Chương 1 căn bậc hai

Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán BÀI: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA A/ LÝ THUYẾT: I/ Căn bậc hai Nhắc lại kiến thức: + Căn bậc hai số a không âm số x cho = a + Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: số dương kí hiệu số âm kí hiệu + Số có bậc hai số 0, ta viết = Căn bậc hai số học a Định nghĩa: Với số dương a, số gọi bậc hai số học a Số V0 gọi bậc hai số học b Chú ý: x=  c Ví dụ : Thực yêu cầu bên * Căn bậc hai số học 16: =4 ** Căn bậc hai 1,21 là: 1,1 – 1,1 So sánh bậc hai số học a Định lý: Với hai số thực a b khơng âm , ta có: a < b  < b Ví dụ: * Ví dụ 1: So sánh < nên Vậy < ** Ví dụ : Tìm x biết: < ĐK : x ≥ Vì = nên < có nghĩa <  x < Kết hợp với đk, ta : ≤ x < Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn II/ Căn thức bậc hai đẳng thức Căn thức bậc hai: + Với A biểu thức đại số , người ta gọi thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu + xác định ( hay có nghĩa ) A lấy giá trị không âm Hằng đẳng thức a Nhắc lại đẳng thức: b Định lí: Với số a, ta có : c Chú ý: Một cách tổng quát, với A biểu thức ta có: = Ví dụ Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: a + b d c e g Rút gọn biểu thức sau: a b + Giải phương trình: a = b + c = x+ =3 III/ Liên hệ phép nhân phép khai phương: Định lí: Với hai số a , b khơng âm , ta có: = Chú ý : Định lý mở rộng cho nhiều số khơng âm Với số a , b ,c … khơng âm , ta có: = … Áp dụng: Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn a Qui tắc khai phương tích : Muốn khai phương tích số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết lại với Ví dụ: Tính a = = 0,5= 12 b = = b) Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm , ta nhân số dấu với khai phương kết Ví dụ : Tính a = = = = 15 b Chú ý : Một cách tổng quát , với hai biểu thức A B khơng âm ta có : = Đặc biệt , với biểu thức A không âm ta có: = = A b) 2a.32a b2 = 64a2b2 = (8ab)2 = 8ab = 8ab IV/ Liên hệ phép chia phép khai phương Định lí: Với số a không âm số b dương, ta có: = Áp dụng : a Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương , số a khơng âm số b dương, ta khai phương số a số b , lấy kết thứ chia cho kết thứ hai Ví dụ: Tính Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn b Quy tắc chia hai bậc hai: Muốn chia hai bậc hai số a khơng âm cho số b dương, ta chia số a cho số b , khai phương kết Ví dụ: Tính Chú ý: Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm biểu thức B dương, ta có: = Ví dụ: V/ Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai Đưa thừa số dấu căn: Với hai biểu thức A, B (B ≥ 0), ta có: = = Đưa thừa số vào dấu căn: Với hai biểu thức A, B (B ≥ 0), ta có: = Ví dụ: Tính Trục thức mẫu: Thường nhân với lượng liên hợp a Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có : b Với biểu thức A, B, C mà A ≥ A≠ B2 , ta có: c Với biểu thức A, B, C mà A ≥ , B ≥ A≠ B , ta có: Biên soạn: LÊ HỒNG VĂN Page Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn V/ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai: Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác khơng… tốn chưa cho) Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép biến đổi thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất nhân tử chung + Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác khơng Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để kết luận Bước 4: Làm câu hỏi phụ theo yêu cầu toán + Tuân thủ nghiêm ngặt phép biến đổi phương trình, bất phương trình + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện toán để nhận nghiệm, loại nghiệm kết luận Rút gọn biểu thức số: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ b/ ( c/ � d/ � � � Giải: a/ = = = b/ = = = c/ = = Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page  2 2 �1 200 � : � �8 Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn � d /� � �  2 �  � � 2 2 �1 � 200 � :  � �8 � � �  22 2 �1 10 2.2 � : � �8 � 8 2�  2  12  64  54 � Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: a/ 1  5 5 A b/ C 42 6 B 2   2 3 c/ Giải: 1  A  5 5 a/ b/ B   5  3  2   2 3   3     1   1 1  1        1       1    1   34  1       1 Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN   32   1  Page   1    1  1 1   2 3 3 1 c/     2   53  42 6  C    3 3   3 5    2 Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn     1  1  1     3 1   1   3 1 3  1 3 + Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: 2 a/      1 2  2 9 b/       5 c/    5 8 Giải: a/ 2      1 2  2 9 BĐVT ta có : 2      1 2           VP Vậy đẳng thức chứng minh b/     BĐVT ta có : 2  2   1  1   2  2  42  42    1    VP 2 Vậy đẳng thức chứng minh c/   5    5 8 Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page   1    1 Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn BĐVT ta có :    2 2    2   2   22   5 22  2   2 52    5    2   2   2 2 2 42 4   VP 54 Vậy đẳng thức chứng minh + Ví dụ 4: So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/  10 b/ 2003  2005 2004 c/ Giải: a/  10 Ta có:  Và  10 2          24  10     25 Vì 24 < 25 => 24 < 25 =>  24   25 Hay  2   10  �   10 b/ 2003  2005 2004 Ta có:  2003  2005   2003  2005  2003.2005 Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn  4008  2 Và  2004   2004  1  2004  1  4008  20042   4.2004  2.2004  20042 20042   20042  2004   20042  4008  2004   4008  20042 Vì   2003  2005  2 2004   2003  2005  2004 c/ Ta có:  Và 52.3  5 75 32.5  45 Vì 75 > 45 => 75  45  75  45   Rút gọn biểu thức có chứa chữ: *)VÝ dô 1: �a  a ��a  a � A�  1�� :  1� � a  �� a  � Cho biÓu thøc: a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A Bài giải: ĐKXĐ: a �0 � � � a  �0 � a �0 � � a �1 � Ta cã: �a  a ��a  a � � a ( a  1) �� a ( a  2) � A�  1�� :  1� �  1�� :  1� a  a  a  a  � �� �� �� �  ( a  1) : ( a  1) VËy A = a a b) Tìm a để A = (Dạng toán phụ thứ nhất) Biờn son: LÊ HOÀNG VĂN Page Tài liệu luyện thi tuyển sinh vo lp 10 mụn Toỏn Phơng pháp: Thay A biểu thức vừa rút gọn đợc vào giải phơng trình: a a 5( a  1) � a   a  � a  a 1 � a VËy víi a = 9 a (TMĐK) A = c) Tính giá trị A a = + 2 (Dạng toán phụ thứ hai) Phơng pháp: Thay giá trị biến vào biểu thức vừa rút gọn đợc thực phép tính (Lu ý: Có thể tính giá trị a thay vào) Ta có: a   2   ( 2)  2.1  12  (  1) Suy A= a 1  Do thay vào biểu thức A ta đợc: 11 2 2 1 d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng toán phụ thứ ba) Phơng pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu ớc phần d (một số), ý điều kiện xác định Ta có: A = a a Để A nguyên =1+ a 1 Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN a 1 nguyên, suy Page 10 a ớc Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn � a   1 � a0 � �a 1  �� a4 � � a   � � a9 � � a   2 � (TM§K) VËy a = 0; 4; A có giá trị nguyên e) Tìm a để A < (Dạng toán phụ thứ t) Phơng pháp: Chuyển vế thu gọn đa dạng M N M N < (hoặc > 0) dựa vào điều kiện ban đầu ta đà biết đợc M N dơng hay âm, từ dễ dàng tìm đợc điều kiện biến a a 1 0; x �1 Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page 12 A A x �A x 1 Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn A x x 1  x 1 x x 1   A A�A0� b)  x  x   x 1  x 1   x   x 1  x 1 x 1  � x 1  x (v×  x 1 x x  0) � x  � x  Kết hợp với điều kiện xác định < x 0; x �1 : � x � 1 � P� 1 �  � x  �x  x � x  � x x 1 �  P  b) �   x 1     � �� P  � �   x 1 2 x   x  2005     2  x   x  2005   �   x  2005   � x 2005 (TMĐK) Vậy x = 2005 P 52   x   x  2005   � a 1 � M �  �: a  �a  a  với a >0 a �1 �a  a * Bài tập 1: Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức M Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN b/ So sánh giá trị M với Page 13 Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn Giải: Đkxđ: a >0 a �1 � a 1 � M �  �: a  �a  a  �a  a a/ b/ Ta có , a > => => nên Vậy M < * Bài tập 2: Cho biểu thức a/ Tìm điều kiện để P có nghĩa b/ Rút gọn biểu thức P c/ Tính giá trị P với Giải: a/ Biểu thức P có nghĩa chỉ : b/ Đkxđ : c/ Thay vào biểu thức , ta có: * Bài tập 3: Cho biểu thức với a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page 14 Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải: a/ Đkxđ: b/ Ta có , A < tức Dễ thấy x + > x – Bất phương trình (*) có nghiệm Vậy với A < c/ Ta có Mà nên ta có:  x – = - x = ( tm đkxđ )  x – = < => x = ( tm đkxđ )  x – = - x = ( tm đkxđ )  x – = < = > x = ( tm đkxđ )  x – = - x = - ( tm đkxđ )  x – = x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 A nhận giá trị nguyên * Bài tập 4: Cho biểu thức với a/ Rút gọn B; Giải: b/ Tìm x để B = Đkxđ : a/ b/ Ta có B = 3, tức ( t/m đkxđ) Vậy với x = 16 B = * Bài tập 5: Cho biểu thức với x > , y > Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page 15 Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Giải: Đkxđ : x > , y > a/ b/ Ta có Do ( xy = 16 ) Vậy A = �x  y � � x  y  � xy  16 � B/ BÀI TẬP: Bµi 1: Cho biĨu thøc � � A�  : � x 3� x x a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị x A > c) Tìm x để A đạt giá trị lớn �3 P�  : �  x x  x 1 � � Bµi Cho biĨu thøc a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = c) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: M Biên soạn: LÊ HỒNG VĂN Page 16  x  12 x 1 P Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán �2 x �2 x  � x 3x  � D�    1� � � x  x  x  x  � � � � Bµi Cho biĨu thức: a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < - c) Tìm giá trị nhỏ D Bài a a ��a  a � P�  1�� :  1� � a 2 �� a  � Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a Z để P nhận giá trị nguyên B Bài Cho biÓu thøc    2 x  1  x  1 a) Tìm x để B có nghĩa rút gọn B b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên Bài x2 x 2x x  x  1 P   x  x x x Cho biểu thức a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biểu thức Bài Cho biểu thức: Q x P nhận giá trị nguyên � x 1 � P�  : � � x  x 1 x � 1 x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P > Bài a  a 2� � P�  :  � � � a 1 a �� a  a 1 � � Cho biÓu thøc Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page 17 Tài liệu luyện thi tuyển sinh vo lp 10 mụn Toỏn a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị a để P > Bài (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012) Cho A x 10 x   x  x  25 x 5 , với x  x  25 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị A x = 3) Tìm x để A < Bµi 10 Cho biĨu thøc: P x x 4   x x x a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < � x � A�  : � x  x  x � � x 1 Bµi 11 Cho biểu thức a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm tất giá trị x cho A < � � �1 � P�  � �  1� 1 a 1 a � � �a �víi a > vµ a �1 Bµi 12 Cho biĨu thøc: a) Rót gän biĨu thức P b) Với giá trị a P > Bài 13 Cho biu thức : A = 1) Rót gän biĨu thøc A Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page 18 x 2x  x  x 1 x  x với ( x > x ≠ 1) Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn x  3 2 2) Tính giá trị biểu thức Bµi 14 Cho biĨu thøc P= a) Rót gän P b) TÝnh GT cđa P x= c) T×m GT x để P = (Đề thi H Ni năm 2008-2009) Bµi 15 Cho biểu thức : A = x 1 x x  x  x 1 x 1) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A 2) Với giá trị x A < -1 Bµi 16 Cho biểu thức : A = (1  x x x x )(1  ) x 1 x 1 (Với a) Rót gän A b) T×m x để A = - 1 Bài 17 Cho biểu thức : B = x  x x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B với x = c) Tính giá trị x để A x Bài 18 Cho biểu thức : P= x  x x 2  5 x 4 x a) Tìm TXĐ rút gọn P b) Tìm x để P = Bµi 19 Cho biểu thức : Q = ( Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page 19 1 a 1  ):(  a1 a a a 2 ) a1 x �0; x �1 ) Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn a) Tìm TXĐ rút gọn Q b) Tìm a để Q dơng c) Tính giá trị biểu thức a = - Bµi 20 Cho biểu thức : M =  a  a  a a  a       2 a  a   a a) Tìm TXĐ rút gọn M b) Tìm giá trị a để M = - * Bài 21: Cho biÓu thøc a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị biểu thức B biết c) Tìm giá trị nguyên x để B có giá trị nguyên * Bi 22: Cho biĨu thøc a) Rót gän biĨu thøc E b) Tìm x để E>0 * Bi 23: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức F trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên x để F có gi¸ * Bài 24: Cho biĨu thøc a) Rót gän biểu thc N b) Tính giá trị N * Bi 25: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định A1 c) CMR 00 * Bài 27: Cho Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN Page 20 Tài liệu luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Tốn a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x đẻ A6=0,5 * Bài 28: Cho a) Rót gän A7 b) TÝnh gi¸ trị A7 x=0,36 c) Tìm x để A7 có giá trị nguyên * Bi 29: Cho a) Rút gän A8 b) CMR: nÕu th× * Bài 30: Cho biểu thức a) Rút gọn A21 b) Tính giá trị A21 với c) Tìm a để * Bi 31: Cho a) Rút gọn A22 b) Tìm x để c) So s¸nh A 22 víi * Bài 32: Cho a) Rót gän A23 cđa A23 b) CMR víi 0 1/2 * Bi 39: Chobiểu thức: C= a)Rót gän C= b)TÝnh C víi x= c)Tìm x để C>0 * Bi 40: Chobiu thc: K= a)Rút gọn K= b)Tìm x để K-1 * Bi 48: Cho biểu thức: P = : a) Rót gän P = b) Tìm x để P = c) Tìm x ®Ĩ P >3 * Bài 49: Cho biểu thức: P = c) TÝnh P t¹i x= 25  14 a) Rút gọn P = b) Tìm x để P= 9/2 * Bài 50: Chobiểu thức: P = a) Rút gọn P = b) Tìm x để P = -1 d) TÝnh P t¹i x= 11  c) Tìm xđể P e ) Tìm x để P > * Bài 51: Chobiểu thức: P = a) Rút gọn P= b) Tìm x để P = -1 c) Tìm x để P > x * Bi 52: Chobiểu thức: P = a) Rót gän P T×m x để P >0 b) Tìm x để P = * Bài 53: Chobiểu thức: P = a) Rót gän P = x x9   x 3 x 3 9 x x 3 x 2 x 2   x  3 x x 5 x  x 2 d) TÝnh P t¹i x=  Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN c) Tính P x= 11 b) Tìm x ®Ĩ P = -1 e ) T×m x ®Ĩ P > Page 23 d) ... � 1? ?? � � x  �� x � � x ? ?1 b) A  A �  A ? ?1? ??  )0  ) x   x ? ?1   x ? ?1  x ? ?1 x ? ?1 x  x  1? ??  = x  x  1? ?? x ? ?1  x ? ?1 � x   � x  1? ?? 1? ?? x ? ?1 2 ? ?1? ?? 1? ?? 0� x ? ?1 x ? ?1 x 3 0 x ? ?1. .. 3     ? ?1   ? ?1 ? ?1  ? ?1        1? ??       1? ??    ? ?1   34  ? ?1       ? ?1 Biên soạn: LÊ HOÀNG VĂN   32   ? ?1  Page   ? ?1    ? ?1  ? ?1 1   2 3 3 ? ?1 c/   ... đợc điều kiện biến a ? ?1 a ? ?1