Chơng kiến thức sở Trong chơng đa số khái niệm kết đợc dùng chơng 1.1 Vành 1.1.1 Định nghĩa Vành R đợc gọi vành iđêan R iđêan chính, tức iđêan đợc sinh phần tử 1.1.2 Ví dụ Vành số nguyên  vành 1.1.3 Mệnh đề Giả sử phần tử khác 0, không khả nghịch vành R có phân tích tiêu chuẩn là: = p1e1 pkek Khi R / Rα ≅ R / Rp1e1 ⊕ ⊕ R / Rpkek 1.2 Môđun xoắn 1.2.1 Định nghĩa Giả sử R miền nguyên, M R-môđun Một phần tử x M đợc gọi phần tử xoắn tồn phần tử ≠ a ∈ R cho ax = TËp phần tử xoắn M đợc kí hiệu (M) 1.2.2 Mệnh đề Cho R miền nguyên M Rmôđun Khi (M) môđun M 1.2.3 Định nghĩa Giả sử M môđun miền nguyên R Tập (M) phần tử xoắn M đợc gọi môđun xoắn M Nếu (M) = {0M} M đợc gọi môđun không xoắn Nếu (M) = M M đợc gọi môđun xoắn 1.2.4 Mệnh đề Giả sử R miền nguyên M R-môđun Khi ta có khẳng định sau: (i) (M) R-môđun xoắn (ii) M/(M) R-môđun không xoắn 1.3 Cái triệt môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun (i) Với x M, ta kÝ hiÖu Ann(x) = {a ∈ R| ax = 0} (ii) C¸c triƯt cđa M , kÝ hiƯu Ann(M) ,là tập tất phần tử a R cho ax = víi mäi x ∈ M Ann(M) = {a∈R | ax = 0, ∀x∈M} 1.4 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 1.4.1 Định nghĩa Cho I tập khác rỗng (M )I họ R-môđun số hóa I Kí hiệu M = I M tích đề (M)I Trên M trang bị phép cộng phép nhân với vô hớng nh sau: ( x ) α∈I + ( yα ) α∈I = ( xα + yα ) α∈I a ( xα ) α ∈I = ( axα ) α ∈I víi mäi a∈R vµ mäi ( xα ) α∈I ; ( yα ) α ∈I M Khi hai phép toán vừa xác định làm cho M trở thành R-môđun, M đợc gọi tích trực tiếp họ R-môđun (M )I Trong M = I M α ta lÊy tËp ⊕Mα bao gåm tÊt phần tử M với thành phần hầu hết, trừ số hữu hạn Khi M R-môđun đợc gọi I tổng trực tiếp họ môđun (M)I 1.4.2 Chú ý (i) Nếu M = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiƯu αΠ∈I M α bëi NI (ii) NÕu Mα = N víi mäi α∈I th× ta kÝ hiƯu α⊕∈I M α bëi N(I) 1.4.3 Mệnh đề Cho R vành giao hoán, có đơn vị, I J tập khác rỗng, (M )I (N)I họ Rmôđun Khi ®ã ( ) HomA ⊕ M α , Π N β ≅ α ∈I β ∈J Π ( α , β ) ∈IxJ HomA ( M α , N β ) 1.4.4 Định lí Cho R-môđun M N môđun Khi N hạng tử trực tiếp M M /N F, F môt môđun M 1.5 DÃy khớp 1.5.1 Định nghĩa Một dÃy đồng cấu R-môđun fi f i+1 M i → M i +1 → M i + đợc gọi dÃy khíp nÕu Im f i = Ker fi+1, víi mäi i Mét d·y khíp cã d¹ng f g → M → N → P →0 đợc gọi dÃy khớp ngắn 1.5.2 Định nghĩa (D·y khíp chỴ ra) D·y khíp f g → M → N → P → đợc gọi chẻ M Im f=Ker g hạng tử trực tiếp M Nếu dÃy khớp chẻ môđun không hai đầu mút dÃy ta nói chẻ 1.5.3 Định nghĩa (Tập đóng nhân) Cho R vành giao hoán có đơn vị Một tập khác rỗng S A đợc gọi tập đóng nhân A S víi mäi a, b ∈ S th× ab ∈ S 1.5.4 Mệnh đề Cho dÃy khớp R-môđun f g N M L , giả sử S tập đóng nhân A Khi ta có dÃy khớp S-1R-môđun sau: s f s g S −1 N → S −1M S 1L 1 1.6 Môđun hữu hạn sinh 1.6.1 Định nghĩa Cho M R-môđun S tập R-môđun M Khi giao tất môđun M chứa S môđun M Môđun đợc gọi môđun M sinh S Nếu môđun sinh S M M ta bảo S hệ sinh M Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M môđun hữu hạn sinh Khi M cã mét hƯ sinh chØ gåm mét phÇn tư M đợc gọi môđun đơn sinh, hay môđun xyclic 1.7 Môđun tự 1.7.1 Định nghĩa Tập S R-môđun M đợc gọi tập độc lập tuyến tính từ đẳng thức a1x1 + + anxn = víi x1, , xn S đôi khác nhau, ta rút a = = an = NÕu trái lại S đợc gọi tập phụ thuộc tuyến tính Nếu môđun M có hệ sinh độc lập tuyến tính đợc gọi môđun tự tập S đợc gọi sở M 1.7.2 Ví dụ (i) Vành R môđun tự với sở {1} Tổng quát hơn, với I tập số bất kỳ, R (I) Rmôđun tự với sở {ei| i I} ei có thành phần thứ i 1, thành phần lại Cơ sở đợc gọi sở tự nhiên hay sở tắc A(I) (ii) Mỗi không gian vectơ trờng K K-môđun có sở (iii) Vành  tất lớp số nguyên mod môđun Tuy nhiên x = víi mäi x ∈ ¢ nên  sở nên không môđun tự (iv) Xét vành R =  Gọi M N lần lợt R-môđun R sinh R Hai môđun không tự R 2.3 = 1.7.3 Định lý Nếu M R-môđun tự với sở S M R(S) 1.7.4 Định lý Một R-môđun hữu hạn sinh đẳng cấu với môđun thơng Rn, với n nguyên dơng 1.7.5 Mệnh đề DÃy khớp R-môđun M → N → F →0 lµ chẻ F môđun tự 1.7.6 Định nghĩa (Hạng môđun tự do) Cho M môđun tự vành giao hoán R Khi lực lợng sở M đợc gọi hạng R-môđun M kí hiệu r(M) 1.8 Môđun nội xạ 1.8.1 Định nghĩa Một R-môđun I đợc gọi nội xạ I đơn cấu với đồng cấu θ : M ' µ : M ' M R-môđun, tồn đồng cấu λ :M →I cho λµ = θ 1.8.2 Mệnh đề Nếu I R-môđun nội xạ M ' M R-môđun ®ång cÊu R-m«®un tõ M’ ®Õn I ®Ịu më réng đợc thành đồng cấu R-môđun từ M đến I 1.8.3 Định nghĩa (Nhóm Aben chia đợc) Một nhóm Aben D đợc gọi chia đợc với d D n 0, tồn c ∈ D cho d = nc 1.8.4 MƯnh ®Ị Một nhóm Aben chia đợc  môđun nội xạ 1.9 Nguyên lý Zermelo Mọi tập hợp thứ tự tốt 1.10 Nguyên lý quy nạp siêu hạn Giả sử (X, ) tập thứ tự tốt tính chất phần tử X thỏa mÃn hai điều kiện sau: (i) Phần tử có tính chất τ (ii) NÕu mäi y ∈ X mµ y < x (x X) có tính chất suy x cịng cã tÝnh chÊt τ Khi ®ã phần tử X có tính chất 1.11 Định nghĩa (Về phân tích môđun) Một R-môđun M đợc gọi không phân tích đợc M biểu diễn đợc dới dạng tổng trực tiếp hai môđun không tầm thờng Ta biết nhóm Aben với phép toán cộng  môđun, khái niệm nhóm xoắn, nhóm xoắn, nhóm không xoắn Lớp nhóm Aben, hay khái niệm hạng nhóm Aben tự do, phân tích nhóm Aben đợc hiểu theo ngôn ngữ  môđun Chơng môđun vành 2.1 Môđun tự vành Ta biết rằng, vành bất kỳ, môđun môđun tự môđun tự Chẳng hạn, lấy R =  R R-môđun tự Xét M R-môđun cđa R sinh bëi phÇn tư ∈ R M R-môđun tự (xem ví dụ 1.7.2 chơng1).Tuy nhiên vành tình hình khác hẳn, môđun môđun tự vành lại môđun tự Ta có định lý sau: 2.1 Định lý Giả sử R vành chính, môđun R-môđun tự R-môđun tự Chứng minh.Giả sử T môđun tự vành R với sở I Khi T đẳng cấu với R-môđun tự R (I) theo nguyên lý Zermelo ta trang bÞ cho I mét thø tù tèt Bëi vËy, ta xem T = R (I) với I tập thứ tự tốt Giả sử M môđun khác môđun không T {e i}iI sở tự nhiên T Kí hiệu Ti môđun sinh {ej}j i đặt Mi = Ti ∩ M XÐt c¸c phÐp chiÕu pi : R ( I ) →R → xi ( xi ) iI Với i I ta có pi(Mi) iđêan R Do R vành nên tồn R để pi(Mi) = Rai LÊy bi ∈ Mi cho pi(bi) = với quy định rằng: a i = chọn bi = Khi ta thu đợc họ {bi}iI Sử dụng nguyên lý quy nạp siêu hạn (xem 1.10 chơng 1), ta chứng tỏ hä {bj}j ≤ i sinh Mi víi mäi i I Để làm đợc điều ta chứng minh: a) Nếu i0 phần tử cđa I th× bi sinh M i 0 Râ rµng < bi > ⊂ M i Mặt khác bi M i suy bi ∈ Ti = < ei >, 0 0 0 tồn a R cho bi = aei 0 Gi¶ sư x< bi > Khi với bR x b bi = ab ei ∈ Ti nªn x ∉ 0 0 M i0 , suy M i0 ⊂ < bi0 > VËy M i0 sinh bëi bi0 b) NÕu mäi k ∈ I mµ k < i (iI) ta có Mk đợc sinh {bj}j k Mi đợc sinh {bj}j i Thật vậy, giả sử x Mi, ta có pi(x) = ai, R Do ta nhận đợc: pi(x - αbi) = pi(x) – pi(αbi) = αai - = Thành phần thứ i phần tử x - αbi b»ng nªn x - αbi ∈ Mk, với k m m VËy M =< { bi } iI > Đặt I ' = { i ∈ I bi ≠ 0} th× hä {bi}i∈I’ cịng lµ mét hƯ sinh cđa M Ta cần chứng minh họ độc lập tuyến tính Thật giả sử ngợc lại, tồn tỉ hỵp tun tÝnh α1bi1 + α 2bi2 + + α mbim = víi i1 < i2 < < im thuéc I’ vµ α m ≠ Tác động phép chiếu pi vào tổ hợp tuyến tính ta đợc: m m pim α j bi j ' ÷ = α m m = j =1 Do R miền nguyên m nên = , dÉn ®Õn bi = m m (mâu thuẫn) Vậy {bi}iI lập thành sở M M R-môđun tự 2.1.2 Định lý: Giả sử T môđun tự vành R M môđun T có hạn hữu hạn n Khi tồn n phần tử , , , n R së cđa T chøa n phÇn tư e1, e2, , en cho: (i) phần tử e11, e22, , enn lập thành sở M (ii) α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 Chøng minh NÕu M = kết tầm thờng, ta chứng minh định lý với M Gọi I sở R, ta xem T = R (I) Gọi F tập hợp ánh xạ tuyến tính từ T vào R Khi ta nhận đợc tập hợp iđêan {f(M) | f F} R Giả sử f 1(M) phần tử tối đại tập Vì R vành nên tồn phần tử khác không R cho f1(M) = α1 Víi g ∈ F, ta sÏ chØ r»ng g (u ) ∈ Rα1 10 2.2.5 Hệ quả: Cho M môđun hữu hạn sinh vành R Khi đó: (i) M = (M) F với (M) môđun xoắn M F môđun tự (ii) M môđun tự M không xoắn Chứng minh: Từ hệ 2.2.4, ta suy M môđun hữu hạn sinh vành R M phân tích đợc thành tổng trực tiếp môđun xyclic M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn, ®ã Mi ≅ R/R α i víi α1, α2, , αn ∈ R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 Dễ thấy tổng trực tiếp hạng tử Mi ứng với i môđun xoắn (M) M, tổng trực tiếp hạng tử M i ứng với i = cho ta môđun tự M Do (i) đợc chứng minh Từ (i) ta thấy M không xoắn, tức (M) = 0, M = F môđun tự Ngợc lại, M môđun tự hữu hạn sinh nên M có sở hữu hạn, giả sử {1, λ2, , λn} Khi ®ã, mäi x ∈ τ(M), tån t¹i a ∈ R, a ≠ cho ax = Gi¶ sư x ≠ 0, ta cã: = ax = a(x1λ1 + x2λ2 + + xn λn) Suy x1 = x2 = = xn = hay x = m©u thn víi gi¶ sư x ≠ VËy τ(M) = {0} HƯ đợc chứng minh Từ hệ 2.2.5, ta thu đợc số hệ sau: 2.2.6 Hệ Một môđun vành có hạng môđun xoắn 16 2.2.7 Hệ Nếu X nhóm Aben hữu hạn sinh thì: (i) X = (X) F, F lµ mét nhãm Aben tù cđa X (ii) X lµ mét nhãm Aben tù nÕu vµ chØ (X) = 2.2.8 Định lý Cho R vành chính, M Rmôđun hữu hạn sinh N môđun M Khi M vàN có hạng M|N môđun xoắn Để chứng minh định lý 2.2.8 ta cần bổ đề sau 2.2.8.1 Bổ đề Cho R vành giao hoán M, N, P môđun tự vành R Khi có dÃy khớp ngắn R-môđun N M → P →0 th× r(M) = r(N) + r(P) Chứng minh Giả sử có dÃy khớp ngắn R-môđun tự N M → P →0 Do P lµ môđun tự nên theo mệnh đề 1.7.5, chơng 1, dÃy khớp chẻ Điều có nghĩa M N P Giả sử N, P R-môđun tự có hạng lần lợt lực lợng tập hợp rời I J Khi theo 1.7.3, N A(I) P A(J) nªn M ≅ N ⊕ P ≅ A(I) ⊕ A(J) A(IJ) Vì hạng M lực lợng cđa tËp I ∪ J Do ®ã r(M) = r(N) + r(P) 17 Ta cịng cã thĨ lËp ln nh sau: Nếu N P lần lợt có sở (xi)iI (yj)jJ N P có së lµ {(xi,0) | i∈I} ∪ {(0,yj) | j∈I} Do ®ã ta cã r(M) = r(N) + r(P) Chøng minh ®Þnh lý 2.2.8 Tríc hÕt ta sÏ chøng minh r»ng N R-môđun M r(M) = r(N) + r(M/N) ThËt vËy, kÝ hiƯu S lµ tập phần tử không ớc R Xét dÃy khớp ngắn R-môđun N → M → M / N , mệnh đề 1.5.4, chơng 1, từ dÃy khớp ta thu đợc dÃy khớp ngắn S-1R-môđun sau: → S −1 N → S −1M → S −1 ( M / N ) Do M, N, M|N môđun có hạng nên S-1M, S-1N, S-1(M|N) S-1R-môđun tự Khi ®ã theo bỉ ®Ị 2.2.8.1, ta cã: r(S-1M) = r(S-1N) + r(S-1(M/N)) Do ®ã r(M) = r(N) + r(M/N) Từ suy r(M) = r(N) r(M/N) = 0, theo hệ 2.2.6, ta có M/N môđun xoắn 2.2.9 Định nghĩa Giả sử M môđun xoắn hữu hạn sinh vành R Với x M, tập Ann(x) = {a ∈ R| ax = 0} lµ mét iđêan khác R Vì R vành chính, tồn phần tử R, cho Ann(x) = R α PhÇn tư xác định nhất, sai khác nhân tử khả nghịch, đợc gọi cấp x ,kí hiệu 0(x) 18 Cũng R vành chính, tồn ,sai kac nhân tử khả nghịch ,một phần tử khác không R cho Ann(M) = R β Ta gäi β lµ sè mị cđa M vµ kÝ hiƯu lµ exp(M) 2.2.10 NhËn xÐt Từ định nghĩa 2.2.9, ta dễ dàng nhận thấy (i) Sè mị cđa M chia hÕt cho cÊp cđa mäi phần tử (ii) Nếu M môđun xyclic sinh phần tử x exp(M) = 0(x) 2.2.11 Định lý Cho R vành M 1, M2 môđun xyclic vành R với số mũ lần lợt , Khi M1M2 R-môđun xyclic nguyên tố Chứng minh Giả sử M1 đợc sinh phần tử x Khi M = Rx vµ tõ nhËn xÐt 2.2.10, ta cã Ann(x) = Ann(M1) = = Rα XÐt toµn cÊu f : R → M1 cho bëi f(a) = ax víi mäi a ∈ R Ta thÊy Ker f = Ann(x) = R , theo định lý đồng cấu cảm sinh ta có M R/Rα T¬ng tù M2 ≅ R/R β Bëi vËy ta chØ cÇn chøng minh r»ng R/R α ⊕R/R β R-môđun xyclic nguyên tố Thật vậy, nguyên tố với định lý Trung Hoa vÒ d ta cã: R/R α ⊕R/R β ≅ R/R R-môđun xyclic Để chứng minh điều ngợc lại, giả sử R/R R/R R môđun xyclic với phần tử sinh (a+R α , b + R β ) Khi ®ã tån t¹i s ∈R cho 19 s(a+R α , b + R β ) = (1+R α , + R β ) vËy sa = + tα với tR Điều chứng tỏ a nguyên tố Mặt khác, sbR nên ta suy | sb, | s Thay s = u (uR) vào đẳng thức sa = + t ta đợc = (au) - t Vậy nguyên tố 2.2.12 Mệnh đề Cho R vành M R-môđun xyclic với số mũ Khi M R|R mô đun tự Chøng minh LËp luËn t¬ng tù 2.2.11 ta cã M R/R Do M R/R -môđun tự 2.2.13 Định lý.Mỗi môđun xoắn hữu hạn sinh M vành R có ph©n tÝch M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn, Mi môđun xyclic có sè mị exp(M i) = pi ei lµ lịy thõa phần tử bất khả quy pi R Chứng minh.Từ định lý 2.2.4 ta có M môđun hữu hạn sinh vành R M đẳng cấu với Rmôđun dạng R / R1 ⊕ R / Rα ⊕ ⊕ R / Rα n ®ã α1, α2, , αn ∈ R vµ α i chia hÕt α i +1 víi mäi i = 1, 2, , n-1 KÕt hỵp điều với mệnh đề 1.1.3 chơng 1, ta suy điều phải chứng minh Có thể chứng minh môđun xyclic Mi xuất phân tích M cho định lý 2.2.13 (xem định lý 2.2.3) Bây ta chứng minh dạng M 20 Để đơn giản, khuôn khổ khóa luận này,ta xét toán trờng hợp M có số mũ lũy thừa phần tử bất khả quy 2.2.14 Định nghĩa Cho R vành Với phần tử bất khả quy p R, ta kí hiệu Cp(M) tập phần tử M cã cÊp lµ mét lịy thõa cđa p Ta cã định lý sau: 2.2.15 Định lý Cho M môđun xoắn hữu hạn sinh vành R với số mũ exp(M) = có phân tích tiêu chuẩn α = p1e p2e pke Khi ®ã k M = C p1 ( M ) ⊕ ⊕ C pk ( M ) , e ®ã exp ( C p ( M ) ) = p víi mäi i = 1, 2, , k i i i Hơn phân tích dạng M không kể đến thứ tự hạng tử Chứng minh Dễ thấy phân tích M cho định lý 2.2.13, Cp(M) tổng trực tiếp hạng tử Mi mà pi liên kết với p Nh vậy, M phân tích đợc thành tổng trực tiếp môđun dạng C p(M) với p phần tử bất khả quy R, M viết đợc dới dạng M = C p1 ( M ) ⊕ ⊕ C pk ( M ) B©y giả sử M có phân tích M = Cq ( M ) ⊕ ⊕ Cq ( M ) l qj phần tử bất khả quy R, đôi e' không liên kÕt vµ exp ( Cq ( M ) ) = q , víi j = 1, 2, , l Khi ®ã ta cã: j j j l l j =1 j =1 Rα = Ann( M ) = I Ann(Cq j ( M )) = I Rq j j = Rq1e '1 qle 'l 21 e' Suy α = v.q1e ' qle ' víi v | Tõ nhận thấy đợc k = l, l đánh số lại cần thiết, pi liên kết với qi víi mäi i = 1, 2, , k Do ®ã C p ( M ) = Cq ( M ) vµ ei = e’i víi mäi i = 1, 2, , k Điều i i chứng tỏ dạng phân tích M tồn Định lý đà đợc chứng minh 2.3 Một số kết khác Trong mục ta nghiên cứu thêm số kết liên quan đến nội dung mục trớc nhằm soi sáng cho lý thuyết 2.3.1 Mệnh đề Hệ 2.2.7 (i) không bỏ giả thiết hữu hạn sinh Chứng minh Đặt M = pP  p N = pP  p , trớc tiên ta chứng minh N môđun xoắn  -môđun M Thật vậy, ( a p ) pP ( M ) có số nguyên dơng n cho n ( ap ) p∈P = , tức nap =0  P với p P Vì (n, p) = với p>n nên tõ ®ã suy ap=0 víi mäi p>n Nh vËy phần tử (a ) p pP có hữu hạn thành phần khác 0, nghĩa ( a p ) pP N Đảo lại, giả sử ( a p ) p∈P ∈ N , ®ã cã tËp hữu hạn J P cho ap =0 với p J Đặt N = pJ p th× dÏ thÊy r»ng n ( a p ) p∈P = Do ®ã ( a p ) p∈P ∈τ ( M ) VËy τ ( M ) = N B©y giê ta sÏ chøng tá hƯ 2.2.7 (i) không bỏ giả thiết hữu hạn sinh cách N không 22 phải hạng tử trực tiếp M Để thực điều này, ta lần lợt chứng minh Hom  ( Ô , M) =0 Hom  ( Ô , M/N) Ô tập hợp số hữu tỉ Giả sử p sè nguyªn tè tïy ý, víi mäi f ∈ Hom  ( Ô ,  ) r Ô , ta cã: f(r) = f (p(r|p))=p.f (r|p) = Từ suy Hom  ( Ô ,  p) = Theo mệnh đề1.4.2 chơng ta có Hom  ( Ô ,M) pP Hom  ( Ô ,  p) = Để chứng minh Hom  ( Ô , M/N)0, trớc tiên ta M/N nhóm Aben chia đợc Thật vậy, giả sử n số nguyên khác (ap)pP+N phần tử tùy ý M/N Với p> n , ảnh n  p khả nghịch nên tồn bp  p cho ap=nbp Đặt bp=0 với p n (ap)pP n(bp)pP hai phần tử M có hữu hạn thành phần khác nhau, (ap)pP +N=n[(bp)pP+N] Điều chứng tỏ M/N nhóm Aben chia đợc Theo mệnh đề 1.8.4 chơng 1, M/N  -môđun nội xạ Với pP n  , kí hiệu n p ảnh n  p Xét ánh xạ: g : → M / N na (n ) p p∈P 23 +N Rõ ràng g  đồng cấu khác Vì M/N  -môđun nội xạ nên theo mệnh đề 1.8.2 chơng g mở réng → M / N Nh vËy Hom ¢ ( Ô , M/N)0 thành đồng cấu g1 : Ô Bây N hạng tử trực tiếp M M/N đẳng cấu với môđun M (xem 1.4.3 chơng 1) Do tồn đơn cấu h : M / N M Khi dễ thấy đồng cấu cảm sinh h* : Hom ( Ô , M / N ) Hom ( Ô , M ) f a hf đơn cấu, nhng điều không thể, nh ta vừa chứng minh trên, Hom  ( Ô ,M) = Hom  ( Ô ,M/N) 2.3.2 Mệnh đề Cho R vành chính, đó: (i) R R-môđun không phân tích đợc (ii) Trờng thơng R R-môđun không phân tích đợc (iii) Nếu p phần tử bất khả quy R e số nguyên dơng R-môđun R|Rpe không phân tích đợc Và ngợc lại, R môđun xyclic không phân tích đợc, sè mị cđa nã liªn kÕt víi lịy thõa cđa phần tử bất khả quy R Chứng minh (i) Giả sử có phân tích R = X Y với X, Y môđun không tầm thờng R Khi tìm đợc phần tử khác 24 không xX yY Ta có xyXY, R miền nguyên nên xy suy XY {0}, mâu thuẫn (ii) Giả sử trờng thơng F R có phân tích F= X Y, với X, Y môđun không tầm thờng F Chọn phần tử khác không a/bX c/dY ac =(bc) (a/b)=(ad).(c/d)XY Suy XY{0}, mâu thuẫn (iii) Giả sử ta có ph©n tÝch R/Rp e= X ⊕ Y víi X, Y Rmôđun không tầm thờng R/Rpe Khi rõ ràng X, Y iđêan vành thơng R/Rpe Vì R vành nên X, Y R-môđun xyclic Giả sử a b hai phần tử R cho ảnh chúng R/Rpe lần lợt sinh X Y ViÕt a=ps.a1, b =pt.b1 víi (a1,p)=(b1,p)=1 Khi ®ã dƠ thấy ảnh p s pt R/Rpe tơng ứng phần tử sinh X Y Bây giê tïy theo s≤ t hay s>t mµ ta cã X⊇Y hay X⊂Y Nh vËy kh«ng thĨ cã X∩Y={0}, X, Y môđun không tầm thờng Ta gặp mâu thuẫn Vậy R/Rpe R-môđun không phân tích đợc Để chứng minh khẳng định cuối cùng, giả sử M Rmôđun xyclic không phân tích đợc với sè mị exp(M) = α≠0.Khi ®ã dƠ thÊy M ≅ R/R (xem chứng minh định lý 2.2.11) Giả sử = u p1e1 pkek phân tích tiêu chuẩn thành tích nhân tử bất khả quy Bởi mệnh đề 1.1.3 chơng 1, ta có R / Rα ≅ R / Rp1e1 ⊕ ⊕ R / Rpkek Vì M không phân tích đợc nên phải có k =1, liên kÕt víi p1e 25 Trong mơc tríc chóng đà trình bày hệ 2.2.5 dựa vào định lý 2.2.4, nhiªn cịng cã thĨ chøng minh trùc tiếp hệ mà không cần dựa vào 2.2.4, tức xem định lý độc lập Điều đợc thực nh sau: 2.3.3 Định lý Cho M môđun hữu hạn sinh vành R Khi đó: (i) M = (M) F với (M) môđun xoắn M F môđun tự (ii) M môđun tự M không xoắn Chứng minh Trớc hết ta chứng minh (ii) Giả sử M R-môđun không xoắn với hệ sinh {x 1, x2, , xn} Chän hÖ sinh hệ sinh độc lập tuyến tính cực đại {y1, y2, , yk} Gọi N môđun cđa M sinh bëi {y1, y2, , yk} V× {y1, y2, , yk} độc lập tuyến tính nên N R-môđun tự Lại {y 1, y2, , yk} hệ độc lập tuyến tính cực đại {x 1, x2, , xn} nên với i = 1, 2, , n hä {y1, y2, , yk, xi} phụ thuộc tuyến tính, tức tồn phần tử khác không a i R cho aixiN Đặt a=a1 an0 aixiN với i=1,2, , n Do aM N Từ suy aM R-môđun tự Xét đồng cấu a : M → aM cho bëi λa(m) = am víi mäi m ∈ M Râ rµng λa lµ mét toàn cấu Do M R-môđun không xoắn nên a đơn cấu, tức M aM Do M R-môđun tự 26 Ta phải chứng minh (i) Chú ý M/(M) Rmôđun không xoắn (xem 1.2.4 (ii) chơng 1), theo (ii) môđun tự Xét dÃy khíp ng¾n →τ ( M ) → M → M / τ ( M ) Bởi mệnh đề 1.7.5 chơng 1, dÃy khớp chẻ ra, tức M = (M) F với F môđun M Vì F M/(M) nên F môđun tự Một cách tơng tự, ta chứng minh đợc hệ 2.2.3 đờng khác không thông qua định lý 2.2.1 2.3.4 Định lý Cho F nhóm Aben tự hạng n Khi nhóm G F nhóm Aben tự hạng r(G) = m n Hơn tồn sở S = {u1, , un} F së T = {v 1, , vm} cña G cho v i = tiui víi i = 1, 2, , m; t1, , tm số nguyên dơng thỏa mÃn ti chia hết ti+1 với i = 1, , m-1 Chøng minh Ta chøng minh quy nạp theo n Với n=0, định lý cách hiển nhiên Giả sử n>0 định lý đà đợc chứng minh với n=1 Ta loại trừ trờng hợp tầm thờng G=0 xem G0 Giả sử V={y1, , yn} sở F Khi phần tử gG biểu diễn đợc nhÊt díi d¹ng g= k1(g)y1+ +kn(g)yn, víi ki(g) ∈ Z, i=1, 2, , n Gọi k(g) số nguyên dơng nhỏ tất số nguyên dơng tập {k1(g), , kn(g)} Với sở V F, ta đặt k(V)=min{k(g)|gG} Gọi P tập tất sở V gọi t1= min{k(C)|CP} tồn v1G sở U cho t lµ mét hƯ sè biĨu diƠn 27 v1 qua sở U Đánh số lại phần tử U, cần thiết ta có thĨ xem v1 = t1x1+k2x2+ +knxn, ®ã k2, , kn Z Chia k2, , kn cho t1, ta đợc ki = t1qi+ri, ri