KỲ VỌNG có điều KIỆN và MARTINGALE

TRƯờNG ĐạI HọC VINH KHOA TOáN gdqp luõ Chuyên ngành: xác suất thống kê toán ứng dụng TÊN Đề TàI: Kỳ vọng có điều kiện MARTINGALE Lời nói đầu Martingale bắt nguồn từ trò chơi ngày đà trở thành công cụ toán học quan trọng lĩnh vực xác suất giải tích Lúc đầu lý thuyết martingale nghiên cứu vấn đề liên quan đến khái niệm nói trò chơi nhng sau đợc phát triển thành lĩnh vực toán học chặt chẽ có nhiều ứng dụng thống kê, giải tích hàm có nhiều ứng dụng thú vị thị trờng chứng khoán thực tế Về phơng diện xác suất, lý thuyết martingale mở rộng lý thuyết tổng biến ngẫu nhiên độc lập Công cụ then chốt để nghiên cứu martingale khái niệm kỳ vọng có điều kiện thời điểm dừng Vì lý việc nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện martingale ứng dụng chúng toán thực tế đà đợc nhiều tác giả nghiên cứu thời gian gần đợc đa vào nhiều giáo trình Vì điều kiện thời gianvà khuôn khổ tiểu luận có hạn nên tiểu luận em xin trình bày số khái niệm, định nghĩa tÝnh chÊt cđa martingale vµ øng dơng cđa nã toán chứng minh định lý Tiểu luận đợc hoàn thành dới giúp đỡ thầy giáo- Ths Nguyễn Thanh Diệu Nhân em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn, công việc bận rộn nhng dành thời gian tận tình đạo hớng dẫn em hoàn thành khoá luận Mục lục Lời nói đầu Kú väng cã ®iỊu kiƯn Thêi ®iĨm dõng .7 Martingale Thêi ®iĨm dõng bÊt kú Bất đẳng thức Doobs .8 Định lý hội tụ martingale øng dơng cđa martingale .11 S ù héi tô yÕu 14 Tài liệu tham khảo 18 Kú väng có điều kiện F G Nếu hai -trờng X biến ngẫu nhiên khả tích, đo ®ỵc ®èi víi G Kú väng cã ®iỊu kiƯn X G , đợc viết E [ X / F ] đợc đọc biến ngẫu nhiên (hoặc giá trị kỳ vọng ) X F biến ngẫu nhiên F -đo đợc Y cho E [ Y ; A] = E [ X ; A] víi mäi A ⊆ G ®èi với A F Xác suất có điều kiện -trờng F đợc xác định P ( A / F ) = E [ 1A / F ] Nếu Y1 , Y2 hai biến ngẫu nhiên F - đo đợc thoả mÃn E [ Y1 ; A] = E [ Y2 ; A] víi mäi A ⊆ F , Y1 = Y2 hầu chắn, kỳ vọng có điều kiện tơng đơng hầu chắn Trong trờng hợp X F -đo ®ỵc, E [ X / F ] = X Nếu X độc lập F E [ X / F ] = EX ,chøng minh hai tÝnh chất suy từ định nghĩa Cho ví dụ khác, thờng đợc dùng xác suất bản, { Ai } tập rêi cña Ω , P ( Ai ) > víi mäi i vµ F lµ σ -trêng sinh bëi Ai s th×:  n  P  AI Ai ÷ P ( A \ F ) = ∑  i =1 1Ai P ( Ai ) i Tõ suy vế phải F - đo đợc vµ kú väng cđa Ai lµ  n  P AI Ai ữ i =1 Tơng tự ví dụ trên, giả sử tung đồng tiền lần X i nhận giá trị phụ thuộc vào i nhận giá trị sấp ngửa Nếu A kết lần ®Ịu ngưa vµ Fi = σ ( X ,K , X n ) th× P ( A ) = 32 P ( A / F1 ) b»ng 1/16 ( X i = 1) ( X i = ) P ( A / F2 ) nhận giá trị 1/8 ( X = 1, X = ) trờng hợp khác Chúng ta có E  E [ X / F ]  = EX (1.1) E  E [ X / F ]  = E  E [ X / F ] ; Ω  = E [ X ; Ω ] = EX Sau dễ dàng thiết lập đợc Mệnh đề 1.1 (a) Nếu X Y khả tÝch , th× E [ X / F ] ≥ E [ Y / F ] hầu chắn (b) Nếu X ,Y khả tích a R , E [ aX + Y / F ] = aE [ X / F ] + E [ Y / F ] Chứng minh (a) Đ ặt Z = E [ X / F ] , T = [ Y / F ] Khi theo định nghĩa kỳ väng cã ®iỊu kiƯn ta cã Z ∈ F , T ∈ F , vµ víi mäi A ∈ F , ta cã ∫ ZdP = ∫ XdP ≥ ∫ YdP = ∫ TdP A A A A Do ®ã E [ X / F ] ≥ E [ Y / F ] hầu chắn (b) Đặt Z = E [ X / F ] , T = E [ Y / F ] Khi theo định nghĩa kỳ vọng có điều kiện ta có Mặt khác với ta có ( aZ + T ) dP = a ∫ ZdP + ∫ TdP A A A = ∫ ( aZ + T ) dP = a ∫ XdP + ∫ YdP = ∫ ( aX + Y ) dP A A A A Từ lập luận suy E ( aX + Y / F ) = aE ( X / F ) + E ( Y / F ) Từ kết có mệnh đề sau , Mệnh đề 1.2 (Bất đẳng thức Jensens kỳ vọng có điều kiện) Nếu g hàm lồi, X g(X) khả tích E g ( X ) / F  ≥ gE [ X / F ] , hầu chắn Chứng minh Do g hàm lồi nên có đạo hàm trái đạo hàm phải điểm Hơn ,các đạo hàm phía hàm không giảm ,do đo đợc Ngoài với x, x0 ¡ g ( x ) ≥ g ( x0 ) + g −' ( x0 ) ( x − x0 ) Thay X b ëi X , X b ởi E [ X / F ] vào bất đẳng thức ta đợc g ( X ) g ( E ( X / F ) ) + g −' ( E ( X / F ) ) ( X − E ( X / F ) ) ' §Ỉt A = ( E ( X / F ) < M , M > ) Khi ®ã g − ( E ( X / F ) ) bị chặn A I A g ( X ) ≥ I A g ( E ( X / F ) ) + I A g −' ( E ( X / F ) ) ( X − E ( X / F ) ) ' Do I A ∈ F , g − ( E ( X / F ) ) ∈ F , g ( E ( X / F ) ) ∈ F nªn I A g ( E ( X / F ) ) = E ( I A g ( X ) / F ) ≥ I A g ( E ( X / F ) ) hầu chắn Khi M th ì I A , nên từ bất đẳng thức ta suy E g ( x ) / F  ≥ gE [ X / F ] , hầu chắn Chúng ta có kết sau Mệnh đề 1.3 Nếu X XY khả tích Y đo đợc đối víi F th× E [ XY / F ] = YE [ E / F ] (1.2) Chøng minh NÕu A ∈ F th× víi mét sè B F, E 1∧ E [ X / F ] ; B  = E  E [ X / F ] ; A ∩ B  = E [ X ; A ∩ B ] = E [ 1∧ / B ] Khi E [ X / F ] đo đợc ®èi víi F ,tõ biĨu thøc (1.1) Y = 1∧ vµ A ∈ F Tõ biĨu thøc (9.1) Y đo đợc F , X XY khả tích Hai đẳng thức tơng đơng với Mệnh đề 1.4 Nếu ⊆ F ⊆ G th× E  E [ X / F ] / ε  = E [ X / ε ] = E  E [ X / ε ] / F  Chøng minh VÕ ph¶i dƠ dàng suy đợc E [ X / ] đo đợc, F đo đợc Đẳng thức bên trái xảy A Khi ® ã A cịng thc F, E  E  E [ X / F ] / ε  ; A = E  E [ X / F ] ; A = E [ X ; A] = E  E [ X / ε ] ; A Cả hai vế đo đợc, đẳng thức xảy Để chứng minh tồn E [ X / F ] ta làm nh sau Mệnh đề 1.5 Nếu X khả tích , E [ X / F ] tồn Chứng minh Để sử dơng tÝnh tun tÝnh, chóng ta chØ cÇn xem nh X Xác định độ đo Q F bëi Q ( A) = E [ X ; A] với A F Độ đo liên tục hoàn toàn P \ F , hạn chế P F Cho E [ X / F ] đạo hàm Radon Nykodym Q P \ F Đạo hàm Radon-Nykodym F đo đợc từ xây dựng điều kiện xác định biến ngẫu nhi ên Khi F = ( Y ) , cách thờng viết E [ X / F ] thay cho E [ X / F ] Kí hiệu thờng đựợc sử dụng (tuy nhiên trờng hợp khác với mục đích khác sử dụng cách viÕt E [ X / F = y ] §Þnh nghÜa sau, nÕu A ∈ σ ( Y ) th× A = ( Y ∈ B ) víi B tập Borel ( Y ) , 1V = 1B ( Y ) áp dụng tính tuyến tính giới hạn, Z ®o ®ỵc ®èi víi σ ( Y ) , z = f ( Y ) , với f hàm Borel đo đợc Đặt Z = E [ X / F ] độ đo Borel cho z = f ( Y ) th× E [ X / F = y ] định nghĩa f ( y ) NÕu X ∈ L2 vµ M ={ Y L2 : Y đo đợc F}, cã thÓ xem E [ X / F ] chÝnh phép chiếu X lên không gian M Chúng ta không sử dụng điều ghi chó Thêi ®iĨm dõng TiÕp theo chóng ta sÏ nãi vỊ thêi ®iĨm dõng GØa sư chóng ta cã mét d·y σ -tr êng Fi cho Fi Fi +1 cho i Trong ví dụ cã thÓ xem Fi = σ ( X ,K , X n ) Một ánh xạ ngẫu nhiên N ®i t õ ® Õn { 0,1 ,2 ,… } đợc gọi thời điểm dừng n , ( N Đn ) Fn Thời điểm dừng đợc gọi thời điểm tuỳ ý nguyên lí Markov Định nghĩa: Giả sử : N { } biến ngẫu nhiên lấy giá trị , ta nói thời điểm dõng Markow ®èi víi { ℑn ; n ∈ N } , nÕu { ω : τ ( ω ) = n} ∈ ℑn ; ∀n ∈ N NÕu thêm vào P ( < ) = đợc gọi thời điểm dừng Chú ý: thời điểm Markov { ω : τ ( ω ) ≤ n} ∈ ℑ ; ∀n ∈ N n Chóng ta thêng sư dơng kÝ hiÖu a ∧ b = ( a, b ) vµ a ∨ b = ( a, b ) Mệnh đề 2.1 (a) n không đổi thời điểm dừng (b) Nếu N1 N2 thời điểm dừng N1 N2 N1 N2 thời điểm dừng (c) Nếu Nn dÃy không giảm thời điểm dừng N =supn Nn thời điểm dừng (d) Nếu Nn dÃy không tăng thời điểm dừng N =inf Nn thời điểm dừng (e) Nếu N thời điểm dừng N +n thời điểm dõng Ký hiÖu FN ={ A : A ∩ ( N ≤ n ) ∈ Fn víi mäi n} Chøng minh (a) Dễ dàng suy từ định nghĩa thêi ®iĨm dõng (b) Ta cã : ( N1 ∧ N ≤ n ) = { N1 ≤ n} ∪ { N ≤ n} mµ { N1 ≤ n} ∈ Fn , { N ≤ n} ∈ Fn Suy ( N1 ∧ N ≤ n ) = { N1 ≤ n} ∪ { N ≤ n} ∈ Fn T¬ng tù ta cã : ( N1 ∨ N ≤ n ) = { N1 ≤ n} ∩ { N ≤ n} ∈ Fn Từ rút điều phải chứng minh ( c) + ( d) Điều phải chứng minh suy từ N = sup n { N k ≤ n} = ∩ { N k ≤ n} ∈ Fn vµ N = inf n { N k ≤ n} = ∪ { N k ≤ n} ∈ Fn (e) ¸p dơng (a) định nghĩa thời điểm dừng suy điều phải chứng minh Martingales Trong phần nói martingale Cho Fn dÃy không giảm -trờng Một dÃy biến ngẫu nhiên M n phù hợp với Fn với n, M n đo đợc đôí với Fn M n martingale M n phù hợp với Fn , M n khả tích với n E [ M n / Fn −1 ] = M n hầu chắn với n = 2,3 (11.1) NÕu chóng ta cã E [ M n / Fn1 ] M n1 ,hầu chắn với n chóng ta cã martingale trªn, martingale trªn cã tÝnh chất tăng Bây lấy ví dụ Nếu X i dÃy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Sn tổng riêng, M n = Sn martingale ,áp dơng tÝnh ®éc lËp ta cã E [ M n / Fn −1 ] = M n−1 + E [ M n − M n −1 / Fn−1 ] = M n−1 + E [ M n − M n −1 ] = M n −1 NÕu X i ' s có phơng sai M n = S n2 − n th× E  Sn2 / Fn −1  = E ( S n − S n −1 ) / Fn −1  + 2S n −1  S n2 / Fn −1  − S n2 = + Sn2−1 (sư dơng   tÝnh ®éc lËp) Tõ ®ã suy M n lµ martingale Từ ta có X L1 M n = E [ X / Fn ] , th× M n lµ martingale NÕu M lµ martingale vµ H n Fn với n, cã thĨ dƠ dµng kiĨm tra r»ng N n = ∑ i =1 H i ( M i − M i −1 ) cịng lµ martingale n NÕu M n martingale g ( M n ) khả tích với n,áp dụng bất đẳng thức Jensen ta cã: E  g ( M n −1 ) / Fn  ≥ g ( E [ M n −1 / Fn ] ) = g ( M n ) g ( M n ) martingale Tơng tự g hàm lồi không tăng [ 0, ) M n martingale dơng,thì M n martingale 10 E  g ( M n −1 ) / Fn  ≥ g ( E [ M n −1 / Fn ] ) = g ( M n ) Thêi ®iĨm dõng bÊt kú Chó ý nÕu lÊy kú väng ë (11.1), th × EM n = EM n −1 ,bằng phơng pháp quy nạp ta có EM n = EM Đ ịnh lí martingale tất kết khác định lý Doob thời điểm dừng bất kỳ,cùng đ óng nÕu chóng ta thay thÕ n bëi thêi ®iĨm dừng N Đó dạng khác phụ thuộc vào kỳ vọng đặt thời điểm dừng Định lý 4.1 Nếu N thời điểm dừng bị chặn hoàn toàn Fn M n martingale, EM n = EM Chøng minh Khi N bÞ chặn, đặt K giá trị lớn cã cđa N Chóng ta viÕt K K k =0 k =0 EM N = ∑ E [ M N ; N = k ] = ∑ E [ M k ; N = k ] Chó ý ( N = k ) Fi đo đợc j k , th× E [ M K ; N = k ] = E [ M k +1 ; N = k ] = E [ M k + ; N = k ] = = E [ M k ; N = k ] Do ®ã K K k =0 k =0 EM N = ∑ E [ M N ; N = k ] = ∑ E [ M k ; N = k ] Ta đà chứng minh xong Gỉa thiết N bị chặn không cần dùng đến vài ví dụ, M n tổng phần dÃy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối nhận giá trị , khả khác nhận giá trị 1/2 NÕu N = { i : M i = 1} , chóng ta thÊy r»ng N < ∞ 11 hầu chắn nhng EM N = = EM Chứng minh hoàn toàn nh định lÝ 12.1 cho ta hƯ qu¶ sau HƯ qu¶ 4.2 Nếu N bị chặn K M n martingale EM N EM K Hệ 4.3 Nếu N bị chặn K , A Fn M n martingale E [ M ∧ ; A] ≤ E [ M K ; A ] MƯnh ®Ị 4.4 NÕu N1 ≤ N thời điểm dừng bị chặn K M martingale E M N / FN = M N ,hầu chắn Chứng minh Gỉa sư A ∈ FN1 Chóng ta cÇn chØ E  M N ; A = E M N ; A Xác định thời ®iÓm dõng N bëi N1 ( ) , nÕu A N3 ( ) N2 ( ), nÕu A D ễ dàng kiểm tra đợc N3 thời điểm dừng ,v× vËy EM = EM K = EM hệ E M N1 ; A + E  M N2 ; Ac  = E  M N2  c Trõ E  M N ; A ta suy điều phải chứng minh Mệnh đề 4.5 Gỉa sử X k martingale dới với dÃy tăng trờng Fk Khi chóng ta cã thĨ viÕt X k = M k + Ak cho M k martingale phù hợp với Fk Ak dÃy biến ngẫu nhiên với Ak đo đợc Fk A0 ≤ A1 ≤ 12 Chøng minh Cho ak = E [ X n / Fn −1 ] − X k −1 víi k =1 ,2 , Khi X k k martingale trên,đối với ak Đặt AK = Mặt khác Ak tăng i =1 đo đợc với Fk Đặt M k = X k − Ak th× E [ M k +1 − M k / Fk ] = E [ X k +1 − X k ] − ak +1 = M k martingale Tổng hợp mệnh đề 4.4 4.5 có Hệ 4.6 Gỉa sử X k martingale N1 N thời điểm dừng bị chặn, E X N / FN1 X N1 Bất đẳng thức Doob Định lí 5.1 Nếu M n martingale martingale dới không âm P ( M n* a ) ≤ E  M n : M n* ≥ a  / a ≤ E M n / a Chøng minh Đặt M n +1 = M n N = { j : M j ≥ a} ∧ ( n + 1) Khi låi, M n * lµ martingale díi NÕu A = ( M n ≥ a ) , A FN v từ hƯ qu¶ 12.3 aP ( M n* ≥ a ) ≤ E [ M n ; A] ≤ E  M k ; A ≤ EM n Khi p>1 ta có bất đẳng thức sau Định lí 5.2 Nếu p > v µ EM ip < ∞ víi i ≤ n th× E( M ) * p n p  p  ≤ ÷ E Mn  p −1  n p * Chøng minh V× M n ≤ ∑ M n nªn M n* ∈ Lp Chóng ta viÕt i =1 13 ∞ ∞ p E ( M n* ) = ∫ pa p −1 P ( M n* ≥ a ) da ≤ ∫ pa p −1E  M n M * ≥ a / a da  ( n )  0 M n* = E ∫ pa p − M n da = ≤ ( p p E ( M n* ) p −1 ) p −1 p E ( M n* ) M n   p −1  ( p −1) / p ( E Mn ) p 1/ p Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Holders ( Bây chia hai vế đại lợng E ( M n* ) p ) ( p −1) / p Sù héi tơ ®èi víi Martingale Định lí hội tụ martingale hệ quan trọng thời điểm dừng ngẫu nhi ên Chính bổ đề cắt ngang.Số lần cắt ngang khoảng [ a, b] số lần chéo hoá từ dới lên từ giá trị a tới giá trị b Tiếp theo, đặt S1 = { k : X k ≤ a} ; T1 = { k ≥ S1 : X k ≥ b} vµ Si +1 = { k ≥ Ti : X k ≤ a} ; Ti +1 = { k ≥ Si +1 : X k b} Số lần cắt ngang U n trớc thời điểm n U n = max { j : T j n} Định lí 6.1 (Bổ đề cắt ngang) Nếu Xk maringale díi −1 + EU n ≤ ( b − a ) E ( X n − a )   Chứng minh Số lần cắt ngang [ a, b] X k + số lần c¾t ngang cđa [ 0,b − a ] bëi d·y Yk = ( X k a ) Hơn Yk martingale Nếu thu đợc bất đẳng thức cắt ngang đoạn [ 0,b a ] Yk , đạt đợc bất đẳng thức cắt ngang X Gỉa sử a = , Cố định n từ tính chÊt cña martingale ta suy Yn +1 = Yn Tơng tự nh ta suy Si v Ti , ' đặt Si = Si ( n + 1) 14 Tn' = Ti ∧ ( n + 1) Tõ Ti +1 > Si +1 > Ti th× Tn'+1 = n Chóng ta viÕt n +1 n +1 EYn +1 = EYS' ' + ∑ E YT ' − YS '  + ∑ E YT ' − YS '   i i   i−1 i −1  i =0 i =0 Tất số hạng vế phải không âm Yk chạy, YT YS b − a ,khi ®ã martingale díi Cho j i ' ' i YT ' − YS ' lín h¬n i i hc b»ng Nh vËy ∑( Y ∞ Ti' i =0 ) − YS ' ≥ ( b − a )U n i EU n ≤ EYn +1 / ( b − a ) Suy (4.8) Tõ ®ã ta có định lý hội tụ martingale Định lý 6.2 Nếu X n martingale cho sup n EX n+ < ∞ , th× X n héi tơ hầu chắn n Chứng minh §Ỉt U ( a, b ) = lim n→∞ U n Cho a, b số hữu tỷ dÃy đơn điệu EU ( a, b ) c ( b − a ) E ( X n − a ) < ∞ −1 + Nh vËy U ( a, b ) < hầu chắn Hợp tất cặp số hữu tỷ a,b thÊy d·y Xn (U ) kh«ng thĨ cã lim sup X n > lim inf X n Bëi X n hội tụ hầu chắn có quy luật giới hạn không đếm đợc xác suất Khi X n martingale dới, EX n EX , E X n = EX n+ + EX n− = EX n+ − EX n ≤ EX n+ EX áp dụng bổ đề Fatous, ta có E lim n X n ≤ sup n E X n < , X n hội tụ hầu chắn tới giới hạn hữu hạn Hệ 6.3 Nếu X n martingale dơng martingale bị chặn dới, X n hội tụ hầu chắn 15 Chứng minh Nếu X n martingale dơng , X n bị chặn O Bây áp dụng định lý 4.12 Nếu X n martingale bị chặn X n , giả sử X n bị chặn dới Khi X n + M với M không đổi không ảnh hởng đến hội tụ ,do giả sử X n bị chặn dới Bây khẳng định hệ Mệnh đề 6.4 Nếu X n lµ martingale víi sup n Enp < ∞ víi p > th× sù héi tơ Lp hôị tụ hầu chắn Điều X n lµ martingale díi NÕu X n lµ marting khả tích hội tụ L1 Khi X n → X ∞ L1 th × X n = E [ X ∞ / Fn ] X n martingale khả tích tập hợp biến ngẫu nhiên X n khả tích Chứng minh Sự hội tụ Lp đợc suy từ bất đẳng thức Doobs (Định l í 13.2) hội tụ chắn Sự hội tụ L1 đợc suy từ kh ẳng định sau hội tu hầu chắn khả tích hội tụ L1 Cuèi cïng nÕu j j lËp, ta có giá biểu thức sử dụng tính độc ∑ ( E Y ) P ( N ≥ j ) ≤ ( E Y ) ( + EN ) < ∞ j =0 j Tõ sù héi tơ tréi chóng ta cã ESn ∧ N → ES N §ång nhÊt Wald’s hai vÕ cđa biĨu thøc cho kú väng cđa S N Chóng ta cã thể dùng martingale để tìm xác suất chắn Mệnh ®Ị 7.2 GØa sư Yi l µ ®éc lËp cã cïng ph©n phèi víi P ( Y1 = 1) = , P ( Y1 = −1) = vµ Sn tổng riêng Gỉa sử a b 2 số nguyên dơng P ( Sn đạt đợc a trớc b) = b ( a + b ) NÕu N = { n : S n ∈ ( −a, b ] } th× EN = ab Chøng minh Sn2 − n lµ martingale ,do ®ã Sn2 − n = En∧ N Cho n → vế phải hội tụ tới EN hội tụ đơn điệu.Khi Sn N bị chặn tuyệt đối a + b ,thì vế trái hội tụ hội tụ đơn điệu tới ES N2 ,giá trị hữu hạn Do EN hữu hạn nên N hữu hạn hầu 18 chắn Sn martingale, ES n ∧ N = ES0 = Do héi tụ đơn điệu, mặt khác N < hầu chắn nên từ Sn N S N , chóng ta cã ES N = hc −aP ( S N = − a ) + bP ( S N = b ) = Chóng ta cịng cã P ( S N = −a ) + P ( S N = b ) = Giải hai phơng trình cho kết P ( S N = − a ) vµ P ( S N = b ) Khi EN = ES N2 = a P ( S N = −a ) + b P ( S N = b ) , còng cho ta hai kết nh Mệnh đề trên, chóng ta cho a → ∞ , chóng ta cã thÓ thÊy P ( Nb < ∞ ) = vµ ENb = ∞ Nb = { n : S n = b} TiÕp theo chóng ta cã dạng khác bổ đề B orel -Cantelli Mệnh đề 7.3 Giả sử An Fn P ( lim sup An )  ∞  vµ  ∑ P ( An Fn −1 ) = ∞ ÷  n =1 khác tập có độ đo không N Chứng minh Đặt X n = 1AN − P ( AM / FM −1 )  , X n − X n−1 ≤ cịng dƠ M =1 dµng suy E [ X n − X n −1 / Fn ] = nªn X n martingale Chúng ta cần chứng minh với hầu hết lim Xn tồn hữu hạn ngợc lại lim sup X n = lim inf X n = Mặt khác nÕu N = { n : X n ≤ −k } , th× X n ∧ N ≥ −k , áp dụng định lí hội tụ martingale th× X n ∧ N héi tơ Bëi vËy lim X n tồn hữu hạn tập ( N = ∞ ) Cßn nÕu lim X n không tồn không hữu hạn N < Điều với k, từ ®ã lim inf X n = −∞ Tõ ®ã lim sup X n = dĩ nhiên 19 Bây lim X n tồn hữu hạn P( A n / Fn ) < Mặt khác giới hạn không tồn không hữu hạn ∑1 A0 = ∞ vµ ∑ P( A n / Fn −1 ) = ∞ 8.Sù héi tô yÕu TiÕp theo chóng ta sÏ thÊy nÕu X i lµ ®éc lËp cã cïng ph©n phèi víi kú väng phơng sai Sn n hội tụ nh sau (( P Sn ) ) n ∈ [ a, b ] → P ( Z ∈ [ a, b ] ) với Z chuẩn thông thờng Nếu Sn n hội tụ theo xác suất hội tụ hầu chắn theo luật hội tụ tới số, mâu thuẫn với giả thiết Chúng ta cần tổng quát dạng hội tụ Chóng ta nãi Fn héi tơ u tíi F nÕu Fn ( x ) → F ( x ) víi x F liên tục Fn F hàm phân phối Chúng ta nói X n héi tơ u tíi X nÕu FX héi tụ yếu tới FX , Đôi nói X n hội tụ theo phân phối hôi tụ theo quy tắc tới X Xác suất àn hội tụ yếu hàm phân phối tơng ứng chúng hội tụ, điều tơng đơng với FM ( x ) = µn ( −∞, x ] héi tụ yếu Ví dụ sau giải thích hạn chế hội tụ tới điểm liªn tơc cđa F Cho X n = 1/ n với xác suất 1, X = với x¸c suÊt 0, FX b»ng nÕu x < trờng hợp khác n FX n ( x ) héi tơ tíi FX ( x ) víi mäi x trõ x = MƯnh ®Ị 8.1 X n héi tơ u tíi X vµ chØ Eg ( X n ) → Eg ( X ) 20 với g liên tục bị chặn Khái niệm Eg ( X n ) hội tụ tíi Eg ( X ) víi mäi g liªn tơc bị chặn với vài không gian metric đợc dùng nh định nghĩa hội tụ yếu X n không gian metric tổng quát Chứng minh Đầu tiên giả sử Eg ( X n ) héi tơ tíi Eg ( X ) Cho x điểm mà F liên tục ε >0, chän g cho F ( y ) − F ( x ) < ε nÕu y − x < δ Chän g liªn tơc cho g ( , x ] , nhận giá trị 1, [ x + δ , ∞ ) th× FX n ( x ) ≤ Eg ( X n ) → Eg ( X ) ≤ FX ( x + δ ) ≤ F ( x ) + ε T¬ng tù h hàm liên tục, nhận giá trị 1, ( , x ] [ x, ) , FX ( x ) ≥ Eh ( X n ) → Eh ( X ) ≥ FX ( x − δ ) ≤ F ( x ) − ε , ε tuú ý th× n FX n ( x ) FX ( x ) Bây giả sư X n héi tơ u tíi X NÕu a b điểm mà giá trị F F ( X n ) liên tơc th× E1[ a ,b] ( X n ) = FX n ( b ) − FX n ( a ) → F ( b ) − F ( a ) = E1[ a ,b] ( X ) ¸p dơng tÝnh tun tÝnh chóng ta cã Eg ( X n ) → Eg ( x ) víi g lµ hàm gián đoạn với điểm khoảng cách F ( X n ) vµ F ( x ) liên tục Do tập hợp điểm mà ®ã F ( X n ) hc F ( x ) không liên tục đếm đợc, xem vài hàm liên tục khoảng cách hàm có dạng, có Eg ( X n ) → Eg ( x ) víi tất g cho g đóng khoảng có điểm đầu mút mà đ ó F ( x ) liên tục g liên tục khoảng ®ã 21 Cho ε > v µ chän M cho FX ( M ) < − ε FX ( M ) < ,từ M M điểm FX FX n liên tục Từ đối số E ( 1[ − M ,M ] g ) ( X n ) → E ( 1[ − M ,M ] g ) ( X ) g hàm liên tục bị chặn Điểm khác E ( 1[ − M ,M ] g ) ( X ) Eg ( X ) bị chặn g ∞ P ( X n ∉ [ − M , M ] ) ≤ 2ε g ∞ lµ bị chặn Tơng tự thay X X n khác g P ( X n ∉ [ −M , M ] ) ≤ g ∞ P ( X ∉ [ − M , M ] ) Khi n t ăng nhỏ g ∞ Khi ε tuú ý Eg ( X n ) → Eg ( X ) víi g lµ hàm liên tục bị chặn Tiếp theo xem xét mối liên hệ hội tụ yếu hội tụ theo xác suất Từ ví dụ Sn n cho ta thÊy nã cã thĨ héi tơ u nhng không hội tụ theo xác suất Mệnh đề 8.2 (a) NÕu X n héi tơ theo x¸c st tíi x th× nã héi tơ u (b) NÕu X n héi tơ u tíi mét h»ng sè th× nã héi tụ theo xác suất ( c) (Định lý Slutskys ) Nếu X n hội tụ yêú tới X Yn héi tơ u tíi h»ng sè c th× X n + Yn héi tơ u tíi X + c vµ X nYn héi tơ u tíi cX Chøng minh: Để chứng minh (a) ta cho g hàm bị chặn liên tục Nếu n j dÃy tồn dÃy lớn cho X ( n jk ) hội tụ hầu chắn tới X Thì từ hội tụ đơn điệu ( ) Eg X ( n jk ) → Eg ( X ) Thoả mÃn để Eg ( X n ) héi tơ tíi Eg ( X ) Tõ (b), nÕu X n héi tơ u tíi c P ( X n − c > ε ) = P ( X n > c + ε ) = 1− P ( X n > c + ε ) → 1− P ( c ≤ c + ε ) = Chóng ta sư dơng ý nÕu Y ≡ c th× c + điểm liên tục 22 FY Vế lại cho ta P ( X n − c ≤ ε ) → th× P ( X n − c > ε ) → B©y chứng minh vế đầu ( c), phần lại dành cho ngời đọc Cho x điểm cho x c điểm liên tơc cđa FX Chän ε cho x − c + điểm liên tục P ( X n + Yn ≤ x ) ≤ P ( X + c ≤ x + ε ) + P ( Yn − c > ε ) → P ( X ≤ x − c + ε ) Tõ limsupP ( X n + Yn ≤ x ) ≤ P ( X + c ≤ x + ε ) , bé tuỳ ý nên x-c liên tục cđa FX th× limsupP ( X n + Yn ≤ x ) ≤ P ( X + c ≤ x ) , với lim inf đợc làm tơng tự Chúng ta nói dÃy hàm ph ân phối { Fn } chặt với > , tån t¹i M cho Fn ( M ) ≤ − ε vµ Fn ( − M ) ≤ với n Một dÃy biến ngẫu nhiên chặt hàm phân phối tơng ứng chặt, ®iỊu ®ã cã nghÜa lµ P ( X n ≥ M ) Định lí 8.3 (Định lý Hellys) Cho Fn dÃy hàm phân phối chặt Thì tồn dÃy n j hàm phân phối F cho Fn héi tơ u tíi F Chøng minh Cho qk tập hợp đếm đợc số h÷u tû Khi Fn ( qk ) ∈ [ 0;1] mét v µi d·y cã mét d·y héi tơ Sư dơng chÐo ho¸ cho Fn ( qk ) hội tụ với qk gọi giới hạn F ( qk ) F không giảm xác ®Þnh F ( x ) = inf q F ( qk ) , F liên tục phải không giảm k +n Nếu x điểm liên tục F r tồn s hữu tû cho r < x < s vµ F ( s ) − ε < F ( x ) < F ( s ) + ε th× Fn1 ( x ) ≥ Fn1 ( γ ) → F ( γ ) > F ( x ) − ε vµ Fn1 ( x ) ≤ Fn1 ( s ) → F ( s ) > F ( x ) + ε Khi ε tuú ý Fn ( x ) → F ( x ) 23 Khi Fn chỈt, tån t¹i M cho Fn ( − M ) < ε th× Fn ( − M ) ≤ ε , ®iỊu nµy cã nghÜa lµ lim x →∞ F ( x ) = T¬ng tù ta thÊy lim x →∞ F ( x ) = Tõ F hàm phân phối Kết luận đa cách dễ dàng nhờ kiểm tra tiêu chuẩn tập chặt 24 Tài liệu tham khảo Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lý thuyết xác suất, NXB Gi¸o dơc, 2000 Ngun Duy TiÕn- Vị Việt Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Gíao dục, 2000 Nguyễn Văn Quảng, Các định lý giới hạn lý thuyÕt x¸c suÊt, Vinh, 2008 Y.S Chow and H Teicher ; Probability Theory: Independence, Interchangeability, martingale Gebiete 55 119 - 122 1981 J Neveu , Discrete – Parameter Martingales, Amsterdam Oxford, Inc New York 1975 D Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press 1991 10 P Hall, C C Heyde ; Martingale Limit Theory and its application, 11 Academic Press, Inc New York 1980 25 ... nhiên độc lập Công cụ then chốt để nghiên cứu martingale khái niệm kỳ vọng có điều kiện thời điểm dừng Vì lý việc nghiên cứu kỳ vọng có điều kiện martingale ứng dụng chúng toán thực tế đà đợc... F ] hầu chắn (b) Đặt Z = E [ X / F ] , T = E [ Y / F ] Khi theo định nghĩa kỳ vọng có điều kiện ta có Mặt khác với ta có ( aZ + T ) dP = a ∫ ZdP + ∫ TdP A A A = ∫ ( aZ + T ) dP = a ∫ XdP + ∫... Từ kết có mệnh đề sau , Mệnh đề 1.2 (Bất đẳng thức Jensens kỳ vọng có điều kiện) Nếu g hàm lồi, X g(X) khả tích E g ( X ) / F  ≥ gE [ X / F ] , hầu chắn Chứng minh Do g hàm lồi nên có đạo