Chứng minh rằng: ^ c Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất... Điểm Môn: Toán.[r]
(1)PHÒNG GD THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA KỲ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2013 – 2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu ( điểm ) Giải phương trình: a, x3 + 2x2 + 2x + = b, ( x2 + 3x +2)( x2 + 11x + 30) – 60 = Câu ( điểm ) Cho x, y, z là các số lớn Chứng minh rằng: 1 2 1 x 1 y xy Câu ( điểm ) Tìm số a để : x3 + y3 + z3 + axyz chia hết cho x + y + z với x, y, z є Q Biết đa thức f(x) chia cho x - 2013 thì dư 2012, chia cho x – 2014 thì dư 2013 và chia cho (x - 2013)(x – 2014) thì thương là x2 - và còn dư Tìm dư phép chia f(x) cho (x - 2013)(x – 2014) Câu ( điểm ) Tìm x, y thỏa mãn x2 + y + =4 Sao cho tích x.y đạt giá trị nhỏ x2 Câu ( điểm ) Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc BC, điểm F thuộc AD cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M và N a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2 MKN=90° b) Gọi K là giao điểm NA và MB Chứng minh rằng: ^ c) Các điểm E và F có vị trí nào thì MN có độ dài nhỏ Hết -PHÒNG GD THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA ĐÁP ÁN OLYMPIC LỚP Năm học 2013 – 2014 (2) Câu Câu (3 điểm) Nội dung Điểm Môn: Toán a, x + 2x + 2x + = ( x +1)( x2 + x + 1) = Vì x2 + x + = > x=-1 1,0đ b, ( x2 + 3x +2)( x2 + 11x + 30) – 60 = (x + 2)( x +1) (x +5)( x+ 6) – 60 = [(x + 2)( x +5)][ (x +1)( x+ 6)] - 60 = ( x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 6) – 60 = ( x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 6) – 60 = ( x2 + 7x + + 2)( x2 + 7x + - 2) – 60 = ( x2 + 7x + 8)2- – 60 = ( x2 + 7x + 8)2 - 64 = ( x2 + 7x + – 8) ( x2 + 7x + + 8) = ( x2 + 7x ) ( x2 + 7x + 16) = x( x + ) ( x2 + 7x + 16) = Vì x2 + 7x + 16 > => …S = {0; -7} 0,5 đ 1,0 đ 0,5đ Câu (3 điểm) 1 2 1 x 1 y xy (1) 1 1 0 2 xy y xy 1 x x y x y x y 0 x xy y xy 1,0đ 0,5đ y x xy 1 0 x y xy + Vì x 1; y 1 => xy 1 => xy 0 0,5đ => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy x = y) 1,0 đ 3 1, Gọi thương phép chia x + y + z + axyz cho x + y + z là Câu P (5 điểm) Ta có x3 + y3 + z3 + axyz = (x + y + z).P (1) 0,5đ Vì (1) đúng với x, y, x є Q nên: Thay x = 1; y = 1; z = - vào (1) ta + – – 2a = a = -3 1,5đ 2, Gọi thương các phép chia f(x) cho x – 2013 và x – 2014 là P và Q Ta có: f(x) = (x – 2013).P + 2012 => f(2013) = 2012 Và f(x) = (x – 2014).Q + 2013 => f(2014) = 2013 1,0đ Vì đa thức chia (x - 2013)(x – 2014) có bậc là nên dư có bậc < (3)