De va dap an thi hoc sinh gioi Toan 9 nam 2015 2016 huyen Thanh Ha Hai Duong

Xác định điều kiện của m để khoảng cách từ O đến d là lớn nhất.. Kẻ tiếp tuyến MA, MB với O.[r]

Câu (2.5đ) ĐỀ HSG TOÁN HUYỆN THANH HÀ NĂM HOẠC 2015 – 2016  x 8x   x   1) Cho biểu thức A    :     x  2 x 4x x2 x a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - 2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a  b  c = a b c Chứng minh rằng:    1 a 1 b 1 c (1  a)(1  b)(1  c) Câu (1.5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: (m – 4)x + (m – 3)y = (với m là tham số) Xác định điều kiện m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn Câu (2.0đ) 1) Giải phương trình  x  x   x  18x  85 1 2) Tìm x, y biết rằng: x  y  2,5  2x  3y 2 Câu (3 đ) 1) Cho điểm M nằm ngoài (O; R) Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm với (O) MO cắt AB H Qua H kẻ dây CD bất kì (O) (Dây CD không trùng với dây AB, không qua O) a) Chứng minh AB < CD b) Kẻ tiếp tuyến C, D với (O) cắt N Chứng minh MN // AB 2) Không sử dụng máy tính bỏ túi Hãy tính chính xác cos36 Câu (1đ) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2a b c Chứng minh rằng:     a2  b2  c2 SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI: Câu (2.5đ)  x 8x   x   1) Cho biểu thức A    :     x  2 x 4x x2 x HD: a) Rút gọn A: ĐK: x > 0; x   x 8x   x   A      :   x  2 x 4x x2 x   x  x  8x x   2( x  2) (2  x )(2  x ) x( x  2) x  4x x( x  2) A (2  x )(2  x )  x A  x 2 x  :  x(2  x ) (2  x )(2  x ) 3 x 4x A 3 x b) Tìm x để A = - A  x  1 4x Ta có A = -   1  4x  x      x = 9/16 (thỏa mãn)  x3 3 x  2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a  b  c = a b c Chứng minh rằng:    1 a 1 b 1 c (1  a)(1  b)(1  c) HD: Từ a  b  c =  a + b + c + 2( ab  ac  bc)   2+ 2( ab  ac  bc ) = ab  ac  bc =  + a = ab  ac  bc + a = ( a  b)( a  c) Tương tự, + b = ( b  c)( b  a ) ; + c = ( c  b)( c  a )   (1 + a)(1 + b)(1 + c) = ( b   c)( b  a )( c  a )   2 = (1  a)(1  b)(1  c) ( b  c)( b  a )( c  a ) Lại có: a b c   = 1 a 1 b 1 c (1) a ( b  c)  b( a  c)  c( a  b) ( a  b)( b  c)( c  a ) ab  ac  bc  ab  ac  bc = (2) ( a  b)( b  c)( c  a ) ( a  b)( b  c)( c  a ) Từ (1) và (2)  điều phải chứng minh Câu (1.5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: (m – 4)x + (m – 3)y = (với m là tham số) Xác định điều kiện m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn HD: + m = thì (d) có phương trình y =  khoảng cách từ O tới (d) đơn vị độ dài (1) + m = thì (d) có phương trình – x =  khoảng cách từ O tới (d) đơn vị độ dài (2) + m  và m  =    (d) cắt Ox A  ;0  và cắt Oy A  0;  tạo thành  OAB vuông O m4   m 3 Kẻ OH  AB H thì  1 1   2 OH OA OB 2  (m  4)2  (m  3)2 = 2m – 14m + 25 OH 2  4m – 28m + 50 = (2m – 7) +  OH  OH   OH  Dấu “=” xảy  m = 7/2 Từ (1), (2), (3)  OHmax =  m = 7/2 Câu (2.0đ) 1) Giải phương trình HD:  x  x   x  18x  85 Ta có: (12  12 ).(7  x  x  1)   2.8   (3)  x  x 1     x  x 1   x  x   Dấu “= “ xảy  x = (1) Lại có: x4 – 18x2 + 85 = (x2 – 9)2 +  Dấu “= “ xảy  x = x = - (2) Từ (1) và (2)  phương trình có nghiệm x = 1 2) Tìm x, y biết rằng: x  y  2,5  2x  3y 2 HD: 2 x  y  2,5  2x  3y  x  y   2x  3y  2 x  2  x  y 0   y      Câu (3 đ) 1) Cho điểm M nằm ngoài (O; R) Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm với (O) MO cắt AB H Qua H kẻ dây CD bất kì (O) (Dây CD không trùng với dây AB, không qua O) a) Chứng minh AB < CD b) Kẻ tiếp tuyến C, D với (O) cắt N Chứng minh MN // AB 2) Không sử dụng máy tính bỏ túi Hãy tính chính xác cos36 HD: 1a) Kẻ OK  CD K thì H và K không trùng  OK < OH  AB < CD 1b) CO2 = OK.ON; OB2 = OH.OM mà OB = OC  OK.ON = OH.OM từ đó chứng minh  OKH ~  OMN    OMN  OKH  900  NM  OM mà AB  OM  MN // AB A C M H B N 2)  Giả sử  ABC cân A có A = 360, B  C = 720 Kẻ CH  AB, lấy D trên AB cho HB = HD    CBD cân C có BCD = 36 Chứng minh  ADC cân D Kẻ DK  AC Đặt BC = a thì AD = DC = a Đặt AK = KC = x thì ta có AB = AC = 2x, BD = 2x – a  ABC có CD là phân giác  DA/DB = CA/CB 2 2  a/(2x – a) = 2x/a  a = 4x – 2ax  4x – 2ax – a = 2  (2x – a/2) = 5a /4  x = (1 + 5)/4 (nghiệm dương)  cos36 = x = (1 + 5)/4 Câu (1đ) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2a b c Chứng minh rằng:     a2  b2  c2 HD: + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c) Tương tự, + b2 = (b + c)(b + a); + c2 = (c + a)(c + b) O K D A D H B K C  2a  b  c = 2a b c   (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)  a2  b2  c2 2a 2a 2b b 2c c =   ab ac a  b 2(b  c) a  c 2(b  c) Ta có: 2a 2a  2a 2a     ; a  b a  c  a  b a  c  2b b  2b b     a  b 2(b  c)  a  b 2(b  c)  2c c  2c c     a  c 2(b  c)  a  c 2(b  c)   2a 2a 2b b 2c c   ab ac a  b 2(b  c) a  c 2(b  c)  2a 2a 2b b 2c c         a  b a  c a  b 2(b  c) a  c 2(b  c)  2a b c  1         =  2  a2  b2  c2  Dấu “ = ” xảy  a = 7b = 7c = 15