SKKN TOAN

PHỤ LỤC NỘI DUNG TRANG PHẦN I: LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI I Cơ sở lí luận II Cơ sở thực tiễn 3 A Tình hình chung Đối với học sinh Đối với giáo viên Tài liệu tham khảo B Mục đích- Nhiệm vụ- Phương pháp nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG I Kiến thức sở Ii.Các giải phỏp thc hin Khái niệm cực trị biểu thức Nguyên tắc chung tìm cùc trÞ cđa mét biĨu thøc KiÕn thức cần nhớ Một số dạng toán cực trị đại số PHN III KT LUN Thực tiễn khảo sát sau áp dụng Kết Bµi häc kinh nghiƯm 22 22 22 PHẦN I – LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI I-CƠ SỞ LÍ LUẬN : Trong trường THCS mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt mơn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người cơng dân Ở trưịng THCS, dạy học Tốn: với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Toán trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững kiến thức để học sinh vận dụng vào làm tập việc bồi dưỡng học sinh giỏi mục tiêu quan trọng ngành giáo dục nói chung bậc học THCS nói riêng Do việc hướng dẫn học sinh kĩ tìm tịi sáng tạo q trình giải tốn cần thiết khơng thĨ thiếu Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn trường THCS tơi sâu nghiên cứu nội dung chương trình qua thực tế dạy học tơi thấy: chương trình Tốn THCS "Các toán cực trị đại số" đa dạng, phong phú thú vị, có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học này.Ở THPT để giải toán cực trị đại số người ta thường dùng đến "cơng cụ cao cấp" tốn học là: đạo hàm hàm số Ở THCS, khơng có (hay nói xác khơng phép dùng)"cơng cụ cao cấp" Tốn học nói trên, nên người ta phải cách giải thơng minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải tốn loại Chính vậy, tốn cực trị đại số THCS khơng theo quy tắc khn mẫu cả, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Chính lí nên chọn đề tài:"Hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải toán cực trị đại số " II- CƠ SƠ THỰC TIỄN A- TÌNH HÌNH CHUNG Đối với học sinh Trên thực tế giảng dạy Tốn năm qua tơi nhận thấy: phần "Các toán cực trị đại số" phần trọng tâm việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Thế thực trạng học sinh trường trường tơi dạy là: học sinh khơng có hứng thú với loại toán này, lẽ toán cực trị đại số trường THCS không theo phương pháp định nên em lúng túng làm tốn cực trị, em khơng theo hướng Hầu hết học sinh ngại gặp tốn cực trị khơng biết vận dụng để giải tập khác Thực trạng khiến tơi băn khoăn suy nghĩ: "Làm để học sinh khơng thấy ngại có hứng thú với loại tốn này" Với trách nhiệm người giáo viên tơi thấy cần giúp em học tốt phần Tôi dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy thân số đồng nghiệp; qua tìm tịi thử nghiệm, giúp đỡ bạn đồng nghiệp Đặc biệt học sau năm trường sư phạm Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải toán cực trị đại số" Với đề tài hi vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp toán cực trị đại số, giúp em học tốt Đồng thời hình thành học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học mong muốn làm việc đạt kết cao nhất, tốt Để thống kê lực tiếp thu học sinh dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút tượng bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc mang tính chất học vẹt chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh đưa số ví dụ học sinh lúng túng khơng biết chứng minh Trước thực trạng điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết cho thấy: học sinh hiểu làm mơ hồ, sô học sinh làm nằm vào số học sinh giỏi Tuy nhiên cách trình bày bộc lộ rõ nhiều thiếu sót, học sinh cảm thấy khó tiếp thu dạng tốn mà em gặp lí mà người thầy phải tìm PP phù hợp để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng toán “ Toán Cực trị” nên cảm thấy mơ hồ phân vân lại phải làm vậy? Nếu không biến đổi có tìm kết khơng? Từ băn khoăn học sinh tơi thấy cần phải có hệ thống tập cách giải liên quan tới dạng tốn tìm cực trị giúp học sinh có cách nhìn khác dạng tốn Đối với giáo viên - Sau nhiều năm công tác nhận thấy việc học sinh nắm m hồ dạng toán phần giáo viên dạy bồi d ưỡng học sinh mũi nhọn mơn tốn ch ưa có đầu tư nhiều thời gian chất sám cho công tác bồi dưỡng.Nhiều giáo viên dạy tuân theo SGK SBT nên tổng hợp kiến thức nội dung nhiều hạn chế Đơi giáo viên áp đặt, gị em phải theo ý mà khơng giải thích phải làm khiến cho học sinh làm theo hồn tồn khơng hiểu chất cách làm 3- Tài liệu tham khảo: Bên cạnh thực trạng cịn có yếu tố ảnh h ưởng không nhỏ tới học sinh việc tiếp thu dạng tốn tài liệu tham khảo Trên thực tế tài liệu tham khảo viết dạng toán nhiều hầu hết đưa số toán kèm theo lời giải có sách viết theo chun đề khơng đầy đủ Để có sách viết chi tiết dạng tốn khó Dựa sở tơi thiết nghĩ cần phải nghiên u đưa phương pháp giải hữu ích cho dạng tốn B- MỤC ĐÍCH- NHIỆM VỤ- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mục đích nhiệm vụ Trong thực tế, dạy bồi d ưỡng học sinh mũi nhọn trường trung học sở, việc giảng dạy cho học sinh biết làm toán cực trị vận dụng sáng tạo vào giải tốn khác có liên quan công việc quan trọng thiếu giáo viên chịu trách nhiệm bồi dưỡng, thơng qua rèn luyện khả sáng tạo, tư logic cho học sinh Để làm điều giáo viên phải cung cấp cho học sinh số kiến thức phương pháp suy nghĩ ban đầu tốn cực trị đại số Vì với kinh nghiệm nhỏ thân trình giảng dạy cho học sinh việc giải tập tốn cực trị giúp em khơng bỡ ngỡ gặp tốn tìm cực trị Đồng thời giúp em tự tin hứng thú, say mê với mơn tốn nói chung tốn cực trị nói riêng Phương pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến thực nhiều năm qua Bản thân nghiên cứu hệ thống kiến thức cực trị, ứng dụng dạng toán cực trị Cụ thể tài liệu thiết thực học sinh phổ thông sở: - Sách giáo khoa, sách giáo viên - Sách bồi dưỡng thường xuyên tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên PHẦN II: NỘI DUNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ - Hệ thống kiến thức bất đẳng thức chương trình THCS (định nghĩa, tính chất, số đẳng thức) Áp dụng định nghĩa, phép biến đổi tương đương vào giải số tập cực trị Từ biết vận dụng, phát triển số tập tương tự, có biến đổi nâng cao - Một số tập sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh nhằm phát triển tư sáng tạo, địi hỏi người học phải có suy nghĩ logic, biết vận dụng kiến thức học cách logic, hệ thống - Một số tập nâng dần từ mức độ vừa phải tới toán với mức độ cao sử dụng bất đẳng thức phụ nhằm rèn luyện khả tư toán học, khả phân tích, tổng hợp… tạo say mê, hứng thú học toán cực trị II - CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Khái niệm cực trị biểu thức Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x , y , z )  S mà ta có: +) P(x , y , z )  P(x, y, , z) ta nói P(x, y, , z) đạt giá trị lớn P(x , y ,….,z ) (x , y , z ) miền S +) P(x , y , z )  P(x, y, , z) ta nói P(x, y, , z) đạt giá trị nhỏ (x , y , z ) miền S *) P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x , y , z )  S gọi P đạt cực đại (x , y , z ) P m a x (x , y , z ) Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ (x , y , z )  S gọi P đạt cực tiÓu (x , y , z ) P m i n (x , y , z ) Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là: *) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần thực hai bước: - Chứng tỏ P  k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức *) ĐĨ tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần thực hai bước: - Chứng tỏ P  k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức Chú ý không thiếu bước hai bước VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x + (x - 2) Một học sinh tìm giá trị nhỏ biĨu thức A sau: Ta có x  ; (x - 2)  nên A  Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có khơng? Giải : Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A  chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức khơng xảy ra, khơng thể có đồng thời: x = (x - 2) = Lời giải là: A = x + (x - 2) = x + x - 4x +4 = 2x - 4x + = 2(x -2x - +1) + = 2(x - 1) + (x - 1)  ,  x Ta có: 2(x - 1) +    A 2 x x Do A =  x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A với x = Kiến thức cần nhớ: ĐĨ tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc: */ a  0, tổng quát: a k  (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức  a = */ -a  0, tổng quát: -a k  (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức  a = */ a 0 (Xảy dấu đẳng thức  a = 0) */ - a  a  a (Xảy dấu đẳng thức  a = 0) */ a  b  a  b (Xảy dấu đẳng thức  ab  0) */ a  b �a  b (Xảy dấu đẳng thức  a  b  a  b  0) */ a  2 , a  a >0 */ a  b, ab >0  a  1  a b  , a  a 0 (Xảy dấu đẳng thức  a = b) a b ab */ a b  �2 với a,b>0 (Xảy dấu đẳng thức  a = b) b a 2 2 */  a  b   x  y  � a.x  b y  (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ) (Xảy dấu đẳng thức  ay = bx) *) MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ Thơng qua tốn sách giáo khoa (sách tham khảo) tiến hành phân loại thành số dạng toán cực trị đại số THCS hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải dạng tốn Sau số dạng thường gặp: DẠNG : BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = x - 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải : Gợi ý : ĐĨ tìm giá trị nhỏ biĨu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) k (k số) với gía trị biến trường hợp xảy đẳng thức Lời giải : A(x) = x - 4x+1 = x - 2.2x+1 = (x - 2.2x+4)- = (x- 2) - Với giá trị x: (x - 2) 0 nên ta có: A(x) = (x- 2) - -3 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số : A(x) n h ỏ n h ấ t = - với x=2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn biÓu thức B(x) = -5x - 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải : Gợi ý : ĐĨ tìm giá trị lớn biĨu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x) dạng B(x)  k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức Lời giải : B(x) = -5x – 4x+1 = -5 (x + x) +1 2  2  2  2  x  x        1 = -5  5 5    2 4 =   x     1 25    2  = -5  x     5  2  = -5  x    5  2 2 2   Với giá trị x:  x    nên -5  x     5 10  5 9 2   suy ra: B(x)= -5  x   + 5 5  Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)= Đáp số : B(x) l n n h ấ t = , x = 5 với x = 5 Ví dụ 3: (Tổng quát) Cho tam thức bậc hai P = ax +bx + c Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a < Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A (x) + k Sau xét với trường hợp a>0 a0 a x   0 P  k 2a   11 b2 k c  4a => P có giá trị nhỏ k (nếu a>0)  x=- b 2a b   +Nếu a P có giá trị lớn k (nếu a -4 A = - 2x >3 x2 = x - + Trong khoảng  x  x  = - (x - 5) = - x  A=x-2+5-x=3 + Trong khoảng x > x2 = x - x5 = x -  A = x - + x - = 2x - Do x > nên 2x > 10 A = 2x – > So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A  x  Đáp số: A m i n =  x  15 Cách : Ta có thĨ sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ tổng giá trị tuyệt đối Từ tìm giá trị nhỏ biĨu thức A Lời giải: A= x2 + x  = x2 +  x x2 + 5 x  x25 x = Ta có: A =  (x - 2) (5 - x)  0  x  Vậy giá trị nhỏ A  x  Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn của: B= x  y  y  z  z  x ;0 �x, y , z �3 Lời giải: Khơng tính tổng qt, giả sử x y z Ta có B= x-y+x-z+y-z=2x-2z Do x 3 nên 2x 6, z 0 nên -2z 0 => B 6 Ta có B=6x=3, z=0, y tuỳ ý (0 y 3) Vậy Max B=6 số x,y,z có số 3, số 0, số cịn lại có giá trị từ đến Bài tập đ ề nghị : Tìm giá trị nhỏ của: A  x3  x7 B  2x   2x 1 C  x2  x   x2  x  D  x2  x   x2  x  DẠNG : BÀI TỐN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ: Ví dụ : Tìm giá trị lớn M = 16 4x - 4x  Hướng dẫn giải : Gợi ý : Sử dụng tính chất a  b, ab >0  1  theo a b quy tắc so sánh hai phân số tử, tử mẫu dương Lời giải: Xét M = 3 = (2 x)  x   = (2x - 1)2  4x - 4x  Ta thấy (2x - 1)  nên (2x - 1) +  3 Do đó: (2x - 1)2   (Theo quy tắc so sánh phân thức tử, tử mẫu dương) Trả lời: Vậy M lớn Đáp số : M l n n h ấ t = 2x – = => x = với x = *)Sai lầm mắc phải: Sẽ khơng xác lập luận M có tử số nên M lớn mẫu nhỏ Lập luận dẫn đến sai lầm , chẳng hạn với phân thức x 3 Mẫu thức x -3 có giá trị nhỏ -3 x=0 Nh ưng với x=0 1   khơng phải giá trị lớn phân thức( chẳng x 3 hạn với x=2 1   , lớn x2  17 Như từ -3 1 Từ a (x + 1) +  Vì 1 => (x - 1)2   => - Vậy B nhỏ - 1 (x - 1)  3 x – 1= => x =1 Đáp số : B n h ỏ n h ấ t = - với x = Bài tập đ ề nghị: Bài 1: Tìm GTNN của: A 6x   x2 Bài 2: Tìm GTLN của: B 9x - 6x  DẠNG :BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC Ví dụ: Ví dụ 11 x2  x  Tìm giá trị nhỏ A = ( x  1) Cách1 : 18 Gợi ý: Hãy viết tử thức dạng lũy thừa x + 1, đổi biến cách viết A dạng tổng biểu thức lũy thừa Từ tìm giá trị nhỏ A x 1 Lời giải : Ta có: x + x + = (x + 2x + 1) - (x +1) + = (x + 1) - (x + 1) + 1 ( x  1) ( x  1)   A= + = 2 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) x 1 Do Đặt y= biĨu thức A trở thành: x 1 A = - y + y = y – 2.y Ta có:   = y 1 + ( )2 + 2 3 1   + 4 2 Vậy giá trị nhỏ A y  A = - y + y2 khi: 1 1 0  y    2 x 1  x + =  x = Đáp số : Anhỏ = x = Cách : Gợi ý : Ta viết A dạng tổng số với biĨu thức khơng âm Từ tìm giá trị nhỏ A Lời giải: A x  x  x  x  3x  x   x  x    2  x  1 4 x  1 4 x  1 19 A 3( x  1)  ( x  1) 4( x  1) ( x  1) A  4( x  1)  x  A    2( x  1)  2 3  x  A    4  2( x  1)  Vậy giá trị nhỏ A Đáp số : A n h ỏ n h ấ t = x-1=0  x=1 x=1 2.Bài tập đề nghị: Bài 1: Tìm GTNN của: 3x  x  A x2  2x  x2  x  B x2 x2  6x  C   x  1 Bài 2: Tìm GTLN của: A C x  x  10  ,B  x  x  100  x  x  1 DẠNG : BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA CÁC PHÂN THỨC DẠNG KHÁC Ví dụ: Ví dụ 12 : 20 Tìm giá trị lớn biểu thức: M (x) = x  x  10 x2  2x  (Với x thuộc tập hợp số thực) Hướng dẫn giải : Gợi ý : Từ M ( x ) = M(x) = (?) x  x  10 ta có: x2  2x  3x  x   3( x  x  3)  = x2  2x  x2  2x  Ta chia tử thức mẫu thức biểu thức cho x + 2x + khơng? Vì sao? Trả lời : Vì x + 2x + = x + 2x + + = (x+1) > với giá trị x nên sau chia tử mẫu cho x + 2x + ta M(x) = + ( x  1)  (?) Bài toán xuất điều mới? Trả lời: Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn biểu thức ( x  2)  (?) Hãy tìm giá trị lớn ( x  1)  từ suy giá trị lớn M(x) Trả lời: Vì (x+1)  Nên (x+1) +  Với x với x Do ( x  1)   Từ ta có: 1 M(x) = + ( x  1)   + =3 2 21 Dấu “=” xảy x+1=0 hay x=-1 Vậy giá trị lớn M(x) = x=-1 Đáp số : M(x) L n n h ấ t =3 với x = -1 2 Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm GTNN GTLN của:  4x x2  27  12 x B  x2  8x  C  x2  A Bài 2: Tìm GTLN của: x  14 A x2  2x 1 B  x 2 x2 C  x 1 PHẦN III KẾT LUẬN Thực tiễn khảo sát sau áp dụng Sau áp dụng cách giải toán cực trị đại số thực tế học sinh trọng giải tốn khơng lúng túng trước Kết quả: Sau thực giảng dạy phần “ Các toán cực trị đại số 8” theo nội dung đề tài kết mà thu khả quan Để giải toán cực trị đại số lớp em phải biến đổi đồng biểu thức đaị số, phải biến đổi sử dụng nhiều đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp Ngồi cịn liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh 22 đẳng thức nói tốn cực trị đại số tạo khả giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ biến đổi đồng biểu thức đại số, kĩ tính tốn, khả tư Đề tài giúp học sinh giải tốn cực trị đại số có PP hơn, có hiệu vận dụng vào giải tập có liên quan kích thích đam mê học tốn nói chung say mê giải tốn cực trị nói riêng Yêu cầu phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thơng qua hoạt động giải tốn đáp ứng Về mặt tư tưởng toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thực tế đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Bài học kinh nghiệm: Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải toán cực trị đại số” Tôi cố gắng hệ thống số dạng toán cực trị đại số Trong dạy tơi có đưa sở lí thuyết ví dụ ví dụ có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải Các dạng tập đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có kiến thức giải toán cực trị đại số Bên cạnh tơi cịn đưa ví dụ tốn tổng hợp kiến thức kĩ tính tốn, khả tư cấp học này, qua làm cho em say mê hứng thú học tập mơn Tốn Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian khơng nhiều, trình độ lực thân tài liệu tham khảo hạn chế lại chưa có kinh nghiệm lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên cách trình bày khơng tránh khỏi sơ xuất thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ, góp ý đồng nghiệp để tơi rút kinh nghiệm q trình giảng dạy thời gian sau 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO: SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tơn Thân SBT Tốn – NXB Giáo dục- Tơn Thân- chủ biên Tốn nâng cao tự luận trắc nghiệm Đại số - NXB Giáo dục- Nguyễn Văn Lộc 4.Toán bồi dưỡng học sinh lớp Đại số -NXB Giáo dục Trần San ĐÓ học tốt đại số 8- NXB Giáo dục- Hoàng Chúng- Chủ biên Các toán đại số hay khó – NXB Giáo dục- Nguyễn Đễ PP dạy học mơn tốn – NXB Giáo Dục- Phạm Gia Đức 24