Phương pháp xác suất trong lý thuyết tập hợp cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - ĐINH THỊ LƯU THỦY PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG LÝ THUYẾT TẬP HỢP CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - ĐINH THỊ LƯU THỦY PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG LÝ THUYẾT TẬP HỢP CỰC TRỊ Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thế Nghệ An - 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Thế Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới giáo hướng dẫn tận tình tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời biết ơn tới thầy cô giáo tổ Xác suất thống kê Toán ứng dụng, Viện Sư phạm Tự nhiên Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người thân quan tâm giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Và cuối tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường THPT Quỳ Châu trường THPT Nghi Lộc đồng nghiệp - nơi tác giả cơng tác, tạo điều kiện bố trí thời gian động viên tinh thần suốt trình tác giả tham gia khóa đào tạo sau đại học Nghệ An, tháng năm 2017 Tác giả MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Một số kiến thức lí thuyết xác suất 1.1 Khơng gian xác suất tính chất xác suất 1.3 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối 1.4 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2 Biến cố độc lập 1.4.1 Kỳ vọng 1.4.2 Phương sai 11 Một số tốn Lí thuyết tập hợp cực trị giải phương pháp xác suất 13 2.1 Giải số tốn Lí thuyết tập hợp cực trị phương pháp xác suất 13 2.2 Một số tập tự giải 26 Kết luận 29 MỞ ĐẦU Xác suất Thống kê toán học khoa học có nhiều ứng dụng nhiều ngành khoa học Ở nước ta, không giống môn Đại số, Giải tích Hình học, mơn Xác suất đưa vào chương trình tốn phổ thơng muộn với lượng thời gian lượng kiến thức Trong công bố dự thảo Bộ Giáo dục Đào tạo (tháng 8/2015) dự kiến áp dụng từ năm 2018 đưa Xác suất Thống kê vào ba mạch kiến thức trụ cột tốn phổ thơng, bao gồm: Số Đại số; Hình học Đo lường; Thống kê Xác suất Đối với hai hướng đầu khơng có khác so với trước hướng thứ đổi thực người dạy người học Lí thuyết tập hợp cực trị hữu hạn mảng kiến thức phổ thông hay đưa vào bồi dưỡng học sinh giỏi Đây lĩnh vực phát triển nhanh Tổ hợp, có nhiều ứng dụng lĩnh vực Tốn học Khoa học máy tính, có Hình học rời rạc, Giải tích hàm, Lý thuyết xác suất Có nhiều ứng dụng lý thuyết xác suất lý thuyết tập hợp hữu hạn cực trị Các tốn thường phát biểu khơng có liên quan đến xác suất giải kiến thức đại số giải tích Để góp phần vào việc đưa kiến thức xác suất vào chương trình tốn phổ thơng bồi dưỡng học sinh giỏi mảng Lí thuyết tập hợp cực trị, tơi chọn đề tài cho luận văn “Phương pháp xác suất Lí thuyết tập hợp cực trị” Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương Một số kiến thức lí thuyết xác suất Chương Một số tốn Lí thuyết tập hợp cực trị giải phương pháp xác suất Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng song lực cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo góp ý tận tình bạn đọc để luận văn hoàn thiện CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT Chương trình bày số kiến thức lý thuyết xác suất để vận dụng vào chương sau 1.1 Khơng gian xác suất tính chất xác suất Giả sử Ω = ∅, P(Ω) họ tất tập Ω Định nghĩa 1.1 Họ tập F ⊂ P(Ω) gọi σ-đại số (hay σ trường) nếu: (1) Ω ∈ F (hoặc ∅ ∈ F), (2) Nếu A ∈ F A¯ ∈ F, (3) Nếu {An , n = 1, 2, , } ⊂ F ∞ n=1 An ∈ F (hoặc ∞ n=1 An Khi cặp (Ω, F) gọi khơng gian đo Định nghĩa 1.2 Giả sử (Ω, F) không gian đo Khi ánh xạ P : F → R, gọi độ đo xác suất nếu: ∈ F) (1) P(A) 0, với A ∈ F, (2) P(Ω) = 1, (3) Nếu {An , n = 1, 2, , } ⊂ F, Ai Aj = ∅, i = j ∞ P( ∞ An ) = n=1 P(An ) n=1 Khi đó, • Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất; • Tập Ω gọi khơng gian biến cố sơ cấp; • σ- đại số F gọi σ-đại số biến cố; • P gọi độ đo xác suất F; • Mỗi A ∈ F gọi biến cố; • Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn; • Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố khơng thể; • Biến cố A = Ω \ A gọi biến cố đối biến cố A; • Biến cố A, B thỏa mãn AB = ∅ gọi hai biến cố xung khắc Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất khơng biến cố Để đơn giản, từ sau, nói đến khơng gian xác suất( Ω, F, P), ta ln xem khơng gian xác suất đầy đủ Xác suất có tính chất sau Định lý 1.3 (Các tính chất xác suất) Giả sử A, B, C biến cố Khi đó, xác suất chúng có tính chất sau: (1) P(∅) = 0; (2) Nếu AB = ∅ P(A B) = P(A) + P(B); (3) P(A) = − P(A); (4) Nếu A ⊂ B P(B \ A) = P(B) − P(A) P(A) ≤ P(B); (5) P(A (6) P( B) = P(A) + P(B) − P(AB); n k=1 Ak ) = n k=1 P(Ak ) − 1≤k Vì ta có điều phải chứng minh Bài toán sau [1] [3] chứng minh chưa thật rõ ràng, xác, chúng tơi trình bày lại lời giải cách chi tiết Bài tốn 2.6 Trong bảng có 100 × 100 ô vuông, ô vuông ta viết số nguyên từ 1,2, ,5000 Hơn số nguyên xuất bảng hai lần Chứng minh chọn 100 bảng thỏa mãn: 1, Mỗi hàng chọn ô 2, Mỗi cột chọn ô 3, Các số ô chọn đôi khác Giải Giả sử p = (a1 , a2 , , an ) hoán vị tập {1, 2, 3, , 100} Khi hàng thứ i ta chọn ô thứ Cách chọn thỏa mãn điều kiện 1, 17 Ta lấy không gian biến cố sơ cấp gồm cách chọn (tức biến cố sơ cấp 100 ô lấy theo cách trên) Do hoán vị ứng với cách nên khơng gian biến cố sơ cấp có 100! phần tử Với j = 1, 2, , 500 ta gọi Aj biến cố có hai số j Khi + Nếu số j xuất lần dòng cột P(Aj ) = + Nếu ngược lại, tức số j xuất lần không dịng cột Khơng tính tổng qt, giả sử vị trí dịng cột vị trí dịng cột Khi số trường hợp thuận lợi cho Aj tương ứng với hoán vị p mà p(1) = 1, p(2) = Tức có 98! trường hợp thuận lợi cho Aj Do 1 98! = 100! 100 99 biến cố chọn hai số P(Aj ) = Mặt khác A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A500 Suy biến cố ô chọn đôi khác A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A500 Ta có, 500 P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A500 ) ≤ P(Aj ) = j=1 5000 100.99 Vì vậy, P(A) = − P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A500 ) ≥ − 5000 > 100.99 Tức chọn 100 ô thỏa mãn yêu cầu 1, 2, toán Bài toán sau xem điểm bắt đầu lí thuyết tập hợp cực trị hữu hạn Bài tốn 2.7 (Định lí Sperner) Cho F họ tập n - tập S cho với A, B ∈ F A minh A∈F Cn|A| ≤ B, tức F đối xích Chứng 18 Để chứng minh ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.8 Cho A tập tập S = {1, 2, , n} E biến cố mà tập A xuất đoạn đầu hoán vị S Khi P(E) = Cna Chứng minh Ở phép thử việc chọn hốn vị S Do số khả n! Bây ta tìm số trường hợp thuận lợi cho biến cố E Giả sử σ = (x1 , x2 , , xn ) hoán vị tập {1, 2, , n} Ký hiệu a số phần tử A Khi E biến cố mà A xuất đoạn đầu σ, nên {x1 , x2 , , xa } = A Vì vậy, số trường hợp thuận lợi cho biến cố E a!(n − a)! Do xác suất E a!(n − a)! = a n! Cn P(E) = Giải toán 2.7 Giả sử F = {A1 , A2 , , As }, S = {1, 2, , n} ký hiệu số phần tử tập Ai Đối với toán này, ta nghĩ đến vế trái xác suất hợp biến cố xung khắc đôi Xét không gian xác suất với biến cố sơ cấp gồm hoán vị σ = (x1 , x2 , , xn ) tập S = {1, 2, , n} Ký hiệu Ei biến cố mà Ai xuất đoạn đầu σ Từ Bổ đề 2.8, ta có P(Ei ) = Cnai Do khơng có tập Ai tập tập lại nên biến cố E1 , E2 , , Es xung khắc đôi Suy s P( i=1 s Ei ) = i=1 Cnai 19 Vậy ta có |A| A∈F Cn s = i=1 = P( Cnai s Ei ) ≤ i=1 Trong [1] [4] chứng minh cách dựa vào biến ngẫu nhiên tính chất kỳ vọng sau Giải toán 2.7 [4] Gọi σ hoán vị {1, 2, , n} ký hiệu Cσ =: {{σ(j) : ≤ j ≤ i} : ≤ i ≤ n}, (nếu i = tập ∅) Ký hiệu biến ngẫu nhiên X = |F ∩ Cσ | Rõ ràng X = A∈F IA , IA hàm đặc trưng A ∈ Cσ Như vậy, EIA = P(A ∈ Cσ ) = |A| Cn , Cσ chứa tập hợp kích thước |A|, phân bố |A|-tập Theo tính tuyến tính kỳ vọng ta có EX = |A| A∈F Cn Với σ, Cσ tạo thành xích, tức cặp so sánh Do F đối xích nên phải có X = |F ∩ Cσ | ≤ Suy EX ≤ |A| Từ kết này, với nhận xét Cn cực đại với |A| = [n/2], ta dễ dàng suy hệ sau số phần tử lớn đối xích Hệ 2.9 Nếu F họ tập n-tập X cho với A, B ∈ F A [n/2] B, tức F đối xích, |F| ≤ Cn Bài tốn sau là hệ Bài tốn 2.7, toán Lý thuyết tập hợp cực trị 20 Bài toán 2.10 (Bất đẳng thức Lubell-Yamamoto-Meshalkin) Cho F đối xích gồm tập {1, 2, , n} Ký hiệu số i-tập F Chứng minh n i=1 ≤ Cni Sau toán cận (k, l) - hệ Nhắc lại F = {(Ai , Bi ), i = 1, , h} họ cặp tập tập hợp Ta gọi F (k, l) - hệ |Ai | = k |Bi | = l với ≤ i ≤ h, Ai ∩ Bi = ∅, Ai ∩ Bj = ∅ với ≤ i = j ≤ h Bài toán sau giải [1] [4], trình bày lời giải chi tiết xác cho người tiếp cận phương pháp xác suất Bài toán 2.11 Nếu F = {(Ai , Bi ), i = 1, , h} (k, l) - hệ k h ≤ Ck+l Giải Đặt E = ∪hi=1 (Ai ∪ Bi ) giả sử E có n phần tử Xét khơng gian biến cố sơ cấp hoán vị σ E Với i, ≤ i ≤ h, gọi Ei biến cố mà phần tử Ai đứng trước phần tử Bi Khi số biến cố thuận lợi cho Ei Cnk+l × (n − k − l)! × k! × l! Do P(Ei ) = Cnk+l × (n − k − l)! × k! × l! = k n! Ck+l Ta có biến cố Ei đơi xung khắc Thật vậy, khơng tính tổng qt ta giả sử có hốn vị σ ∈ E1 ∩ E2 = ∅ cho phần tử cuối A1 không xuất sau phần tử cuối A2 Khi phần tử A2 đứng trước phần tử B2 nên A1 ∩ B2 = ∅ Dẫn đến 21 mâu thuẫn Như vậy, tất biến cố Ei đôi xung khắc Từ đó, h 1≥ P(∪hi=1 Ei ) k P(Ei ) = hCk+l = i=1 Chú ý 2.12 Nếu ta chọn hệ F = {(A, X \ A) : A ⊂ X, |A| = k}, X = {1, 2, , k + l} Khi F (k, l) - hệ dấu xẩy Sau ta áp dụng số tính chất hàm entropy chứng minh toán lý thuyết cực trị Định nghĩa 2.13 Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị tập hợp S Ký hiệu px = P(X = x), x ∈ S Entropy nhị phân X, ký hiệu H(X), định nghĩa H(X) = − px log2 px x∈S Như vậy, H(X) = px log2 x∈S px Ví dụ 2.14 Giả sử X biến ngẫu nhiên có bảng phân phối X P 1−p p Khi H(X) = −(1 − p) log2 (1 − p) − p log2 p Dễ thấy X nhận n giá trị với xác suất H(X) = log2 n Mệnh đề 2.15 Giả sử X biến ngẫu nhiên nhận giá trị S Khi H(X) ≤ log2 |S| 22 Chứng minh Kết dễ suy từ tính chất hàm lồi f (z) := − log2 z Sau mối liên hệ entropy biến ngẫu nhiên nhiều chiều entropy biến ngẫu nhiên thành phần Mệnh đề 2.16 Giả sử Xi biến ngẫu nhiên có tập giá trị Si , 1, 2, , n Ký hiệu X = (X1 , X2 , , Xn ), S = S1 × S2 × · · · × Sn Khi n H(X) ≤ H(Xi ) i=1 Giải Ký hiệu p(x1 , x2 , , xn ), p(i, xi ) phân phối xác suất X Xi , tức p(x1 , x2 , , xn ) = P(X = (x1 , x2 , , xn )), p(i, xi ) = P(Xi = xi ), xi ∈ Si , i = 1, 2, , n Ta có p(i, xi ) = p(x1 , x2 , , xn ) xj ∈Sj ;j=1,2, ,n;j=i Do n H(X) − H(Xi ) = i=1 n n −p(x1 , x2 , , xn ) log2 = i=1 xi ∈Si n n = − p(x1 , x2 , , xn ) p(1, x1 )p(2, x2 ) p(n, xn ) p(1, x1 )p(2, x2 ) p(n, xn )f ( i=1 xi ∈Si f (z) := z log2 z p(x1 , x2 , , xn ) ), p(1, x1 )p(2, x2 ) p(n, xn ) 23 Dễ thấy f (z) hàm lồi Ký hiệu n n x= p(1, x1 )p(2, x2 ) p(n, xn ) i=1 xi ∈Si p(x1 , x2 , , xn ) p(1, x1 )p(2, x2 ) p(n, xn ) Ta có x = Mặt khác theo bất đẳng thức Jensen, ta có n n p(1, x1 )p(2, x2 ) p(n, xn )f ( i=1 xi ∈Si Do p(x1 , x2 , , xn ) ) ≥ x log2 x = p(1, x1 )p(2, x2 ) p(n, xn ) n H(X) − H(Xi ) ≤ i=1 Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề dùng ([8]) để đưa đến vài áp dụng thú vị Lý thuyết tập hợp cực trị, bao gồm ước tính cận cho số phần tử lớn họ k- tập với tính chất khơng có giao hai tập chứa tập khác Ý tưởng ([8]) minh họa hệ đơn giản sau Mệnh đề 2.16 Bài toán 2.17 Cho họ F tập {1, 2, , n} pi tỷ lệ tập F chứa i Khi |F| ≤ n i=1 H(pi ) , H(y) := −y log2 y − (1 − y) log2 (1 − y) Giải Với F ∈ F, ký hiệu v(F ) véc tơ đặc trưng tập F (véc tơ n chiều) 24 Ký hiệu X = (X1 , X2 , , Xn ) biến ngẫu nhiên nhận giá trị {0, 1}n với xác suất tương ứng P(X = v(F )) = |F| Rõ ràng ta có Xi = ⇔ (v(F ))i = ⇔ i ∈ F Suy ra, P(Xi = 1) = pi Do H(Xi ) = H(pi ) với ≤ i ≤ n Ta có H(X) = |F|(− 1 log ) = log2 |F| |F| |F| Do từ Mệnh đề 2.16 ta có n n log2 |F| = H(X) ≤ H(Xi ) = i=1 H(pi ) i=1 Suy |F| ≤ n i=1 H(pi ) Ta có điều phải chứng minh Bài toán 2.18 Với số nguyên n số thực < p ≤ 0.5 i i≤np Cn ≤ 2nH(p) Giải Gọi F họ tất các tập có nhiều pn phần tử tập {1, 2, , n} Nếu pi tỷ số số tập F chứa i rõ ràng pi ≤ p với i Do H(p) hàm tăng với ≤ p ≤ 0.5 Theo Hệ 2.17, ta có Cni = |F| ≤ i≤np n i H(pi ) ≤ 2nH(p) 25 Giả sử X = (X1 , X2 , , Xn ) biến ngẫu nhiên nhận giá trị S = S1 × S2 × Sn Với tập G tập {1, 2, , n}, ký hiệu X(G) biến ngẫu nhiên (Xi )i∈G Với ký hiệu này, ta có mệnh đề sau chứng minh [3] Mệnh đề 2.19 ([3]) Cho X = (X1 , X2 , , Xn ) biến ngẫu nhiên nhận giá trị S = S1 × S2 × · · · × Sn Nếu G họ tập tập {1, 2, , n} với i ∈ {1, 2, , n} thuộc k phần tử G kH(X) ≤ H(X(G)) G∈G Hệ 2.20 Cho S tập hữu hạn F họ tập S Giả sử G = {G1 , G2 , , Gm } họ tập S giả sử phần tử S thuộc vào k phần tử G Với ≤ i ≤ m, ký hiệu Fi = {F ∩ Gi : F ∈ F} Khi m k |F| ≤ |Fi | i=1 Chứng minh Giả sử S = {1, 2, , n} ký hiệu Si = {0, 1}, i = 1, 2, , n Gọi X = (X1 , X2 , , Xn ) biến ngẫu nhiên nhận giá trị S xác định P(X = v(F )) = , F ∈ F, |F| v(F ) ký hiệu véc tơ đặc trưng tập F (véc tơ n chiều) Theo Mệnh đề 2.19 ta có m kH(X) ≤ H(X(Gi )) i=1 Mặt khác, H(X) = log2 |F| H(X(Gi )) ≤ log2 |Fi | Từ m k log2 |F| ≤ m log2 |Fi | = log2 i=1 |Fi | i=1 26 Ta có điều phải chứng minh 2.2 Một số tập tự giải Bài toán 2.21 Với n ≥ 1, chứng minh tồn họ F gồm m tập n-tập, m = [ 12 ( √2 )n ] ([x] ký hiệu phần nguyên x), cho không tồn ba phần tử phân biệt A, B, C F thỏa mãn điều kiện A ∩ B ⊂ C ⊂ A ∪ B (2.2) Bài toán 2.22 Với mọi n ≥ 1, chứng minh tồn họ tập hợp có [ 21 ( √2 )n ] điểm không gian Euclid n chiều Rn cho góc xác định ba điểm thuộc tập hợp nhỏ π/2 Bài toán 2.23 Cho F họ tập n- tập N thỏa mãn a) Với A ∈ F |A| ≥ 2, b) Với x, y ∈ N tồn A ∈ F mà x, y ∈ A Chứng minh |F| > n Bài toán 2.24 Cho họ F = {(Ai , Bi , Ci ), i = 1, 2, , n} gồm ba phân hoạch tập hữu hạn N Giả sử với ba số (i, j, k), i, j, k = 1, 2, , n ta có |Ai ∩ Bj | + |Bj ∩ Ck | + |Ck ∩ Bi | ≥ n Chứng minh |N | ≥ n3 /3 Khi |N | = n3 /3 phân hoạch cho dấu đẳng thức xẩy Bài toán 2.25 Cho họ F gồm n tập phân biệt S1 , S2 , , Sn thỏa mãn a) |Si ∪ Sj | ≤ 2006 với ≤ i, j ≤ n b) Si ∪ Sj ∪ Sk = {1, 2, , 2010} với ≤ i < j < k ≤ n Hỏi giá trị lớn có n 27 Bài toán 2.26 Giả sử F = {A1 , A2 , , Ak } họ tập tập N = {1, 2, , n} thỏa mãn với ≤ i1 , i2 , i3 , i4 ≤ n ta có |Ai1 ∪ Ai2 ∪ Ai3 ∪ Ai4 | ≤ n − Chứng minh k ≤ 2n−2 Bài toán 2.27 Gọi S tập hữu hạn điểm mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Với đa giác lồi P mà đỉnh nằm S, ký hiêu a(P ) số đỉnh P b(P ) số điểm S không đỉnh P Chứng minh với số thực x ∈ (0, 1) xa(P ) (1 − x)b(P ) = 1, P đó, tổng lấy theo tất đa thức lồi với đỉnh S Qui ước đoạn thẳng, điểm, tập rỗng tương ứng đa thức lồi có 2, đỉnh Bài toán 2.28 Cho F họ tập n-tập X Giả sử hai phần tử A, B F có A ∩ B = ∅, A ∪ B = X Hỏi giá trị lớn có |F| bao nhiêu? Bài toán 2.29 Cho F họ gồm m tập tập hợp N Ký hiệu G = {A∆B, A, B ∈ F} Chứng minh |G| ≥ m Bài toán 2.30 Cho {(Ai , Bi ), i = 1, , h} họ cặp tập tập N cho (i) |Ai | = k, |Bi | = l với ≤ i ≤ h, (ii) Ai ∩ Bi = ∅ với ≤ i ≤ h, (iii) i = j (Ai ∩ Bj ) ∪ (Aj ∩ Bi ) = ∅ Chứng minh h ≤ (k+l)k+l k k ll 28 Bài toán 2.31 Cho N n-tập, k ≤ n/2 F họ giao k-tập k−1 N Chứng minh F có khơng q Cn−1 phần tử 29 KẾT LUẬN Kết thu Luận văn trình bày số khái niệm lý thuyết xác suất trình bày cách giải số toán Lý thuyết tập hợp cực trị phương pháp xác suất Đồng thời, luận văn hệ thống số tập tự giải mảng Lý thuyết tập hợp cực trị Hướng phát triển Trong thời gian tới nghiên cứu sâu phương pháp xác suất Lý thuyết tập hợp cực trị nói riêng chương trình tốn phổ thơng nói chung để phù hợp với chương trình phổ thông giai đoạn đổi 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thơng tin tốn học, tập 16 số 4; tập 17 số 1,2 [2] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Noga Alon, Joel Spencer (2000), The Probabilistic Method, Wiley [4] Noga Alon, Joel Spencer (2000), Probabilistic Methods in Extremal Finite Set Theory, Wiley [5] F R K Chung, P Frankl, R L Graham and J B Shearer (1986), Some intersection theorems for ordered sets and graphs, J Combinatorial Theory, Ser A 43, 23-37 [6] N Alon (1986), Explicit construction of exponential sized families of k-independent sets, Discrete Math 58, 191-193 [7] Ravi Boppana (2004), Unexpected Uses of Probability [8] D J Kleitman, J B Shearer and D Sturtevant (1981), Intersection of k-element sets, Combinatorica 1, 381-384 ... hợp cực trị phương pháp xác suất Đồng thời, luận văn hệ thống số tập tự giải mảng Lý thuyết tập hợp cực trị Hướng phát triển Trong thời gian tới nghiên cứu sâu phương pháp xác suất Lý thuyết tập. .. 1.4.2 Phương sai 11 Một số tốn Lí thuyết tập hợp cực trị giải phương pháp xác suất 13 2.1 Giải số tốn Lí thuyết tập hợp cực trị phương pháp xác suất ... PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT 2.1 Giải số tốn Lí thuyết tập hợp cực trị phương pháp xác suất Trong chương chúng tơi giải số tốn lý thuyết cực trị hữu hạn phương pháp xác suất Các toán chương chủ yếu lấy từ