Tối ưu hóa chọn sau tham số điều chỉnh tikhonov giải bài toán phi tuyến đặt không chỉnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN HIẾU ĐỊNH TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI BÀI TỐN PHI TUYẾN ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chun ngành : TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2013 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG TP.HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Kính Cán nhận xét 1: Cán nhận xét 2: Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường đại học bách khoa, ĐHQG Tp.HCM, ngày tháng năm 2013 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - tự - hạnh phúc Tp.HCM, ngày tháng năm 2013 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : Nguyễn Hiếu Định Ngày sinh : 19/03/1981 Chuyên ngành : Toán Ứng Dụng Phái : Nam Nơi sinh : Hải Phòng MSHV : 11240494 I - TÊN ĐỀ TÀI: TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN ĐẶT KHÔNG CHỈNH II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: • Nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh phương pháp điều chỉnh Tikhonov • Nghiên cứu tối ưu hóa việc chọn sau tham số điều chỉnh Tikhonov giải tốn phi tuyến đặt khơng chỉnh • Áp dụng cho toán cụ thể III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/2013 IV - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 06/2013 V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS Nguyễn Văn Kính CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NGHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO PGS.TS NGUYỄN VĂN KÍNH TRƯỞNG KHOA: LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Văn Kính, Trưởng khoa Khoa học Cơ - Trường Đại học Cơng nghiệp Thực phẩm TP Hồ Chí Minh Thầy khuyến khích, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tập thể Thầy, Cơ giáo mơn Tốn Ứng dụng - Khoa Khoa học Ứng dụng, phòng Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, tham gia giảng dạy tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu suốt khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể bạn khóa K2011 lớp cao học Toán Ứng dụng, bạn đồng nghiệp, người thân gia đình đồng hành, chia xẻ khó khăn giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn Nguyễn Hiếu Định i Mục lục Lời cảm ơn i Mục lục ii Lời nói đầu iv CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phổ tốn tử tuyến tính liên tục 1.1.1 Toán tử liên hợp 1.1.2 Toán tử tự liên hợp 1.1.3 Phổ toán tử tuyến tính liên tục 1.1.4 Phổ tốn tử tự liên hợp 1.2 Đạo hàm Fréchet 1.3 Toán tử ngược Moore-Penrose 1.4 Bài toán đặt chỉnh, toán đặt không chỉnh 1.5 Phương pháp điều chỉnh tổng quát 1.6 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov 1 2 12 13 17 TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI BÀI TỐN PHI TUYẾN ĐẶT KHƠNG CHỈNH 21 2.1 Chiến lược chọn tham số điều chỉnh 21 2.2 Chiến lược chọn sau tham số điều chỉnh 26 2.3 Đánh giá tốc độ hội tụ 37 ỨNG DỤNG 55 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 ii Bảng ký hiệu C[a;b] C[a;b] L2[a;b] ◦ (.) (.) M Mo sup inf sup lim lim Không gian hàm liên tục [a; b] Không gian hàm khả vi liên tục [a; b] Khơng gian hàm bình phương khả tích [a; b] Đại lượng vô bé bậc cao Đại lượng vơ bé bậc Bao đóng tập M Phần tập M Cận Cận Cận Giới hạn Giới hạn Hội tụ yếu ⊥ E Không gian trực giao E ⊕ Tổng trực tiếp L (X, Y ) Tập tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L (X) Tập tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X iii LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học tự nhiên thực tiễn có nhiều vấn đề dẫn tới việc tìm nghiệm phương trình tốn tử loại F x = y, y ∈ Y, (1) F tốn tử tác động từ khơng gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y y cho trước thuộc Y Bài tốn này, nói chung, đặt khơng chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamad Ban đầu người ta cho tốn đặt khơng chỉnh khơng có ý nghĩa thực tế (vật lý), người ta quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên, thực tế có nhiều tốn đặt khơng chỉnh Khoảng năm 1950, nhà toán học A N Tikhonov đưa khái niệm ổn định yếu để giải thích ý nghĩa thực tế tốn đặt khơng chỉnh (khơng ổn định) Từ đó, có nhiều nhà tốn học giới nghiên cứu phương pháp giải tốn đặt khơng chỉnh Đến nay, có nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần tốn Lý thuyết bải tốn đặt khơng chỉnh tuyến tính tương đối hoàn chỉnh Tuy nhiên, tốn phi tuyến đặt khơng chỉnh cịn nhiều vấn đề mở Luận văn nghiên cứu tối ưu hóa việc chọn sau tham số điều chỉnh Tikhonov giải lớp tốn phi tuyến đặt khơng chỉnh đưa ví dụ áp dụng Ngồi lời nói đầu, mục lục, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương trình bày số khái niệm kết biết giải tích hàm liên quan đến nội dung nghiên cứu luận văn như: phổ tốn tử tuyến tính liên tục, đạo hàm Fréchet, toán tử ngược Moore-Penrose, tiếp cận toán đặt chỉnh tốn đặt khơng chỉnh phương pháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp điều chỉnh Tikhonov iv Chương 2: TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chương nghiên cứu trình bày chiến lược chọn tham số điều chỉnh chọn sau tham số điều chỉnh, chứng minh hội tụ Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trình bày số ứng dụng cụ thể chiến lược chọn sau tham số điều chỉnh Luận văn thực với nỗ lực tác giả, thời gian trình độ có hạn nên khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong muốn thơng cảm, đóng góp ý kiến q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 Tác giả v Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phổ tốn tử tuyến tính liên tục 1.1.1 Tốn tử liên hợp Định nghĩa 1.1.1 [1] Cho X, Y hai không gian định chuẩn T : X → Y tốn tử tuyến tính liên tục Khi đó, T ∗ : Y → X xác định T x, y = x, T ∗ y , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y tốn tử tuyến tính liên tục T ∗ gọi toán tử liên hợp tốn tử T Chú ý: • Cho X, Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn T : X → Y tốn tử tuyến tính liên tục Khi đó, tốn tử liên hợp T ∗ , ký hiệu T ∗∗ : X → Y T ∗∗ = T • Cho T : X → Y tốn tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , ta ký hiệu N (T ) = ker T = T −1 (0) = {x ∈ X : T x = 0} , R (T ) = ImT = T (X) = {y ∈ Y : y = T x, ∀x ∈ X} Khi đó, N (T ) khơng gian đóng X R (T ) không gian Y Định lý 1.1.1 [1] Giả sử T toán tử tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert X vào khơng gian Hilbert Y Khi đó, ta có (i) R(T )⊥ = N (T ∗ ) N (T )⊥ = R (T ∗ ), (ii) X = N (T ) ⊕ R (T ∗ ) Y = N (T ∗ ) ⊕ R (T ) 1.1.2 Toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.1.2 [1] Giả sử X khơng gian Hillbert Một tốn tử tuyến tính liên tục T : X → X gọi tự liên hợp T ∗ = T , tức T x, y = x, T y , ∀x, y ∈ X Định lý 1.1.2 [1] Nếu T tốn tử tự liên hợp khơng gian Hilbert X T = sup {| T x, x | : x ≤ 1} = sup {| T x, x | : x = 1} Định lý 1.1.3 [1] Giả sử X không gian Hilbert phức T tốn tử tuyến tính liên tục X Điều kiện cần đủ để T tự liên hợp T x, x số thực với x ∈ X Toán tử chiếu Định nghĩa 1.1.3 [1] Cho X không gian Hilbert, M không gian đóng X Khi đó, với x ∈ X , tồn u ∈ M, v ∈ M ⊥ cho x = u + v, u ∈ M, v ∈ M ⊥ Đặt P :X→M x → P (x) = u Ánh xạ P gọi phép chiếu không gian X lên khơng gian đóng M Định lý 1.1.4 [1] Cho X không gian Hilbert P ∈ L (X) Điều kiện cần đủ để P toán tử chiếu (i) P ∗ = P , (ii) P = P Khi P tốn tử chiếu lên khơng gian đóng M = R (P ) 1.1.3 Phổ tốn tử tuyến tính liên tục Định nghĩa 1.1.4 [1] Cho T ∈ L (X) I toán tử đồng X Khi đó, λ ∈ K gọi giá trị phổ tốn tử T khơng tồn tốn tử ngược (T − λI)−1 : X → X liên tục Tập tất giá trị phổ toán tử T gọi phổ T ký hiệu σ (T ) Chứng minh Ta có xδα − x+ ≤ xδα − xα + xα − x+ Sử dụng Định lý 2.3.4 kết hợp với x∗ − x+ ≤ 61 , ta có xδα − xα ≤ Do − 2K0 x∗ − x+ δ δ √ ≤ 3√ α α δ xδα − x+ ≤ √ + xα − x+ α Nếu ta chọn √ α0 := √ ( c − 3) δ ω (2.76) 1+ν theo Định lý 2.3.4, ta suy α ≤ α0 Hơn nữa, ta có √ √ ∗ −1 α αI + F (x+ )F (x+ ) (F (xα ) − y) ≤ c + δ Kết hợp với Định lý 2.3.5 ta suy √ √ δ xδα − x+ ≤ 3c + 18 + √ + xα0 − x+ α0 Ta có (2.77) δ √ = α0 1+ν √ √ δν ω ( c + 3) Sử dụng Địn lý 2.3.1, kết hợp M ≤ 2, ta có √ √ ν ( c + 3) xα0 − x+ ≤ ω α02 = ν 1+ν Kết hợp điều với (2.77) ta suy điều phải chứng minh Định lý 2.3.7 [7] Giả sử Giả thuyết A thỏa mãn x+ x∗ −M N S (2.1), F (x∗ ) = y K0 x∗ − x+ < Khi đó, với δ > , tồn α0 (δ) > thỏa mãn + xα0 (δ) − x δ2 = , α0 (δ) lim α0 (δ) = δ→0 47 (2.78) Chứng minh Theo định nghĩa xα , ta có F (xα ) − y 2 + α xα − x∗ ≤ α x+ − x∗ Suy xα − x∗ ≤ x+ − x∗ Do xα − x+ ≤ xα − x∗ + x∗ − x+ ≤ x∗ − x+ Suy xα − x+ bị chặn Từ đó, ta có lim xα − x+ = α→0 Mạt khác,theo định nghĩa xα , ta có xα − x ∗ F (x∗ ) − y √ ≤ α Từ suy lim xα = x∗ α→∞ Do lim α xα − x+ α→∞ = ∞ Vì F (x∗ ) = y nên hàm φ (α) := α xα − x+ liên tục (0; +∞) Theo định lý giá trị trung bình cho hàm liên tục φ (α), suy tồn α0 (δ) cho φ (α0 ) = δ , hay xα0 − x+ = δ2 α0 (δ) Cuối cùng, ta chứng minh lim α0 (δ) = δ→0 • Nếu lim α0 (δ) = ∞ Khi đó, theo Quy tắc R x∗ xấp xỉ δ→0 toán (2.1), tức F (x∗ ) = y , điều mâu thuẫn với giả thuyết • Nếu < lim α0 (δ) < ∞ Từ chứng minh Định lý 2.2.2, ta suy δ→0 F (xα0 ) = y Mặt khác, từ giả thuyết, ta suy xα0 ∈ D(F )o Do xα0 thỏa mãn phương trình chuẩn Euler phiếm hàm Tikhonov, tức F (xα0 )∗ (F (xα0 ) − y) + α (xα0 − x∗ ) = Từ điều suy xα0 = x∗ , hay x∗ nghiệm (2.1) Ta nhận mâu thuẫn tương tự Do lim α0 (δ) = δ→0 48 Định lý 2.3.8 [7] Giả sử Giả thuyết A B thỏa mãn 6K0 x∗ − x+ ≤ 1, F (x∗ ) = y , lấy α = α (δ) xác định theo quy tắc R, c > Khi đó, ν xδα(δ) + −x ≤ ◦(δ 1+ν ), (δ ), 0 đủ bé Do đó, từ (2.55) (2.81), ta có √ ( c − 3) δ ≤ Dα1+ν cν (α)2 (2.82) Từ (2.82) (2.76), ta có α F (xα ) − y, αI + F (x+ )F (x+ ) xδα − x+ ≤ ν δ 1+ν cν (α (δ)) 1+ν + xα (δ) − x+ (2.83) Tiếp theo đánh giá xα (δ) − x+ Lấy α0 (δ) xác định Định lý 2.3.7, ta chia làm trường hợp i) Nếu α (δ) ≤ α0 (δ) Khi đó, từ (2.80) suy xα (δ) − x+ ≤ 50 ν δ cν (α (δ)) ν ∞ Vì α cν (α) = α λν 2d (α+λ) Eλ ω, ω với λ ≤ 0, hàm q (α) := α λν (α+λ) tăng (0; +∞) Ta có α(δ)ν cν (α (δ))2 ≤ α0 (δ)ν cν (α0 (δ))2 Điều suy ν (2.84) xα (δ) − x+ ≤ α0 (δ) cν (α0 (δ))2 Từ định nghĩa α0 (δ), ta có δ2 ν α (δ) c (α (δ)) ≤ ν M2 α0 (δ) Do 2 δ 1+ν cν (α0 (δ))− 1+ν α0 (δ) ≤ (2.85) Cộng (2.84) (2.85), ta có ν xα (δ) − x+ ≤ δ 1+ν cν (α0 (δ)) 1+ν (2.86) ii) Bây ta xét trường hợp α (δ) > α0 (δ) Sử dụng Định lý 2.3.5 (2.55), ta thu xα (δ) − x+ ≤ K δ α0 (δ) xα0 (δ) − x+ + = 2Kδ , α0 (δ) (2.87) Với K số không phụ thuộc vào δ Thay (2.85) vào (2.87), ta thu (2.86) Kết hợp (2.83) (2.86), ta có xα (δ) − x+ ≤ ν δ 1+ν cν (α0 (δ)) 1+ν + cν (α (δ)) 1+ν (2.88) Vì F (x∗ ) = y nên ta có α (δ) → α0 (δ) → 0, δ → Hơn cν (α (δ)) = ◦ (1) , (1) , ν ∈ (0; 2) ν=2 cν (α0 (δ)) = ◦ (1) , (1) , ν ∈ (0; 2) ν=2 Do đó, từ (2.88), ta suy điều phải chứng minh Giả thuyết C [7] µ d Eλ (x+ − x∗ ), x+ − x∗ = 51 (µν ) (2.89) Giả thuyết D [7] µ d Eλ (x+ − x∗ ), x+ − x∗ = ◦ (µν ) (2.90) {Eλ } họ phổ toán tử F (x+ )∗ F (x+ ), < ν < Định lý 2.3.9 [7] Giả sử Giả thuyết A B thỏa mãn 4K0 x∗ − x+ ≤ Với α > 0, lấy xα nghiệm cực tiểu (2.2) với y δ thay y xˆα nghiệm toán cực tiểu x∈X F (x+ )x − F (x+ )x+ + α x − x∗ (2.91) Khi xα − x+ ≤ xˆα − x+ ≤ xα − x+ Chứng minh Từ định nghĩa xˆα , ta suy xˆα = x+ + α(αI + A+ )−1 x∗ − x+ (2.92) (2.93) Từ (2.63), ta có xα − x+ = α(αI + A+ )−1 x∗ − x+ + α(αI + A+ )−1 (sα + rα ) Từ (2.93) suy xˆα − xα = (αI + A+ )−1 (sα + rα ) (2.94) Với A+ := F (x+ )∗ F (x+ ), sα := F (x+ )∗ (F (xα ) − y − F (x+ ) (xα − x+ )) ∗ rα := F (xα )∗ − F (x+ ) (F (xα ) − y) Kết hợp (2.94),(2.68) 4K0 x∗ − x+ ≤ 1, ta suy xˆα − xα = (αI + A+ )−1 (sα + rα ) ≤ 2K0 x∗ − x+ ≤ xα − x+ xα − x+ Ta có xα − x+ ≤ xα − xˆα + xˆα − x+ ≤ 52 xα − x+ + xˆα − x+ Suy xα − x+ ≤ xˆα − x+ (2.95) Mặt khác xˆα − x+ ≤ xˆα − xα + xα − x+ ≤ 21 xα − x+ + xα − x+ < xα − x+ (2.96) Kết hợp với (2.95) (2.96) suy điều phải chứng minh Từ Định lý kết hợp với [8, Định lý 2.1] ta có giả thuyết A thỏa mãn 6K0 x∗ − x+ ≤ Với α > 0, lấy xα nghiệm toán cực tiểu (2.3) với y thay cho y δ (i) xα − x+ = ν α2 (2.97) Giả thuyết C thỏa mãn (ii) ν xα − x+ = ◦ α (2.98) Giả thuyết D thỏa mãn Định lý sau với giả thuyết thay cho Giả thuyết B, ta có kết tương tự Định lý 2.3.6 Định lý 2.3.10 [7] Giả sử Giả thuyết A thỏa mãn, 6K0 x∗ − x+ ≤ 1, F (x∗ ) = y , lấy α := α (δ) xác định Quy tắc R Khi (i) Nếu x∗ − x+ thỏa mãn Giả thuyết C với < ν < 2, xδα(δ) − x+ = ν δ 1+ν ; (ii) Nếu x∗ − x+ thỏa mãn Giả thuyết D với < ν < 2, ν xδα(δ) − x+ = ◦ δ 1+ν Chứng minh Với giả thuyết cho, từ Định lý 2.3.9, ta suy xδα − x+ ≤ sup inf xδα − x+ : α = β0 (δ) : y δ − y ≥ ≤ inf xδα − x+ + √43 √δα : α = β0 (δ) ≤ inf xˆα − x+ + √δ α : α = β0 (δ) , 53 xˆα định nghĩa nghiệm toán cực tiểu x∈X F (x+ )x − F (x+ )x+ + α(x − x∗ )2 Vì xˆα − x+ ≤ x+ − x∗ nên ta có α (δ) ≥ β0 (δ), Do xδα(δ) − x+ ≤ √ Nếu ta đặt cδ := xˆα −x+ α(δ) δ α (δ) , xδα − x+ = ν δ 1+ν cδ1+ν (2.99) (i) Nếu Giả thuyết C thỏa mãn Khi đó, từ (2.97), ta suy ν cδ = (1) Do từ (2.99) suy xα − x+ = α2 (ii) Nếu Giả thuyết D thỏa mãn Khi đó, từ (2.98), ta suy ν cδ = ◦(1) Do từ (2.99) suy xα − x+ = ◦ α 54 Chương ỨNG DỤNG Bài tốn đặt khơng chỉnh khoa học thực tế toán mà nghiệm chúng không không phụ thuộc liên tục theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ kiện ban đầu dẫn đến sai khác lớn nghiệm Trong chương này, chúng tơi đưa số ví dụ áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov kết cụ thể phương pháp chọn sau tham số Ví dụ 3.0.1 Ta giả sử H1 = H2 = L2 (0; 1) Xét phương trình tốn tử tuyến tính F x = y , F : H1 → H2 định nghĩa s F x (s) = ∀s ∈ [0; 1] x (t) dt, Bài toán đặt khơng chỉnh Ta xác định tốn tử liên hợp cho F ∗ y (s) = y (t) dt, ∀s ∈ [0; 1] , s R (F ) = y ∈ L2 (0, 1) , y ∈ C[0;1] , y (0) = 0, y ∈ L2 (0, 1) , N (F ) = {0} Từ phương trình chuẩn Euler (F ∗ F + αI) x = F ∗ y ta có: Nghiệm điều chỉnh với kiện xác y (s) = s xα (t) = − e √1 t α e 55 √1 α + e− √1 t α − √1α +e Nghiệm điều chỉnh với kiện có nhiễu y δ (s) = y (s) + δ.coss √ √1 t − √1 t α +e α α.δ √1 − √1 2(α+1) e α +e α √ √1 t − √1 t α.δ e α +e α √2 √1 − √1 2(α+1) α e α +e α √1 (t−1) − √1 (t−1) α −e α √δ e √1 − √1 α e α +e α xδα (t) = − e − + + √2 sin t α sin − e √1 α −e + e− √1 t α + e− √1 t α √1 α Kết chạy Matlab với tham số α = 0.05, δ = 0.02 Ví dụ 3.0.2 [2] Xét toán ước lượng hệ số a phương trình −(aux )x = f, x ∈ (0, 1) , u(0) = g1 , u(1) = g2 f ∈ L2 , g1 , g2 số thực Lấy D(F ) := a ∈ H : a(x) ≥ ν > Với α0 ∈ D(F ) thỏa mãn giả thuyết sau: (i) Tồn k > cho |ux (a0 )(x)| ≥ k , với x ∈ (0; 1) Lúc tồn lân cận U (a0 ) ⊂ D(F ) a0 H (ii) |ux (a)(x)| ≥ k với a ∈ U (a0 ) x ∈ (0; 1) Xét toán tử phi tuyến F : D(F ) ⊂ H (0, 1) → L2 (0, 1) cho F (a) = u(a), a ∈ D(F ) Khi F liên tục, đóng yếu, khả vi Fréchet F (a)h = −A(a)−1 A1 (h)u(a) = −A(a)−1 A1 (h)(A(a)−1 f + ga ), 56 F (a)∗ h = −B −1 ux (a) A(a)−1 h x , A(a) : H ∩ H01 → L2 , định nghĩa A(a)u = −(aux (a))x , với a ∈ U (a0 ); A1 h : H → L2 xác định A1 (h)v = −(hvx )x với h ∈ H , v ∈ H ; g2 − g1 ga (x) = 1 a x + g1 , a B : D(B) = φ ∈ H (0, 1) : φ (0) = φ (1) = → L2 (0, 1) xác định Bφ := −φxx + φ Bài tốn tìm nghiệm đặt khơng chỉnh với kiện u0 ∈ H (0, 1) Thật vậy, ta viết a dạng a (0) ux (0) − a (x) = ux x f (s) ds , Để xác định a ta phải tính ux , mà ta biết tốn đạo hàm đặt khơng chỉnh Hơn nữa, ux nhỏ tốn khơng ổn định.[3] Ta thấy giả thuyết A thỏa mãn Thật vậy, ta rằng: Tồn K0 cho với a, b ∈ U (a0 ) h ∈ H ta có F (a)h − F (b)h = F (b)k(a, b, h) k(a, b, h) H1 ≤ K0 h H1 Thật vậy, với a, b ∈ U (a0 ) h ∈ H ta có A(b)F (b)h = −A1 (h)(A(b)−1 f + gb ) (3.1) A(a)F (a)h = −A1 (h)(A(a)−1 f + ga ) (3.2) 57 Suy (A(a) − A(b)) F (a)h + A(b) (F (a)h − F (b)h) = −A1 (h)(A(b)−1 f − A(a)−1 f + gb − ga ) Từ đó, suy F (a)h − F (b)h = A(b)−1 (A(a) − A(b)) F (a)h + A1 (h)(A(b)−1 f − A(a)−1 f + gb − ga ) = A(b)−1 w, (3.3) w = A1 (a−b)F (a)−1 A1 (h) A(a)−1 f + ga +A1 (h) (u(b) − u(a)) Tiếp theo ta cần k = k(a, b, h) ∈ H cho A1 (k) A(b)−1 f + gb = −w (3.4) Từ (3.3) (3.4), ta có F (a)h − F (b)h = −A(b)−1 A1 (k)u(b) = F (b)k Phương trình (3.4) tương đương với w = {(b − a)Ux − h(u(b) − u(a))x }x = (kux (b))x , U = A(a)−1 A1 (h) A(a)−1 f + ga Ta chọn k = (b − a)Ux − h(A(b)−1 f − A(a)−1 f + gb − ga )x (ux (b))−1 , (3.5) kết hợp với giả thuyết (ii), ta có k ∈ H Ta có A1 (h)u L2 ≤k h H1 u H2, (3.6) h ∈ H , u ∈ H U H2 ≤ h H1, với h ∈ H a, b ∈ U (a0 ) Như vậy, với kiện cho tốn giả thuyết A thỏa mãn Bây giờ, lấy uδ ∈ H [0, 1] kiện xấp xỉ u0 , tức uδ − u0 < δ Khi đó, nghiệm điều chỉnh aδα , nghiệm toán cực tiểu (2.2) với uδ thay chỗ cho y δ , hội tụ đến a+ , a∗ − M N S toán trên, tham số α = α(δ) chọn thích hợp Đặc biệt, α chọn theo Quy tắc R a+ − a∗ thỏa mãn giả thuyết B ta nhận tốc độ hội tụ aδα đến aδ (δ ) 58 Ví dụ 3.0.3 [2] Xét ví dụ với số liệu cụ thể −(aux )x = −ex , u(0) = 0, u(1) = e , Để ước lượng a ta xét phương trình tốn tử F (a) = u, đó, tốn tử F xác định theo phương trình đạo hàm riêng Ta có F : D (F ) := a ∈ H (0, 1) : a (x) ≥ γ > → L2 a → u (a) Có thể thấy F đóng yếu, liên tục có đạo hàm Fréchet liên tục lân cận a0 Phiếm hàm Tikhonov toán sau F (a) − uδ L2 L1 + α a − a∗ , uδ nhiễu u Nếu u0 = ex tham số xác a0 = Ta sử dụng nhiễu √ uδ = u0 + δ sin (10πy) uδ (0) = 1, uδ (1) = e Khi u − uδ L2 ≤ δ Ta lấy a∗ = + 0.05 ay + by + cy + dy + ey + f với hệ số a = 1.428065, , b = −4.38189349, , c = 1.043027472, , d = 3.629082416, , e = 0, f = Các hệ số chọn cho a0 − a∗ ∈ R (F (a)∗ F (a)) (xem [8]) Với cách chọn tốc độ hội tụ tốt phương pháp điều chỉnh Tikhonov (δ ) Kết tính mô tả bảng sau Bảng 3.1: δ 0.46e 0.46e 0.46e 0.46e 0.46e - α 0.12e 0.26e 0.33e 0.73e 0.12e - 4 e := aδα − a 0.27 - 0.81 - 0.17 - 0.45 - 0.93 - 59 L1 δ/α 0.35e + 0.35e + 0.77e + 0.74e + 0.11e + 1 1 e/δ 0.98e + 0.14e + 0.13e + 0.16e + 0.16e + 1 1 Kết luận Trong luận văn này, tác giả thực số vấn đề sau: 1) Tìm hiểu trình bày khái niệm tốn đặt chỉnh đặt khơng chỉnh, cho ví dụ tốn đặt khơng chỉnh 2) Tìm hiểu trình bày phần lý thuyết phương pháp điều chỉnh tổng quát, đặc biệt phương pháp điều chỉnh Tikhonov tìm nghiệm gần tốn phi tuyến đặt khơng chỉnh khơng gian Hilbert 3) Trình bày chiến lược chọn sau tham số phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải lớp tốn phi tuyến đặt khơng chỉnh, chứng minh hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm điều chỉnh, xem xét toán trường hợp giả thuyết thay Trong phần tác giả tập trung đọc hiểu, trình bày làm rõ kết báo [1] [7] 4) Trình bày số ví dụ áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov mô tả kết số Các kết trích báo [7] Trong trình nghiên cứu làm luận văn, tác giả cịn thấy đề tài cịn có nhiều hướng mở, như: - Nghiên cứu chiến lược chọn tham số khác - Nghiên cứu phương pháp lặp để giải tốn phi tuyến đặt khơng chỉnh - Các điều kiện áp dụng yếu Luận văn hoàn thành với nỗ lực hết sức, nhiên thời gian trình độ thân hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong muốn nhận thông cảm ý kiến đóng góp q Thầy Cơ bạn đọc 60 Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, NXBGD, 1978 [2] O Scherzer, H W Engl, K Kunisch,Optimal a posteriori parameter choice for Tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed problems, SIAM J.ANAL 6(30), 1796-1838, 1993 [3] Heinz W.Engl, Martin Hanke and A Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer, 2002 [4] C W Groetsch, Elements of Applicable Functional Analysis, United States of America, 1982 [5] C W Groetsch, The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equations of the first kind, Pitman Advanced Publishing Program, Boston-London-Melbourne 1989 [6] Andreas Kirsch, An Introduction to Mathematical Theory of Inverser Problems, United States of America, 1996 [7] Jin Qi-Nian, HouZong-yi, On a posteriori parameter choice strategy for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems, Numer Math 83:139-159,(1999) [8] Neubauer, On converser and saturation results for Tikhonov regularization of liner ill-posed problems, SIAM J.Numer Anal.34, 517527,(1997) [9] H W Engl, K Kunisch,A Neubauer,Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problem, Inverse Problems 5,523540, 1989 [10] Mihaela Cristina Drinei, Regularization strategies for linear operator equations, Iowa, 2004 61 ... Chương TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN ĐẶT KHÔNG CHỈNH 2.1 Chiến lược chọn tham số điều chỉnh 2.1.1 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov cho tốn phi tuyến. .. TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI BÀI TỐN PHI TUYẾN ĐẶT KHƠNG CHỈNH 21 2.1 Chiến lược chọn tham số điều chỉnh 21 2.2 Chiến lược chọn sau tham số điều chỉnh. .. đặt khơng chỉnh phương pháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp điều chỉnh Tikhonov iv Chương 2: TỐI ƯU HÓA VIỆC CHỌN SAU THAM SỐ ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI BÀI TOÁN PHI TUYẾN ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chương