LUAN VAN CAO HOC chinh thuc 7777777777 doc

1 Tran g 1.1 Kh¸i niƯm số lớp môđun 1.2 Các khái niệm tổng trực tiếp phân tích MC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Ch¬ng CáC KHáI NIệM Mở ĐầU môđun Chơng MÔĐUN TựA LIÊN TụC 2.1 Môđun tựa liên tục 2.2 Một số tính chất môđun tựa liên tục 16 Chơng Sự PHÂN TíCH CủA CáC MÔĐUN TùA LI£N TơC 24 3.1 Sù ph©n tÝch môđun tựa liên tục thành tổng 24 trực tiếp môđun không phân tích ợc 3.2 Sự phân tích ca cỏc môđun tựa liên tục thành tổng 29 trực tiếp môđun hữu hạn trực tiếp vô hạn túy trực giao kếT LUậN TàI LIệU THAM KHảO Mục lục 32 33 Danh mục ký hiệu N M : N môđun môđun M N e M: N môđun cốt yếu môđun M K M: K hạng tử trực tiếp môđun M M iI i : Tổng trực tiếp môđun Mi E(M): Bao nội xạ môđun M : Vành số nguyên Mở đầu Có hai hớng để nghiên cứu lý thuyết vành Hớng thứ sử dụng nội tính chất thông qua lớp iđêan hớng thứ hai đặc trng vành qua tính chất lớp xác định môđun chúng Theo hớng thứ hai, lớp môđun nội xạ hai cột trụ nghiên cứu lý thuyết môđun lý thuyết vành Vì lớp môđun có rÊt nhiỊu sù më réng Mét nh÷ng sù më rộng môđun liên tục môđun tựa liên tục Những môđun liên tục, tựa liên tục đà đợc nghiên cứu nhiều tác giả phát triển thành mét lý thut phong phó víi nhiỊu vÊn ®Ị hÊp dẫn ứng dụng cần tiếp tục nghiên cứu Trong vấn đề có vấn đề liên quan đến phân tích môđun tựa liên tục Mục đích luận văn dựa tài liệu [7] Mohamed-Muller, hệ thống hóa kiến thức đặc trng môđun tựa liên tục chứng minh chi tiết số định lí số mệnh đề mà tài liệu không chứng minh chứng minh tóm tắt Hơn luận văn tập trung nghiên cứu số điều kiện để môđun tựa liên tục phân tích đợc thành tổng trc tip ca môđun không phân tích đợc nh số kiểu phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp Xuất phát từ hớng nghiên cứu nói dới hớng dẫn PGS.TS Ngô S Tùng đề tài luận văn đợc chọn Sự phân tích ca môđun tựa liên tục Luận văn đợc chia làm ba chơng với phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chơng Các khái niệm sở Nội dung chơng giới thiệu khái niệm mà chơng sau luận văn cần đến Để ngời đọc tiện theo dõi giới thiệu định nghĩa lớp môđun nội xạ, tựa nội xạ, liên tục, tựa liên tục, môđun số khái niệm phân tích môđun Chơng Môđun tựa liên tục Chơng đợc chia làm hai phần Phần Trình bày cách có hệ thống khái niệm môđun tựa liên tục, chøng minh mét c¸ch chi tiÕt c¸c mèi quan hƯ môđun liên tục, tựa liên tục với môđun nội xạ, tựa nội xạ Phần Một số tính chất môđun tựa liên tục: Chúng giới thiu số đặc trng môđun tựa liên tục vi Định lý 2.1.10 đợc chứng minh chi tiết số đặc trng môđun tựa liên tục Chỳng tụi chứng minh chi tiết “hạng tử trực tiếp môđun tựa liên tục tựa liên tục” ( Hệ 2.1.9 ), tổng trực tiếp môđun tựa liên tục không thiết mơđun tựa liên tục (Ví dụ 2.2.6) Do câu hỏi tự nhiên đặt : “Với điều kiện tổng trực tiếp mơđun tựa liên tục môđun tựa liên tục ?” Trả lời cho câu hỏi nêu chúng tơi tìm hiu điều kiện để tổng trực tiếp môđun tựa liên tục tựa liên tục Sau ú trình bày số hệ nh Hệ 2.2.9 + Hệ 2.2.10 thiết lập điều kiện tính liên tục môđun đều, dựa vào khái niệm phân tích bù trực tiếp Chơng Sự phân tích môđun tựa liên tục Bài toán phân tích môđun tựa liên tục vấn đề đợc nhiều ngời quan tâm Chơng trình bày số tiêu chuẩn để môđun tựa liên tục phân tích đợc thành tổng trực tiếp trình by số hớng phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp môđun tựa liên tục Luận văn đợc bt đầu từ tháng năm 2010, thùc hiƯn vµ hoµn thành trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc kính trọng đến thầy, ngời đà trực tiếp giảng dạy, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm khắc suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Qua luận văn tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số-Khoa toán trờng Đại học Vinh: PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai Văn T, TS Nguyễn Thị Hồng Loan; Xin đợc cảm ơn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Tiến Quang Đại học s phạm Hà Nội 1, ngời đà trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập lớp cao học 16 chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số Cũng tác giả xin đợc cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa sau đại học trờng Đại học Vinh, tất bạn bè, đồng nghiệp trờng THPT Thọ Xuân (huyện Thọ Xuân, tỉnh Thanh Hoá) gia đình đà động viên giúp đỡ để luận văn đợc hoàn thành kế hoạch Mặc dù đà nhiều cố gắng nhng thật khó tránh khỏi thiếu sót, sai lầm Vì tác giả mong nhận đợc ý kiến góp ý thầy giỏo, cô giáo bạn đọc Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả Chơng Các khái niệm sở Chơng trình bày định nghĩa số kết liên quan đến luận văn Các khái niệm, tính chất ký hiệu chúng t«i dùa chđ u theo Anderson-Fuller [5], Dung-Huynh-Smith and Wisbauer [6] Mohamed-Muller [7] Các vành đợc giả thiết vành kết hợp, có đơn vị, môđun vành đợc hiểu môđun phải unita ( không nói thêm ) Mi tổng trực tiếp môđun Mi (i Giả sử M i I I) Khi với tËp K �I, ta sÏ ký hiƯu M(K) ®Ĩ M iI i Bao nội xạ môđun M đợc ký hiệu E(M) 1.1 Khái niệm số lớp môđun 1.1.1 Môđun cốt yếu Cho M R-môđun phải N môđun M (1) Môđun N đợc gọi cốt u (essential) M vµ ký hiƯu: N �e M hay N M, với môđun K �M, K �0 th× N ǹ K NÕu N môđun cốt yếu M ta nói M mở rộng cốt yếu N (2) Môđun N đợc gọi đóng (closed) M N kh«ng cã më réng cèt yÕu thùc sù M Nói khác N gọi đóng M môđun K M mà N e K K=N (3) Môđun K M đợc gọi bao đóng (closune) môđun N M K môđun tối đại M cho N lµ cèt yÕu K (4) Bao đóng môđun luôn tồn ( xem [7] ) 1.1.2 Môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ bao nội xạ (1) Giả sử A, M R-môđun phải ta nói M A-nội xạ (A-injective) với môđun X A ®ång cÊu h: X � M ®Ịu tån t¹i mét mở rộng g: A M h (2) Môđun M đợc gọi nội xạ (injective) M A-nội xạ với môđun A (3) Môđun M đợc gọi tựa nội xạ (quasi-injective) M M - néi x¹ (4) Ta gäi bao néi xạ môđun M môđun nội xạ X cho M eX Bao nội xạ môđun M tồn ký hiệu E(M) 1.1.3 CS-môđun, môđun tựa liên tục, môđun liên tục Cho M R-môđun phải Ta xét điều kiện sau: (C1) Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2) Nếu A, B môđun M đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3) Nếu A B hạng tử trực tiếp M A B=0 A B hạng tử trực tiếp M (1) Môđun M đợc gọi CS-môđun (hay môđun extending) thỏa mÃn điều kiện (C1) (2) Môđun M đợc gọi liên tục (continuous) M thỏa mÃn điều kiện (C1) (C2) (3) Môđun M đợc gọi tựa liên tục (quasi-continuous), M thỏa mÃn điều kiện (C1) (C3) 1.1.4 Môđun Một môđun U đợc gọi (hay Uniform) U0 A B môđun khác không A, B U Hay nói cách khác U U môđun khác không cốt yếu U 1.2 Các khái niệm tổng trực tiếp phân tích môđun 1.2.1 Định nghĩa Ai = Cho họ R-môđun (Ai/iI) Khi tích đề i� I  (ai / �I  cïng víi phép toán cộng phép nhân vô hớng theo thành phần (ai)+(bi)=(ai+bi); (ai).r=(ai.r), R-môđun Môđun đợc gọi lµ tÝch trùc tiÕp cđa hä (Ai/ i �I)  Ai=AI Trêng hỵp Ai=A, i �I, ta ký hiƯu i� I Ai Aj R- đồng cấu,  j�I PhÐp chiÕu Pj: i� I (ai) a aj 1.2.2 Định nghĩa Môđun A đợc gọi tổng trực tiếp họ môđun (Ai/ iI) điều kiện sau đợc thỏa mÃn: 1) A = 2) �A i i�I Aj � � Ai  0,  j �I i�j 1.2.3 C¸c kh¸i niệm phân tích (1) Môđun M đợc gọi phân tích đợc có hạng tử trực tiếp khác không khác M (2) Môđun M đợc gọi không phân tích đợc hạng tử trực tiếp khác không khác M (3) Một môđun N M đợc gọi hạng tử trực tiếp tối đại M M = N N, với N không phân tích đợc Mi đợc gọi bù hạng tử trực (4) Một phân tích M= i I tiếp (tơng ứng bù hạng tử trực tiếp tối đại) 10 hạng tử trực tiếp (tơng ứng hạng tử trực tiếp tối đại ) A M Mi ) tån t¹i tËp J �I cho: M= A �(i� �I (5) Mét hä  Mi / i I môđun M đợc gọi Mi tổng trực hạng tử trực tiếp địa phơng M i I Mi hạng tử trực tiếp tiếp với tập hữu h¹n F �I, i� F cđa M NÕu mét hä hạng tử trực tiếp địa phơng M hạng tử trực tiếp M ta nói hạng tử trực tiếp địa phơng hạng tử trực tiếp Chơng Môđun tựa liên tục Chơng trình bày cách có hệ thống kiến thức môđun tựa liên tục tính chất đặc trng 2.1 Môđun tựa liên tục Trớc hết để mối liên hệ môđun liên tục, tựa liên tục với môđun nội xạ, tựa nội xạ chỳng ta có mệnh đề : 2.1.1 Mnh Mỗi môđun nội xạ M có hai tính chất sau đây: (C1) Mọi môđun M cốt u mét h¹ng tư trùc tiÕp cđa M (C2) Nếu A, B môđun M đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp cña M 21 Bây nghiên cứu số tính chất tổng trực tiếp môđun tựa liên tục Theo hệ (2.1.9), hạng tử trực tiếp môđun tựa liên tục tựa liên tục Tuy nhiên tổng trực tiếp môđun tựa liên tục không thiết tựa liên tục 2.2.6 Ví dụ Giả sử F trường �� � � � a b� � M� a , b , c � F � � � �� � c� � � �� � � � � � � � � a b� A � �a, b�F � � �� 0� � � � � � � � �� � � 0� B � � �c�F �� � c � � � � �� � � � � � � � � � � Khi R vành A, B môđun tựa liên tục R M  A �B môđun tựa liên tục Trong Mệnh đề sau đây, chúng tơi trình bày điều kiện cần để M1 � M2 môđun tựa liên tục 2.2.7 Mệnh đề Nếu M1 � M2 tựa liên tục M1, M2 nội xạ lẫn Chứng minh Không tính tổng quát ta chứng minh M2 M1 - nội xạ Đặt M = M1 �M2 , giả sử X môđun tùy ý M1  : X � M2 đồng cấu Đặt B  x  (x): x�X dễ thấy B�M2  Ta gọi M1’ bù M2 mà M1’ �B Khi M1’ M2 bù lẫn nhau, áp dụng định lý 2.1.10 M = M1’ �M2 Xét phép chiếu  : M1 'Ů M2 Khi với x �X có: M2 22 0  (x   (x))   (x)   ( (x))  (x)  (x) suy  (x)  (x),x�X Từ thấy  / M2 mở rộng  , nghĩa M2 M1- nội xạ Sau ý đến tổng trực tiếp M  � M môđun tựa liên tục M Câu hỏi đặt  � M tựa liên tục Ta có định lý sau đây: 2.2.8 Định lý Cho  M : � họ mơđun tựa liên tục Khi điều kiện sau tương đương M i) M � �  tựa liên tục, ii) M  �  � M - nội xạ,  � , vµ điều kiện (A2) Chứng minh Trước hết ta nhắc lại điều kiện (A2) là: “Cho họ Rmôđun  M : � ,đối với cách chọn x�M ( �) m �M ,  � (i��) cho m0 �x0 dãy tăng � mi0( n��) dừng.” i i i i �n i i) � ii) suy từ mệnh đề 2.2.5 Bây ta chứng minh ii) � i) Theo định lý 2.1.7 ta cần chứng minh eM �M với lũy đẳng e�End E(M) Do eM = e( �M � eM Chúng ta chứng minh ) = �  � eM �M , � (*) Cố định  � Từ M M -nội xạ,  � , [7, mệnh đề 1.5] nên M M  �  � M - nội xạ Đặt N1 = M N2 =  � Khi N1,  � N2 nội xạ lẫn N1 tựa liên tục Cho E, E1, E2 bao nội 23 xạ M , N1, N2 Khi �e e � 11 12 � � e � e e � � � �21 22 � E  E1 �E2 e : E j � Ei Vì N2 N1- nội xạ theo [7, Lemma 1.13] nên ta có e21 N1 ij � N2 Dễ dàng kiểm tra eN1 = e11N1 + e21N1 � e11N1 + N2 Do để chứng minh (*) ta cần chứng minh e11N1 � M Từ e = e2 ta có e  e2  e e Ký hiệu a = e11 ,b = e21 Khi ta nhận được: ab = ba = a 11 11 12 21 – a2e12e21 �End E1 Đặt K = Ker(ab) Giả sử a(x) = b(y) (x,y �K) suy a2(x) = ab(y) = (do y � Ker(ab)) mà a = 1-b a[1-b]x = hay a[x – b(x)] = � a(x)= a(bx) = Vậy có aK �bK  aK �Ker(b)�Ker(ab)  K Do K  aK �bK Từ E1 nội xạ, nên tồn lũy đẳng trực giao f g End E1 cho E  fE �gE ,aK �fE , bK �gE 1 1 Khi có : fK  f (aK �bK )  faK  aK Do K �fE1� fK  aK �K �fE1 Từ ta nhận được: K �fE1 aK �Ker b, suy a/bfE1 đơn cấu Bởi E1 nội xạ tồn  �End E1 cho: bf =  ab f Bây N1 tựa liên tục N1, N2 nội xạ lẫn từ định lý 2.1.10 ta có : bfN1 =  abfN1 �  abN1 =  e12e21N1 �  e12N2 �N1 Vậy ta nhận : e11N1 = aN1 � N1, vµ e11N1 � M Điều phải chứng minh 2.2.9 Hệ Giả sử M1, , Mn môđun n � M tựa liên tục M i tựa liên tục Khi i�I i j  1,2, ,n Mi lµ Mj – nội xạ ,  i �� 24 n Chứng minh Nếu � Mi tựa liên tục hiển nhiên Mi tựa i �I liên tục  i�I theo định lý 2.2.8 M(F) Mj –nội xạ ( với F = I \ |{j} ) Mi Mj nội xạ ,  i�F hay  i �j Ngược lại Mi tựa nội xạ Mi Mj –nội xạ với  i �j Khi ta có n � Mi Mj –nội xạ, hay i �, j i 1 M(F) Mj –nội xạ Từ theo định lý 2.2.8 ta nhận M môđun tựa liên tục � Mi tổng trực tiếp môđun M(J) 2.2.10 Hệ Giả sử M  i� F M(K) -nội xạ, với tập J K I cho K �J  �, M môđun tựa liên tục Chứng minh Trước hết mơđun tựa liên tục , nghĩa Mi tựa liên tục, áp dụng định lý 2.2.8 kết luận hệ hin nhiờn Chơng 25 Sự phân tích môđun tựa liên tục 3.1 Sự phân tích ca cỏc môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp môđun không phân tích đợc Trong phn ny chỳng tụi trình bày số điều kiện để mơđun tựa liên tục phân tích thành tổng trực tiếp mơđun khơng phân tích Đầu tiên chúng tơi trình bày khái niệm tính chất mở rộng môđun 3.1.1 Định nghĩa i) Một mơđun M gọi có tính chất mở rộng � Ai môđun A tập số I tổng trực tiếp i � i I  M, tồn họ Mi / i �I  e môđun M cho Ai � Mi �M i �I i hạng tử trực tiếp M Nếu tập số I hữu hạn ta gọi M có tính chất mở rộng hữu hạn ii) Với số tự nhiên n ta nói M có tính chất n-mở rộng M có tính chất mở rộng tập số I có lực lượng n 3.1.2.Bổ đề Giả sử M môđun Khi đó: (i) M có tính chất 1-mở rộng M CS – môđun (ii) M có tính chất mở rộng hữu hạn M có tính chất -mở rộng M tựa liên tục (iii) M có tính chất mở rộng M có tính chất mở rộng hữu hạn hạng tử trực tiếp địa phương M hạng tử trực tiếp M 26 Chứng minh (i) Giả sử M có tính chất 1-mở rộng nghĩa với A môđun M tồn môđun B m cho A �e B, với B hạng tử trực tiếp M Điều chứng tỏ M CS – mơđun Ngược lại M CS – mơđun hiển nhiên M có tính chất 1mở rộng (ii) Trước hết giả sử M có tính chất mở rộng hữu hạn m có tính chất –mở rộng Ngược lại giả sử M có tính chất -mở rộng , F tập hữu hạn �A i �F i tổng trực tiếp môđun Ai M Giả sử F =  1,2, ,n Ta quy nạp theo n + Với n = 2, theo giả thiết + Giả sử với n-1, ta chứng tỏ với n � Ai  A �A � �An  A �A � �A �An Thật vậy: i� 2 n1 F Đặt B A1�A2 � �An1 Rõ ràng A B �An theo giả thiết tồn môđun N Mn M cho: B �eN An �e Mn N �Mn hạng tử trực tiếp M Mặt khác giả thiết quy nạp tồn n1 e môđun M1, M2, , Mn-1 cho: Ai � Mi (i 1,n ) � Mi hạng tử i 1 n1 trực tiếp M Bởi B �eN B A �A � �A �e � Mi , n1 i 1 N n1 n1 � Mi hạng tử trực tiếp M nên ta có N  � Mi Lúc i 1 i 1 27 M1, M2, ,Mn-1 Mn mơđun cần tìm , nghĩa M có tính chất mở rộng hữu hạn Bây ta chứng minh N có tính chất –mở rộng M tựa liên tục Thật (i) nên M có tính chất (C1) Ta cịn phải chứng minh M có tính chất (C3) Thật giả sử A, B hạng tử trực tiếp M A�B Khi A, B mơđun đóng từ tính chất –mở rộng ta có A�B hạng tử trực tiếp M, nghĩa M có tính chất (C3) Ngược lại, M tựa liên tục, ta chứng tỏ M có tính chất –mở rộng Thật A�B tổng trực tiếp môđun A B M Khi tính chất (C1) M , tồn môđun A’, B’ M cho: A �e A' , B �e B' A’, B’ hạng tử trực tiếp M Bởi A�B nên A'�B' tính chất (C3) M A'�B' hạng tử trực tiếp M Nghĩa M có tính chất –mở rộng ( iii) Giả sử M có tính chất mở rộng M có tính chất mở rộng hữu hạn Ta phải chứng minh hạng tử trực tiếp địa phương M hạng tử trực tiếp M Giả sử họ  Ai / i�I  hạng tử trực tiếp địa phương M Theo định � Ai giả thiết tồn môđun M M nghĩa tồn i � i I e � Mi hạng tử trực tiếp M Với i �I A mà Ai � Mi , i � i I hạng tử trực tiếp M nên Ai đóng Ai = Mi,  i�I Vậy ta có �A  �M i �I i i�I i hạng tử trực tiếp M 28 Ngược lại M có tính chất mở rộng hữu hạn hạng tử trực tiếp địa phương M hạng tử trực tiếp M Ta phải chứng minh M có tính chất mở rộng � Ai tổng trực tiếp họ môđun A Thật vậy, giả sử i � i I M Đối với tập hữu hạn F I, tính chất mở rộng hữu hạn e � Mi M , tồn môđun Mi , i �F cho Ai � Mi i � F � Mi hạng tử trực tiếp M, hạng tử trực tiếp M Do giả thiết ta có i � I nghĩa M có tính chất mở rộng Bây ta chứng minh định lý phần 3.1.3 Định Lý Giả sử M mơđun tựa liên tục Khi phát biểu sau tương đương: (i) M tổng trực tiếp mơđun (đều) khơng phân tích (ii) M có phân tích bù hạng tử trực tiếp (iii) Mọi hạng tử trực tiếp địa phương M hạng tử trực tiếp M (iv) M có tính chất mở rộng Chứng minh Trước hết ta thấy (iii) � (iv) suy trực tiếp từ bổ đề 3.1.2 (iii)� (i) hệ trực tiếp định lý (2.2.5) Ta chứng minh (i)� (ii ) � Mi , M mơđun Ta chứng minh Giả sử M  i� i I phân tích M bù hạng tử trực tiếp Giả sử N hạng tử trực tiếp M Bởi bổ đề Zorn tồn tập tối đại K �I cho N �M(K )  Vì M tựa liên tục nên N �M(K ) hạng tử trực tiếp M Ta chứng tỏ N �M(K )�e M Giả sử i �I từ tính tối đại K suy ra: 29 Xi �ǹ (N M(K )) Mi Mi nên X �e M ta có i i � Xi �e � Mi  M Nhưng Xi �N �M(K )� � Xi �eN �M(K ) i�I i�I i�I Vậy có : N �M(K )�e M từ N �M(K ) hạng tử � Mi phân tích bù trực tiếp M nên N �M(K )  M , nghĩa M  i� I hạng tử trực tiếp (ii)� (iii) M Giả sử M  � �  phân tích bù hạng tử trực tiếp Giả sử A � Aj hạng tử trực tiếp địa phương M Bởi M tựa liên tục, ta j �J có � Aj �B�e M A�e A'��M Giả sử ta viết: M  A'�B ta có j � J Khơng tính tổng qt ta giả sử A�e M , ta chứng minh A M Giả sử A�M , quy nạp ta xây dựng dãy phần tử xn cho xn�A, xn�M n x 0�x 0�x 0� �xn0� dãy tăng ngặt Thật giả sử x1, x2 x3, , xn xây dựng Từ A�e M , tồn rt�R cho 0�xtrt�A, t 1,2, ,n tồn tập hữu hạn F �J cho xtrt� � Aj Đối với t = 1,2, ,n, A � Aj hạng tử trực j �F j �F M tiếp địa phương M phân tích M  � �  bù hạng tử trực tiếp, nên tồn tập K � cho M �Aj �M(K ) Ta viết xn  a �y , 0�y0, Bây a�Aj , �y �M(K ) Dễ dàng kiểm tra xn n � �M(K ))  0�y0, có : (�y )rn  xnrn  arn�( j � xn J n 30 Bởi xn�A nên   �K cho y �A Ta lấy xn1  y 0�x0�x0� �x0�x0 Dễ kiểm tra xn1 thỏa mãn x1 n n1 Q trình xây dựng liên tục ta dãy tăng ngặt thực Điều dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện (A2) mâu thuẫn với giả thiết M tựa liên tục Mâu thuẫn chứng tỏ A = M nghĩa hạng tử trực tiếp địa phương M hạng tử trực tiếp M Định lý chứng minh hồn tồn 3.2 Sù ph©n tÝch ca cỏc môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp môđun hu hn trc tip v vụ hn túy trực giao 3.2.1.Định nghĩa Môđun M gọi môđun vô hạn túy M đẳng cấu với M �M Môđun M gọi hữu hạn trực tiếp M không đẳng cấu với hạng tử trực tiếp thực M 3.2.2.Bổ đề Giả sử M môđun tựa liên tục Khi đó: (i) M mơđun vơ hạn túy E(M) vô hạn túy (ii) M mơđun hữu hạn trực tiếp vµ chØ nÕu E(M) hữu hạn trực tiếp Chứng minh Nếu M vơ hạn túy M  M �M suy E(M)  E(M) �E(M) Vì E(M) vô hạn túy Đảo lại, giả sử E(M) vơ hạn túy Khi E(M)  E1�E2, với E(M)  E1 E2 , M tựa liên tục nên suy M  M1 � M2 , M1  M �E1, M2  M �E2 ( theo định lý 2.1.10) Do M1, M2 nội xạ lẫn E(M1)  E(M2) (theo [7, Lemma 1.16] suy M1  M M1 tựa nội xạ suy M, M1 nội xạ lẫn 31 Theo [7, Lemma 1.16] suy M  M1 ( E(M)  E(M1) M , M1 nội xạ lẫn Do M vơ hạn túy (ii) Nếu M hữu hạn trực tiếp ta chứng minh E(M) hữu hạn trực tiếp Giả sử E(M) hữu hạn trực tiếp Theo [7, Theorem 1.35] E(M)  D �P , với D hữu hạn trực tiếp P vô hạn túy Do M MǹD,N2 M P ( P 0) tựa liên tục kéo theo M  N1 �N2 , với N1 � N2 vơ hạn túy (theo (i)) N �Ź N N N N , N Điều suy M Khi M � 2 2 không hữu hạn trực tiếp (mâu thuẫn) Ngược lại, giả sử E(M) hữu hạn trực tiếp ta chứng minh M hữu hạn trực tiếp Thật vậy, giả sử M không hữu hạn trực tiếp Khi M  M Ź X, X 0, E(M) E(M)Ź E(X), E(X) 0( mâu thuẫn) Vậy M hữu hạn trực tiếp Bây ta định nghĩa khái niệm liên quan đến môđun tựa liên tục 3.2.3 Định nghĩa (1) M, N gọi trùc giao chúng khơng có mơđun đẳng cấu Đối với lớp môđun B cho trước ta ký hiệu B' gồm tất môđun trực giao với B Khi ta có B' chứa B B' = ((B')')' (2) Cho A, B hạng tử trực tiếp M A gọi phối cảnh với B tồn môđun X M , cho M  A�X  B�X A đợc gọi siêu phi cnh vi B với mơđun X M ta có M  A�X � M  B�X (3) Một phân tích mơđun thành tổng trực tiếp M  A�B gọi sai khác phép đẳng cấu (siêu phối cảnh) M có phân tích khác M  C �D hốn vị A đẳng cấu (siêu phối cảnh) với B C đẳng cấu (siêu phối cảnh) với D 32 3.2.4.Mệnh đề Hai bao đóng mơđun A môđun tựa liên tục M siêu phối cảnh với Chứng minh Giả sử M1, M2 hai bao đóng A M Vì M tựa liên tục suy Mi ��M Giả sử M  M1�X, với X môđun e M Vì A�M1� A�X  A� M2 nên M2 �X  Vì M thỏa mãn e e (C3) nên M2 �X � M Mặt khác A�M2� M2 �X � M1�X  M (vì A�e M ) M  M2 �X Điều suy M1, M2 siêu phối cảnh với Định lý sau kết trực tiếp t [7, Theorem 1.35] v định lý 2.1.10 3.2.5.nh lý Mọi mơđun tựa liên tục M có phân tích sai khác phối cảnh M  D �P , với D hữu hạn trực tiếp, P vô hạn túy, D P trực giao Chứng minh Theo Định lý 2.1.10 thỡ M l ta liên tục � Ei � M  � (M �Ei ) Do E(M) nội xạ nên theo Do E(M)  i� I i�I [7, theorem1.35] E(M)  D �P , với D hữu hạn trực tiếp, P vô hạn túy Do M tựa liên tục suy M  (D �M)�(P �M)  D'�P ' Suy E(D')  D nên E(P ')  P Theo Bổ đề 3.2.2 D' hữu hạn trực tiếp, P' vô hạn tỳy Định lý đợc chứng minh hoàn toàn 33 Kết luận Trong luận văn này, hệ thống lại số kết lớp môđun tựa liên tục phân tích môđun tựa liên tục Cụ thể, đà hệ thống chứng minh chi tiết công việc sau: Trình bày số đặc trng môđun tựa liên tục ( Định lý 2.1.10) Chứng minh chi tiết hạng tử trực tiếp môđun tựa liên tục môđun tựa liên tục ( Hệ 2.1.9) Điều kiện để tổng trực tiếp môđun tựa liên tục môđun tựa liên tục (Định lý 2.2.8) phân tích môđun tựa liên tục thành tổng trực tiếp môđun không phân tích đợc 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] S.T.Hu (1974), Đại số đại, (bản dịch tiếng Việt) [2] Nguyễn Hữu Việt Hng (1999), Đại số đại cơng, NXBGD, Hà Nội [3] N.T.Quang, N.D.Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXb i hc s phm, Hà Nội [4] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trng điều kiện liên tục lớp CS-môđun, LuËn ¸n phã tiÕn sü khoa häc To¸n-Lý TiÕng Anh [5] Anderson F.W, Fuller K.R (1974), Ring and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin [6] N.V.Dung, D.V.Huynh, P.F.Smith anh R.Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman London [7] S.H.Mohamed anh B.J.Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc.LN 147, Cambrideruniv, press 35 [8] Tung N.S , Some resulls on quasi - continuous modules, Acta Math Vietnam Vol No (1994) 13-19 ... Nội 1, ngời đà trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập lớp cao học 16 chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số Cũng tác giả xin đợc cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa