Toán tử dương trong không gian banach và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA VÕ DUY TÂM TỐN TỬ DƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 08 NĂM 2013 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG TP.HCM Cán hướng dẫn khoa học: TS Lê Xuân Đại ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………… Cán chấm nhận xét 1: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………… Cán chấm nhận xét 2: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………… Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa , ĐHQG TP HCM ngày … tháng … năm 2013 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập – Tự – Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: VÕ DUY TÂM MSHV: 11240503 Ngày, tháng, năm sinh: 10/09/1985 Nơi sinh: Tiền Giang Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 I TÊN ĐỀ TÀI: TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 14/01/2013 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 21/06/2013 IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS LÊ XUÂN ĐẠI TP HCM, ngày CÁN BỘ HƯỚNG DẪN tháng năm 2013 CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TS LÊ XUÂN ĐẠI TRƯỞNG KHOA Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy hướng dẫn TS Lê Xuân Đại, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn cho nhiều ý kiến đóng góp quý báo để luận văn hồn thành Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy phản biện đọc cho ý kiến nhận xét để luận văn chỉnh sửa hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cơ giáo Bộ mơn Tốn ứng dụng – Khoa Khoa học ứng dụng trường Đại học Bách Khoa TP.HCM bạn lớp Cao học Toán ứng dụng giúp đỡ cho tơi q trình học tập trường Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên tơi trình học tập thực luận văn Võ Duy Tâm   Lời mở đầu Lý thuyết không gian Banach với xếp thứ tự phần có liên quan mật thiết với lý thuyết nón khơng gian Banach tìm thấy báo L.V Kantorovich M.G Krein xuất năm 1936 1940 Sau số kết phát triển M.A Krasnoselskii, V.Ya Stetsenko, P.P Zabreiko… Lý thuyết toán tử dương quan trọng nhiều chủ đề giải tích hàm Các phương pháp dựa lý thuyết hiệu có nhiều ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân tích phân Luận văn “Tốn tử dương khơng gian Banach ứng dụng” gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tốn tử dương khơng gian Banach với xếp thứ tự phần Chương 3: Ứng dụng tốn tử dương phương trình vi phân tích phân Chương giới thiệu kiến thức giải tích hàm sử dụng luận văn Chương trình bày lý thuyết tốn tử dương không gian Banach với xếp thứ tự phần Cụ thể trình bày lý thuyết nón khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính dương, toán tử mở rộng Đặc biệt chương trình bày số định lý tồn điểm bất động, tiếng định lý Krasnoselskii Trên sở kiến thức không gian Banach với xếp thứ tự phần, chương tác giả giới thiệu ứng dụng toán tử dương việc chứng minh tồn nghiệm cho phương trình vi phân phương trình tích phân Hammerstein khơng gian Banach   Trong q trình thực luận văn, nhận hướng dẫn nhiệt tình cẩn thận Thầy thân nổ lực, song luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy, Cô bạn để luận văn hoàn thiện   Lời cam đoan Trong q trình thực luận văn, tơi tham khảo số tài liệu danh mục tài liệu tham khảo Tuy nhiên xin cam đoan luận văn cơng trình khoa học viết tìm tịi nghiên cứu khoa học nghiêm túc thân   Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Lời cam đoan .4 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương 2: TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI SẮP XẾP THỨ TỰ TỪNG PHẦN 11 2.1 Nón khơng gian Banach .11 2.2 Toán tử tuyến tính dương .20 2.3 Toán tử mở rộng .31 Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA TOÁN TỬ DƯƠNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 34 3.1 Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân 34 3.2 Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân cấp hai 37 3.3 Phương trình tích phân Hammerstein nửa đường thẳng 44 Kết luận .59 Tài liệu tham khảo .60   Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sử dụng luận văn Trước hết, nhắc lại kiến thức liên quan đến không gian Banach Định nghĩa 1.1 Tập hợp X gọi khơng gian mêtríc [1], ứng với cặp phần tử x,y Ỵ X ln tồn số thực không âm r ( x, y ) ³ , gọi khoảng cách phần tử x y thỏa mãn: (i) r ( x, y ) = x = y ; (ii) r ( x , y ) = r ( y, x ) , "x, y Ỵ X ; (iii) r ( x, z ) £ r ( x, y ) + r ( y, z ) , "x, y, z Ỵ X Định nghĩa 1.2 Khơng gian tuyến tính E gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn [1], với phần tử x Ỵ E ln tồn số khơng âm x ³ , gọi chuẩn phần tử ấy, thỏa mãn: (i) x = x = 0, "x Ỵ E ; (ii) lx = l x , "l Ỵ  , "x Î E ; (iii) x + y £ x + y , "x, y Ỵ E   Ví dụ 1.1 Các không gian sau không gian tuyến tính định chuẩn a) Khơng gian  m với chuẩn xác định sau: x = x 12 + x 22 + + x m2 b) Không gian C ( éë a, b ùû ) hàm liên tục đoạn éë a, b ùû với chuẩn x = max x ( t ) a £t £b Thơng thường ta kí hiệu khơng gian định chuẩn với chuẩn ( E, Cho ( E, ) ) khơng gian tuyến tính định chuẩn Với x,y Ỵ E , ta định nghĩa khoảng cách chúng r ( x, y ) = x - y Với khoảng này, E khơng gian mêtríc Định nghĩa 1.3 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn Dãy phần tử { xn } E gọi hội tụ theo chuẩn đến phần tử x [1] xn - x  , nghĩa "e > 0, $ N > 0, " n ³ N, xn - x < e Khi ta viết xn  x lim x n = x n¥ Định nghĩa 1.4 Cho E khơng gian tuyến tính định chuẩn , hai chuẩn E Ta gọi hai chuẩn tương đương [1] tồn số a, b > cho   ( Fx )( t ) e -lt = e -l t ị ¥ ¥ K ( t , s ) f ( s , x ( s ) )ds e -ks K ( s , s ) éë a ( s ) + b ( s ) x ( s ) ùû ds £ ò0 £ ¥ -ks e a ( s )ds + x ị 2k 2k ¥ ị0 e( (13) l-k )s b ( s )ds Do sup { ( Fx )( t ) e -lt } < ¥ I Chú ý F ( K ) Ì K Từ (i) (9) ta thấy ( Fx )( t ) ³ 0, t Ỵ I Hơn , theo (10), (11), với t Ỵ éë d1, d2 ùû s, t Ỵ I ta có ( Fx )( t ) = é d1 , d2 ù ë û ¥ é d , d ù ị0 ë û ³ Me -k t ò K ( t , s ) f ( s, x ( s ) )ds ³ M ị ¥ ¥ K ( s, s )e -ks f ( s, x ( s ) )ds K ( t , s )f ( s , x ( s ) )ds = Me -k t ( Fx )( t ) Vì ( Fx )( t ) ³ M Fx F : K  K é d1 ,d2 ù ë û -1 Cố định r = M1 ( 2k - M2 ) R = b định nghĩa W1 = { x Ỵ E : x £ r } W2 = { x Ỵ E : x £ R } 47   Khơng tính tổng qt, chúng tơi giả s r < R Ly x ẻ K ầ W Tương tự (13) ta chứng minh hàm Fx hội tụ theo chuẩn x m = sup { x ( t ) e -mt }, < m < l I Theo [9] ta có Fx liên tục đồng bậc I Thật theo định lý 3.3.1, F liên tục hoàn toàn P ầ W Nu x ẻ K ầ ảW1 từ (13) (ii) e-lt ( Fx )( t ) £ ( M1 + rM ) = r 2k Fx £ x Nếu x ẻ K ầ ảW2 thỡ x ( t ) ³ M b é d1 , d2 ù ë û sup { x ( t )e-lt } = b I Do với t Ỵ éë d1, d2 ùû , ta có M b £ x ( t ) £ be ld2 Theo (iii), ¥ ( Fx )( t0 ) = ò0 ³ d2 òd K ( t0 , s ) f ( s, x ( s ) )ds ³ K ( t0 , s ) f ( s, x ( s ) )ds æ d2 ửữ-1 lt0 ỗ K ( t0 , s )ỗỗ ũ K ( t0 , t )d t ÷÷ be ds = belt0 è d1 ø suy e -lt0 ( Fx )( t ) ³ b Do Fx x , x ẻ K ầ ảW2 48 d2 ịd Theo định lý 2.3.2, tốn tử F có điểm bất động tập ( ) K Ç W2 \ W1 , nghĩa phương trình (3) có nghiệm dương x thỏa r £ x £R Tiếp theo nghiên cứu tồn nghiệm phương trình (3) khơng gian Lp Gọi m : I  ( 0, ¥) Xét khơng gian Lp ( I , m ), p ³ hàm p - khả tích Lebesgue I với hàm trọng m thỏa ¥ ị0 p x ( t ) m ( t )dt < ¥ Chúng ta trang b chun ổ Ơ ửữ1/ p p ỗ x = çç ò x ( t ) m ( t )dt ÷÷ è ø Khi Lp ( I , m ) trở thành không gian Banach Định lý 3.3.3 [9] Cho (i)  tập khác rỗng bị chặn Lp ( I , m ) Giả s "x ẻ , A ẻ ( 0, Ơ ) ổ A ử1/ p p lim ỗỗỗ ũ x ( t + h ) - x ( t ) m ( t )dt ÷÷÷ = ø h 0 è (ii) Tồn hàm liên tục q : I  ( 0, ¥) cho lim t ¥ 49   m (t ) q (t ) = 0,  Và hàm x Ỵ  bị chặn theo chuẩn x (14) Khi  q ỉ Ơ ửữ1/ p p ỗ = ỗỗ ũ x ( t ) q ( t )dt ÷÷ è ø tập compact tương đối Lp ( I , m ) Xét không gian Lp ( I , q ) với chuẩn (10) , với hàm trọng q dương, liên tục I lim t ¥ m (t ) q (t ) =0 Tiếp theo ta xét p1, p2 số dương cho Kí hiệu Lp1 ( I p 1 ³1 + = p1 p1 p2 ) không gian hàm p1 - khả tích Lebesgue I với chuẩn thơng thng x ổ Ơ ửữ1/ p1 p1 = ỗỗỗ ò x ( t ) dt ÷÷ è ø Kí hiệu Lp2 ( I , m ) khơng gian hàm p2 - khả tích Lebesgue với hàm trọng m với chuẩn x ỉ ¥ ư1/ p2 p = ỗỗỗ ũ x ( t ) m ( t )dt ÷÷÷ è ø Định lý 3.3.4 Giả sử (i) f : I ´    hàm Caratheodory, nghĩa t  f ( t, x ) đo với "x Ỵ  x  f ( t, x ) liên tục hầu khắp với t 50   Ỵ I (ii) f ( t, x ) £ a1 ( t ) + a2 x p / p2 , "x Ỵ  , với hầu khắp t Ỵ I , với >0 a1 Ỵ Lp2 ( I , m ) , a1 ( t ) > hầu khắp I a2 (iii) Hàm ( t, s )  K ( t, s ) đo với ( t, s ) Ỵ I ´ I tồn hàm đo g : I ´ I  I cho 1/p K ( t, s ) £ g ( t, s ) éë m ( s ) ùû , với hầu khắp t, s ẻ I v Ơộ Ơ ũ0 ờờở ũ0 (iv) ù p1 / p é g ( t, s ) ù p q ( t )dt ú ds < ¥ ë û úû Tồn $d > cho với h < d hầu khắp t, s Î I 1/p K ( t + h, s ) - K ( t, s ) £ g ( t + h, s ) - g ( t, s ) éë m ( s ) ùû (v) Tồn $ r > cho 1/ p1 æ æ Ơộ Ơ ự p1 / p ửữữ ỗỗ p ỗỗ ộ ự ds ữữ ỗ a1 ỗ ũ0 ờờ ũ0 ë g ( t, s ) û m ( t )dt ỳỳ ữứ ỗỗố ỗố ỷ + a2r p p2 ÷÷ư ÷÷ £ r ÷÷ ø Khi phương trình (7) có nghiệm Lp ( I , m ) Chứng minh Với x Ỵ Lp ( I , m ) hầu khắp t Ỵ I xét tốn tử ¥ ( Fx )( t ) = ò0 K ( t , s ) f ( s , x ( s ) )ds (15) Theo giả thiết (i),(ii), (iii), bất đẳng thức Holder bất đẳng thức Minkowski ta có ¥ p ị0 ( Fx )( t ) m ( t )dt 51   £ £ ¥é ¥ ị0 êêë ị0 ¥é ùp 1/ p2 p / p2 é ù g ( t, s ) ë m ( s ) û a1 ( s ) + a2 x ( s ) ds ú m ( t )dt úû ¥ ị0 êêë ị0 ( ) ù p / p1 é g ( t, s ) ù p1 é m ( t ) ù p1 / p ds ú ë û ë û úû é ¥ p/p ´ ê ò a1 ( s ) + a2 x ( s ) ê ë ( (16) ) p2 ù p / p2 m ( s )ds ú dt ú û p1 / p ỉ ¥é ¥ ưp / p1 ự p ữ ỗ Ê ỗỗ ũ ò ëé g ( t, s ) ûù m ( t )dt ỳ ds ữữữ a1 ữứ ỗố ởờ ûú ( + a2 x p / p2 ) Nhưng ¥ ù p1 / p p ds £ ê ò éë g ( t, s ) ùû m ( t )dt ú ëê ûú ¥é ị0 ¥ ù p1 / p p ds < ¥ ê ị éë g ( t, s ) ùû aq ( t )dt ú ëê ûú ¥é ị0 Với a = max t ỴI m (t ) q (t ) Do ¥ p ị0 ( Fx )( t ) m ( t )dt < ¥ Kế tiếp , chúng tơi chứng minh F liên tục Với x Ỵ Lp ( I , m ) xét toán tử Nemytskii ( Nx )( t ) = f ( t, x ( t ) ) với hầu khắp t Ỵ I 52   Khi ¥ ( Nx )( t ) ị0 p2 m ( t )dt = ị ¥ ¥ £ ò0 £ ( a1 f ( t, x ( t )) (a ( t ) + a + a2 x p2 m ( t )dt x (t ) p / p2 ) p2 p / p2 ) p2 m ( t )dt hầu khắp I x Ỵ Lp ( I , m ) Chứng minh ì ü Mk ( t ) ï ï Xét tập K = ïí x Ỵ Lp ( I , m ) : x ( t ) ³ x , hầu khắp I ï ý ù ù k ù ù ợ ỵ Rừ rng K nón Lp ( I , m ) Tương tự phần chứng minh Định lý 3.3.4, toán tử ( Fx )( t ) = ¥ ị0 K ( t , s ) f ( s , x ( s ) )ds ánh xạ nón K vào Lp ( I , m ) Hơn nửa, từ (iii) ta có với x Ỵ K hầu khp t ẻ I Ơ ( Fx )( t ) ³ Mk ( t ) ò0 = k ( s ) éë m ( s ) ûù 1/ p f ( s , x ( s ) )ds Mk ( t ) ỉ ¥ ư1/ p çç ò é k1 ( t ) ù p m ( t )dt ữữ ỷ ứữ k1 ỗố 56   ¥ ị0 1/ p k ( s ) éë m ( s ) ùû f ( s , x ( s ) )ds ư÷1/ p Mk3 ( t ) ổỗ Ơ ộ Ơ ựp 1/ p2 çç ò ê ò k1 ( t )k2 ( s ) é m ( s ) ù = f ( s, x ( s ) )ds ú m ( t )dt ữữữ ỷ 0 k1 ỗố ữứ ởờ ỷỳ ửữ1/ p Mk3 ( t ) ổỗ Ơ ộ Ơ ựp ỗỗ ũ ũ K ( t, s ) f ( s, x ( s ) )ds ú m ( t )dt ữữ ữ k1 ỗố ëê ûú ø÷ = Mk ( t ) k1 Fx Do F : K  K Theo giả thuyết từ (i) – (iv) Định lý 3.3.3 F liên tục hồn tồn K Khơng tính tổng qt giả sử r < R Đặt W1 = {x Ỵ Lp ( I , m ) : x < r } W = {x Ỵ Lp ( I , m ) : x < R } Theo giả thuyết (iii) v (vi) ta c x ẻ K ầ ảW1 p ổ Ơổ Ơ ửữ1/ p p 1/ ỗ Fx ỗỗ ũ ỗỗỗ ũ Mk3 ( t )k2 ( s ) ëé m ( s ) ûù f ( s, x ( s ) )ds ÷÷÷ m ( t )dt ữữữ ứ ỗố ố ữứ ổ Ơ p ửữ1/ p Ơ p 1/ p ộ ự ỗ = ỗỗ ũ M k3 ( t ) û m ( t )dt ÷÷ ị k2 ( s ) éë m ( s ) ùû f ( s, x ( s ) )ds è ø ¥ 1/ p k ( s ) éë m ( s ) ûù f ( s , x ( s ) )ds = M k3 ò0 ³ M k3 òJ k2 ( s ) ëé m ( s ) ûù ³ M k3 òJ 1/ p2 f ( s, x ( s ) )ds ( 1/ p k2 ( s ) éë m ( s ) ùû r M k =r = x 57   òJ 1/ p k2 ( t ) éë m ( t ) ùû d t ) -1 ds Do ú vi x ẻ K ầ ảW1 ta cú Fx x Nu x ẻ K ầ ảW2 theo (ii), (iii), (v) ta thu kết tương tư (60) k2 (a £ k1 k2 ( a1 + a2Rp/p ) Fx £ k1 + a2 x p / p2 ) £R = x Theo định lý Kranoselskii, phương trình (7) có nghiệm dương x * cho r £ x* £ R Ví dụ 3.3.1 Xét phương trình sau x (t ) = ¥ ị0 2ư ỉ ỉ ửữ ữữ ỗỗ ỗ K ( t , s )ỗ + ỗ x ( s ) - ữữ ữữds , t ẻ I ứ ứữ ỗốỗ + s ỗố Vi t -2s K ( t, s ) = e 1+s m ( t ) = e-3t , q ( t ) = e-2t , p = 4, p1 = p2 = 2 æ 1 ửữ ỗ Hm f ( t, x ) = + ỗ x - ữ tha iu kin ca nh lý 3.3.5 Do ú phng + t ỗố ÷ø trình có nghiệm dương 58   Kết luận Xuất phát từ việc khảo sát lý thuyết nón khơng gian Banach, luận văn tìm hiểu khái niệm toán tử dương quan hệ thứ tự phần sinh nón Từ giới thiệu số ứng dụng lý thuyết toán tử dương việc chứng minh tồn nghiệm dương cho phương trình vi phân phương trình tích phân Hammerstein Hướng phát triển đề tài tiếp tục tìm hiểu ứng dụng tốn tử dương phương trình Volterra, Fredholm ứng dụng phương trình Hammerstein số lĩnh vực cụ thể lọc xử lý tín hiệu,… 59   Tài liệu tham khảo [1] Kolmogorov A.N, Fomin S.V, Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Graylock press, 1961 [2] Haim Brezis, Functional Analysis, (Bản dịch Nguyễn Hội Nghĩa, Nguyễn Thành Long), NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM, 2002 [3] Eberhard Zeidler, Nonlinear Function Analysis and its Applications, SpringerVerlag, New York, 1986 [4] K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, New York, 1985 [5] J.Danes, On local spectral radius, Casopis Pest Math, 1987 [6] M.A Krasnoselskii, Positive Solution of Operator Equation, Noordhoff Groningen, 1964 [7] M Zima, On the local spectral radius in partially odered Banach spaces, Czechoslovak Math, 1999 [8] M Zima, A theorem on the spectral radius of the sum of two operators and its applications, Bull Austral Math, 1993 [9] M Zima, On the local spectral radius of positive operators, Proc Amer Math, 2003 60   LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Họ tên: Võ Duy Tâm Ngày sinh: 10/09/1985 Nơi sinh: Tiền Giang Địa liên lạc: 53 Võ Văn Ngân, Phường Linh Chiểu, Quận Thủ Đức, Tp.HCM QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Từ tháng 9/2003 đến tháng 9/2007: Học Đại học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG TP HCM Chuyên ngành: Toán – Tin học Từ tháng 9/2011 đến nay: Học Cao học ngành Toán ứng dụng Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP HCM Q TRÌNH CƠNG TÁC Từ tháng 9/2010 đến nay: Giảng viên Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thủ Đức ... “Tốn tử dương không gian Banach ứng dụng? ?? gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Toán tử dương không gian Banach với xếp thứ tự phần Chương 3: Ứng dụng toán tử dương phương trình vi... riêng dương [3] toán tử 20   A số l gọi giá trị riêng dương toán tử A tương ứng với véctơ riêng x Định nghĩa 2.2.5 Tập hợp S + ( A ) tất giá trị riêng dương toán tử A gọi phổ dương [3] toán tử A... tháng, năm sinh: 10/09/1985 Nơi sinh: Tiền Giang Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 I TÊN ĐỀ TÀI: TỐN TỬ DƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 14/01/2013 III