trúc t ng quát cho toán cực trị hàm

2.4 Mơ tả thu t tốn ACO t ng qt

Sử d ng điều kiện kết thúc (có thể theo số bước lặp hoặc/và giới hạn thời gian chạy), ta ng đàn kiến có con, tiến hành lặp trình xây dựng lời giải đồ thị cấu trúc sau Tại lần lặp, kiến chọn ngẫu nhiên đỉnh

làm thành phần kh i tạo { } thực xây dựng lời giải theo thủ t c bước ngẫu nhiên Dựa lời giải tìm được, đàn kiến thực cập nhật mùi theo cách học tăng cường

Thủ tục bước ngẫu nhiên:

Giả sử m rộng chưa thuộc T tập ràng buộc , xác định tập , cho với

m rộng Đỉnh để m rộng, chọn với

xác suất sau

{

[ ] [ ]

∑ [ ] [ ]

̅

(2.3)

Hình 2.5 Lựa chọn đỉnh

Để tiện trình bày, sau ta xem và không phân biệt với

Cập nhật mùi:

Tùy theo chất lượng lời giải tìm được, vết mùi cạnh điều chỉnh tăng giảm t y theo đánh giá mức độ ưu tiên tìm kiếm sau ượng mùi cập nhật theo quy tắc cập nhật mùi khác cho thuật tốn khác Vì vậy,quy tắc cập nhật m i thường dùng làm tên gọi thuật toán, chúng có dạng t ng quát là:

(2.2)

trong số thuộc khoảng (0,1) tỷ lệ lượng mùi bị bay

Procedure Thuật toán ACO; Begin

Kh i tạo tham số, ma trận mùi, kh i tạo kiến;

repeat

for to

Kiến xây dựng lời giải;

end-for

Cập nhật mùi;

Cập nhật lời giải tốt nhất;

Until (Điều kiện kết thúc);

Đưa lời giải tốt nhất;

End;

Hình 2.6 Đặc tả thuật toán ACO

Nhận xét chung thuật toán ACO:

1) Việc tìm kiếm ngẫu nhiên dựa thơng tin heuristic tr nên linh hoạt mềm d o miền rộng so với phương pháp heuristic có Do đó, cho ta lời giải tốt tìm lời giải tối ưu

2) Học tăng cường thông qua thông tin cường độ vết mùi cho phép t ng bước thu hẹp khơng gian tìm kiếm, mà khơng loại bỏ lời giải tốt, o nâng cao chất lượng thuật toán

Chú ý Khi áp d ng phương pháp A O cho toán c thể, ba yếu tố sau có ảnh

hư ng định đến hiệu thuật toán:

1) Xây dựng đồ thị cấu trúc thích hợp Trong m c 2.2.1 việc xây dựng đồ thị cấu trúc để tìm lời giải cho tốn theo thủ t c khơng khó hó khăn với tốn cỡ lớn, khơng gian tìm kiếm rộng, đ i hỏi ta sử d ng ràng buộc cách hợp lý để giảm miền tìm kiếm kiến

2) Chọn thơng tin heuristic Thông tin heuristic tốt tăng hiệu thuật tốn Tuy nhiên, nhiều tốn khơng có thơng tin đánh giá chúng hi đó, ban đầu thuật tốn đơn chạy theo phương thức tìm kiếm ngẫu nhiên, vết mùi thể định hướng học tăng cường thuật toán thực

3) Chọn quy tắc cập nhật mùi Quy tắc cập nhật mùi thể chiến lược học thuật toán Trong đồ thị cấu trúc thông tin heuristic ph thuộc vào toán c thể, quy tắc cập nhật mùi lại yếu tố ph d ng thường ng để đặt tên cho thuật tốn Có nhiều quy tắc cập nhật m i đề xuất, luận văn tìm quy tắc thích hợp cho hai loại tốn, tùy theo thơng tin heuristic ảnh hư ng nhiều hay tới thủ t c tìm kiếm lời giải

2.5 Các hệ kiến 2.5.1 Hệ kiến AS

Hai bước thuật toán AS xây dựng lời giải kiến cập nhật mùi Trong AS, lời giải tìm dựa phương pháp heuristic (chẳng hạn phương pháp tham ăn) xác định vết mùi kh i tạo Giá trị vết mùi kh i tạo cho tất cạnh là: số kiến, độ dài lời giải tìm thuật

toán heuristic Lý lựa chọn kh i tạo vết mùi q thấp,q trình tìm kiếm có khuynh hướng hội t hành trình tìm được, dẫn đến việc tìm kiếm sa lầy vào vùng này,làm cho chất lượng lời giải không tốt Nếu kh i tạo vết mùi cao, phải nhiều vòng lặp bay m i cạnh không tốt cập nhật b sung thêm mùi cho cạnh tốt để thể hướng việc tìm kiếm đến vào vùng khơng gian có chất lượng tốt

Xây dựng lời giải

Trong thuật toán AS, kiến đồng thời xây dựng lời giải an đầu, kiến đặt ngẫu nhiên thành phố Ở bước, kiến sử d ng xác suất theo phương thức tỉ lệ ngẫu nhiên (ran om proportional) để chọn đỉnh C thể, kiến đỉnh lựa chọn đỉnh với xác suất:

{

[ ] [ ]

∑ [ ] [ ]

̅

(2.3)

trong

giá trị heuristic, hai tham số định đến ảnh hư ng

tương uan thông tin mùi thông tin heuristic, đỉnh lân cận đỉnh kiến đến (là tập đỉnh kiến chưa đến, xác suất đỉnh không thuộc 0) Theo quy tắc ngẫu nhiên này, xác suất lựa chọn cạnh tăng theo giá trị thông tin mùi thông tin heuristic Vai trò hai tham số sau , thành phố gần lựa chọn, thuật tốn tương đương với thuật tốn chọn ngẫu nhiên theo nghịch đảo độ dài cạnh, khơng có học tăng cường Nếu , có thơng tin học tăng cường biểu thị qua vết m i sử d ng,khơng có thơng tin heuristic Nếu lớn, thuật tốn nhanh chóng bị tắc nghẽn (tất kiến lựa chọn hành trình) lời giải tìm hội t lời giải tối ưu địa phương

Để cài đặt, kiến trì nhớ chứa thông tin thành phố ua Thông tin nhớ ng để xác định thành phố lân cận phù hợp (2.3) ơn nữa, thơng tin nhớ giúp kiến tính độ dài hành trình

Liên quan đến việc xây dựng lời giải, có hai cách để thực hiện: xây dựng lời giải

song song xây dựng Theo cách xây dựng song song, bước tất kiến di chuyển sang đỉnh tiếp theo, với cách xây dựng t ng kiến xây dựng lời giải (kiến xây dựng xong đến kiến tiếp theo) Trong AS, hai cách xây dựng nhau, khơng có ảnh hư ng gì.Điều khơng với thuật tốn ACS

Cập nhật mùi

Sau tất kiến xây dựng xong hành trình, vết mùi cập nhật sau Trước tiên, tất cạnh bị bay theo tỉ lệ không đ i, sau cạnh có kiến ua thêm lượng mùi Việc bay m i tất cạnh thực sau

(2.4)

trong hệ số bay hơi.Tham số sử d ng để tránh tích t vết mùi nhiều cạnh giúp cho kiến “ uên” uyết định sai lầm Trên thực tế, cạnh không kiến lựa chọn vết mùi nhanh chóng bị giảm theo cấp số nhân Sau bay hơi, tất kiến để lại vết mùi cạnh ua

∑ (2.5)

trong lượng mùi kiến cập nhật cạnh kiến ua Giá trị bằng:

{

(2.6)

trong độ dài hành trình kiến xây dựng.Giá trị tính t ng độ dài cạnh thuộc hành trình Theo cơng thức (2.6), cạnh thuộc hành trình tốt cập nhật nhiều Như vậy, cạnh có nhiều kiến sử d ng thuộc hành trình ngắn, cập nhật mùi nhiều hơn.Do kiến lựa chọn nhiều bước lặp sau

Hiệu thuật toán AS so với phương pháp metaheuristic khác giảm kích thước tốn tăng, có nhiều nghiên cứu tập trung cải tiến thuật tốn AS

2.5.2 Hệ kiến ACS

- Thứ nhất, khai thác kinh nghiệm tìm kiếm mạnh AS,thông ua việc sử d ng quy tắc lựa chọn dựa thơng tin tích lũy nhiều

- Thứ hai, chế bay m i để lại mùi cạnh thuộc vào lời giải tốt đến lúc (Global-best: G-best)

- Thứ ba, tăng cường việc thăm o đường Mỗi lần kiến ua cạnh vết mùi bị giảm cạnh Sau tìm hiểu chi tiết điểm khác nêu

Xây dựng lời giải

Trong thuật toán ACS, kiến đứng đỉnh ,sẽ lựa chọn di chuyển đến đỉnh theo qui tắc:

{ { [ ] }

(2.7)

trong biến ngẫu nhiên, phân bố [0,1], tham số cho trước biến ngẫu nhiên, lựa chọn theo phân bố xác suất (2.3) với Nói cách khác, với xác suất kiến lựa chọn khả tốt có thể, dựa kết hợp thông tin học t vết mùi thơng tin heuristic (trong trường hợp này, ta nói kiến khai thác thơng tin học).Ta nói với xác suất kiến thực khám phá cạnh Điều chỉnh tham số cho phép thay đ i mức độ khai thác lựa chọn tập trung tìm kiếm quanh lời giải G-best khám phá hành trình khác

Cập nhật mùi tồn cục

Trong ACS có kiến tìm lời giải G-best ph p để lại mùi sau lần lặp C thể, với cạnh thuộc lời giải G-best cập nhật sau:

(2.8)

trong

, độ dài lời giải G-best Điều quan trọng cần ý

trong ACS vết m i cập nhật bao gồm bay để lại mùi cho cạnh thuộc (chứ cho tất cạnh AS) Tham số

tham số bay hông giống AS, (2.4) (2.5) (2.8) vết m i để lại giảm theo tham số Kết việc cập nhật vết m i thay đ i theo trung bình trọng số vết mùi cũ lượng m i để lại

Cập nhật mùi cục

Ngoài việc cập nhật mùi tồn c c, ACS cịn sử d ng chế cập nhật mùi c c Việc cập nhật mùi c c thực cạnh có kiến ua theo cơng thức:

(2.9)

trong hai tham số Giá trị giá trị kh i tạo mùi cho tất cạnh Theo thực nghiệm giá trị tốt cho 0.1, giá trị là

,

số thành phố, độ dài hành trình theo thuật tốn heuristic tham ăn iệu

của thuật toán cập nhật mùi c c thể chỗ kiến ua cạnh vết mùi cạnh bị giảm, làm cho kiến lựa chọn lại cạnh Nói cách khác, việc cập nhật mùi c c làm tăng khả khám phá cạnh chưa sử d ng Trên thực tế, hiệu cách cập nhật mùi chỗ không bị tắc nghẽn (nghĩa là, kiến không bị dồn vào đường nào) AS

Đối với AS, kiến xây dựng hành trình song song hay khơng ảnh hư ng Nhưng A S, cơng việc có ảnh hư ng, ACS sử d ng chế cập nhật mùi c c Trong thực nghiệm, thuật toán ACS yêu cầu kiến đồng thời xây dựng hành trình, khơng có kết thực nghiệm chứng tỏ lựa chọn tốt

ACS thuật toán A O sử d ng danh sách ứng cử viên để hạn chế số lượng lựa chọn trình xây dựng lời giải Danh sách ứng cử viên bao gồm lựa chọn đánh giá tốt theo số tiêu chí heuristic Trong TSP, danh sách ứng cử viên cho thành phố thành phố gần với Theo cách này, danh sách ứng cử viên xây dựng trước bắt đầu tìm kiếm cố định suốt trình tìm kiếm Khi kiến đỉnh , kiến lựa chọn số ứng cử viên chưa thăm.Trong trường hợp tất thành phố danh sách ứng cử viên thăm, chọn thành phố chưa thăm anh sách Trong toán TSP, kết thực nghiệm cho thấy việc sử d ng danh sách ứng cử viên làm tăng

chất lượng lời giải làm giảm độ phức tạp

2.5.3 Hệ kiến MAX-MIN

Thuật toán MMAS (Max-Min Ant System) o Stut le oos đề xuất năm 2000 [7] với bốn điểm thay đ i so với AS

- Thứ hai, để khắc ph c nhược điểm thay đ i thứ nhất, MMAS đưa miền giới hạn cho vết mùi, vết mùi thuộc [ ]

- Thứ ba vết m i ban đầu kh i tạo hệ số bay nhỏ nhằm

tăng cường khám phá giai đoạn đầu

- Điểm thay đ i cuối vết mùi kh i tạo lại tắc nghẽn khơng tìm lời giải tốt sau số bước

Cập nhật mùi

Sau tất kiến xây dựng lời giải, vết m i cập nhật thủ t c bay giống AS (công thức 2.4), thêm lượng mùi cho tất cạnh thuộc lời giải tốt sau

(2.10)

trong

dùng G-best dùngI-best để cập

nhật m i Sau vết mùi bị giới hạn đoạn [ ] sau

{

[ ]

(2.11)

Nói chung, MMAS dùng I-best G-best thay phiên Rõ ràng, việc lựa chọn tần số tương đối cho hai cách cập nhật mùi ảnh hư ng đến hướng tìm kiếm Nếu ln cập nhật G-best việc tìm kiếm sớm định hướng quanh G-best cập nhật I-best số lượng cạnh cập nhật mùi nhiều o việc tìm kiếm giảm tính định hướng

Giới hạn vết mùi

Trong MMAS sử d ng giới hạn giới hạn ưới đối với vết mùi tất cạnh để tránh tình trạng tắc nghẽn Đặc biệt, việc giới hạn vết mùi có ảnh hư ng đến giới hạn xác suất đoạn [ ]ph c v lựa chọn đỉnh , kiến đỉnh với Chỉ | |

Dễ thấy, thời gian dài, cận vết mùi

độ dài

hành trình tối ưu Dựa kết đó, MMAS cập nhật lại cận

hơn cận Tuy nhiên, hữu ích việc thiết đặt giá trị vết mùi kh i

tạo lại

Khởi trị khởi tạo lại vết mùi

Khi bắt đầu thuật toán, vết mùi tất cạnh thiết đặt cận vết mùi Cách kh i tạo vậy, kết hợp với tham số bay nhỏ cho phép làm chậm khác biệt vết mùi cạnh Do đó, giai đoạn đầu MMAS mang tính khám phá

Để tăng cường khả khám phá, MMAS kh i tạo lại vết mùi gặp tình trạng tắc nghẽn (Thuật tốn kiểm tra tình trạng tắc nghẽn dựa thống kê vết mùi cạnh) sau số bước lặp khơng tìm lời giải tốt

MMAS thuật toán nghiên cứu nhiều số thuật toán ACO có nhiều m rộng Một cải tiến kh i tạo lại vết mùi, cập nhật mùi dựa lời giải tốt tìm tính t kh i tạo lại vết mùi thay cho G-best Một cải tiến khác sử d ng luật di chuyển theo kiểu ACS

Thuật tốn MMAS tập trung tìm kiếm cạnh thuộc vào lời giải tốt mà không phân biệt cạnh khơng ng với cạnh có ng khơng thuộc lời giải tốt giảm khả khám phá b Nếu chọn minlớn

thuật tốn gần với tìm kiếm ngẫu nhiên ựa thông tin heuristic giảm hiệu uả học tăng cường

2.5.4 Hệ kiến ba mức

Để khắc ph c nhược điểm hai uy tắc cập nhật m i trên, cạnh sử ng có xu hướng hội t 1( min) cạnh thường sử ng hội t úc

này so sánh i,j với min MMAS phạm vi tìm kiếm điều

khiển nhờ tỷ lệ 1, 2,g(w(t))

Quy tắc cập nhật mùi đề xuất lai hai quy tắc nói trên, theo quy tắc vết mùi cạnh (i, j) cập nhật tồn c c theo cơng thức (2.10) đó:















,

))

(

(







g

w

t

j

i (2.12)

)

(

)

,

(

i

j

w

t

)

(

)

,

(

:

i

j

s

l

l



2.5.5 Hệ kiến ứ (xem [1]):

Quy tắc cập nhật m i đa mức cải tiến uy tắc ba mức uá trình học tăng cường thực 1 2 xích xa c n ngược lại uá trình tìm kiếm

ngẫu nhiên, s ĩ có điều o theo ui tắc cập nhật m i (2.13) (2.14) cạnh có kiến ua tiến 1 c n cạnh thuộc hành trình

kiến tốt tiến 2, theo cách cập nhật mùi khơng cần q trình bay

hơi vịng lặp hai cận điều khiển tăng lên cạnh khơng thay đ i mà cạnh thuộc hành trình kiến cạnh thuộc hành trình kiến tốt tiến hai cận coi cạnh sử d ng bị bay Về mặt ý tư ng cải tiến đẹp lại vơ c ng gây khó khăn cho người làm thực nghiệm phải điều chỉnh tỷ lệ thích hợp việc tăng hay giảm tỷ lệ 2

C p nh t i on in : kiến đỉnh i đến đỉnh j cạnh (i,j)

được cập nhật m i sau:

1

)

(





 

 ij

ij (2.13)

C p nh t i o in : sau tất kiến tìm hành trình

các cạnh thuộc hành trình kiến tốt (i-best g-best) cập nhật m i theo công thức sau:

2

)

(





 

 ij

ij (2.14)

ban đầu cạnh có cường độ m i ij kh i tạo 0, uá trình chạy hai cận 1 2 điều chỉnh tăng lên

2.5.6 Hệ kiến Smooth-Max Min

Theo quy tắc MMAS việc tìm kiếm tập trung quanh lời giải tốt tìm được, cịn cạnh khơng thuộc lời giải có cường độ vết mùi nhanh chóng t t min ơn nữa, việc thay

( ( ))

L w t b i max không ảnh hư ng tới việc học tăng cường Để tăng hiệu thuật toán quy tắc Max-Min trơn [1] đề xuất sau:

ij

(1 )

Trong max ij

min

( , ) ( )

( , ) ( )

i j w t

i j w t



   

 (2.16)

Với cách cập nhật mùi SMMAS cạnh khơng thuộc hành trình kiến có cường độ vết mùi giảm chậm min làm tăng khả tìm kiếm Đồng thời cách cập nhật mùi SMMAS không thời gian điều khiển vết mùi nằm [ min,

max] cách cập nhật mùi MMAS

Ta thấy thuật tốn SMMAS có số ưu điểm sau so với ACS MMAS 1) Với A S MMAS, để xác định 0 hay min, max người ta cần tìm lời giải theo phương pháp heuristic ựa vào giá trị hàm m c tiêu Vì giá trị hàm m c tiêu nhận ngẫu nhiên, nên khó xác định tốt tham số cho học tăng cường Quy tắc cập nhật cho ph p ta xác định tham số đơn giản hợp lý hơn, c thể: SMMAS ta không cần xác định xác giá trị min, max mà cần xác định tỉ lệ min, max Trong thực nghiệm nên xác định qua tỉ lệ min, max Cần nhấn mạnh rằng, việc cần lựa chọn tỉ lệ min, max đơn giản thời gian thực nghiệm nhiều so với việc lựa chọn c thể hai tham số min, max

2) Việc thêm mùi cho cạnh thuộc lời giải tốt bước lặp thuật toán ACS MMAS, ta phải xây dựng hàm để tính lượng m i thêm dựa chất lượng lời giải kiến xây dựng Ví d , tốn TSP, ACS MMAS sử d ng hàm nghịch đảo độ ài đường kiến xác định Điều 66 khó khăn áp ng ACS (hoặc MMAS) toán Tuy nhiên, SMMAS 3-LAS không cần phải xây dựng hàm

3) Dễ dàng kiểm tra thuật tốn có c ng độ phức tạp MMAS A S, ph p tốn MMAS khơng phải tính hàm m c tiêu lượng mùi cập nhật so sánh để giới hạn vết mùi khoảng [ min, max] Theo cách cập nhật SMMAS 3-LAS, vết mùi khoảng [ min, max]

2.6 Một số vấn ề liên quan 2.6.1 Đặc tính hội tụ

1) , (2.17) 2) = với cạnh thuộc lời giải tối ưu (2.18) Mơ hình Gutjahr khơng áp d ng cho A S Trong trường hợp MMAS không sử d ng thông tin heuristic, Stüt le Dorigo [3] chứng minh rằng:

đủ lớn , (2.19)

o (2.20)

Các tác giả suy kết cho thuật toán ACS Với giả thiết tìm lời giải tối ưu sau hữu hạn bước, Stützle Dorigo suy vết mùi cạnh thuộc lời giải tối ưu tìm hội t đến , vết mùi cạnh không thuộc lời giải hội t

Plelegrini Elloro sau thời gian chạy, đa số vết mùi cạnh tr nên bé có số cạnh có giá trị vết mùi lớn vượt trội

2.6.2 ACO kết hợp với tìm kiế ị hương

Môt số tài liệu với phương pháp metaheuristic, cách tiếp cận đầy hứa hẹn cho phép nhận lời giải có chất lượng cao kết hợp với thuật tốn tìm kiếm địa phương

Mơ hình ACO bao gồm tìm kiếm địa phương Sau kiến xây dựng xong lời giải, áp d ng tìm kiếm địa phương để nhận lời giải tối ưu địa phương.Việc cập nhật m i thực cạnh thuộc lời giải tối ưu địa phương ết hợp xây dựng lời giải với tìm kiếm địa phương cách tiếp cận có triển vọng, thực tế, cách xây dựng lời giải ACO có sử d ng lân cận khác với tìm kiếm địa phương Thực nghiệm cho thấy khả kết hợp tìm kiếm địa phương cải tiến lời giải cao

2.6.3 Thông tin heuristic

2.6.4 Số ượng kiến

Như nói trên, khơng sử d ng tìm kiếm địa phương thơng tin heuristic (hoặc khơng có), giai đoạn đầu vết mùi khơng thể giúp kiến tìm đường ẫn tới lời giải tốt Nếu sử d ng số lượng kiến ít, giai đoạn đầu khơng tìm lời giải tốt vậy, việc cập nhật m i cập nhật dựa lời giải không tốt hi đó, hướng việc tìm kiếm xung quanh lời giải khơng tốt o thuật tốn khơng hiệu Có thể khắc ph c phần nhược điểm cách tăng số kiến, để tăng khả tìm lời giải tốt vịng lặp Khi có sử d ng tìm kiếm địa phương thơng tin heuristic mạnh, sử d ng nhiều kiến lãng phí

2.6.5 Tham số hơ

Chương PHƯƠNG PHÁP ACO CHO BÀI TOÁN UTCP

3.1 Áp dụng hương h ACO cho tốn UCTP

Các kiến tìm đường đồ thị xây dựng đồng nghĩa với việc xếp môn học vào tiết học tương ứng, chi tiết trình bày phần xây dựng đồ thị cấu trúc, sau mơn học phân vào tiết học ghép với ph ng tương ứng đáp ứng đủ điều kiện thuật toán ghép cặp cực có lời giải hồn chỉnh Thuật tốn có sử d ng thủ t c tìm kiếm địa phương nhằm cải tiến lời giải cho kiến có lời giải có số vi phạm ràng buộc ngặt

3.1.1 â ựng hị ấu h n UCTP

Một công việc uan trọng việc áp ng phương pháp tối ưu hóa A O metaheuristic ánh xạ toán vào đồ thị cấu trúc tương ứng đường đồ thị thể lời giải chấp nhận Để giải uyết toán, Socha đồng đề xuất (xem [11]) đồ thị với tập đỉnh x T kiến theo anh sách môn học ứng với môn học e E (E tập môn học) kiến lựa chọn tiết học t T (T tập tiêt học) tương ứng Mỗi môn học chọn ứng với tiết học có nhiều mơn học học tiết (vì có nhiều ph ng học khác nhau)

Hình 3.1 Đồ thị cấu trúc cho toán UCTP

Các kiến bắt đầu đỉnh Start, theo anh sách môn học ứng với môn học ei E kiến lựa chọn tiết học t T, kết thúc đỉnh Stop hi kiến xây dựng xong hành trình

Mơn học ei xếp vào tiết học t T với xác suất e t i

p

, ph thuộc vào ma trận m i

ExT i

A

)

[

,

]

(

1 min max ( min

,

max

R

) với bất k thông tin heuristic

)

(

A

i1 tính theo cơng thức sau:



 

 







T e i e i

i t e i t e i i t e

A

A

A

A

A

A

p

i i i i i       

))

(

(

))

(

(

))

(

(

))

(

(

))

(

),

(

(

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1

, (3.1)

trong thơng tin m i thơng tin heuristic có đối số lời giải thành phần Ai-1 Sự ảnh hư ng thông tin m i thông tin heuristic đánh giá uá hai tham số





Phần trình bày cách khác định nghĩa thông tin m i thông tin heuristic

3.1.2 M n

Thông tin m i thể xác việc đặt môn học vào tiết học Với cách thể này, ma trận m i cho b i

(

A

i

)



, i 1, , thông tin m i không ph thuộc vào lời giải thành phần Ai Và trường hợp này, thông tin m i gắn liền với đỉnh đồ thị cạnh đồ thị Nhược điểm cách thể thông tin m i xác việc đặt mơn học vào tiết học khơng đóng vai tr uan trọng nhiều đến việc đánh giá thời khóa biểu hay lời giải tốt mà uan trọng xếp uan hệ mơn học Ví với thời khóa biểu tốt, ta hồn tồn thay đ i trật tự số nhóm tiết học mà không làm thay đ i chất lượng thời khóa biểu Và hệ uả cách thể làm giảm khả học uá trình xây ựng lời giải, có mơn học xếp vào tiết học “không đúng” làm cho môn học khác không chọn tiết học “đúng” nữa, điều làm cho thời khóa biểu tồi nhiều

ràng có nhiều cách thể thông tin m i, với nhiều ràng buộc đa ạng phải thỏa mãn toán, khó để thiết kế mơ hình thơng tin m i chứa tồn thơng tin liên uan iện nay, hệ kiến thường sử ng cách thể cách tốt có

3.1.3 Thông tin heuristic

) ( ) ( ) , ( ) , (     i t e i t e A V

A (3.2)

trong V(e,t)(Ai1) số vi phạm ràng buộc nảy sinh thêm thành phần (e, t) vào lời giải thành phần Ai-1 àm V tính theo t ng số vài tất vi phạm ràng buộc ngặt ràng buộc mềm Tuy nhiên o tính tự nhiên tốn TP, độ phức tạp tính tốn tính số loại vi phạm ràng buộc cao

húng ta lựa chọn lợi điểm thông tin heuristic để hướng ẫn uá trình xây ựng lời giải số v ng lặp tốn với hạn chế thời gian cho trước Vì phải xem x t đánh giá lợi điểm việc sử ng thơng tin heuristic khơng làm tăng chất lượng lời giải xây ựng thuật tốn MMAS có kết hợp sử ng tìm kiếm địa phương hi không sử ng thủ t c tìm kiếm địa phương, thơng tin heuristic không cải thiện chất lượng lời giải khơng c ng mức độ sử ng tìm kiếm địa phương

3.1.4 Tìm kiếm cục

Trong thủ t c tìm kiếm c c ta định nghĩa hai ph p ịch chuyển: Phép dịch chuyển thứ chuyển môn học sang tiết học khác, phép dịch chuyển thứ hai tráo đ i hai tiết học hai môn học tương ứng cho Như lân cận lời giải lời giải nhận cách sử d ng hai phép dịch chuyển

Thủ t c tìm kiếm c c thực sau Ta uyệt danh sách môn học theo thứ tự ngẫu nhiên, môn học x t vi phạm ràng buộc ta thử tất phép dịch chuyển sang lân cận (mỗi lần dịch chuyển tính bước lặp) Trước tiên cố gắng giảm ràng buộc ngặt, thời khóa biểu chấp nhận tìm (khơng vi phạm ràng buộc ngặt), ta cố gắng giảm ràng buộc mềm

Mơ tả chi tiết thủ t c tìm kiếm c c với số bước lặp cho trước sử d ng hai phép dịch chuyển mô tả

Procedure Local Search;

1 Sinh thứ tự ngẫu nhiên môn học

Ev_count  0; đặt trỏ trước đầu danh sách môn học số bước local search  0;

2 Ev_count  Ev_count+1; // di chuyển trỏ sang môn học

If ( Ev_count = N+1 ) { //khơng cịn vi phạm điều kiện cứng

Ev_count  0; goto 3;

}

if ( đủ số bước local search ) END LOCAL SEARCH;

c) Áp d ng thuật toán cặp ghép cựa đại cho lân cận v a tìm d) If ( số ràng buộc ngặt lân cận giảm ) {

chuyển sang lân cận; Ev_count  0;

goto 2;

}

e) goto (b);

3 Ev_count  Ev_count + 1;

If ( Ev_count = N+1 ) END LOCAL SEARCH;

a) If (môn học không gây ràng buộc mềm) goto 3; b) tính lân cận ( N1, N2 )

tăng số bước local search;

if ( đủ số bước local search ) END LOCAL SEARCH;

c) Áp d ng thuật toán cặp ghép cựa đại cho lân cận v a tìm d) If ( số ràng buộc mềm lân cận giảm ) {

chuyển sang lân cận; Ev_count  0;

goto 3;

}

goto (b); End;

3.1.5 Thu t toán ghép cặp cự tìm l i giải hồn chỉnh

Với đồ thị cấu trúc cho ta biết môn học t chức vào tiết học nào, việc xác định phịng học ta sử d ng thuật tốn cặp ghép cực tìm thời khóa biểu hồn chỉnh Với tiết học, áp d ng thuật tốn thực đồ thị hai phía gồm hai tập: tập môn học xếp tiết học tập phịng, với quan hệ gh p mơn học vào phịng học phòng học phải đáp ứng đủ điều kiện mơn học

3.1.6 M ả hu n

Thuật toán áp ng mơ hình chu n thuật tốn đàn kiến kết hợp với đặc trưng toán Người ta sử ng tập hợp bao gồm m kiến v ng lặp, kiến xây ựng lời giải (hay xếp môn học-tiết học) cách đặt môn học tương ứng một-một vào tiết học ác môn học tiền xử lý cách xếp theo thứ tự giảm ần số ràng buộc cạnh môn học Sự lựa chọn tiết học cho môn học hàm ngẫu nhiên ựa vào thông tin m i

) (

) ,

(et Ai mô tả công thức (3.1) an đầu tham số hệ kiến ma trận

cường độ m i kh i tạo t y theo thuật toán đàn kiến áp ng cập nhật theo cách (online, sau kiến tìm tiết học cho môn học offline, sau kiến xây ựng lời giải mình) Sau kiến xây ựng xong lời giải, xếp môn học-tiết học chuyển thành thời khóa biểu cách sử ng thuật toán gh p cặp Và sau đàn kiến sinh thời khóa biểu mình, thời khóa biểu đánh giá hàm thích nghi (fitness funtion), sau lời giải i-best áp ng thủ t c tìm kiếm địa phương tìm láng giềng tốt thay lời giải láng giềng uối c ng thủ t c cập nhật m i toàn c c cho ma trận cường độ m i, cũng thực theo tính chất t ng hệ kiến

Thu n ệ kiến cho toán lập thời khóa biểu Input: ộ ữ liệu I

h i tạo tham số h i tạo ma trận m i

Tính c(e, e ) với

(

e

,

e

'

)

E

2

Tính (e)

Sắp xếp E theo thứ tự 

while (điều kiện kết thúc chưa xảy ra) for a = to m

uá trình xây ựng lời giải kiến a





0

A

for i = to |E|

ựa chọn tiết học t cách ngẫu nhiên theo công thức xác suất e t

i

p

, cho môn học ei





A

end for

C lời giải hồn chỉnh sau áp ng thuật tốn gh p cặp cho An Citeration-bestbest(C, Citeration-best)

end for

p ng thủ t c tìm kiếm địa phương cho iteration-best (có khơng) Cglobal-bestbest(C, Citeration-best)

p ng thủ t c cập nhật m i offline

end while

Output: Một lời giải chấp nhận global-best cho ữ liệu I

iải th ch chi tiết t th ng tin thu t toán:

- Tiền xử lý thông tin môn học

    ) ' ,

( ee

c (3.3)

(e) e E\ e c(e, e )



(bậc e) (5)

- Định nghĩa thứ tự toàn phần



cho môn học sau: ) ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) (

' d e d e d e d e l e l e

e

e      

trong l:EN hàm ánh xạ

Trong thuật toán đàn kiến áp ng cho toán, lời giải hay thời khóa biểu vi phạm ràng buộc ngặt lựa chọn để cải tiến tìm kiếm địa phương

3.2 Các thu n ACO ược áp dụng cho toán UCTP

Các quy tắc cập nhật m i áp d ng cho toán UCTP bao gồm quy tắc cập nhật mùi sau:

 Quy tắc Max Min Ant System (hệ kiến MMAS)

 Quy tắc Smooth-Max Min Ant System (hệ kiến MMAS trơn)

3.2.1 Thu t toán hệ kiến MMAS cho toán UCTP

Trong hệ kiến MMAS không sử d ng cập nhật mùi online mà cập nhật mùi offline cho cạnh thuộc global best

Theo uy tắc vết m i bay lượng theo hệ số bay  thành phần (e,t) thuộc lời giải hay thời khóa biểu tốt cộng thêm lượng m i mà thuật toán MMAS chọn số sau:















) , ( ) , ( ) , (

)

1

(

1

)

1

(

t e t e t e





(3.4)

Theo uy tắc cập nhật m i MMAS, vết m i bị khống chế thuộc khoảng ]

,

[ max sau:

      ) , ( max ) , ( t e t

e (3.5)

Thu n ệ kiến MMAS cho toán lập thời khóa biểu Input: ộ ữ liệu I

max 1/

(e,t)  max (e,t) E x T Tính c(e, e ) với

(

e

,

e

'

)

E

2

Tính (e)

Sắp xếp E theo thứ tự 

while (điều kiện kết thúc chưa xảy ra) for a = to m

uá trình xây ựng lời giải kiến a





0

A

for i = to |E|

ựa chọn tiết học t cách ngẫu nhiên theo công thức xác suất e t

i

p

, cho môn học ei





i1

i

A

A

{

(

e

i

,

t

)

}

end for

C lời giải hồn chỉnh sau áp ng thuật tốn gh p cặp cho An Citeration-bestbest(C, Citeration-best)

end for

p ng thủ t c tìm kiếm địa phương cho iteration-best (có khơng) Cglobal-bestbest(C, Citeration-best)

p ng thủ t c cập nhật m i offline

end while

Output: Một lời giải chấp nhận global-best cho ữ liệu I

nếu (e,t) Cbest

ngược lại

nếu (e,t) 

nếu (e,t)  max

3.2.2 Thu t toán Smooth-Max Min Ant System(2011)

Thuật tốn Smooth-Max Min Ant System Hồng Xn huấn cộng [1] đề xuất d ng giải toán TSP, thuật tốn SMMAS (Smooth-Max Min Ant System) Thuật toán SMMAS đánh giá tốt r rệt so với thuật toán MMAS, áp d ng cho tốn TSP

Theo quy tắc MMAS việc tìm kiếm tập trung quanh lời giải tốt tìm được, cịn cạnh khơng thuộc lời giải có cường độ vết mùi nhanh chóng t t min Để tăng hiệu thuật toán cách sử d ng quy tắc Max-Min trơn (SMMAS) sau

(3.6)

Trong

(3.7)

Thu n ệ kiến SMMAS cho toán lập thời khóa biểu Input: ộ ữ liệu I

max

(e,t)  max (e,t) E x T Tính c(e, e ) với

(

e

,

e

'

)

E

2

Tính (e)

Sắp xếp E theo thứ tự 

while (điều kiện kết thúc chưa xảy ra) for a = to m

uá trình xây ựng lời giải kiến a





0

A

for i = to |E|

ựa chọn tiết học t cách ngẫu nhiên theo công thức xác suất e t

i

p

, cho môn học ei





i1

i

A

A

{

(

e

i

,

t

)

}

end for

C lời giải hồn chỉnh sau áp ng thuật tốn gh p cặp cho An Citeration-bestbest(C, Citeration-best)

end for















max ) , (et

nếu (e,t) Cbest

ngược lại nếu (e,t) Cbest

p ng thủ t c tìm kiếm địa phương cho iteration-best(có khơng) Cglobal-bestbest(C, Citeration-best)

p ng thủ t c cập nhật m i offline

end while

Chương THỰC NGHIỆM

4.1 Dữ liệu thực nghiệm

Thực nghiệm cho thuật toán hệ kiến MAX-MIN, hệ kiến SMMAS cho liệu chu n lấy internet(http://iridia.ulb.ac.be/~msampels/tt.data)

Định d ng liệu input u:

Một tập tin chứa liệu input có dạng sau (tất số số nguyên, ng ngăn cách b i khoảng trống)

 Dòng thứ nhất: Số kiện, số phòng, số chức năng, số sinh viên

 Các dòng ghi kích thước(số lượng học viên chứa) phòng

 Các dòng ghi giá trị cho biết sinh viên có tham gia kiện thứ i hay khơng nghĩa sinh viên không tham gia kiên, nghĩa sinh viên tham gia kiện

Ví d , có sinh viên kiện bên ưới:

1 0 1 0 0

Sự kiện

0

Sinh viên 1 0

0

Nghĩa

- Sinh viên thứ tham gia kiện thứ

- Sinh viên thứ tham gia kiện thứ kiện thứ - Sinh viên thứ tham gia kiện thứ

 Các dòng nhận gái trị cho biết số phòng thứ i có đáp ứng chức k hay khơng Nhận giá trị phịng khơng thỏa mãn chức năng, ph ng đáp ứng chức

Ví d , có phòng chức sau

Chức

0

phòng 1 0

0

Nghĩa

- Phòng thứ thỏa mãn chức thứ

- Phòng thứ hai thỏa mãn chức thứ chức thứ hai - Phòng thứ ba thỏa mãn chức thứ ba

 Các dòng cho t ng kiện cho biết kiện j có cần yêu cầu ph ng đáp ứng chức k hay không Nhận giá trị kiện không đ i hỏi chức năng, đ i hỏi

Ví d , có kiện chức ưới

1 0 1 0 0

Chức

0

Sự kiện 1 0

0

Nghĩa

- Sự kiện thứ cần chức thứ hai

- Sự kiện thứ hai cần chức thứ chức thứ hai - Sự kiện thứ ba cần chức thứ ba

Các liệu chia làm loại kích cỡ nhỏ, v a lớn tương ứng với tham số đầu vào cho bảng ưới

ảng 4.1 Giá trị tham số đầu vào cho ba loại liệu

Nhỏ Vừa Lớn

Số môn học 100 400 400

Số tiết học/tuần** 45 45 45

Số phòng học 10 10

Số đặc trưng/phòng học 5 10

Số đặc trưng đáp ứng/phòng học 3

Tỷ lệ số đặc trưng sử dụng (%) 70 80 90

Số sinh viên 80 200 400

Số môn học tối đa/sinh viên 20 20 20

Số sinh viên tối đa/môn học 20 50 100

Số tiết học = tiết/ngày * ngày/tuần = 45tiết/tuần

D ng đầu ghi số vi phạm ràng buộc tìm

Đối với kiện, theo thứ tự tập tin đầu vào dòng ghi: Số lượng khe thời gian, số lượng phòng

- Số lượng khe thời gian số nguyên 44 đại diện khe thời gian phân b cho kiện

- Các phòng phòng số gán cho kiện Ph ng đánh số theo thứ tự tập tin dữu liệu đầu vào, bắt đầu t số không

4.2 Thực nghiệm

hương trình thực nghiệm viết ngơn ngữ lập trình C++, máy tính cấu hình: Intel(R) Pentium(R) CPU B940 @ 2.2 GHz 2.00GHZ, RAM 4GB, Windows Kết đưa số ràng buộc mềm bị vi phạm, trung bình số ràng buộc vi phạm mềm sau 10 lần chạy cho test Nếu lời giải vi phạm ràng buộc ngặt coi khơng tìm lời giải

Khi thiết lập tham cho cho chạy thực nghiệm hai chương trình MMAS SMMAS chúng tơi sử d ng tham số chu n Socha [12] sử d ng kết chạy thực nghiệm demo MMAS để so sánh Điểm khác biệt chúng tơi sử d ng số vịng lặp cho lần chạy làm điều kiện d ng thay giới hạn thời gian chạy báo tác giả Với SMMAS việc chọn tham số

max, min cần chọn tỉ lệ cho hai tham số cho phù hợp cho kết tốt

Trong demo thực nghiệm thấy chọn max = 1000* cho kết tốt

Các tham số khác thiết lập MMAS

ảng 4.2 Các tham số tĩnh sử d ng cho toán UCTP thuật toán đàn kiến

Các tham số MMAS SMMAS

 0.30 0.30

max 1/

max=1000*

min 0.0078 0.001

 1.0 1.0



0.0 0.0

4.3 Kết

ảng 4.4 So sánh hai thuật toán hệ kiến SMMAS hệ kiến MMAS với liệu điển hình,

các liệu nhỏ chạy 500 bước lặp (500 bước tìm kiếm

địa phương), liệu cỡ v a chạy 1000 bước lặp (1000 bước tìm kiếm địa

phương) cỡ lớn 10.000 bước lặp (2000 bước tìm kiếm địa phương)

Bộ liệu

MMAS SMMAS

T t nhất

Trung bình

T t nhất

Trung bình Small1 13.2 5.9

Small2 14 24.2 10 15.6

Small3 13.8 5.8

Small4 8.9 4.2

Small5 7.9 3.4

Medium1 311 386.5 228 249.4

Medium2 325 376.3 229 238.6

Large Khơng có lời giải 917 925

Với kết chạy thử nghiệm cho thấy thuật toán sử d ng quy tắc cập nhật mùi SMMAS tốt so với thuật toán sử d ng quy tắc cập nhật mùi MMAS Về thời gian thực chạy thuật tốn sét với số vịng lặp SMMAS nhanh so với MMAS

ẾT UẬN

Bài tốn lập thời khóa biểu toán nhiều người quan tâm tính ứng d ng cao t chức giáo d c Bài toán thuộc lớp NP khó nên khó giải thuật tốn truyền thống Các thuật tốn mơ tự nhiên tỏ phương pháp hữu hiệu để giải toán tối ưu t hợp nói chung tốn lập thời khóa biểu nói riêng Luận văn trình bày phương pháp ACO để giải tốn thời khóa biểu cho trường học Với thuật tốn tối ưu hóa đàn kiến, luận văn cài đặt áp d ng quy tắc cập nhật mùi SMMAS Thực nghiệm cho thấy thuật toán SMMAS tốt thuật toán đa mức MMAS áp d ng cho toán UCTP Đây thành công bước đầu hướng phát triển lĩnh vực tối ưu hóa đàn kiến ứng d ng, luận văn hi vọng kết động lực để phát triển tiếp chương trình ứng d ng khác t tối ưu hóa đàn kiến

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1

Đỗ Đức Đông (2012), Phương pháp tối ưu đàn kiến ứng dụng, Luận án tiến sĩ công nghệ thông tin Đ N-Đ G N

Tiếng Anh

2

Dong Do Duc, uan oang uan, an uy Dinh (2012), “M TA-REG: A computational meteheuristic method to improve the regulatory activity prediction”,

Proc of the 4th International Conference on the Development of Biomedical Engineering, pp 450-453

3

M Dorigo, and T.Stützle (2004), Ant Colony Optimization, The MIT Press, Cambridge, Masachusetts

4

M Dorigo, V Maniezzo and A Colorni (1991), The Ant System: An autocatalytic

optimizing process, Technical Report 91-016 Revised, Dipartimento di Elettronica,

Politecnico di Milano, Milano, Italy

5

M Dorigo (1992), Optimization, learning and natural algorithms, PhD dissertation, Milan Polytechnique, Italy

6

M Dorigo and L.M Gambardella (1997), “Ant colony system: A cooperative learning approach to the traveling salesman problem”, IEEE Trans on evolutionary

computation, Vol (1), pp 53-66

7

[GPS03] J Gottlieb, M Puchta, and C Solnon A study of greedy, local searchand ant

colony optimization approaches for car sequencing problems.In Applications of

evolutionary computing, volume 2611 of LNCS, pages246–257 Springer, 2003

8

[SH00] T Stăutzle and H.H Hoos MAX-MIN Ant System Journal of FutureGeneration Computer Systems, special issue on Ant Algorithms, 16:889–914, 2000

9

Solnon, C.: Ants can solve constraint satisfaction problems IEEE Transactionson Evolutionary Computation 6(4) (2002) 347–357

10

I OG Ilog solver user s manual Technical report, I OG (1998)

11

[LLW98] J.H.M Lee, H.F Leung, and H.W Won Performance of a comprehensive

and efficient constraint library using local search In 11th Australian JCAI, LNAI

Springer-Verlag, 1998

13

M.Dorigo and Thomas Stutzle A short Convergence Proof for a class of Ant Colony

Optimization Algorithms, IEEE, 2002

14

W.J Gutjahr ACO Algorithms with guaranteed convergence to the optimal solution

problem, Info.Processing Lett., vol.83, no.3, 2002, pp 145-153

15

M Dorigo, V Maniezzo and A Colorni (1991), The Ant System: An autocatalytic optimizing process, Technical Report 91 -016 Revised, Dipartimento di

(www.metaheuristics.org) (http://iridia.ulb.ac.be/~msampels/tt.data) http://iridia.ulb.ac.be/~ants/).