b Xác định đường thẳng đi qua A4; 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố.. Hai tiếp tuyến này cắt nhau tại[r]
(1)UBND HUYỆN KHOÁI CHÂU PHÒNG GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI Năm học 2013 - 2014 Môn: Toán – Lớp Thời gian làm bài 150 phút (không kể giao đề) Câu (2điểm): a) Cho S = 20 + 11+ 20 + 11+ (có 2014 dấu căn) Chứng minh S < b) Xác định đường thẳng qua A(4; 3), cắt trục tung điểm có tung độ là số nguyên dương và cắt trục hoành điểm có hoành độ là số nguyên tố Câu (2điểm): a) Giải phương trình: x5- x4 - x3 - 11x2+25x - 14 = x y xy 3x y 0 4x y x 2x y x y b) Giải hệ phương trình: Câu (2 điểm): 11 x - - 2x +1 = 3y - 4y -1 a) Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn: b) Cho N = 1.3.5.7.9 2013 Chứng minh ba số 2N-1; 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương Câu (3điểm): Cho (O) và (O’) nằm ngoài Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung EF (A và E thuộc (O); B và F thuộc (O’)) Hai tiếp tuyến này cắt M a) Chứng minh tam giác AOM và tam giác BMO’đồng dạng b) Chứng minh AE vuông góc với BF c) Gọi N là giao điểm AE và BF Chứng minh O, N, O’ thẳng hàng Câu (1điểm) Cho ba số dương x, y, z cho x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z S = y 1 z 1 x 1 (2) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm 20 + 20 + 20 + 20 + + 25 a S = 20 + 11+ 20 + 11+ < b Giả sử đường thẳng cần tìm cắt trục hoành điểm có hoành độ là a, cắt trục tung điểm có tung độ là b thì đường thẳng có dạng 1,00 1,00 x y + =1 a b Câu 12 + = hay b = + a-4 Vì điểm A(4; 3) thuộc đường thẳng nên a b Do a là số nguyên tố, b là số nguyên dương nên tìm a = 5, b = 15 và a = b =7 Câu a 1,00 b (1) y = 2x + hay y = x + TH1 : y = 2x + Thế vào (2) ta có : f(x) = x x 3 x g ( x) ( x 1,00 ) ; x = (vì f đồng biến, g nghịch biến trên Vậy x = và y = TH2 : y =x + Thế vào (2) ta có : x x 3 x x ( x ) (3) 3x x 3( x 1) x x x ( x 1) x ( x 2) 3( x 1) x x2 x x2 x 3( x x) x ( x 1) x ( x 2) 1 1 3 x ( x 1) x ( x 2) (VN) x2 – x = hay x = x = x = y = 1; x = y = Vậy nghiệm hệ là (x; y) = (0; 1) và (x; y) = (1; 2) Câu a * Bình phương số nguyên không có dạng 4m+3 nên vô tỉ với số nguyên y (y 1/4) 4y -1 là số 1,00 11 x+2 (*) 4y -1 - 2x +1 = x = 11 11 y = 3y - x + 3y - x + = 5 Vì là số hữu tỉ nên (*) x 5 Vậy các giá trị nguyên dương x, y cần tìm là y 3 PT 4y -1 - 2x +1 = 3y - b * 2N là số chẵn dễ thấy 2N không chia hết cho nên không phải là số chính phương 1,00 * Một số chính phương không chia hết cho thì chia dư là (vì (3k 1)2 = (3k2 2k)+1) Mà ta có 2N -1 = 2N – + chia cho dư là nên 2N -1 không là số chính phương * Giả sử 2N + = k2 (k lẻ) 2N = (k+1)(k-1) Do k lẻ nên (k+1)(k-1) chia hết cho 4, mà 2N không chia hết cho Vậy không tồn k thỏa mãn, nên 2N + không là số chính phương Câu a Ta có AOM BMO ' (g.g)( chú ý AOM BMO ') 1,00 b Ta có MO vuông góc với AE, MO’ vuông góc với BF Mà MO vuông góc với MO’ (tia phân giác hai góc kề bù) nên AE vuông góc với BF c Gọi I là giao điểm OM với AE 1,00 Ta có OIN OMO ' (suy từ câu a) với chú ý MK = IN) Nên ION MOO ' 1,00 (4) Do đó có đpcm Câu x xy xy xy x x x 2 y 1 2y Ta có y y yz z xz y ; z x 1 Tương tự ta có z x y z xy yz zx x y z Nên y z x Chứng minh xy yz zx 3 x y z Từ đó có y z x 2 Dễ thấy x = y = z = thì S = Vậy GTNN S là 1,00 (5)