BG Chương 1 Toán

CHƯƠNG LÝ THUYẾT TẬP HỢP Tập hợp khái niệm bản, làm tảng cho nhiều khái niệm tốn học Cần phải có hiểu biết đầy đủ, rõ ràng cặn kẽ khái niệm tập hợp 1.1 + Khái niệm tập hợp Tập hợp tụ tập phần tử có tính chất chung Tập hợp thường gọi tắt tập + Tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa: A, B, C… Các phần tử tập A thường kí hiệu chữ thường: a, b, c… + Tập hợp A xác định cách nhận biết phần tử + Một phần tử a có tập A, ta viết: a phần tử A, ta viết: a A, đọc a thuộc vào tập A Nếu a không A, đọc a khơng thuộc A + Ví dụ: + Số phần tử tập hợp A đgl lực lượng A, kí hiệu: |A| 1.2 Cách xác định/biểu diễn tập hợp + Liệt kê tất phần tử tập hợp: ✓ Tập hợp P số nguyên tố nhỏ 10, P ✓ Tập hợp nốt nhạc bản, M ✓ Tập hợp số tự nhiên, {2,3,5,7} {Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si} {0,1,2, , n, } Chú ý: Các phần tử liệt kê lần, theo thứ tự tùy ý A {a, b, c, d , a, c} {a, b, c, d} {c, d , a, b} + Mơ tả thuộc tính chất phần tử tập hợp: ✓ Tập hợp A số tự nhiên lẻ: A ✓ Tập hợp S số tự nhiên chẵn chia hết cho 3: S ✓ {n {n |n 2k 1, k } n chẵn, n 3} Tập hợp B số phương: B = {x   | x = a , a  } + Mô tả sơ đồ Venn: (Nguồn: Internet) 1.3 Các tập hợp đặc biệt + Tập rỗng, ký hiệu , tập hợp không chứa phần tử Ví dụ: A {x | x2 0} C = {Các số nguyên tố chẵn, lớn 2} = B = {VĐV đạt HCV Olympic Tokyo 2020 Việt Nam} = + Chú ý: | + Tập vũ trụ, ký hiệu , tập hợp chứa tất phần tử | 1.4 + Quan hệ tập hợp Tập hợp con: Cho A, B tập hợp Ta nói tập A tập B (hoặc A chứa B), B , phần tử A phần tử B ký hiệu: A + Ví dụ: ✓ Tập hợp số nguyên tố tập tập hợp số tự nhiên ✓ Tập hợp số tự nhiên tập tập số nguyên + Nhận xét: Cho tập hợp A, B, C Khi đó: - A A - Nếu A B B C A C - Nếu A B | A | | B | + Hai tập hợp nhau: Cho A, B tập hợp Ta nói hai tập hợp A, B nhau, kí hiệu: A A + B B B, A Ví dụ: ✓ Tập A {x | x2 ✓ Cho A {x | x & x 6} B {x ✓ Cho tập hợp: 0} B {x | 3x 12} | x 12}, đó: A B C = {Các HCN có đường chéo vng góc với nhau} D = {Các HCN có cạnh liên tiếp nhau} E = {Các hình thoi có đường chéo nhau} F = {Các hình vng} CMR: C = D = E = F + Nhận xét: Cho A, B tập hợp, A = B |A|=|B| + Tập lũy thừa tập hợp: Cho A tập hợp, tập lũy thừa tập hợp A, ký hiệu P( A) , tập hợp gồm tất tập tập A Như vậy: P( A) = {X|X  A} + + Ví dụ: Cho A {a, b, c}, đó: P( A) Cho B {1,2,3,4,5,6} Liệt kê phần tử P( B) ? { ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A} Nhận xét: Cho tập hợp A có n phần tử, đó: | P( A) | 2n 1.5 + Tích Đề-các (Descartes) tập hợp Khái niệm: Cho tập hợp A, B   Ta định nghĩa tích Đề-các A B, ký hiệu: A B , tập hợp gồm tất cặp (a, b) với a  A, b  B Ta viết: A B + {(a, b) | a A, b B} Ví dụ: + Khái niệm: Cho tập hợp A1 , A2 , , An   Tích Đề-các tập hợp A1 , A2 , , An , ký hiệu: A1  A2   An , tập hợp gồm tất thứ tự (a1 , a2 , , an ) ,  Ai với i = 1, 2, , n Ta viết: A1  A2   An = {(a1 , a2 , , an )|  Ai , i = 1, 2, , n} + Chú ý: Nếu A1 = A2 = = An = A A1  A2   An viết An gọi lũy thừa Đề-các A + Ví dụ: + Nhận xét: | A1  A2   An |=| A1 |  | A2 |   | An | , | An |=| A |n , 10 1.6 Các phép toán tập hợp Cho tập hợp A, B E + Phép hợp: Hợp hai tập hợp A B tập hợp, ký hiệu: A B, xác định bởi: A B + Ví dụ: A M {1,3,5,7,9}, B (-2;5], N (4; {x x A x {2,3,5,7} Khi A B ) Khi đó: M N B} {1,2,3,5,7,9} (-2; ) + Biểu diễn biểu đồ (sơ đồ) Venn 11 + Phép giao: Giao hai tập hợp A B tâp hợp, ký hiệu: A B, xác định bởi: A B + Ví dụ: A M {1,3,5,7,9}, B (-2;5], N (0; {x x A x B} {2,3,5,7} Khi đó: A B ) Khi đó: M N {3,5,7} (0;5] + Biểu diễn biểu đồ (sơ đồ) Venn: + Chú ý 1: A B giao A B A B + Chú ý 2: A , A B không giao (rời nhau) B A B A A B B 12 + Phép lấy phần bù: Phần bù tập hợp A (trong E), tập hợp, ký hiệu A, xác định bởi: A + Ví dụ: Cho E ,A ( {x E x ;1], B ( 3; A (1; ), B A} ) Khi đó: ( ; 3] + Nhận xét: A A, A B B A, A B B A 13 + Phép lấy hiệu: Hiệu hai tập hợp A B, ký hiệu: A \ B , xác định bởi: A\ B + Nhận xét: A \ B + Ví dụ: Cho M {x | x A x B} A B {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, N M \N {2,4,6,8,10,12} Khi đó: {1,3,5,7,9} 14 1.7 Tập hữu hạn + Khái niệm: Tập hợp A đgl tập hữu hạn A tập rỗng liệt kê hết phần tử A + Nhận xét: Nếu A tập rỗng | A |= , A có n phần tử | A |= n ; n đgl số tập A + Tính chất: Cho A, B tập hữu hạn Khi đó: | A  B |=| A | + | B | − | A  B | | A \ B |=| A | − | A  B | 15 1.8 Tính chất phép tốn tập hợp + Tính chất giao hốn: A B B A, A B B A A C + Tính chất kết hợp: A B C A A B B C , B A B A B C + Tính chất phân phối: A B C A C , A B C A C + Luật đối ngẫu De Morgan: A B B A, A B B A 16 + Luật nuốt: Nếu A  B thì: A  B = B, A  B = A Do đó: A A, A A (Tính chất Đồng nhất) A A A, A A A (Tính chất Lũy đẳng) 17 1.9 Thứ tự thực phép toán tập hợp Thực phép toán ngoặc trước, sau thực dần bên ngồi dấu ngoặc Các phép toán thực theo thứ tự ưu tiên sau: ✓ Phép lấy phần bù ✓ Phép giao ✓ Phép hợp 1.10 Sự mở rộng phép toán tập hợp Phép toán họ tập hợp A1 , A2 , , An định nghĩa dựa vào tính chất giao hốn phép quy nạp Tính chất phép tốn mở rộng họ hữu hạn tập hợp 18 ... tập hợp A1 , A2 , , An   Tích Đề-các tập hợp A1 , A2 , , An , ký hiệu: A1  A2   An , tập hợp gồm tất thứ tự (a1 , a2 , , an ) ,  Ai với i = 1, 2, , n Ta viết: A1  A2   An = {(a1 , a2... , i = 1, 2, , n} + Chú ý: Nếu A1 = A2 = = An = A A1  A2   An viết An gọi lũy thừa Đề-các A + Ví dụ: + Nhận xét: | A1  A2   An |=| A1 |  | A2 |   | An | , | An |=| A |n , 10 1. 6 Các... bởi: A B + Nhận xét: A B + Ví dụ: Cho M {x | x A x B} A B {1, 2,3,4,5,6,7,8,9}, N M N {2,4,6,8 ,10 ,12 } Khi đó: {1, 3,5,7,9} 14 1. 7 Tập hữu hạn + Khái niệm: Tập hợp A đgl tập hữu hạn A tập rỗng