phương pháp giải toán lượng giác

Bằng kỹ rèn luyện cho học sinh thực hành tập cách đúng, xác, nhanh hiệu phương trình lượng giác cách hiệu - Khả tư trước tốn vừa, khó khó từ tìm phương pháp giải tốn có tính trừu tượng cao nhàm nâng cao khả tư nhìn nhận trước tốn địi hỏi tính logic chặt chẽ móc xích vấn đề tốn, từ đưa đường, hướng giải hợp lý - Vấn đề rèn luyện kỹ áp dụng phương pháp dạy tốn vào cơng thức lượng giác vấn đề dễ khơng có khó người giáo viên thực trọng quan tâm tìm hiểu dạng tốn lượng giác cách thích hợp để nâng cao lực - Vấn đề rèn luyện kỹ áp dụng vào phương pháp dạy tốn lượng khác khơng địi hỏi người giáo viên phải có lực mà cần có kỹ nhìn nhận tốn, tính đa dạng đầy đủ mang tính phong phú chiều sâu chiều rộng lượng giác Ngồi cần địi hỏi học sinh phải nắm bắt hiểu đầy đủ nội dung cách sâu sắc để nhìn nhận tốn đưa phương pháp giải thích hợp Vấn đề giải tốn lượng giác khơng thật khó khăn hay rắc rối mà mấu chốt học sinh giải khơng biết điều kiện đối chiếu nghiệm đối chiếu nghiệm khơng Cũng có trường hợp thuộc công thức lượng giác vấn đề áp dụng đâu cho phù hợp Chính cần nắm vững công thức vận dụng cách linh hoạt CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI ĐẶC BIỆT Chúng ta biết có nhiều phương pháp để giải phương trình lượng giác, phương pháp hay dùng biến đổi để đưa dạng tích Tuy nhiên có số phương trình lượng giác đặc biệt thể tính khơng mẫu mực dạng chúng Cũng có phương trình lượng giác ta thấy dạng bình thường có cách giải lại khơng mẫu mực Vì mục đích chuyên đề nhằm giới thiệu đến quý thầy cô em số phương pháp giải phương trình lượng giác đặc biệt I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG CỦA CÁC PHẦN TỬ KHÔNG ÂM Nội dung phương pháp:  A1 = A =  A1 + A2 + + An = ⇔  ( Ai ≥ 0, i = 1, 2, n )   An = Ví dụ 1: Giải phương trình cos x − cos x − x sin x + x + = Giải: cos x − cos x − x sin x + x + = ⇔ x − x sin x + + cos x − cos x + = ⇔ ( x − x sin x + sin x) + (2 cos x − cos x + 2) = ⇔ ( x − sin x) + 2(cos x − 1) =  x − sin x = sin x = x ⇔ ⇔ ⇔ x=0 cos x − = cos x = Ví dụ 2: Giải phương trình 8cos x cos 2 x + − cos x + = Giải: 8cos x cos 2 x + − cos x + = ⇔ cos x(1 + cos x) + − cos x + = ⇔ (4 cos x + cos x + 1) + − cos x = ⇔ (2 cos x + 1) + − cos x =  2 cos x + = cos x = − ⇔ ⇔  − cos 3x = cos x = Ví dụ Giải phương trình sin10 x + cos10 x sin x + cos x = 4 cos 2 x + sin 2 x Giải: sin x + cos x = − sin 2 x; 4 cos 2 x + sin 2 x = − 3sin 2 x Do phương trình cho − sin 2 x sin10 x + cos10 x sin x + cos x sin10 x + cos10 x = ⇔ = = 2 4 cos x + sin x 4 − 3sin x 10 10 10 10 ⇔ sin x + cos x = ⇔ (sin x − sin x) + (cos x − cos x) = 10 sin x − sin x = sin x(1 − sin x) ≥ Ta có  10 cos x − cos x = cos x(1 − cos x) ≥ sin x − sin10 x = sin x(1 − sin x) = ⇔ ⇔ 10 cos x − cos x = cos x (1 − cos x) = Pt sin x = ∨ sin x = ±1 π ⇔ ⇔ x=k cos x = ∨ cos x = ±1 II PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Ví dụ Giải phương trình π Giải: Đặt t = x + ⇒ x = 6t − π  32 cos  x + ÷− sin x = 4  3π Phương trình trở thành 3 3π   + cos 2t    + cos 2t  32  ÷ − sin  6t − ÷ = ⇔ 32  ÷ − cos 6t = 2       3 ⇔ 4(1 + 3cos 2t + 3cos 2t + cos 2t ) − (4 cos 2t − 3cos 2t ) = ⇔ cos 2t + 5cos 2t + = Ví dụ Giải phương trình cos x = cos 4x Giải cos x = cos Đặt t = 4x + cos x 4x 1 2x  4x ⇔ = cos ⇔ 1 + cos ÷ = cos 3 2  2x , phương trình trở thành: (1 + cos 3t ) = cos 2t (dùng công thức nhân đôi, nhân ba khai triển để giải tiếp) III PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ Giải phương trình sin x + + − cos x = Giải: Đặt a = sin x + 2; b = − cos x   a = a + b = ⇔ Pt ⇔  2  a − b = −2 b =  Ví dụ Giải phương trình ( cos x ) + sin x − = − Giải: Đặt a = ( cos x ) , b = sin x − 3 a + b = − ⇔ Lúc phương trình  3 a + b = −2 IV PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Để giải phương trình f ( x) = g ( x) , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A cho f ( x) ≥ A, ∀x ∈ (a, b) g ( x) ≤ A, ∀x ∈ (a, b) đó:  f ( x) = A f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) = A Nếu ta có f ( x) > A g ( x) < A , ∀x ∈ (a, b) kết luận phương trình vơ ngiệm Ví dụ Giải phương trình cos5 x + x = ⇔ x = − cos5 x Giải: Vì − ≤ cos x ≤ nên ≤ x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ −π π  ,  ⇒ cos x > 0, ∀x ∈ [ − 1,1] ⇒ − cos x < 0, ∀x ∈ [ − 1,1] 2   mà [ − 1,1] ⊂  Do x ≥ − cos x < nên phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: cos x 1 − + cos 3x −1 = cos x cos 3x cos x > cos x > Điều kiện:  Khi pt ⇔ cos x − cos x + cos 3x − cos 3x = 1 Vì a − a + = (a − ) ≥ ⇒ a − a ≤ Do cos x − cos x ≤ ⇒ cos x − cos x ≤ 1 cos 3x − cos 3x ≤ 4 1 cos x − cos x ≤ 2 1   cos x − cos x = cos x = ⇔ ⇔ x∈∅ Dấu xảy ⇔  cos x − cos x = cos x =   Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình sin 2012 x + cos 2012 x = Giải : Pt ⇔ sin 2012 x + cos2012 x = sin x + cos x ⇔ sin x(sin 2010 x − 1) = cos x(1 − cos 2010 x) (*) sin x ≥ ⇒ sin x(sin 2010 x − 1) ≤ 0, ∀x Ta thấy  2010 x ≤1 sin cos x ≥ ⇒ cos x (1 − cos 2010 x) ≥ 0, ∀x Mà  2010 1 − cos x ≥   x = mπ   sin x =   x = π + mπ  sin x = ±1 sin x(sin 2010 x − 1) =   ⇔ ⇔ (m, n ∈ Z ) Do (*) ⇔  2010 cos x(1 − cos x) =  cos x =   x = π + nπ  cos x = ±1      x = nπ  π Vậy nghiệm phương trình là: x = k (k ∈ Z ) Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác dạng đặc biệt đây: sin ax =  sin bx = sin ax sin bx = ⇔  sin ax = −1  sin bx = −1 sin ax =  sin bx = −1 sin ax sin bx = −1 ⇔  sin ax = −1  sin bx = Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng: cos ax cos bx = cos ax cos bx = −1 sin ax cos bx = sin ax cos bx = −1 Ví dụ Giải phương trình Với điều kiện x ≠ k (tan x + cot x) n = cos n x + sin n x (n = 2,3, 4, ) π ta có tan x cot x ln dấu nên: n 1 1 tan x + cot x = tan x + cot x ≥ tan x ⋅ cot x = ⇒ tan x + cot x ≥ 4 4 Dấu "=" xảy ⇔ tan x = • Với n = : phương trình  tan x + cot x  = có nghiệm cho bởi:   tan x = ± • 1 cot x ⇔ tan x = ⇔ tan x = ± 4 1 ⇔ x = ± arctan + kπ (k ∈ Z ) 2 Với n ∈ Z , n > thì: cos n x + sin n x ≤ cos x + sin x = π   x = k n = 2m (k , m ∈ Z ) Dấu xảy ⇔   x = 2kπ hay x = π + 2kπ n = 2m +  (đều không thoả mãn điều kiện x ≠ k π phương trình) Vậy với n > 2, n ∈ Z phương trình vơ nghiệm ĐS x = ± arctan + kπ (k ∈ Z ) V PHƯƠNG PHÁP ĐỐN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thơng dụng sau: • Dùng tính chất đại số • Áp dụng tính đơn điệu hàm số Phương trình f ( x) = có nghiệm x = α ∈ (a, b) hàm f đơn điệu (a, b) f ( x) = có nghiệm x = α Phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm x = α ∈ (a, b) , f (x) tăng (giảm) (a, b) , g (x) giảm (tăng) (a, b) phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm x = α Ví dụ Giải phương trình: cos x = − x2 với x > Giải Ta thấy phương trình có nghiệm x = Đặt x2 f ( x) = cos x + −1 có đạo hàm f '( x) = − sin x + x ≥ 0, ∀x ≥ (vì x > sin x , ∀x ) ⇒ Hàm f đơn điệu tăng [ 0; +∞ ) ⇒ f ( x) = có nghiệm [ 0; +∞ ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: sin x + tan x − x = với ≤ x ≤ π Giải Dễ thấy phương trình có nghiệm x =  π Đặt f ( x) = sin x + tan x − x liên tục 0;   Có đạo hàm: f ' ( x) = 2 (cos x − 1)(cos x − cos x − 1)  π ≥ , ∀x ∈ 0;  cos x  2 1− 1+ < ≤ cos x ≤ < ⇒ cos x − cos x − < 2  π ⇒ f đơn điệu tăng 0;   2 Vậy phương trình có nghiệm x = Ta có kĩ giải phương trình lượng giác tổng quát Kĩ 1: Phát biểu thức đặc biệt: Chú ý đến biểu thức đặc biệt (khi pt có biểu thức ta nên biến đổi theo hướng sau) để xác định nhanh hướng biến đổi, đặc biệt phương trình tích: (chỉ cần nhớ hướng biến đổi) tan u + tan v = sin u.cos v + sin v.cos u sin(u + v) = cos u.cos v cos u.cos v tanu + tanv=\frac{sinu}{cosu}+\frac{sinv}{cos}=\frac{sinu cosv+sinv.cosu}{cosu.cosv}=\frac{sin(u+v)}{cosu.c osv} tanu + cotv = cos(u − v ) Các dạng cos u.sin v 1+tanu.tanv 1-cotu.cotv 1-tanu.cotv Viết dạng sin, cos qui đồng dùng cơng thức cộng Nói chung có dạng \frac{sin}{cos} \pm \frac{cos}{sin} Khi gặp biểu thức dạng nàytrong pt, ta lấy biến đổi riêng sin^2x = - cos^2x = (1 - cosx)(1 + cosx) sin x = − cos x = (1 − cos x)(1 + sin x) cos^2x = - 2sin^2x = (1 - sinx)(1 + sinx)=1-2sin2x=2cos2x-1 cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx) = cos2x – sin2x +(sinx+cosx)(cosx-sinx) 1+sin2x = (cosx+sinx)2 1-sin2x=(cosx-sinx)^2 = (cosx – sinx)2 Khi gặp biểu thức dạng này, ta dùng pt có số hạng trùng với nhân tử sqrt{3}:Khi gặp số sqrt{3}, sqrt{3}cosx hay gom với sinx,sqrt{3}sinx hay gom với cosx VD:giải pt: cotx-tanx+4sin2x=\frac{2}{sin2x} cotx – tanx = ĐK:sin2x\not=\0 Trong pt có biểu thức cotx-tanx: biến đổi cụm trước: ta có:cotx-tanx=\frac{cosx}{sinx}-\frac{sinx}{cosx}=\frac{cos^2x- sin^2x}{sinx.cosx} pt: \frac{2cos2x}{sin2x}+4sin2x=\frac{2}{sin2x}\Leftri 2cos2x=4sin^2x=2 chuyển ĐK: VD PT: cos x + cos x + = 4cos^2x+2cos2x+2=0\ trường hợp thứ loại cos2x=1 sin2x=0 Kĩ 2: nhìn biểu thức cung, loại Gom biểu thức cung lại xem có cơng thức đặc biệt ko? Nếu có cơng thức đặc biệt theo hướng Tỉ lệ hệ số \le2 thường ta dùng công thức đưa biểu thức cung Ví dụ phương trình lượng giác có x.2x,3x ta tìm cách đưa x; phương trình có 2x,4x đưa giá trị 2x Trong phương trình có sin, cos, tan(hoặc cot) đưa tan, cot dạng \frac{sin}{cos},\frac{cos}{sin} Ví dụ1: Giải phương trình: sin2x+sinx = 2cot2x (1) Cách thử ĐK: cos2x=0 sin2x\not=0(thỏa), cịn lại tính 2x thử sin Ví dụ 2: giải phương trình: sin2x+2sin\left(\frac{\pi}{2}+2x=1+sinx4cosx) (1) Chú ý công thức liên kết, đưa cung: sin\left(\frac{\pi}{2}+2x)=cos2x (1) \Leftri 2sinxcosx+2cos2x-sinx+4cosx-1=0 cos2x=2cos^2x-1 hay 1-2sin^2x hay cos^2x-sin^2x??? = cos x − = − 2sin x = cos x − sin x Có tổng, tích hai đại lượng: sinx cosx ta phân tích thành nhân tử Kĩ phân tích thành nhân tử: Gom số hạng có tỉ lệ hệ số nhau; quan niệm phương trình bậc hai theo ẩn để phân tích thành nhân tử: + quan niệm theo B2 sinx, ta đưa cos2x=1-sin^2x Phương trình chia làm cụm: (-4sin^2x-sinx+1) (2sinxcosx+4cosx), phương trình đầu ko có nghiệm đặc biệt nên ko thê quan niệm bậc hai theo phương trình bậc hai sinx + Vậy quan niệm theo cosx, ta đưa cos2x=2cos^2x-1 (1) \Leftri (4cos^2x+4cosx-3)+(2sinxcosx-sinx)=0 \Leftri (2cosx-1)(2cosx+3)+sinx(2cosx-1)=0 \Leftri (2cosx-1)(2cosx+sinx+3)=0 \Leftri\[\begin{cosx=\frac{1}{2}}\\ {2cosx+sinx+3=0} cosx=\frac{1}{2}\Leftri x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi(k\in Z) 2cosx+sinx+3=0 (vô nghiệm 2^2+1^2