Các kiến thức cơ bản toán học

A.Các kiến thức Các định nghĩa: • (n ∈ Z + , n ≥ 1, a ∈ R) a n = a.a a n thua so • • • • • a = a ∀a a = ∀a ≠ a−n = (n ∈ Z + , n ≥ 1, a ∈ R / { 0}) n a m an a − n = n am m n = m an ( a > 0; m, n ∈ N ) = n m a Các tính chất : • • a m a n = a m + n am n = am −n • a (a m )n = (a n )m = a m.n • (a.b)n = a n b n • a n an ( ) = b bn Hàm số mũ: Dạng : y = a x ( a > , a ≠ ) • Tập xác định : D = R • • T = R + ( ax > Tập giá trị : Tính đơn điệu: *a>1 ∀x ∈ R ) : y = a x đồng biến R * < a < : y = a x nghịch biến R • Đồ thị hàm số mũ : y y=ax y y=ax 1 x x a>1 0 Hàm số logarith: log a N = M Điều kiện có nghĩa: -4 -0.5 -0.5 dn ⇔ log a N có nghĩa aM = N a >  a ≠ N >  1.5 2.5 3.5 4.5 Các tính chất: • log a = log a a = • log a a M = M • • a log a N = N log a (N1 N ) = log a N1 + log a N • log a ( • log a N α = α log a N • Đặc biệt: log a N = log a N • N1 ) = log a N1 − log a N N2 3 Công thức đổi số : • • • log a N = log a b log b N log a N log a b log a b = log b a log b N = a * Công thức đặc biệt: log ak N= log a N k logb c log a =c b Dạng y = log a x ( a > , a ≠ ) Hàm số logarít: • • • vaø Tập xác định : D = R + Tập giá trị T=R Tính đơn điệu: : y = log a x đồng biến R + *a>1 * < a < : y = log a x nghịch biến R + • Đồ thị hàm số lôgarít: y O y y=logax y=logax x x O a>1 0 0;N > : loga M = loga N ⇔ M = N Định lý 5: Với < a N (nghịch biến) Định lý 6: Với a > : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến) _ Hoàn toàn sử dụng công thức định lí để chứng minh số lượng lớn tập hàm số mũ logarith B Các phương pháp giải toán hàm số mũ loga I.Các phương pháp Biến đổi phương trình dạng bản: Cần nhớ định nghĩa công thức biến đổi hàm số mũ logarithm Chú ý: _ Với khác ta có _ Với khác ta có Đặt n phụ chuyển phương trình đại số: (Chú ý điều kiện Nn số) Những dạng bản: Dạng 1: đa thức theo biến Dạng 2: Chia vế cho Dạng 3: đặt ẩn phụ Biến đổi thành phương trình tích tổng bình phương: Ví d 1: Giải phương trình: Bài làm: (loại)V Logarith hóa (giải phương trình hàm số mũ) mũ hóa (giải phương trình loga): Với khác ta có Với khác ta có Sử dụng tính đơn điệu hàm số: _ Giải phương trình (1) _ m nghiệm (1) _ Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến f(x) g(x) để kết luận m nghiệm Chú ý: Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) Ví dụ 1: Giải phương trình: f(x) = x + + log2 x = f(x) hàm tăng => nhận thấy phương trình có nghiệm x = x > => f(x) > f(2) =   => x = x < => f(x) < f(2) =  nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x 9x f(x) = + =2 + x + 3x 1 x x + x x = 1 2 1 3   +    +  3  3  4  4 Phương pháp đối lập (đánh giá): XÐt phương trình Nếu tồn số M thỏa mãn Ví dụ 1: Giải phương trình: f(x) = x + + log x = f(x) hàm tăng => nhận thấy phương trình có nghiệm x = x > => f(x) > f(2) =   => x = x < => f(x) < f(2) =  Phương pháp dùng Ví dụ 1: Giải phương trình: nghiệm phương trình tính chất nghịch biến x + − x = ®iÒu kiÖn : ≤ x ≤   => VT ≥ => − x ≥ − x  Ta có : x ≥x x = x =  10 Ví du 2: Giải phương trình: sin x + cos x = Ta có: sin x = sin x ≥ sin x   => VT ≥ 2 cos x = cos x ≥ cos x  => π  sin x = x = + 2kπ  =>   = sin x   x = 2kπ Phương pháp chứng minh hàm f(x) ↑ Kết hợp biểu thức f(A) - f(B) = B - A ta dễ dàng giải toán A > B => VT > => B > A A < B => VT < => B < A Ví dụ : giải phương trình : x +2 − 2x +1 = 25x − 4x +1 Bài làm Giả sử : x + => VT ≥ 2x + ( x ≤ ) ≥ => 5x ≥ 4x + => x ≥ => x = Phương pháp đổi số Với phương pháp ta sử dụng công thức đổi số đơn giản: log c a b =c log a b Ví dụ : giải phương trình x + log x + x log2 + x log2 = 11 (1) Bài làm: (1) log2 x + log x + 3log2 x + 5log2 x = 11 11 Đặt log x = t => 2t + t + 3t + 5t = 11 t > => f(t) > f(1) = 11 t < => f(t) < f(1) = 11 => t = => Ví dụ : log x = => x = 8log3 x + xlog32 = 8log3 x + 2log3 x = Đặt 2log3 x => t3 + t − = =t t = 2log3 x = log x = x = 10 Phương pháp khử phép nhân   log3   log3 9x x  =3 +   log3 3x log3    x Ví dụ : Đặt + 3log3 x − log3 x + =3 1 log x + − log3 x (*) log x = t (*) + 3t − 2t 4t + 2t + 11 + = = t + t + = 1 2 1− t 1+ t + t − t2 2 pt vô nghiệm 11 Đặt biến trung gian Đây biến thể phương pháp đặt Nn phụ Việc đặt biến trung gian giúp tao giải toán gọn ghẽ dễ dàng 12 Vậy PT cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: Bài làm: ðặt ,điều kiện Khi phương trình tương dương với: ðặt ta được: , ta xét phương trình theo u được: Suy ra: _ Phương pháp số biến thiên kết hợp với phương pháp dùng định lí Lagrange để tạo nên phương pháp giải mạnh Ví dụ 2: Giải phương trình Bài làm: 20 Giả sử nghiệm PT , ta có : Xét hàm số , hàm liên tục đoạn [7 ; 9] (1) nên f(7) = f(9) , đồng Do theo định thời có đạo hàm khoảng (7 ; 9) hay lí Lagrange Do Từ dễ dàng ta có thấy (2) xảy Như nghiệm PT x = x = Thử lại thấy giá trị thỏa mãn PT Vậy PT có hai nghiệm x = x = Phương pháp tham số biến thiên (tráo đổi vai trò n tham số): Về phương pháp đặt Nn phụ Tham số đặt làm Nn phụ Phương pháp thường dùng để giải toán biện luận nghiệm phương trình hàm số mũ logarith có tham số Thường kết hợp với định lí tam thức bậc để giải nhanh ngắn gọn Ví dụ 1: Chúng ta quay lại tập ví dụ mục đề thay số tham số: Cho phương trình: Tìm m để phương trình có nghiệm Bài làm Điều kiện: 0 số nghiệm phương trình (1) số giao điểm 3 y=   2 XÐt y = => y’ m víi y = x − (x + 1) Trên miền D: ( −1; +∞ ) / = x − x − 2khix > x − (x + 1)  = −(x − x − 2)khi − < x < = 2x − 1khix >  = −2x + 1khi − < x < Vẽ đồ thị: Từ đồ thị ta thấy: m V 3 i   〉 m > 2 V 3 i   〈 m < 2 phương trình có nghiệm m phương trình có nghiệm phân biệt 23 m V i 3   = m = 2 phương trình có nghiệm 10.Phương pháp lượng giác hóa: Nếu ta đặt: • • Ví dụ 1: Giải phương trình: Bài làm: ĐK : Khi VP > Nếu Nếu Đặt , với )( ta có : )=0 Vậy nghiệm phương trình 24 Nếu ta đặt : Ví dụ 1: Giải phương trình: Bài làm : ĐK : Đặt Phương trình cho trở thành : (thỏa mãn) 11.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Bất đẳng thức Berlouli: t α + (1 − t)α ≥ 1∀α ∉ [ 0,1] t > 0: α t + (1 − t)α ≤ 1∀α ∈ [ 0,1] α = α =  x x Ví dụ 1: Giải phương trình + = 3x + (1) x x (1) 3 + (1 − 3)x  +  + (1 − 2)x  = Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức Bernouli => VT ≥ => Dấu “=” xảy Ví dụ 2: Giải phương trình 25 α = α =  Áp dụng bất đẳng thức Bernouli => 6 x ≥ + 5x∀x ∉ [ 0,1]  x 6 ≤ + 5x∀x ∈ [ 0,1] 6 x ≥ + 5x = 3log6 x + (2x + 1) ≥ 3log6 (5x + 1) + 2x + 1∀x ∉ [ 0,1] =>  x x 6 ≤ + 5x = 3log6 + (2x + 1) ≤ 3log6 (5x + 1) + 2x + 1∀x ∈ [ 0,1] α = => Dấu “=” xảy  α = Bất đẳng thức trị tuyệt đối Dấu “=” xảy a,b d u Ví dụ 1: Giải phương trình: Bài làm: Sử dụng bất đẳng thức ta có VP Dấu “=” xảy VT dấu Các bất đẳng thức : Cauchy; Bunhiacopxki,… Ví dụ 1: Cho a, b, c > CM : a log b c + b logc a + c loga b ≥ 3 abc Bài làm: Do a, b, c > nên log b c; log c a; log a b; log c b; log a c; log b a > Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có: blogc a + c loga b = blogc a + bloga c ≥ blogc a bloga c = blogc a +loga c log c a + log a c ≥ log c a.log a c = ⇒ blogc a + c loga b ≥ b = 2b Tương tự ta có: a logb c + b logc a ≥ 2a; c loga b + a logb c ≥ 2c 26 Cộng vế bất đẳng thức ta có: a logb c + b logc a + c loga b ≥ a + b + c ≥ 3 abc (đpcm) cauchy 12 Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai: Đây phương pháp sử dụng tính chất tâm thức bậc để giải toán hàm số mũ loga Phương pháp thường song hành với phương pháp đặt Nn phụ Ví dụ : Cho phương trình Tìm (1) để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn 1;3    Bài làm : log 23 x + log32 x + − 2m + = Điều kiện Đặt (1) t = log32 x + ≥ ta có (2) Vậy (1) có nghiệm ∈ 1;3  (3) có nghiệm∈ [1;2 ] Đặt   Hàm số f(t) hàm tăng đoạn [1;2] Ta có f(1) = ; f(2) = Phương trình ⇔ f(t) = 3m + có nghiệm ∈ [1;2] 13 Phương pháp sử dụng đẳng thức: đẳng thức mà hay sử dụng nhất: u + v = + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 27 t + t = 3m + VÝ dô 1: ( ) ( ⇔ ( + )  3+ x ) =1+ − 1 ( − ) − 1 =    + 3− x x x x VÝ dô : log32 x + log3x (2x + 1) = + log32 (2x + 1) ⇔ ( log32 x − 1)( l og3x (2x + 1) − 1) 14 Phương pháp tích phân hóa: Phương pháp thường áp dụng cho toán bất đẳng thức tích phân mà so sánh vế thông qua nguyên hàm chúng Từ có phương pháp tích phân hóa: Ví dụ 1: Chứng minh ta có: Bài làm: Ta có: Thì: Từ suy với Do với ta có: ta có: 28 Cho từ (1) ta có: 29 C Một số tập tự luyện Bài 1: Giải phương trình a x b 2 −x +8 x2 −6x − = 41−3x = 16 c x + x−1 + x−2 = 3x − 3x −1 + 3x−2 d x.3x −1.5x −2 = 12 e (x − x + 1)x −1 =1 f ( x − x )x −2 = g (x − 2x + 2) 4−x2 =1 Bài 2: Giải phương trình a 34x +8 − 4.32x +5 + 27 = b 22x +6 + x +7 − 17 = c (2 + 3)x + (2 − 3)x − = d 2.16 x − 15.4 x − = e (3 + 5)x + 16(3 − 5)x = x +3 f (7 + 3)x − 3(2 − 3)x + = g 3.16 x + 2.8x = 5.36 x h 2.4 x + 6x = 9x 30 i x 3x + −2 x + 12 = j 5x + 5x +1 + 5x +2 = 3x + 3x +1 + 3x +2 k (x + 1) x −3 =1 Bài 3: Giải phương trình a 3x + x = 5x b 3x + x − = c x − (3 − x )x + 2(1 − x ) = d 22x −1 + 32x + 52x +1 = x + 3x +1 + 5x +2 Bài 4: Giải phương trình a log5 x = log5 ( x + ) − log5 ( x + ) b log5 x + log25 x = log 0,2 ( ) c log x 2x − 5x + = d lg(x + 2x − 3) + lg x+3 =0 x −1 e .lg(5x − 4) + lg x + = + lg 0,18 Bài 5: Giải phương trình a + =1 − lg x + lg x 31 b log2 x + 10 log2 x + = c log 0,04 x + + log 0,2 x + = d 3log x 16 − log16 x = log x e log x2 16 + log 2x 64 = f lg(lg x) + lg(lg x − 2) = Bài 6: Giải phương trình   a log3  log9 x + + x  = 2x   ( ) ( ) ( ) b log 4.3x − − log2 x − = ( ) c log2 x +1 + log x + = log ( ) d lg 6.5x + 25.20 x = x + lg 25 ( e ( lg − 1) + lg ( x ) ( + = lg 51− x ) f x + lg − 5x = x lg + lg3 g 5lg x = 50 − x lg5 h x − i 3log3 x lg2 x − lg x = x −1 + x log3 x = 162 Bài 7: Giải phương trình ( ) a x + lg x − x − = + lg ( x + ) 32 +5 ) b log3 ( x + 1) + log5 ( 2x + 1) = c ( x + ) log32 ( x + 1) + ( x + 1) log3 ( x + 1) − 16 = d log5 ( x +3 ) =x Bài 8: Giải biện luận phương trình a lg  mx + ( 2m − ) x + m − 3 = lg ( − x ) b log3 a + log x a = log x a c log sin x 2.logsin2 x a = −1 d log a.log2a x a2 − =1 2a − x Bài 9: Tìm a để phương trình có nghiệm: ( ) a log3 x + 4ax + log ( 2x − 2a − 1) = b lg ( ax ) =2 lg ( x + 1) Bài 10: Tìm a để phương trình có nghiệm phân biệt: log32 x − log3 x + a = 33 Tài liệu tham khảo _ http://www.maths.vn/forums _ Hàm số - Lũy thừa - Mũ - Logarith Tác giả: Trần Sĩ Tùng _ Chuyên đề hàm số mũ logarith Tác giả: Lê Quốc Bảo _ Phương pháp số biến thiên Tác giả: Phạm Quốc Phong _ Phương pháp đặt Nn phụ giải phương trình vô tỷ Tác giả: Nguyễn Phi hùng - Võ Thành Văn _ Các giảng thầy Nguyễn Vũ Lương _Một số viết, tài liệu internet 34