HT KIẾN THỨC cơ bản toán THCS

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN PHỤC VỤ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Mục lục Phần đại số: ======= PHẦN ĐẠI SỐ ======= Đ_1.Các dấu hiệu chia hết: a) b) c) d) Dấu hiệu chia hết cho 2: Những số có chữ số tận “số chẵn” chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 3: Những số có tổng chữ số chia hết cho 3thì chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 5: Những số có chữ số tận chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 4: Hai chữ số tận chia hết cho Ví dụ: 136 có chia hết cho 36 ⋮ e) Dấu hiệu chia hết cho 8: Ba chữ số tận chia hết cho Ví dụ: 3904 có chia hết cho 904 chia hết cho f) Dấu hiệu chia hết cho 9: Những số chó tổng chữ số chia hết cho xhia hết cho g) Dấu hiệu chia hết chi 11: Những số có Tổng chữ số hàng lẻ – Tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 chia hết cho 11 Ví dụ: 253 chia hết cho 11 (2 + 3) – = – = ⋮ 11 => 253 ⋮ 11 h) Dấu hiệu chia hết cho 25: Nhứng số có hai chữ số tận chia hết cho 25 Ví dụ: 12231225 chia hết cho 25 25 chia hết cho 25 i) Dấu hiệu chi hết cho 125: Những số có ba chữ số tận chia hết cho 125 chia hết cho 125… Ví dụ: 2345312125 chia hết cho 25 125 chia hết cho 25 • Chú ý:- Những số chia hết cho chia hết cho 10 Những số chia hét cho chia hết cho Những số chia hết cho chia hết cho Những số chia hết cho 125 chia hết cho 25 Đ_2 Số nguyên tố - hợp số: a) Số nguyên tố( SNT): số có ước số Ví dụ: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,47,53… b) Hợp số: số có từ ước số trở lên * Lưu ý: Số số nguyên tố chẵn c) Phân tích số thừa số nguyên tố: Cách làm sau 588 294 147 49 7 => 588 = 2.2.3.7.7 = 22.3.72 Đ_3 Lũy thừa: 1) 2) 3) 4) Công thức cần nhớ x xn = xm+n xm : xn = xm-n ( m ≥ n) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm.ym m Ví dụ minh họa 23.24 = 23+4 = 27 35 : 32 = 35-2 = 33 5) (xm)n Đ_4 Tỷ lệ thức: 6) a) Tính chất: b) Tính chất dãy tỷ số nhau: Đ_5 Đơn thức – đa thức: a) Định nghĩa: * Đơn thức: Là biểu thức đại số phép toán thực biến gồm phép nhân lũy thừa với số mũ tự nhiên * Đa thức: Là biểu thức gồm tổng đơn thức b) Phép nhân đa thức: * A.(B+C) = A.B + A.C * ( A+B).(C+D) = A.C + B.C + A.C + A.D Đ_6 Bảy đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 ( A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 ( A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A2 – B2 = ( A - B)(A + B) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 +AB + B2) Đ_7 Phân tích đa thức thành nhân tử: a) Thế phân tích đa thức thành nhân tử? Là biến đổi đa thức thành tích nhiều đa thức khác b) Các cách phân thích đa thức thành nhân tử:  Đặt nhân tử chung  Dùng đẳng thức  Nhóm hạng tử  Thêm – bớt; tách hạng tử  Phối hợp nhiều cách Đ_8 Phân thức đại số: a) Khái niệm: Dạng tổng quát: : A,B đa thức, B khác b) Rút gọn phân thức: Đ_9 Biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai: Kiến thức cần nhớ: 1) có nghĩa A ≥ 2) 3) = 4) 5) = 6) 7) 8) 9) 10) A ≥ , B ≥ A ≤ , B ≤ A.B ≥ ) B ≠ , ( A ≥ , A ≠ B2 ) , ( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) Đ_10 Phương trình: a) Phương trình bậc bậc hai: Phương trình bậc ẩn Dạng ax + b = (a ≠ 0) tổng quát ⇔ ax = -b ⇔x= Cách giải Phương trình bậc hai ẩn ax2 + bx + c = (a ≠ 0)  Theo công thức nghiệm: ∆ = b2 – 4ac - ∆ < TP vơ nghiệm - ∆ = pt có N0 kép x1 = x2 = - ∆ > thì: x1 = ; x2 =  Theo Vi – et: - Nếu a + b + c = x1 = 1; x2 = - Nếu a - b + c = x1 = -1; x2 = - ∆’ = b’ - ∆’ < T - ∆’ = pt x1 = x2 = - ∆’ > thì: x1 = ; x2 Ví dụ minh họa: VD_1: Giải phương trình 3x – =  3x =  x = VD_2: Giải phương trình: 3x2 – 4x +1 = Cách 1: ∆ = b2 – 4ac = (- 4)2 – 4.3.1= > => x1 = ; x2 = = ….= Cách 2: ∆’ = b’2 – ac = (-2)2 – 3.1= > => x1 = ; x2 = = ….= Cách 3: Nhận xét hệ số : a + b + c = – + 1= => x1 = ; x2 = b) Phương trình đưa phương trình bậc hai : * Phương trình trùng phương: - Dạng tổng quát: ax4 + bx2 + c = - Cách giải: đặt x4 = t ≥ ta phương trình bậc hai ẩn t: at2 + bt + c = - Ví dụ minh họa: Giải phương trình +Đặt ta có : t2 – 3t + = + Giải ta t1 = 1; t2 = + Với t1 = ta có: ⇔ ⇔ (x ≠ -1) + Với t2 = ta có: ⇔ ⇔ (x ≠ -1) * Phương trình tích: - Dạng tổng quát: A(x) B(x)… C(y) = Trong đó: A(x), B(x) C(y) đa thức bậc bậc - Cách giải: - Ví dụ minh họa: Giải phương trình: x3 + 3x2 – 2x – = ⇔ (x3 + 3x2) – (2x + 6) = ⇔ x2(x + 3) – 2(x + 3) = ⇔ (x+3)(x2 – 2) = ⇔ ⇔ * Phương trình chứa ẩn mẫu: - Dạng tổng quát: - Cách giải: theo qui tắc bước: + Bước 1: Đặt điều kiện: B(x) ≠ + Bước 2: Qui đồng khử mẫu + Bước 3: Giải phương trình sau qui đồng khử mẫu + Bước 4: Kết luận nghiệm: Nghiệm phải thỏa đ/k bước - Ví dụ minh họa: Giải phương trình : + Đ/K : MTC = x2 – 5x + = (x – 2)(x – 3) ≠ ⇔ x ≠ 2; + Khi ta có: 2x(x – 3) – 5(x – 2) = ⇔ 2x2 – 11x + = + Giải phương trình ta được: x1 = ; x2 = TMĐK c) Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: • DẠNG 1: = m - Cách giải: f(x) = m f(x) = - m - Ví dụ minh họa: Giải phương trình: = ⇔ ⇔ ⇔ ……⇔ • DẠNG 2: = g(x) - Cách giải:  Cách 1: + Đặt đ/k: g(x) + Bình phương hai vế : Cách 2:+ Xét f(x) => f(x) = g(x) +Xét f(x)≤0 => - f(x) = g(x) Cách 3: + Với g(x)0 ta có: f(x) = ± g(x) - Ví dụ minh họa: Giải phương trình: Ta dùng cách 1: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = ( TMĐK) • DẠNG 3: = Cách giải: Lập bảng xét dấu Theo qui tắc: “trong trái – cùng” x a b -α +α f(x) + +  g(x) +  - Ví dụ minh họa: Giải phương trình : + Lập bảng xét dấu sau: x -∞ +∞ +  +  + + Ta tiến hành trường hợp sau:  Với x < - ta có: - 2x – = – 3x ⇔ x = ( Loại)  Với ta có: 2x + = – 3x ⇔ 5x = ⇔ x = ( TMĐK)  Với ta có: 2x + = 3x – ⇔ x = ( TMĐK) Kết luận: Nghiệm phương trình là: x = x = d) Phương trình vơ tỷ: • DẠNG 1: = g(x) - Cách giải: = g(x) - Ví dụ minh họa: Giải phương trình: • - Điều kiện: x (1) + Cách 1: 15 – x + – x + = 36  =9+x Đ/K : x (2)  = (9+x)2  … 36x = - 36  x = -1 ( thoả mãn đ/k) + Cách 2: Đặt u = ; v = , (u 0; v ta có: ⇔ ⇔ ⇔ Với v= => – x = => x = -1 Với u = => 15 – x = 16 => x = -1 Vậy phương trình có nghiệm : x = -1 DẠNG 2: + = g(x) Cách giải:Tìm đ/k: sau bình phương hai vế lần đưa dạng Ví dụ minh họa: Giải phương trình: + - Điều kiện: ⇔ ⇔ Đặt u = v = , ( u; v , ta có: ⇔ ⇔ Khi u v nghiệm phương trình: X2 – 5X + = ⇔ X = X = Với u = => = 2=> … x = ± Với u = => = =>… x = ± Vậy phương trình có nghiệm : x = ± x = ± - DẠNG 3: + = Cách giải : Tương tự dạng Ví dụ minh họa: Giải phương trình : Điều kiện: ⇔ ⇔ - (1) Bình phương hai vế hai lần ta được: …x(2x+7) = ⇔ x1 = - , x2 = DẠNG 4: + = + Cách giải: + Đặt điều kiện: + Bình phương vế, ta có: f(x) + g(x) + 2= h(x) + k(x) + Đưa dạng: + = giải tiếp tùy theo bài…… • DẠNG 5: + = - Cách giải: Đặt t = + ( Đối với dạng tương đối phức tạp Vì tài liệu khơng đưa ví dụ minh họa) e) Một số phương trình bậc cao: • Phương trình bậc cao dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m / a + b = c + d - Cách giải: Đưa phương trình: =0 - Ví dụ minh họa: Giải phương trình: • hương trình dạng: ax4 + bx3 + cx2 ± kbx ± ak2 = - Cách giải : Đưa dạng: a + b + c = (*) • - Đặt x ± = t Ta có :(x ± ) = t2 => = t2 – 2k Khi (*) a(t2 – 2k ) +bt =  at2 + bt – 2ak = • Phương trình dạng: = k - Cách giải : Đặt ax2 + bx = u => = k f) Phương trình nghiệm nguyên - Phương trình bậc ẩn: + Dạng thường gặp: (ax + b)(cx + d)(…) = m + Cách giải: (ax+b), (cx+d) …là ước m + Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình: x4 = 24x + ⇔ x4 - 24x = ⇔ x (x3 – 24) = Ta xét bảng giá trị sau: x3 - 24 -9 -3 -1 x3 33 15 27 21 25 23 x Loại Loại Loại Loại Loại Đáp số: x = - Phương trình bậc hai ẩn + Dạng tổng quát: ax + by = c (1) + Cách giải: - Ta có : => -ax + c chia hết cho b - Thay y vào (1) cho x số nguyên + Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 12x + 7y = 45 Dễ thấy y , đặt y = 3t (t ∈ Z) Rút gọn ta : 4x – 7t = 15 ⇒ x = Đặt k = Đáp số : với k số nguyên tùy ý - Phương trình bậc hai với ẩn: + Dạng 1: axy + bx + cy + d = ( a,b,c,d ∈Z) Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 Lời giải: Biểu diễn y theo x ta được: ( 2x+3)y = 5x + 11  y= Để y ∈ Z x + 2x + ⇒ 2(x+5) 2x + ⇒ (2x + + 7) 2x + ⇒ 2x + Ta có bảng sau: 2x + -1 -7 x -1 -2 -5 y -1 Các giá trị bảng thỏa mãn + Dạng 2: ax2 + by2 + c = ( a,b,c ∈ Z) Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên phương trình : 3x2 + 4y2 = 84 Lời giải: Vì 4y2 ≥ nên 3x2 ≤ 28 => x2 ≤ 28 Ta lại có 3x2 số chẵn nên x2 số chẵn Suy x2 ∈ - Với x2 = 4y2 = 84 => y2 = 21 (loại) - Với x2 = 4y2 = 72 => y2 = 18 (loại) - Với x2 = 16 4y2 = 36 => y2 = => y = ± Kết luận: Nghiệm (x;y) là: (4;3); (4;-3); (-4;3); (-4;-3) + Dạng 3: ax2 + by2 + cx + d = : ax2 + by2 + cy + d = Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình x2 - y2 - 2x -11 = Lời giải: Đưa phương trình tích ta được: x2 – 2x +1 – y2 = 12 ⇔ (x – 1)2 – y2 = 12 ⇔ ( x – – y)(x – + y) = 12 Ta xét bảng sau: x–1–y 12 -1 -12 -2 -6 -3 x–1+y 12 -12 -1 -6 -2 -4 -4 -3 Kết luận: Nghiệm (x;y) là: (5;2); (5; -2); (-3;2); (-3;-2) + Dạng 4: ax2 + by2 + cxy + d = ( a,b,c,d ∈Z) Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình 5x2 – y2 + 4xy – = Lời giải: Đưa phương trình tích ta được: 5x2 + 5xy – xy – y2 =  5x(x + y) – y(x + y) =  (x + y)(5x – y) = Ta lập bảng sau: x+y -1 -9 -3 5x – y -9 -1 -3 6x 10 10 -10 -10 -6 x Loại Loại Loại Loại -1 y -2 Đ/s: Nghiệm (x; y) : (1; 2) ; (-1; -2) + Dạng 5: ax2 + by2 + cx + dy = ( a,b,c,d ∈Z) Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2 + y2 = 5(x – y) (1) Lời giải: Coi phương trình bậc hai ẩn x ta được: x2 – 5x + (5y + y2) = (2) Để phương trình có nghiệm ∆ = 25 – 4(5y + y2) = 25 – 20y – 4y2 ≥  4y(y + 5) ≤ 25 Vì y ∈ nên y = , thay vào (2) ta được: x – 5x + = => x1 = 2, x1 = Đ/s: Nghiệm nguyên dương phương trình là: (2;1); (3;1) + Dạng 6: ax2 + by2 + cx + dy + e = ( a,b,c,d ,e∈Z) Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm ngun phương trình 3x2 + 4y2 + 12x + 3y + = (1) Lời giải: Viết phương trình (1) dạng bậc hai ẩn x ta được: 3x2 + 12x + ( 4y2 + 3y + 5) = (2) Để phương trình (2) có nghiệm ∆’ ≥  36 – 3(4y2 + 3y + 5) = 3(7 – 4y2 – 3y) ≥  4y2 + 3y – ≤  y(4y + 3) ≤ - Với y ≥ (4y + 3) ≥ 2.11 = 22  Loại - Với y ≤ - y(4y + 3) ≥ (-2)(-5) = 10  Loại - Với y = -1 ∆’ = 18 khơng số phương - Loại - Với y = ∆’ = 21 khơng số phương - Loại - Với y = thay vào (2) ta được: x2 + 4x + = x = - - Đ/s : Nghiệm phương trình là: ( -2; 1) + Dạng 7: ax2 + by2 + cxy + dx + ey = ( a,b,c,d ,e∈Z) Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 = xy + x + y (1) Lời giải: (1) ⇔ x2 – (y + 1)x + y2 – y = (2) Để (2) có nghiệm ∆ = (y + 1)2 – 4.(y2 – y) = …= - 3y2 + 6y + ≥ ⇔ 3(y – 1)2 ≤ Do y ∈ Z nên (y – 1)2 ≤ => y 0,1,2 - Với y = 0, thay vào (2) ta được: x2 – x = Ta có x1 = 0; x2 = - Với y = , thay vào (2) ta được: x2 – 2x = Ta có x3 = 0, x4 = - Với y = 2, thay vào (2) ta được: x2 – 3x + = Ta có x5 = 1, x6 = Đáp số Nghiệm (x; y) là: (0;0); (1;0); (0;1); (2;1); (1;2) ; (2;2) + Dạng 8: ax2 + by2 + cxy + dx + ey + g = ( a,b,c,d ,e,g∈Z) Ví dụ minh họa: Tìm nghiệm ngun phương trình x2 + y2 –xy – 2x + 3y + = Lời giải: Viết phương trình dạng bậc y ta được: y2 + (3 - x)y + ( x2 – 2x + 2) = (2) Để phương trình có nghiệm ∆ = (3-x)2 – 4(x2 – 2x + 2) = - 3x2 + 2x + ≥ … ⇔ x(3x – 2) ≤ - Với x ≥ x(3x – 2) ≥ 2.4 =  Loại - Với x ≤ -1 x(3x – 2) ≥ (-1).(-5) =  Loại Với x = 0, thay vào (2) ta được: y2 + 3y +2 = 0, ta có: y1 = -1, y2 = -2 Với x = 1, thay vào (2) ta được: y2 + 2y + = 0, ta có: y3 = -1 Đáp số: Nghiệm (x;y) là: (0; -1); (0; -2); ( 1; -1) - Đ_11 Hệ phương trình: a) Hệ phương trình bậc ẩn: - Dạng tổng quát: - Cách giải: Bằng PP cộng - Điều kiện nghiệm HPT: Hệ vơ nghiệm Hệ có nghiệm Hệ vô số nghiệm b) Hệ phương trình với nghiệm nguyên: ( HS tự tìm hiểu) 10 Đ_12 Hàm số đồ thị: 10 * Lưu ý: A (xA; yA); B(xB; yB) Khi độ dài đoạn AB = 8 a) Tổng quát: 6 Công thức hàm số Dạng đồ thị Cách vẽ đồ thị 4 10 2 M y = ax ( a ≠ ) -15 -10 - Chọn M( xM;yM) tùy ý - Kẻ đường thẳng OM 10 O -5 -15 -10 10 15 O -5 10 15 -2 M -2 a>0 -4 a0 a0 -4 a0 -6 -4 -8 -2 10 -4 10 15 15 a S = x1 + x2 = −b a P = x1.x2 = c a b) Ứng dụng:  Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn • Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (*) a/ Nếu a + b + c = Thì x1 = ; x2 = b/ a - b + c = Thì x1 = -1 ; x2 = c a −c a Ví dụ: Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 2x2 + 5x + = (1) b/ 3x2 + 8x - 11 = (2) Giải: Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có nghiệm: −3 x1 = -1 và x2 = Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có nghiệm: −11 • x1 = x2 = Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm lại hệ số phương trình: Ví dụ: a/ Phương trình x2 – 2px + = có nghiệm x1 = 2, tìm p nghiệm b/ Phương trình x2 + 5x + q = có nghiệm x1 = 5, tìm q nghiệm c/ Phương trình x2 – 7x + q = có hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d/ Tìm q hai nghiệm phương trình : x2 – qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm nghiệm lần nghiệm Giải: ⇒ p= a/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 – 2px + = , ta – 4p + = Theo hệ thức Vi-ét : x1 x2 = suy ra: x2 = 5 = x1 b/ Ta thay x1 = vào phương trình x2 + 5x + q = , ta được: 25+ 25 + q = ⇒ q = −50 −50 −50 = = −10 x1 Theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = -50 suy ra: x2 = c/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x1 - x2 =11 theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = ta có hệ phương trình sau:  x1 − x2 = 11  x1 = ⇔   x1 + x2 =  x2 = −2 Suy ra: q = x1 x2 = 9.(-2)= -18 d/ Vì vai trị x1 , x2 bình đẳng nên theo đề giả sử: x = 2x2 theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:  x1 = x2 x = ⇔ x2 = 50 ⇔ x2 = 52 ⇔    x1.x2 = 50  x2 = −5 - Với x2 = x2 = −5 x1 = 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = + 10 = 15 x1 = −10 - Với Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15  Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai • Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ: Cho x1= 3; x2= Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  S = x1 + x2 =   P = x1.x2 = ⇔ Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x2 – Sx + P = x2 – 5x + = • Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc hai có ẩn y thỏa mãn: y1 = x2 + x1 y2 = x1 + x2 Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: S = y1 + y2 = x2 + 1 1 1 x +x + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2  x1 x2   1 1 1 P = y1 y2 =  x2 + ÷  x1 + ÷ = x1.x2 + + + = + 1+ 1+ = x1   x2  x1 x2 2  y − Sy + P = y2 − Vậy phương trình cần lập có dạng: hay 9 y + = ⇔ y2 − y + = 2 10 - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - = có nghiệm x x2 Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho chúng khơng phụ thuộc vào m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  m − ( m − 1) ( m − ) ≥ ∆ ' ≥ 5m − ≥ m ≥ Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: Rút m từ (1), ta có: 2m    S = x1 + x2 = m −  S = x1 + x2 = + m − (1) ⇔  m −  P = x x =  P = x x = − (2) 2 m −1 m −1   2 = x1 + x2 − ⇔ m − = (3) m −1 x1 + x2 − Rút m từ (2), ta có: Từ (3) (4), ta có: 3 = − x1 x2 ⇔ m − = (4) m −1 − x1 x2 = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2  Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ: Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 + x2 = x1 x2 x1 x2 thỏa mãn hệ thức: Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m ≠ m − ≠ m ≠ ⇔ ⇔  2 ∆ ' ≥ ∆ ' = 3 ( m − 21)  − ( m − 3) m ≥ ∆ ' = m − 2m + − 9m + 27 ≥ ( ) m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ m ≥ −1 ∆ ' = ( m − 1) ≥ Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: Vì x1 + x2 = x1 x2 6(m − 1)   S = x1 + x2 = m   P = x x = 9(m − 3)  m (giả thiết) 12 Nên 6(m − 1) 9( m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9( m − 3) ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m ( thỏa mãn) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + x2 = x1 x2  Ứng dụng 7: Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm,… Ta lập bảng xét dấu sau:  Dấu nghiệm x1 x2 S = x + x2 P = x x2 Điều kiện chung m ± ≥ ≥ trái dấu P0   0;P>0 ≥ ≥ dương + + S>0 P>0   0;P>0;S>0 ≥ ≥ âm S0   0;P>0;S 6) a > b, c > => a.c > b.c 2) a > b, b > c => a > c 7) a > b, c < => a.c < b.c 3) a > b a + c > b + c 8) a > b > 0, c >d > => a.c > b.d 9) a > b > =>n( n N*) 4) a > b, c > d => a + c > b + d 10) , a > : 5) a > b  < a ( Dấu “ =” xảy  a = b ) Côsi 2 2 12) a.b + c.d Hay (a.b +c.d) (a +c )(b + d ) 15 ( Dấu “ = ”xảy = ) Bunhiaxcopxki 13) , ( Dấu “ = ”xảy a.b 0) 14) ( Dấu “ = ”xảy a.b 0) 15) B – MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA: ♦Ví dụ 1: Cho a;b > a2 + b2 = Tìm Max A = Giải: Với hai số dương x; y ta có : x + y => xy (*) Dấu “ = ” xảy x = y ( BĐT Cơ si ) Ta có : a3 + = (a + 1)( a2 –a + 1) Mà : a > nên : a + > 0; a2 – a + = > Áp dụng BĐT (*) ta được: (a + 1)( a2 –a + 1) => Tương tự : Do : A = Dấu “ = ” xảy …. Vậy maxA = a = b = ♦Ví dụ 2: Cho a;b;c > a + b + c = Tìm minB = Giải: 2 2 Ta có: a – ab + b = (a – 2ab + b ) + (a + b2) = (a - b)2 + (a2 + b2) Áp dụng BĐT : (a - b)2 = 2a2 +2b2 – 2ab –a2 – b2 = 2(a2 + b2) – ( a+ b)2 Hay 2(a2 + b2) ( a+ b)2 => (a2 + b2) ( a+ b)2 Mà : ( a – b ) Nên: ( a+ b)2 => (a + b) Dấu “ = ” xảy a = b Tương tự : (b + c) , Dấu “ = ” xảy b = c (a + c), Dấu “ = ” xảy a = c Do : B Dấu “ = ” xảy  a = b = c = ♦ Ví dụ 3: Cho x > 2y x.y = Tìm minC = Giải: Ta có : C = = Vì x > 2y nên x- 2y > => Áp dụng BĐT Cô si ta có : = Do minC =  …  ♦ Ví dụ 4: Tìm Max Min y = Giải : Vì x + > nên y xác định Do : y = Coi (1) phương trình bậc hai ẩn x Phương trình phải có nghiệm • Xét y = 0, ta có: (1)  -x =  x = • Xét y khác 0, (1) phải có nghiệm .Khi Khi 16 ♦ Ví dụ 5: Cho x; y > x + y = Tìm S = Giải: 2 Theo BĐT Cơsi ta có: x + y với x; y > => Mà x + y => S = Vậy minS = Khi x = y = ♦ Ví dụ 6: Cho a Chứng minh: (15) Giải: Ta có : Áp dụng BĐT Cô si ta được:  Dấu “ = ” xảy ( HS tự giải thích) ♦ Ví dụ 7: Cho a + b = Chứng minh: (16) Giải: Nhân vế (16) với ta được: 2(  2(  … (a – b)2 BĐT => (16) Dấu “ = ” xảy a = b = ♦ Ví dụ 8: Cho a; b; c > Chứng minh: (17) Giải: Vì a + b + c = nên : ; ; => Dấu “ = ” xảy a = b = c = ♦ Ví dụ 9: Cho x > 0, y > Chứng minh: (18) Giải = Dấu “ = ” xảy x = y ♦ Ví dụ 10: Cho a,b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ( 19) Giải: Ta có: a + b – c > 0, c + b – a> 0, c + a – b > Áp dụng 18 ta có: => Dấu “ = ” xảy a = b = c : Tam giác ABC ♦ Ví dụ 11: Cho a,b,c > a + b + c = Chứng minh rằng: (20) Giải: Áp dụng BĐT Cô si cho số dương: 4a + ta có: => : 17 Dấu “ = ” xảy 4a +1 = 4b +1 = 4c +1 =  a = b = c = ♦ Ví dụ 12: Cho x > y xy = Chứng minh: (21) Giải: Ta có: Áp dụng BĐT Cơ si ta có: Dấu “ = ”xảy xy = => x = y = ♦ Ví dụ 13: Cho a;b Chứng minh rằng: a) Giải: Xét hiệu : Do : Dấu “ = ” xảy a = b b) Xét hiệu : Vì a;b => Dấu “ = ” xảy a = b ♦ Ví dụ 14: Cho x + y = Chứng minh: a) Giải: Ta có : (x + y) = 1, ( x – y) => (x + y) + ( x – y)2 => x2 + y2 2 => (x2 + y2 )2 => (x2 + y2 )2 + (x2 - y2 )2 => 2x4 + 2y4 Hay x4 + y4 Dấu “ = ” xảy x = y = Đ_16.Bất đẳng thức, bất phương trình: ====== PHẦN HÌNH HỌC ====== H_1.Các tốn dựng hình bản: Vẽ đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Vẽ tam giác Vẽ góc góc cho trước Vẽ tia phân giác góc Vẽ đường trung trực, trung điểm đoạn thẳng  Qua điểm cho trước, vẽ đường thẳng //, ⊥ với đường thẳng cho trước      H_2 Đường thẳng song song: a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song hai đường thẳng khơng có điểm chung Ký hiệu: a//b b) Dấu hiệu nhận biết:  Các cặp góc so le trong, đồng vị, so le ngồi  Các cặp góc phía, ngồi phía bù c) Tiên đề ƠClit:: “ Qua điểm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song (vng góc) với đường thẳng cho” H_3 Liên hệ tính song song tính vng góc:  Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với  Một đường thẳng vng góc với đường thẳng song song vng góc với đường thẳng  Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với  Nếu đường thẳng cắt đường thẳng song song cắt đường thẳng cịn lại 18  Hai góc có cạnh tương ứng vng góc (hoặc song song) chúng hai nhonh tù; chúng bù góc nhọn 1góc tù H_4 Tam giác: a) Tính chất tổng góc tam giác:  Tổng góc tam giác 1800  Tổng hai góc nhọn tam giác vuông 900  Trong tam giác sđ góc ngồi tổng hai góc khơng kề với  Trong tam giác sđ góc ngồi lớn góc khơng kề với b) Các trường hợp tam giác:  Tam giác thường: trường hợp: C-C-C; C-G-C; G-C-G:  Tam giác vuông:4 trường hợp  Trường hợp: Hai cạnh góc vng  Trường hợp: Cạnh góc vng - góc nhọn  Trường hợp: Cạnh huyền – góc nhọn  Trường hợp: Cạnh huyền – cạnh góc vng c) Tam giác cân, tam giác đều: - Tam giác cân hai cạnh bên, hai góc đáy - Tam giác vng cân góc nhọn 450 - Tam giác có cạnh nhau, góc 600 d) Tam giác vng: * Định lý Py-ta-go: “ Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng” * Định lý: “ Tam giác vng  Trung tuyến cạnh huyền nửa cạnh huyền ngược lại” e) Định lý Ta-let: A M B N C f) Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác: Trong tam giác đối diện với cạnh lớn góc lớn ( ngược lại) g) Quan hệ đường vng góc đường xiên: Nếu từ điểm đường thẳng , ta kẻ đường vng góc đường xiên đến đường thẳng thì:  Đường vng góc đường ngắn  Hai đường xiên có hình chiếu (và ngược lại)  Trong hai đường xiên khơng nhau, đường xiên có hình chiếu lớn lớn (và ngược lại) h) Bất đẳng thức tam giác: Trong tam giác: Hiệu hai cạnh < cạnh lại < tổng hai cạnh i) Các đường đồng qui tam giác:  Trực tâm: Là giao điểm đường cao  Trọng tâm: Là giao điểm đường trung tuyến Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm độ dài đường trung tuyến  Tâm đường tròn ngoại tiếp: Là giao điểm đường trung trực  Tâm đường tròn nội tiếp: Là giao điểm đường phân giác  Chú ý: - Trong tam giác điểm: trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại – nội tiếp tam giác nằm đường thẳng Đường thẳng gọi đường thẳng Ơle tam giác 19 - Đường tròn bàng tiếp tam giác: Tâm giao điểm đường phân giác đường phân giác O A B C k) Tính chất đường phân giác tam giác: A A C B C D D B l) Các trường hợp đồng dạng tam giác:  Tam giác thường: trường hợp  Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh ( c-c-c): “ Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác chúng đồng dạng với nhau”  Trường hợp cạnh – góc – cạnh ( c-g-c): “ N cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh chúng đồng dạng”  Trường hợp góc – góc (g-g): “ Nếu góc tam giác hai góc tam giác chúng đồng dạng”  Tam giác vng: trường hợp - Trường hợp góc nhọn: “ Nếu góc nhọn tam giác vng nhọn tam giác vng chúng đồng dạng” - Trường hợp hai cạnh góc vng: “ Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng tỷ lệ với cạnh góc vng tam giác vng chúng đồng dạng” - Cạnh huyền cạnh góc vng: “ Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỷ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng chúng đòng dạng”  Chú ý: + Tỷ số đồng dạng tỷ số đường cao, tỷ số hai đường trung tuyến tương ứng + Tỷ số diện tích bình phương tỷ số đồng dạng m) Đường trung bình tam giác: Hình vẽ Tính chất A M B N MA = MB NA = NC => MN // = C H_5 Tứ giác: 20 Tên hình Hình thang A Tính chất B N M D C Dấu hiệu nhận biết Hai góc kề cạnh bên bù Đường TB song song với đáy nửa tổng đáy Tứ giác có cặp cạnh song song Tứ giác có góc kề cạnh bù Hai góc đáy Hai đường chéo Tổng góc đối 1800 Hình thang có tính chất bên Các cạnh đối đơi Các góc kề với cạnh bù Các góc đối đôi Hai đường chéo cắt trung điểm O đường 5.Có tâm đ.xứng điểm O Tứ giác có cặp cạnh đối song song Tứ giác có cặp cạnh đối vừa song song vừa Tứ giác có t/c : 1,2,3,4 bên hai đường chéo cắt trung điểm O đường Có góc vng Có trục đối xứng tâm đối xứng Tứ giác có góc vng Hình bình hành có góc vng HBH có đường chéo Hai đường chéo vng góc với cắt trung điểm đường Hai đường chéo đồng thời phân giác góc Có tâm đối xứng Tứ giác có cạnh HBH có cạnh liên tiếp Hình bình hành có đường chéo vng góc với 4.Hình bình hành có đường chéo phân giác góc Có góc vng Có cạnh Hai đường chéo vng góc với Hai đường chéo đồng thời phân giác góc Có trục đ xứng tâm đ.xứng HCN có cạnh liên tiếp Hình chữ nhật có đường chéo vng góc với Hình thoi có góc vng Hình thang cân A B D C Hình bình hành A B D C Hình chữ nhật A B D C Hình thoi A B D C Hình vng A B D C H_6 Chu vi, diện tích hình học: Tên hình Tam giác Chu vi Diện tích B A C H Hình thang A B C = AB + BC + BC + CA D H Hình thang cân C C = AB + BC + BC + CA 21 A B D C H Hình bình hành A B C = AB + BC + BC + CA D C H Hình chữ nhật A B C = 2.(AB + BC) D C Hình thoi A C = 2.(AB + BC) B D C Hình vng A B C = 4.AB D C H_7 Hệ thức lượng tam giác vuông: B H A TT Định lí Cơng thức Py - ta - go AB2 = BC.BH AC2 = BC.CH AH2 = BH.CH BC.AH = AB.AC BC2 = AB2 + AC2 C Phát biểu Trong tam giác vng bình phương cạnh huyền tổng bình phương cạnh ghóc vng Trong tam giác vng bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền nhân với hình chiếu cạnh huyền Trong tam giác vng bình phương đường cao tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền Trong tam giác vng Tích cạnh huyền nhân với đường cao tích hai cạnh góc vng Trong tam giác vng nghịch đảo bình phương đường cao tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng 22 H_8 Tỷ số lượng giác góc nhọn: Các cơng thức Sinα = Tanα = Cosα = Cotα = 2 Sin α + Cos α = tanα.cotα = tanα = Cot = B α β A C Sinα = Cos(900 – α) tanα = cot(900 – α) tanα = Cotα = H_9 Đường tròn: a) Khái niệm đường tròn: R O Ký hiệu : (O;R) Bán kính: R = AB Đường kính : d = 2R A b) Liên hệ đường kính dây cung:  Trong đường trịn đường kính dây cung lớn  Trong đường trịn đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây (và ngược lại)  Trong đường tròn dây gần tâm lón (và ngược lại) c) Sự xác định đường trịn:  Qua điểm có vơ số đường tròn  Qua điểm phân biệt A, B có vơ số dường trịn, tâm đường trịn nằm đường trung trực đoạn thẳng AB  Qua điểm phân biệt A,B,C có đường tròn Tâm đường tròn giao điểm đường trung trực tam giác ABC d) Tiếp tuyến đường tròn: d tiếp tuyến (O;R) O R x A e) Tiếp tuyến chung hai đường trịn: Ngồi O Tiếp xúc ngồi O' Tiếp xúc Cắt O' O O' O O' O g) Các góc với đường trịn: 23 Tên góc Góc tâm Góc nội tiếp Góc TT dây cung Góc có đỉnh bên B' A Hình vẽ C O α O Góc có đỉnh bên B A α B C' O B O B α A B A B' O A α α C C C' Tính chất A A O m B F B M n O E A O Hệ D C M B S A O B S h) Tứ giác nội tiếp:  Định nghĩa:Tứ giác có đỉnh nằm đường tròn họi tứ giác nội tiếp  Dấu hiệu nhận biết: Dấu hiệu Phát biểu Hình vẽ minh họa B C Tứ giác có đỉnh cách điểm khoảng R không đổi O D A B B C Tứ giác có tổng góc đối 1800 C O O A D D A B C Tứ giác có góc ngồi góc đỉnh đối diện O D A 24 B B C Tứ giác có đỉnh liền kề nhìn cạnh đối diện góc α C D O A O D A i) Các cơng thức liên quan: Độ dài đường trịn R O Độ dài cung trịn Diện tích hình trịn Diện tích hình quạt trịn A C = 2R.π n0 S= B H_10 Vấn đề quỹ tích: a) Các quỹ tích  Quỹ tích điểm cách điểm cố định O khoảng R không đổi đường trịn tâm O bán kính R  Quỹ tích điểm cách điểm cố định đường trung trực đoạn thẳng nối điểm  Quỹ tích điểm cách cạnh góc tia phân giác góc  Quỹ tích điểm có khoảng cách đến đường thẳng cố định độ dài cho trước đường thẳng song song với đường thẳng  Quỹ tích điểm ln nhìn đầu mút đoạn thẳng góc α hai cung chứa góc đoạn thẳng cho Đặc biệt: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc vng đường trịn đường kính AB b) Cách giải tốn quỹ tích: Có cách thơng dụng - Quy tốn quỹ tích - Chứng minh điểm cần tìm quỹ tích thuộc hình cố định H_11 Hình học khơng gian: Tên hình Diện tích xung quanh Hình vẽ Diện tích tồn phần Thể tích Lăng trụ đứng a Hộp chữ nhật b h = 25 a Lập phương Chóp a a h l l Chóp cụt h a a Trụ Nón Nón cụt V =h(R2+r2+Rr) Cầu Chúc em ơn luyện thi đạt kết tốt 26 ... Đơn thức – đa thức: a) Định nghĩa: * Đơn thức: Là biểu thức đại số phép tốn thực biến gồm phép nhân lũy thừa với số mũ tự nhiên * Đa thức: Là biểu thức gồm tổng đơn thức b) Phép nhân đa thức: ... Phối hợp nhiều cách Đ_8 Phân thức đại số: a) Khái niệm: Dạng tổng quát: : A,B đa thức, B khác b) Rút gọn phân thức: Đ_9 Biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai: Kiến thức cần nhớ: 1) có nghĩa A ≥... đa thức thành nhân tử: a) Thế phân tích đa thức thành nhân tử? Là biến đổi đa thức thành tích nhiều đa thức khác b) Các cách phân thích đa thức thành nhân tử:  Đặt nhân tử chung  Dùng đẳng thức