Xác định điều kiện của m để khoảng cách từ O đến d là lớn nhất.. Kẻ tiếp tuyến MA, MB với O.[r]
(1)Câu (2.5đ) ĐỀ HSG TOÁN HUYỆN THANH HÀ NĂM HOẠC 2015 – 2016 x 8x x 1) Cho biểu thức A : x 2 x 4x x2 x a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - 2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a b c = a b c Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c) Câu (1.5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: (m – 4)x + (m – 3)y = (với m là tham số) Xác định điều kiện m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn Câu (2.0đ) 1) Giải phương trình x x x 18x 85 1 2) Tìm x, y biết rằng: x y 2,5 2x 3y 2 Câu (3 đ) 1) Cho điểm M nằm ngoài (O; R) Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm với (O) MO cắt AB H Qua H kẻ dây CD bất kì (O) (Dây CD không trùng với dây AB, không qua O) a) Chứng minh AB < CD b) Kẻ tiếp tuyến C, D với (O) cắt N Chứng minh MN // AB 2) Không sử dụng máy tính bỏ túi Hãy tính chính xác cos36 Câu (1đ) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2a b c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 (2) SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI: Câu (2.5đ) x 8x x 1) Cho biểu thức A : x 2 x 4x x2 x HD: a) Rút gọn A: ĐK: x > 0; x x 8x x A : x 2 x 4x x2 x x x 8x x 2( x 2) (2 x )(2 x ) x( x 2) x 4x x( x 2) A (2 x )(2 x ) x A x 2 x : x(2 x ) (2 x )(2 x ) 3 x 4x A 3 x b) Tìm x để A = - A x 1 4x Ta có A = - 1 4x x x = 9/16 (thỏa mãn) x3 3 x 2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a b c = a b c Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c) HD: Từ a b c = a + b + c + 2( ab ac bc) 2+ 2( ab ac bc ) = ab ac bc = + a = ab ac bc + a = ( a b)( a c) Tương tự, + b = ( b c)( b a ) ; + c = ( c b)( c a ) (1 + a)(1 + b)(1 + c) = ( b c)( b a )( c a ) 2 = (1 a)(1 b)(1 c) ( b c)( b a )( c a ) Lại có: a b c = 1 a 1 b 1 c (1) a ( b c) b( a c) c( a b) ( a b)( b c)( c a ) (3) ab ac bc ab ac bc = (2) ( a b)( b c)( c a ) ( a b)( b c)( c a ) Từ (1) và (2) điều phải chứng minh Câu (1.5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: (m – 4)x + (m – 3)y = (với m là tham số) Xác định điều kiện m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn HD: + m = thì (d) có phương trình y = khoảng cách từ O tới (d) đơn vị độ dài (1) + m = thì (d) có phương trình – x = khoảng cách từ O tới (d) đơn vị độ dài (2) + m và m = (d) cắt Ox A ;0 và cắt Oy A 0; tạo thành OAB vuông O m4 m 3 Kẻ OH AB H thì 1 1 2 OH OA OB 2 (m 4)2 (m 3)2 = 2m – 14m + 25 OH 2 4m – 28m + 50 = (2m – 7) + OH OH OH Dấu “=” xảy m = 7/2 Từ (1), (2), (3) OHmax = m = 7/2 Câu (2.0đ) 1) Giải phương trình HD: x x x 18x 85 Ta có: (12 12 ).(7 x x 1) 2.8 (3) x x 1 x x 1 x x Dấu “= “ xảy x = (1) Lại có: x4 – 18x2 + 85 = (x2 – 9)2 + Dấu “= “ xảy x = x = - (2) Từ (1) và (2) phương trình có nghiệm x = 1 2) Tìm x, y biết rằng: x y 2,5 2x 3y 2 HD: 2 x y 2,5 2x 3y x y 2x 3y 2 x 2 x y 0 y (4) Câu (3 đ) 1) Cho điểm M nằm ngoài (O; R) Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm với (O) MO cắt AB H Qua H kẻ dây CD bất kì (O) (Dây CD không trùng với dây AB, không qua O) a) Chứng minh AB < CD b) Kẻ tiếp tuyến C, D với (O) cắt N Chứng minh MN // AB 2) Không sử dụng máy tính bỏ túi Hãy tính chính xác cos36 HD: 1a) Kẻ OK CD K thì H và K không trùng OK < OH AB < CD 1b) CO2 = OK.ON; OB2 = OH.OM mà OB = OC OK.ON = OH.OM từ đó chứng minh OKH ~ OMN OMN OKH 900 NM OM mà AB OM MN // AB A C M H B N 2) Giả sử ABC cân A có A = 360, B C = 720 Kẻ CH AB, lấy D trên AB cho HB = HD CBD cân C có BCD = 36 Chứng minh ADC cân D Kẻ DK AC Đặt BC = a thì AD = DC = a Đặt AK = KC = x thì ta có AB = AC = 2x, BD = 2x – a ABC có CD là phân giác DA/DB = CA/CB 2 2 a/(2x – a) = 2x/a a = 4x – 2ax 4x – 2ax – a = 2 (2x – a/2) = 5a /4 x = (1 + 5)/4 (nghiệm dương) cos36 = x = (1 + 5)/4 Câu (1đ) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2a b c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 HD: + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c) Tương tự, + b2 = (b + c)(b + a); + c2 = (c + a)(c + b) O K D A D H B K C (5) 2a b c = 2a b c (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) a2 b2 c2 2a 2a 2b b 2c c = ab ac a b 2(b c) a c 2(b c) Ta có: 2a 2a 2a 2a ; a b a c a b a c 2b b 2b b a b 2(b c) a b 2(b c) 2c c 2c c a c 2(b c) a c 2(b c) 2a 2a 2b b 2c c ab ac a b 2(b c) a c 2(b c) 2a 2a 2b b 2c c a b a c a b 2(b c) a c 2(b c) 2a b c 1 = 2 a2 b2 c2 Dấu “ = ” xảy a = 7b = 7c = 15 (6)