Đang tải... (xem toàn văn)
Do đó C, N, E thẳng hàng Chứng minh được tam giác EBC = tam giác PCD, suy ra BE = CP Mà tứ giác EBCM là hình chữ nhật nên BE = CM, do vậy CP = CM Tam giác PCM cân có CA là phân giác nên [r]
(1)PHÒNG GD&ĐT KHOÁI CHÂU ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán – Lớp Thời gian làm bài 150 phút (không kể giao đề) Câu 1: (2 điểm) 2 3 a) Cho x, y thỏa mãn x y- y +1+ y+ y +1 Tính giá trị biểu thức: A x +x y+3x +xy- 2y +1 b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d1: y = (2m2 + 1) x +2m – và d2: y = m2x + m -2 Chứng minh m thay đổi, giao điểm hai đường thẳng trên luôn nằm trên đường thẳng cố định Câu 2: (2 điểm) a) Giải phương trình: 2x – 5x +2 = 2( x 21x 20) x y x y 8 xy ( x 1)( y 1) 12 b) Giải hệ phương trình: Câu 3:(2 điểm) a) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết chữ số nó tăng thêm đơn vị thì số chính phương 2 y x xy y x 0 3 b) Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình: x y x y 8 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có phân giác AD và trung tuyến AM Vẽ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ADM, hai đường tròn này cắt điểm thứ hai I Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB, AC theo thứ tự E và F Tia AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC J a) Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng b) Gọi K là trung điểm EF, tia MK cắt AC và BA thứ tự P và Q Hỏi tam giác PAQ là tam giác gì? Vì sao? Trên cạnh CD hình vuông ABCD lấy điểm M (khác C và D) Các đường tròn đường kính CD và AM cắt điểm thứ hai N (khác D) Tia DN cắt BC P Chứng minh AC vuông góc với PM Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: P x 4x x 6x 13 Họ và tên học sinh:………………………………………………………………… Ghi chú: Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm (2) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu 1: a) Có x= y- y2 + x = 2y +3 y - y+ y2 + 0,25 y + y+ y + y 2 y +1 y+ y +1 2 x + 3x -2y = A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 1 x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 0,25 0,25 0,25 b) * Chứng minh hai đường thẳng cắt m 3m m ; m2 1 Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng là A( m ) Suy yA= xA- KL tọa độ giao điểm luôn thuộc đường thẳng cố định y = x -3 Câu 2: a) ĐKXĐ: x 1; x 5 Viết PT dạng 2(x 2 – 4x -5)+3(x+4) = ( x 4)[2( x x 5)] 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt a = 2( x x 5) và b= x PT a2 – 4ab + 3b2 = Tìm a = b và a = 3b Trả biến, tìm nghiệm PT đã cho 0,25 0,25 b) Đưa hệ dạng 0,25 x( x 1) y ( y 1) 8 xy ( x 1)( y 1) 12 Đặt a = x(x+1) và b = y(y+1) có hệ ẩn a, b là: Giải hệ tìm (a;b) = ( 2;6) và (a;b) = (6;2) Trả biến nghiệm hệ đã cho a b 8 ab 12 0,25 0,25 0,25 (3) Câu 3: a) Gọi số cần tìm là abcd Ta có abcd = x2 và abc(1)d = y2 Suy y2 - x2 = 1111 nên (y-x)(y+x) = 1111 Ta có x, y là các số có hai chữ số ( vì có từ chữ số trở nên chữ số thì bình phương không thể là số có chữ số) 1111 có hai cách phân tích là 1111 = 11.101 = 1.1111 y x 11 y x 101 x 45 y 56 0,25 0,25 0,25 Nên có thể xảy Thử lại có x2 = abcd = 2015 và y2 = (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) = 3136 Vậy số cần tìm là 2025 0,25 PT thứ tương đương với (x+2y+2)(y-x) = Xét trường hợp và giải các nghiệm trường hợp: 0,25 b) 0,5 x y 1 x y x y 7 x y ; ; y x y x y x y x KL nghiệm nguyên thỏa mãn bài toán là (x;y) = (1;2) 0,25 Câu 4: (2 điểm) BD.BM CM CD a) (1 điểm)Có BE.BA = BD.BM nên BE = BA Tương tự: CF = CA BD CD Áp dụng tính chất phân giác có BA CA , BM = CM(gt) Từ đó có BE = CF Góc EBI = góc ICF, góc AEI = góc AFI nên góc IEB = góc IFC Suy tam giác BEI = tam giác CFI nên IB=IC Do đó IM vuông góc với BC( M là trung điểm BC) Nên IM qua J, suy đpcm b) (1 điểm)Gọi G và H là trung điểm BF và CE Chứng minh tứ giác KGMH là hình thoi Suy KM là phân giác góc GKH nên KM//AD Do đó góc AQP = góc APQ Suy tam giác PAQ cân 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) (1điểm) Gọi giao điểm đường tròn đường kính AM với cạnh AB là E Ta có AE là đường kính nên góc END = 900, góc CND = 900 Do đó C, N, E thẳng hàng Chứng minh tam giác EBC = tam giác PCD, suy BE = CP Mà tứ giác EBCM là hình chữ nhật nên BE = CM, CP = CM Tam giác PCM cân có CA là phân giác nên CA là đường cao 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5:(1 điểm) P x 2 12 x 3 0,25 22 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) AB x x 3 2 25 26 0,25 Ta chứng minh đợc: OA x 2 12 , x 2 OB 12 x 3 22 x 3 2 26 MÆt kh¸c ta cã: OA OB AB DÊu “=” x¶y A thuéc ®o¹n OB hoÆc B thuéc ®o¹n OA x x 7 x 3 Thö l¹i x = th× A(5; 1); B(10; 2) nªn A thuéc ®o¹n OB VËy Max P 26 x = 0,25 0,25 (5)