Phép thử ngẫu nhiên: Là một thí nghiệm hay hành động mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.. Khái ni[r]
(1)I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT Phép thử ngẫu nhiên: Là thí nghiệm hay hành động mà kết nó không đoán trước có thể xác định tập hợp tất các kết có thể xảy phép thử đó Ký hiệu T Khái niệm: Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy hay không xảy A phụ thuộc vào kết phép thử T Tập hợp các kết thuận lợi A ký là A Số kết Không gian mẫu: Là tập hợp tất các kết có thể xảy phép thử Ký hiệu: Số phần tử không gian mẫu ký hiệu: n() Xác suất thuận lợi biến cố A ký là n( A ) Các biến cố đặc biệt: Biến cố Biến cố không: Tập hợp gọi là biến cố không Biến cố chắn: Tập hợp gọi là biến cố chắn Định nghĩa cổ điển xác suất: Gỉa sử phép thử T có không gian mẫu là tập hợp hữu hạn và các kết T là đồng khả Nếu A là biến cố liên quan đến phép thử T và Xác suất biến cố A là tập hợp các kết thuận lợi cho A thì xác suất biến cố A là số ký hiệu là P(A) P ( A) n ( A ) n ( ) Bài 1: Xét phép thử T: Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hai súc sắc Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt hai súc sắc là số lẻ chia hết cho Bài làm: Xét phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai súc sắc’’ (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 6) (2,1), (2, 2), (2,3), (2, 6) (6,1), (6, 2), (6,3), (6, 6) Mô tả không gian mẫu: => n()=6.6=36 phần tử Xét biến cố A: “Tổng số chấm tròn mặt xuất hai súc sắc 8.” Tập A các kết thuận lợi A : A (2, 6), (6, 2), (3,5), (5,3), (4, 4) n( A ) 5 (2) PA n ( A ) n() 36 Xác suất biến cố A: Xét biến cố B: “Tổng số chấm xuất trên mặt hai súc sắc là số lẻ chia hết cho 3.” (1, 2);(1, 4); (1,5); (1, 6) (2,1);(2,3); (2, 4); (2,5) (3, 2); (3,3);(3, 4); (3, 6) B n B 24 (4,1);(4, 2);(4,3); (4,5) (5,1);(5, 2); (5, 4); (5, 6) (6,1);(6,3); (6,5); (6, 6) P( B) n( B ) 24 n() 36 Bài 2: Một máy bay có phận A, B, C, D đặt liên tiếp Máy bay rơi có viên đạn trúng vào cùng phận phận kề trúng đạn Tìm xác suất để máy bay rơi trường hợp: a/ phận có diện tích và máy bay trúng hai viên đạn b/ Các phận B,C, D có diện tích và nửa diện tích phận A và máy bay trúng hai viên đạn Bài làm a/ Đánh số phận A,B,C,D là 1,2,3,4 Phép thử T: ‘‘máy bay trúng hai viên đạn’’ (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4) (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4) n( )= 4.4=16 phần tử Không gian mẫu: Xét biến cố A: máy bay rơi Tập A các kết thuận lợi A : A (1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (1, 2), (2,1), (2,3), (3, 2), (3, 4), (4,3) n( A ) 10 P( A) Xác suất A: n ( A ) n ( ) Bài 3: Một tổ có 12 học sinh gồm nam và nữ Chọn nhóm lao động gồm học sinh Tính xác suất để có nam và nữ chọn Bài làm Phép thử T: ‘‘Chọn ngẫu nhiên học sinh từ 12 học sinh’’ Mỗi phần tử không gian mẫu là tổ hợp chập 12 phần tử (3) n() C106 Xét biến cố A: “Có nam và nữ chọn.” Để chọn nam và nữ ta phải thực công đoạn liên tiếp: Công đoạn 1: Chọn nam từ nam có Công đoạn 2: Chọn nữ từ nữ có C84 C có C64 C42 cách chọn nam và nữ n( A ) C64 C42 C84 C42 P( A) C12 17 Xác suất A: Bài 4: Có hành khách lên đoàn tàu gồm toa Mỗi hành khách độc lập với và chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, toa có người, toa còn lại không có Bài làm Phép thử T: ‘‘Xếp hành khách lên đoàn tàu toa’’ 44 cách xếp người lên đoàn tàu toa 44 phần tử n() 4 Mỗi hành khách có cách chọn toa nên có không gian mẫu: gồm Xét biến cố A: “1 toa có người, toa có người, toa còn lại không có ai.” Xét công đoạn liên tiếp: Chọn hành khách hành khách, chọn toa toa và xếp lên toa đó hành khách vừa chọn C43 C41 16 Chọn toa toa còn lại và xếp lên toa đó hành khách C31 3 (Cách) n( A ) 16.3 48 P( A) 48 44 16 Bài 5: Xét các số tự nhiên có chữ số khác Tìm xác suất để số tự nhiên có chữ số khác lấy từ các số trên thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước Bài làm Không gian mẫu: Các số tự nhiên có chữ số khác nhau: i j a1 0 Có cách chọn a1 Mỗi cách chọn a1 có cách chọn a2 Mỗi cách chọn a1, a2 có cách chọn a3 Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có cách chọn a4 a1a2 a3a4 a5 đó a j với (4) Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có cách chọn a5 n() 9.9.8.7.6 Xét biến cố A: “ Số có năm chữ số lấy thoả mãn chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước” Vì chữ số không thể đứng trước số nào nên xét tập hợp: X= 1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9 Mỗi gồm chữ số khác lấy từ X có cách xếp theo n ( ) C A thứ tự tăng dần 126 27216 216 II SỬ DỤNG CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT P( A) Biến cố hợp Quy tắc cộng xác suất Biến cố xung khắc Biến cố đối Quy tắc cộng xác suất Quy tắc tính xác suất Biến cố giao Quy tắc nhân xác suất Biến cố độc lập Quy tắc nhân xác suất 1.Sử dụng quy tắc cộng xác suất các bài toán tính xác suất: Bài 1: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiờn học sinh Tính xác suất để học sinh chọn thuộc vào không quá hai lớp Bài làm Không gian mẫu gồm C198 phần tử (5) Gọi A là biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, đó n( A ) C88 1 Gọi B là biến cố học sinh chọn thuộc lớp A và B đó n( B ) C148 Gọi C là biến cố học sinh chọn thuộc lớp A và C đó n(C ) C138 Gọi D là biến cố học sinh chọn thuộc lớp C và B đó B C11 A,B,C,D là các biến cố xung khắc A B C D là biến cố học sinh chọn thuộc vào không quá hai lớp Vậy xác suất để học sinh chọn thuộc vào không quá hai lớp bằng: P( A B C D) P ( A) P ( B) P(C ) P( D) C148 C138 C118 131 C19 C19 C19 C19 2223 Bài 2: Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất kết nhận ghi trên thẻ là số chẵn? Bài làm Không gian mẫu: n()= C9 Gọi A là biến cố: “ Rút thẻ chẵn và thẻ lẻ” 20 n( A ) C51C41 20 P ( A) 36 n( B ) C42 P( B) C42 C9 36 Gọi B là biến cố “ Rút hai thẻ đề chẵn” Nhận xét: hai biến cố A và B là xung khắc và A B biến cố “ kết nhận ghi trên thẻ là số chẵn” 13 P( A B) P ( A) P( B) 18 Theo qui tắc cộng xác suất ta có : Sử dụng quy tắc nhân xác suất các bài toán tính xác suất: (6) Bài 3:Xạ thủ An bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng An lần bắn là 10 Xạ thủ Bình bắn viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng Bình lần bắn là 10 Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn Bài làm P ( A1 ) 10 Gọi A1 là biến cố An bắn trượt lần bắn thứ thì P ( A2 ) 10 Gọi A2 là biến cố An bắn trượt lần bắn thứ hai thì A1, A2 là hai biến cố độc lập A A1 A2 là biến cố An bắn trượt hai lần bắn P ( A) P ( A1 ).P ( A2 ) ( ) 10 Tương tự: B B1 B2 B3 là biến cố Bình bắn trượt ba lần bắn P ( B ) P ( B1 ).P ( B2 ) P ( B3 ) ( )3 10 A, B là độc lập A B là biến cố An và Bình bắn trượt hay: A B là biến cố “Mục tiêu không trúng đạn” 32 P( A B ) P( A).P( B ) 10 Sử dụng biến cố đối các bài toán tính xác suất: Bài 4: Có học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh chọn thuộc vào không quá hai lớp Bài làm: C 12 Không gian mẫu : n()= phần tử Gọi A là biến cố học sinh chọn thuộc lớp A, lớp B, lớp C (7) n( A ) C52C41C31 C51C42C31 C51C41C32 A là biến cố :“ học sinh chọn thuộc vào không quá hai lớp” C52C41C31 C51C42C31 C51C41C32 P ( A) 1 C124 = 11 Bài 5: Một máy bay có phận A, B, C chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay Máy bay rơi có viên trúng vào A, viên trúng vào B, viên trúng vào C Tính xác suất để máy bay rơi máy bay trúng viên đạn Bài làm Gọi A là biến cố máy bay không rơi máy bay trúng viên đạn A chính là biến cố có viên trúng B, viên trúng C A ( B1 B2 C ) ( B1 C B2 ) (C B1 B2 ) P ( A) 3P ( B1 ).P( B2 ) P(C ) 3.0,552.0,3 A là biến cố máy bay rơi máy bay trúng viên đạn P ( A) 1 3.0,552.0,3 = 0,728 III SỬ DỤNG KẾT HỢP CÁC QUI TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍNH XÁC SUẤT Bài 1: Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy là 0,25 Lớp học đủ ánh sáng có ít bóng hỏng Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng Bài làm Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, bóng có xác suất hỏng là 0,75 Gọi A1 là biến cố bóng hỏng bóng tối, A1 là biến cố hợp P( A1 ) C 0, 75 0, 25 C64 biến cố con, (8) Gọi A2 là biến cố bóng hỏng bóng tối, A2 là biến cố hợp C65 biến cố con, P( A2 ) C 0, 75 0, 25 Gọi A3 là biến cố bóng hỏng P( A3 ) C66 0, 756 A A1 A2 A3 là biến cố lớp học đủ ánh sáng A là biên cố lớp học không đủ ánh sáng P( A) 1 P( A) 0,8305 Bài 2: Một người bắn viên đạn Xác suất để viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất để viên trúng vòng là 0,15, xác suất để viên trúng vòng là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt ít 28 điểm Bài làm Gọi A1 là biến cố viên trúng vòng 10, viên trúng vòng 9, A1 là biến cố hợp P( A1 ) C 0, 2.0, 25 con, C31 biến cố C31 biến cố P( A2 ) C 0, 0, 25 con, Gọi A3 là biến cố viên trúng vòng 10, viên trúng vòng 8, A3 là biến cố hợp con, biến cố Gọi A2 là biến cố viên trúng vòng 10, viên trúng vòng 9, A2 là biến cố hợp C31 21 PAC().0,215 Gọi A4 là biến cố viên trúng vòng 10, P ( A4 ) 0, 008 A A1 A2 A3 A4 là biến cố xạ thủ đạt ít 28 điểm P ( A) 0, 0935 Bài 3:Tại thành phố tỉ lệ người thích bóng đá là 65% Chọn ngẫu nhiờn 12 người Tính xác suất để có đúng người thích bóng đá Đáp số: P C125 0, 655.0, 357 0, 0591 Bài 4:Gieo đồng thời súc sắc Bạn thắng có xuất ít lần chấm Tính (9) xác suất để ván chơi bạn thắng ít ván Đáp số: P C53 ( 25 2 25 ) ( ) C54 ( ) ( ) ( )5 27 27 27 27 27 Bài 5: Bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu , câu có phương án trả lời đó có phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng điểm, câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm bài cách chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để bị điểm âm Đáp số: 4 1 P C120 ( )12 C12 ( ).( )11 C122 ( ) ( )10 0,5583 5 5 (10)