Giáo án số học 6 cánh diều học kỳ 1

TỐN HỌC LÀ GÌ? (Phát thảo sơ cấp tư tưởng phương pháp) Tác giả RICHARD COURANT Và HERBERT ROBBINS Người dịch: Hàn Liên Hải Đánh máy: dqskiu, phanllq, protoss26, haxuan07, hanh_nguyen_bg, kàerin, saccauvong Sửa tả: dqskiu Đánh máy cơng thức tốn định dạng LATEX: liem_ngo Sửa chữa bổ sung tập : sannyas60 Duong Aph Ngày hoàn thành: 30.05.2020 http://tve-4u.org/ Mục lục Lời tựa cho lần xuất Lời tựa cho lần xuất thứ hai, thứ ba thứ tư Cách dùng sách Tốn học gì? CHƯƠNG 1: SỐ TỰ NHIÊN 1.1 Mở đầu 1.2 Các phép toán số tự nhiên 1.2.1 Các định luật số học 1.2.2 Biều diễn số nguyên ký hiệu (phép viết số) 1.2.3 Các phép tính tốn số học hệ đếm khơng thập phân 1.3 Sự vô hạn hệ thống số tự nhiên, phép quy nạp toán học 1.3.1 Nguyên lý qui nạp toán học 1.3.2 Cấp số cộng 1.3.3 Cấp số nhân 1.3.4 Tổng n bình phương 1.3.5 Một bất đẳng thức quan trọng 1.3.6 Định lý nhị thức 1.3.7 Nhắc lại thêm nguyên lý quy nạp toán học BỔ SUNG CHUƠNG 1: LÝ THUYẾT SỐ 1.4 Mở đầu 1.5 Số nguyên tố 1.5.1 Những kiện 1.5.2 Sự phân bố số nguyên tố 1.6 Sự đồng dư 1.6.1 Khái niệm chung 1.6.2 Định lý Fermat 1.6.3 Thặng dư bình phương 1.6.4 Số Pythagoras định lý Fermat lớn 1.7 Thuật toán Euclid 1.7.1 Lý thuyết tổng quát 1.7.2 Áp dụng vào định lý số học 1.7.3 Hàm số Euler ϕ Một lần nói định lý Fermat 1.7.4 Phân số liên tục Phương trình Diophantine CHƯƠNG 2: HỆ THỐNG SỐ CỦA TOÁN HỌC 2.1 Giới thiệu 2.2 Số hữu tỷ 2.2.1 Số hữu tỷ phương tiện việc đo lường 2.2.2 Sự nảy sinh nhu cầu số hữu tỷ bên thân tốn học 2.2.3 Biểu diễn hình học số hữu tỷ 2.3 Đoạn thẳng vô tỉ - số vô tỉ - giới hạn 2.3.1 Mở đầu 2.3.2 Phân số thập phân số thập phân vô hạn 2.3.3 Giới hạn, cấp số nhân vô hạn i iii v vi vii 1 1 7 10 11 11 13 15 15 15 15 17 22 22 26 27 28 30 30 33 34 35 38 38 38 38 40 41 42 42 44 45 ii MỤC LỤC 2.3.4 Số hữu tỷ số thập phân tuần hoàn 2.3.5 Định nghĩa tổng quát số hữu tỷ đoạn thẳng 2.3.6 Các phương pháp để xác định số vô tỉ Lát cắt Dedekind 2.4 Những điều cần lưu ý phạm vi hình học giải tích 2.4.1 Nguyên tắc 2.4.2 Phương trình đường thẳng đường cong 2.5 Giải tích tốn học vơ hạn 2.5.1 Các khái niệm Dãy số tự nhiên 2.5.2 Sự đếm tập hợp số hữu tỉ không đếm continuum 2.5.3 “Bản số” Cantor 2.5.4 Phương pháp chứng minh gián tiếp 2.5.5 Nghịch lý vô hạn 2.5.6 Cơ sở toán học 2.6 Số phức 2.6.1 Nguồn gốc số phức 2.6.2 Biểu diễn hình học số phức 2.6.3 Công thức De Moivre đơn vị 2.6.4 Định lý đại số 2.7 Số đại số số siêu việt 2.7.1 Định nghĩa vấn đề tồn 2.7.2 Định lý Liouville việc xây dựng số siêu việt PHỤ LỤC CHUƠNG 2: ĐẠI SỐ TẬP HỢP 2.8 Lý thuyết tổng quát 2.9 Áp dụng vào logic toán 2.10 Một áp dụng vào lý thuyết xác suất 48 49 51 52 52 53 56 56 57 60 61 62 62 63 63 65 69 72 73 73 74 77 77 80 81 Lời tựa cho lần xuất Trong suốt khoảng thời gian hai nghìn năm, việc nắm số kiến thức khơng q hời hợt phạm vi tốn học phận cần thiết vốn liếng trí tuệ người có học vấn Ngày nay, mối nguy lớn đe doạ truyền thống giá trị giáo dưỡng tốn học Tiếc rằng, vấn đề đại biểu có uy tín khoa học tốn học cịn tỏ thiếu trách nhiệm Việc giảng dạy tốn thường thường cịn mang tính chất tập khn sáo dẫn đến phát triển kỹ hình thức mà khơng thâm nhập sâu sắc vào nghiên cứu không thực giúp cho phát triển tự tư tưởng Các cơng trình nghiên cứu khoa học có xu hướng trừu tượng hố chuyên biệt hoá cao độ Những ứng dụng mối quan hệ tương hỗ không ý đầy đủ Và điều kiện tiên thuận lợi hồn tồn khơng thể biện minh cho sách đầu hàng quan điểm Ngược lại hiểu giá trị văn hố trí tuệ không đứng lên đứng lên đấu tranh bảo vệ Các thày giáo, học sinh tất người có học vấn khơng có liên hệ với nhà trưởng không muốn theo đường chơng gai nhất, khơng hạ vũ khí mà bắt chúng tay vào công cải cách giảng dạy Mục tiêu thông hiểu đầy đủ chất toán học xem thể tồn vẹn xem tốn học sở tư khoa học mẫu phong cách hoạt động Một số sách tiếng có nội dung lịch sử tiểu sử diễn văn luận làm thức tỉnh nhiều người dường thờ với tồn học, thực khơng ngừng quan tâm đến Song khơng thể dạy tri thức mà nhờ vào phương tiện gián tiếp Khơng thể đạt thơng hiểu tốn học phương pháp giải trí nhẹ nhàng, hiểu biết âm nhạc cách đọc báo (dù chúng viết rõ đến mức nào), không học nghe cách ý tập trung Không thể tránh khỏi tiếp xúc thực với thân nội dung khoa học tốn học sinh động Mặt khác, trình bày tốn học thoát khỏi tinh thần lạc hậu nhà trường tránh chủ nghĩa giáo điều cứng nhắc, từ chối nguyên cớ dẫn mục đích, cần phải tránh tất cồng kềnh giả tạo chủ nghĩa giáo điều, trở ngại đáng ghét cố gắng chân thật Chẳng lẽ yếu tố theo đường trực tiếp để đạt tới điểm cao mà từ nhìn rõ chất động lực toán học đại Cuốn sách định thử làm công việc Vì khơng địi hỏi hiểu biết ngồi điều trình bày giáo trình tốt nhà trường, gọi sách phổ cập Song khơng theo xu hướng nguy hiểm thủ tiêu cố gắng suy nghĩ, luyện tập Nó đòi hỏi mức độ trưởng thành định trí tuệ trình độ tiếp thu lập luận trình bày Cuốn sách viết cho người bắt đầu học cho cán khoa học, cho học sinh thày giáo, cho nhà triết học kỹ sư, dùng làm sách giáo khoa để tự học Có lẽ, ý định phục vụ cho lớp rộng rãi bạn đọc đỗi can đảm tự tin Phải thừa nhận rằng, áp lực tác phẩm khác mà cho sách mắt bạn đọc, chúng buộc phải đến thoả hiệp: công việc chuẩn bị tiến hành nhiều năm chưa thực kết thúc Chúng vui mừng chờ đón lời phê bình sẵn sàng đón nghe ý kiến đóng góp bạn Nếu trách nhiệm ý định nội dung triết học sách thuộc người ký tên tơi xin chia sẻ công lao xứng đáng giá trị sách (nếu có) với Herbert Robbinx Ơng dành cho tác phẩm ý đặc biệt cơng trình thân từ tiếp xúc với dạng sơ thảo cộng tác ơng có vai trị định làm cho sách ngày Cuối tơi xin biểu thị lịng cảm ơn sâu sắc trước giúp đỡ nhiều bè bạn Các toạ đàm với Niels Bohr, Kurt Friedrichs Otto Neugebauer có ảnh hưởng đến số quan điểm tơi vấn đề có tính chất triết học lịch sử Edna Kramer cho nhiều iii iv Lời tựa cho lần xuất ý kiến phê bình xây dựng mặt sư phạm David Hilbark viết giảng, sau sở cho sách Ernest Courant, Norman Davids, Charles de Prima, Alfred Horn, Herbert Mintzer, Wonlfgang Wasow người khác đóng góp nhiều cơng sức sữa chữa đánh máy thảo Donald Flenders cho nhiều ý kiến quý báo sửa chữa cẩn thận thảo John Knudsen, Hertha von Gumpenberg, Irving Ritter, Otto Neugebauer chuẩn bị cho hình vẽ v.v Tôi xin cảm tạ nhà xuất Waverly Press, đặc biệt ngài Grover C Orth, cho làm việc có chất lượng cao cảm tạ nhà xuất Oxford University Press, đặc biệt ngài W Oman Phillip Vaudrin Vodren sáng kiến ủng hộ R Courant Niw Rochelle, (New York) 22 tháng năm 1941 Lời tựa cho lần xuất thứ hai, thứ ba thứ tư Trong năm gần đây, nhu cầu thơng tin tốn học tài liệu dẫn tương ứng ngày tăng Hơn lúc hết, có nguy chán ngán, học sinh (và giáo viên) không nhận nắm chất nội dung tốn học đằng sau cơng thức biến đổi Đối với nhìn thấy sâu điều viết sách bình phẩm lần xuất thứ củng cố tác giả niềm tin sách có bổ ích Chúng tơi xin cảm tạ bạn đọc mà lời phê bình giúp chúng tơi đính lại hồn thiện thêm lần xuất sau Để chuẩn bị cho lần in thứ tư, bà Natascha Artin đóng góp nhiều, xin chân thành cảm ơn R Courant New Rochelle, N.Y 18-3-1943 10-10-1945 28-10-1947 v Cách dùng sách Trật tự trình bày sách có hệ thống, điều hồn tồn khơng có nghĩa bắt buộc bạn đọc phải xem trang sang trang khác, chương tiếp chương Về bản, chương độc lập với Thơng thường phần đầu chương dễ hiểu, sau đường từ từ leo dốc, đến cuối chương phần phụ lục dốc Bởi thế, bạn đọc cần sớm có thơng tin tổng qt, việc lĩnh hội kiến thức chuyên ngành đọc theo nguyên tắc bỏ qua khảo sát chi tiết Học sinh có trình độ tốn học hạn chế nên lựa chọn theo sở thích Các dấu dịng in chữ nhỏ đánh dấu phần bỏ qua lần đọc mà khơng phương hại nghiêm trọng cho việc nhận thức phần tiếp sau Hơn nữa, đọc sách mà bạn đọc tự giới hạn phần chương mà quan tâm đến nhiều khơng có trở ngại Các thầy giáo trường phổ thơng tìm thấy, chương dành cho phép dựng hình học cực đại, cực tiểu, tài liệu để hoạt động ngoại khố bồi dưỡng học sinh giỏi Chúng tơi hy vọng sách phục vụ cho học sinh lớp khác trường phổ thông cho người thuộc ngành nghề khác thực quan tâm đến vấn đề kiến thức xác Nó làm sở cho giáo trình tự chọn khái niệm toán học trường phổ thông Các chương III, IV, V phù hợp với giáo trình hình học, VI VIII gộp lại trình bày trọng vẹn sở giải tích với mục đích thơng hiểu nhiều đạt tới hoàn thiện kỹ thuật Các thày giáo sử dụng chúng làm mở đầu để bổ sung giáo trình cho phù hợp với nhu cầu riêng biệt làm cho giáo trình phong phú thêm thí dụ nhiều loại khác Chúng hy vọng chuyên gia thấy số chi tiết số lập luận sơ cấp đáng lưu ý chứa đựng thân chúng mầm mống tư tưởng rộng lớn vi Tốn học gì? Tốn học chứa đựng thân đặc điểm hoạt động lý trí, lập luận trừu tượng hướng tới hoàn thiện thẩm mỹ Những yếu tố đối lập lẫn logic trực giác, giải tích phép dựng hình, tính khái qt tính cụ thể Với quan điểm khác bắt nguồn từ truyền thống hay truyền thống khác, tác động đồng thời thái cực đấu tranh để tổng hợp chúng lại đảm bảo cho sức sống, bổ ích giá trị cao khoa học tốn học Khơng nghi ngờ nữa, tiến lên phạm vi toán học qui định phát sinh nhu cầu có tính chất thực tiễn định Nhưng, tất yếu phải có đà nội vượt giới hạn lợi ích trực tiếp Sự biến đổi từ khoa học ứng dụng sang khoa học lý thuyết diễn lịch sử xa xưa, song ngày thế: cần để đến đóng góp kỹ sư nhà vật lý toán học đại đủ rõ Những phong cách tư toán học cổ xưa xuất phương Đơng khoảng hai nghìn năm trước công nguyên: người Babilon tập hợp chất liệu phong phú, mà ngày có xu hướng xếp vào đại số sơ cấp Nhưng, từ "toán học"được xem khoa học theo ý nghĩa nay, phát sinh chậm mảnh đất Hy Lạp vào khoảng kỷ thứ tư thứ năm trước công nguyên Mọi tiếp xúc ngày tăng Phương Đông Hy Lạp đế quốc Ba Tư đạt tới đỉnh thời kỳ tiếp sau du lịch Alexander đảm bảo cho người Hy Lạp đuổi kịp thành tựu người Babilon lĩnh vực toán học thiên văn học Toán học nhanh chóng trở thành đối tượng thảo luận triết học thông thường Nhà nước - thành phố Hy Lạp Như vậy, nhà tư tưởng Hy Lạp nhận thức khó khăn đặc biệt có liên quan với khái niệm tốn học - liên tục, chuyển động, vơ hạn - với tốn đo đại lượng tuỳ ý đơn vị cho trước Nhưng có tâm vượt khó khăn: nảy sinh kết cố gắng tuyệt vời tư tưởng Eudoxus, lý tuyết continuum hình học thành tựu sánh ngang hàng với lý thuyết số vô tỉ đại Phương hướng tiên đề suy diễn toán học, Eudoxus, thể rõ tác phẩm "Elements"của Euclid Mặc dầu xu hướng tiên đề - lý thuyết đặc điểm bật toán học Hy Lạp tự ảnh hưởng lớn đến phát triển sau khoa học cần phải kiên rõ vai trò nhu cầu thực tiễn mối liên hệ với thực vật lý không bị hạ thấp chút việc sáng tạo toán học cổ xưa việc trình bày tốn học khơng theo phong cách chặt chẽ Euclid ưa thích Sự phát sớm khó khăn có liên quan tới đại lượng "vô tỉ"đã cản trở người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính tốn số mà thời kỳ trước tạo thành tựu đáng kể Phương Đông Thay vào đó, họ tìm đường rừng rậm hình học tiên đề tuý Thế bắt đầu phiêu lưu lịch sử khoa học mà bỏ lỡ khả sáng lạn Gần suốt hai nghìn năm, thống trị truyền thống hình học Hy Lạp ngăn cản tiến hoá tư tưởng số phép tính chữ mà sau đặt làm sở khoa học xác Sau thời kỳ tập trung sức lực chậm chạp, thời kỳ cách mạng bão táp phát triển toán học vật lý học mở với nảy sinh hình học giải tích phép tính vi tích phân kỷ XVII Trong kỷ XVII XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hoá suy diễn hệ thống tàn lụi ảnh hưởng, hình học cổ xưa tiếp tục đánh giá cao Sự tư logic hoàn hảo xuất phát từ định nghĩa rành mạch từ tiên đề “hiển nhiên” khơng mâu thuẫn với khơng cịn làm vừa lịng người khai phá kiến thức tốn học Đắm dự đốn trực giác, cách pha trộn kết luận hiển nhiên với khẳng định huyền bí phi lý, cách tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng vii viii Tốn học gì? qui trình hình thức, họ phát giới toán học vô phong phú Song dần dà, trạng thái phấn chấn cao độ tư tưởng cổ vũ thắng lợi oanh liệt, nhường chỗ cho thái độ thận trọng ý thức phê bình Trong kỷ XIX, ý thức cần thiết phải củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới nhu cầu giáo dục cao đẳng, phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, dẫn tới xét lại sở toán học Họ đặc biệt ý tới phép tính vi tích phân việc làm sáng tỏ khái niệm giới hạn Như vậy, kỷ XIX trở nên kỷ nguyên thắng lợi mà đánh dấu quay trở lại có kết lý tưởng cổ điển xác chặt chẽ chứng minh Về mặt khn mẫu Hy Lạp bị vượt qua Một lần nữa, lắc nghiêng phía hồn hảo lơgic trừu tượng Hiện nay, chưa vượt khỏi thời kỳ đó, có sở để hy vọng gián đoạn đáng buồn tạo nên toán học tuý ứng dụng sinh động thay thống chặt chẽ thời kỳ xét lại có phê phán Ngày nay, khối lượng lực nội sáng tạo đơn giản hoá cao độ đạt sở thấu hiểu cho phép sử dụng lý thuyết tốn học cho ứng dụng khơng bị bỏ qua Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu tri thức tuý tri thức ứng dụng, cân lành mạnh tính khái quát trừu tượng tính cụ thể phong phú nhiệm vụ toán học tương lai gần Ở đây, khơng có điều kiện phân tích học mặt triết học tâm lý học cách tỉ mỉ Chỉ muốn nhấn mạnh vào số thời điểm Theo tôi, việc nhấn mạnh đáng tính chất tiên đề - suy diễn tốn học nguy hiểm Tất nhiên khởi đầu sáng tạo có tính chất kiến thiết Khó chứa chất diễn đạt triết học khởi đầu trực giác - nguồn gốc tư tưởng luận chúng ta; nhiên khởi đầu lại chất thực phát minh toán học, kể thuộc lĩnh vực trừu tượng Nếu hình thức suy diễn rành mạch mục đích động lực tốn học phải trực giác kiến thiết Trong giả thiết cho rằng, toán học hệ thống hệ rút từ định nghĩa tiên đề cần tương tích với nhau, phận cịn lại sản phẩm tưởng tượng tự nhà tốn học, mối đe doạ nghiệm trọng thân tồn khoa học Nếu tốn học làm việc không xứng đáng người biết suy nghĩ Nó trị chơi với định nghĩa, qui tắc phép chúng tam đoạn luật mà khơng có ngun nhân, khơng có mục đích Biểu tượng theo trí tuệ người sáng tạo hệ tiên đề ý nghĩa, lừa dối Chỉ thu kết có giá trị khoa học thấy rõ trách nhiệm nặng nề trước thiên nhiên tuân theo nhu cầu nội Tuy xu hướng giải tích logic suy tưởng chưa phải tồn tốn học giúp nhận thức sâu sắc kiện toán học phụ thuộc lẫn chúng giúp nắm vững chất khái niệm tốn học Chính từ xu hướng nảy sinh quan điểm đại toán học xem mẫu mực phương pháp khoa học áp dụng vạn Dù đứng quan điểm triết học nhiệm vụ nghiên cứu khoa học quy thái độ vật cảm thụ công cụ nghiên cứu Tất nhiên, thân cảm thu chưa phải tri thức, chưa phải thơng hiểu; cịn phải phù hợp chúng với cắt nghĩa thuật ngữ số nội dung đằng sau chúng “Vật tự thân” đối tượng trực tiếp nghiên cứu vật lý mà thuộc lĩnh vực siêu hình Nhưng phương pháp khoa học điều quan trọng từ bỏ suy luận siêu hình, biểu thị kiện quan sát dạng khái niệm phép dựng Sự từ bỏ tham vọng nhận thức chất “vật tự thân”, nhận thức tính chân lý cuối giải đáp chất nội giới, gánh nặng tâm lý người nhiệt tâm ngây thơ; từ bỏ lại có hiệu cao phát triển tư tưởng khoa học đại Một số phát minh vĩ đại vật lý buộc phải tuân theo nguyên tắc thủ tiêu tâm siêu hình Khi Einstein định đưa khái niệm “những kiện đồng thời, phát sinh từ địa điểm khác nhau” vào số tượng quan sát ông hiểu niềm tin thân khái niệm tất phải có ý nghĩa xác tiên đốn siêu hình phát minh chứa đựng mầm mống lý thuyết tương đối ông Khi Niels Bohr học trị ơng cân nhắc kỹ kiện quan sát vật lý học tuỳ ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ dụng cụ vật quan sát ơng thấy rõ khơng thể có định nghĩa vị trí vận tốc phần ix tử đồng thời xác theo nghĩa mà hiểu vật lý Những hệ xa phát minh tạo nên hệ thống lượng tử đại mà ngày nhà vật lý học biết Trong kỷ XIX có tư tưởng thống trị, tư tưởng cho lực học chuyển động phần tử không gian vật tự thân; cịn điện, ánh sáng từ qui tượng học (hoặc “giải thích” thuật ngữ học) tương tự làm lý thuyết nhiệt Khái niệm mơi trường có tính chất giả định - gọi mơi trường ether- đề xuất cho thích hợp với chuyển động học khơng hồn tồn đáng mà coi ánh sáng điện Dần dà thấy rõ ether không quan sát được, tức khái niệm thuộc siêu hình nhiều thuộc vật lý Sau tư tưởng giải thích cách học tượng điện ánh sáng với khái niệm ether bị dứt khoát loại bỏ Trong toán học có tình tương tự thế, chí cịn rõ ràng Trong nhiều kỷ, nhà toán học xem vật mà họ quan tâm - số, đường thẳng v.v vật tự thân Song, thể khơng thích hợp với ý định mơ tả xác chất chúng, nhà tốn học kỷ XIX hình thành tư tưởng cho vấn đề giá trị khái niệm xem thực thể phạm vi toán học (và đâu) khơng có ý nghĩa Những khẳng định tốn học mà thuật ngữ thâm nhập vào hồn tồn khơng thuộc thực vật lý; chúng thiết lập mối liên hệ tương hỗ “sự vật không xác định” qui tắc thao tác với vật Không thể không nên thảo luận toán học vấn đề điểm, đường thẳng số, thực chất Điều thực quan trọng có liên quan trực tiếp với kiện “được khảo sát” cấu trúc mối liên hệ tương hỗ vật đó: hai điểm xác định đường thẳng; theo qui tắc định từ số suy số khác v.v Nhận thức cách rõ ràng cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho khái niệm toán học vật có thực chiến công quan trọng phát triển tiên đề hoá toán học May mắn thay, tư tưởng sáng tạo lãng quên tín ngưỡng triết học giáo điều mà phát minh có tính chất kiến thiết cịn quyến luyến chúng Và, chuyên gia người u thích tốn học khơng phải triết học mà có tận tuỵ nghiên cứu thân tốn học trả lời câu hỏi Tốn học gì? 68 CHƯƠNG HỆ THỐNG SỐ CỦA TOÁN HỌC cho nên: zz = pp {cos(φ + φ ) + i sin(φ + φ )} (2.6.15) Vế phải đẳng thức số phức viết dạng lượng giác với modulo pp’ góc φ + φ‘ Từ kết luận: nhân số phức nhân modulo với cộng góc chúng (hình 2.17) Như vậy, thấy phép nhân số phức có liên hệ với phép quay Để rõ ràng hơn, gọi hướng đoạn thẳng từ gốc đến điểm z vecto z, lúc p = |z| độ dài Giả thử z’ điểm đường tròn đơn vị, tức p’ = Trong trường hợp này, phép nhân z với z’ đơn giản phép quay vecto z góc φ Nếu p = với phép quay, độ dài vecto phải nhân với p’ Đề nghị bạn đọc tự minh hoạ kiện cách nhân số phức khác với z1 = i (quay 90°), z2 = −i (cũng quay 90°, theo chiều ngược lại), z3 = + i z4 = − i Hình 2.17: Phép nhân số phức: cộng argumen, nhân modulo Cơng thức 2.6.15, có trường hợp đặc biệt lý thú z = z , ta có: z = p2 (cos 2φ + i sin 2φ) (2.6.16) z = p3 (cos 3φ + i sin 3φ) (2.6.17) z n = pn (cos nφ + i sin nφ) (2.6.18) nhân lần với z, có: tiếp tục theo cách này, có: Đặc biệt, điểm z nằm đường trịn đơn vị p = 1, đến cơng thức nhà tốn học người Anh A De Moivre (1667 - 1754) (cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ (2.6.19) Công thức hệ thức bổ ích tiếng toán học sơ cấp Chúng ta giải thích điều thí dụ Chúng ta lấy n = phân tích vế trái theo công thức nhị thức, (u + v)3 = u3 + 3u2 v + 3uv + v (2.6.20) cos 3φ + i sin 3φ = cos3 φ − cos φ sin2 φ + i(3 cos2 φ sin φ − sin3 φ) (2.6.21) có: 69 2.6 SỐ PHỨC Một đẳng thức phức tương đương với hai đẳng thức thực Quả vậy, hai số phức phần thực chúng nhau, phần ảo chúng Như viết: cos 3φ = cos3 φ − cos φ sin2 φ; sin 3φ = cos2 φ sin φ − sin3 φ dùng quan hệ: cos2 φ + sin2 φ = (2.6.22) có: cos 3φ = cos3 φ − cos φ(1 − cos2 φ) = cos3 φ − cos φ sin 3φ = −4 sin3 φ + sin φ Cũng dễ dàng thu công thức với sin nφ cos nφ qua sin φ cos φ với giá trị nguyên n tuỳ ý Bài tập: Tìm cơng thức tương ứng cho sin 4φ cos 4φ Chứng minh rằng, điểm z = cos φ + i sin φ, nằm đường tròn đơn vị, = cos φ − i sin φ z Chứng minh mà khơng cần tính (a + bi)(a − bi) ln có giá trị tuyệt đối Nếu z1 z2 hai số phức, chứng minh góc z1 − z2 góc trục thực vecto từ z1 đến z2 Giải thích, góc số phức (z1 − z2) nằm tam giác có đỉnh điểm z1 , z2 , z3 (z1 − z3) Chứng minh kết chia hai số phức có góc số thực z3 − z1 z4 − z1 nhau, bốn z3 − z2 z4 − z2 số nằm đường trịn, đường thẳng, ngược lại Chứng minh rằng, với bốn số phức z1 , z2 , z3 , z4 , góc Chứng minh bốn điểm z1 , z2 , z3 , z4 nằm đường tròn đường thẳng, z3 − z1 z4 − z1 / z3 − z2 z4 − z2 số thực 2.6.3 Công thức De Moivre đơn vị Chúng ta hiểu bậc n số a số b cho bn = a Nói riêng số có hai bậc hai: -1 12 = (−1)2 = Số có bậc ba thực, số 1, có bốn bậc bốn; hai thực - hai ảo i -i Như ta dự đoán rằng, miền phức phải có hai bậc ba 1, tất ba bậc ba Nhờ công thức De Moivre chứng tỏ điều dự đoán 70 CHƯƠNG HỆ THỐNG SỐ CỦA TỐN HỌC Hình 2.18: Mười hai nghiệm luỹ thừa bậc 12 đơn vị Chúng ta thấy trường số phức có n bậc n Những biểu thị đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp hình trịn đơn vị nhận điểm đỉnh Điều thể rõ hình 2.18 (tương ứng với trường hợp n = 12) Đỉnh thứ đa giác Đỉnh tiếp sau là: 360° 360° + i sin n n α = cos (2.6.23) góc phải phần thứ n toàn 360° Đỉnh α.α = α2 , thu cách quay vecto α góc 360° n Tiếp theo đỉnh α v.v , sau n bước quay trở lại đỉnh 1, tức có được: an = Điều suy từ công thức 2.6.19 cos 360° 360° + i sin n n n = cos 360° + i sin 360° = + 0i = (2.6.24) Như vậy, α1 = α nghiệm phương trình xn = Đối với đỉnh đúng: α2 = cos thấy viết: 720° 720° + i sin , n n (α2 )n = α2n = (αn )2 = 12 = 1, dùng công thức De Moivre: α2 = cos 720° 720° + i sin n n n = cos 720° + i sin 720° = + 0i = (2.6.25) Theo cách vậy, thấy toàn n số: 1, α, α2 , α3 , , αn−1 bậc n Nếu tăng tiếp tục số mũ xét số mũ âm, không thu Thực vậy: α− = 1/α = αn /α = αn−1 , αn = 1, αn+1 = (αn ).α = 1.α = v.v giá trị trước lặp lại Coi tập, chứng minh, khơng có bậc n khác 71 2.6 SỐ PHỨC Nếu n chẵn, đỉnh đa giác n cạnh rơi vào điểm -1, phù hợp với kiện đại số -1 bậc n Phương trình thoả mãn bậc n xn − = (2.6.26) phương trình bậc n, dễ dàng hạ thấp xuống bậc (n-1) Chúng ta dùng công thức đại số: xn−1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + xn−3 + + 1) (2.6.27) Vì tích hai số hai số Cho phương trình 2.6.27 xảy hai trương hợp, x = 1, khi: xn−1 + xn−2 + xn−3 + · · · + = (2.6.28) Các α, α2 , α3 , , αn − 1, thoả mãn phương trình Phương trình gọi phương trình cyclotomic (chia đường trịn) Ví dụ, bậc ba phức là: √ α = cos 120° + i sin 120° = (−1 + i 3), √ α = cos 240° + i sin 240° = (−1 − i 3), nghiệm phương trình x2 + x + = 0, mà bạn đọc thấy phép thay giá trị α vào phương trình Cũng vậy, bậc năm 1, thân 1, thoả mãn phương trình: x4 + x3 + x2 + x + = (2.6.29) Muốn dựng ngũ giác đều, cần phải giải phương trình bậc bốn Bằng mẹo đại số đơn giản giảm bậc phương trình, đặt w = x + 1/x Chúng ta chia phương trình 2.6.29 cho x2 xắp xếp lại: x2 + với ý rằng: x + x = x2 + 1 + x + + = 0, x x (2.6.30) + , có: x2 w2 + w − = (2.6.31) Theo cơng thức 2.6.7 mục nghiệm phương trình bậc hai có dạng: √ √ −1 − −1 + w1 = , w2 = 2 Như vậy, phức bậc năm nghiệm hai phương trình bậc hai sau đây: √ −1 + x + = w1 , x + x+1=0 x (2.6.32) (2.6.33) −1 − x + = w2 , x2 + x √ x+1=0 Bạn đọc giải phương trình theo công thức 2.6.7 (2.6.34) 72 CHƯƠNG HỆ THỐNG SỐ CỦA TỐN HỌC Bài tập: Tìm bậc sáu Tìm (1 + i)11 Tìm tất giá trị khác của: Tính 2.6.4 √ + i, √ − 4i, √ √ i, −i (i − i−7 ) Định lý đại số Không có phương trình dạng ax2 + bx + c = xn − = giải trường số phức, mà xa nữa: phương trình đại số bậc n bất kì, với hệ số thực phức: f (x) = xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a1 x + a0 = 0, (2.6.35) giải trường số phức Đối với trường hợp phương trình bậc ba bậc bốn, định lý xác nhận từ kỷ XVI Tartaglia, Cardan, người khác: giải công thức tương tự cơng thức phương trình bậc hai phức tạp Việc nghiên cứu phương trình tổng quát bậc bậc cao tiến hành kiên trì vòng gần hai kỷ, cố gắng giải cơng thức vơ ích Chàng niên Gauss, luận văn tiến sĩ (1799) lần chứng minh tồn nghiệm Đó thành tựu vĩ đại nhất, vấn đề khả mở rộng công thức cổ điển cho trường hợp có bậc lớn bậc để tìm nghiệm nhờ phép tốn hữu tỉ khai căn, chưa giải thời Định lý Gauss khẳng định rằng: với phương trình đại số dạng 2.6.35, n số nguyên dương, hệ số α số thực số phức, tồn số phức α = c + di cho f (α) = Số α nghiệm gốc phương trình 2.6.35 Chứng minh định lý trình bày trang 269 Giả thử định lý chứng minh, suy từ định lý khác biết với tên định lý đại số (đúng nên gọi định lý hệ thống số phức): Mọi đa thức đại số bậc n f (x) = xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a1 x + a0 , (2.6.36) biểu thị dạng tích n thừa số: f (x) = (x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ), (2.6.37) α1 , α2 , , αn nghiệm số phức phương trình f(x) = Ví dụ, đa thức f (x) = x4 − phân tích thành thừa số sau: f (x) = (x − 1)(x − i)(x + i)(x + 1) Các số α, nghiệm phương trình f (x) = 0, suy từ thân phân tích 2.6.37 dĩ nhiên, x = α thừa số f(x) 0, thân f(x) Trong trường hợp khác, khơng thiết thừa số x − α1 , x − α2 , đa thức f(x) bậc n, phải khác nhau, chẳng hạn: f (x) = x2 − 2x + = (x − 1)(x − 1), 73 2.7 SỐ ĐẠI SỐ VÀ SỐ SIÊU VIỆT có nghiệm x = 1, “được tính hai lần” “bội 2” Trong trường hợp, khơng thể phân tích đa thức bậc n thành tích n thừa số khác dạng (x − α) phương trình tương ứng khơng thể có q n nghiệm Khi chứng minh định lý đại số bản, lần nữa, dùng đẳng thức đại số: xk − αk = (x − α) xk−1 + αxk−2 + α2 xk−3 + · · · + αk−2 x + αk−1 , (2.6.38) dùng để tính tổng cấp số nhân α = Giả thử định lý Gauss đúng, lấy α = α1 nghiệm phương trình 2.6.35 thì: f (α1 ) = α1n + an−1 α1n−1 + an−2 α1n−2 + · · · + a1 α1 + a0 = (2.6.39) Trừ vào f(x) nhóm lại số hạng, đẳng thức: f (x) = f (x) − f (α1 ) = (xn − α1n ) + an−1 (xn−1 − α1n−1 ) + · · · + a1 (x − α1 ) (2.6.40) Bây giờ, dùng cơng thức 2.6.38, tách thừa số (x − α1 ) khỏi số hạng, đưa ngồi dấu ngoặc, bậc đa thức lại ngoặc nhỏ đơn vị Nhóm số hạng lần nữa, đồng thức: f (x) = (x − α1 )g(x), (2.6.41) g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0 (2.6.42) g(x) đa thức bậc n - (Hồn tồn khơng cần thiết phải tính hệ số bk.) Áp dụng tiếp tục lập luận vào g(x) Theo định lý Gauss, tồn nghiệm α2 phương trình g(x) = tức là: g(x) = (x − α2 )h(x), (2.6.43) h(x) đa thức bậc n-2 Lặp lại lập luận n-1 lần (tất nhiên, dựa nguyên lý quy nạp toán học), cuối đến phân tích: f (x) = (x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ) (2.6.44) Từ 2.6.44 suy số phức α1 , α2 , , αn nghiệm phương trình 2.6.35, mà cịn suy khơng cịn nghiệm khác phương trình 2.6.35 Thực vậy, số y nghiệm phương trình 2.6.35 thì, từ 2.6.44 suy ra: f (y) = (y − α1 )(y − α2 ) (y − αn ) = (2.6.45) Nhưng thấy tích số phức thừa số Như thế, thừa số (y − αr ) phải 0, tức y = αr 2.7 2.7.1 Số đại số số siêu việt Định nghĩa vấn đề tồn Số đại số số x nào, thực phức, thoả mãn phương trình đại số có dạng: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = ak nguyên Chẳng hạn, số √ (n ≥ 1, an = 0) số đại số thoả mãn phương trình x2 − = (2.7.1) 74 CHƯƠNG HỆ THỐNG SỐ CỦA TỐN HỌC Tương tự, nghiệm phương trình có hệ số ngun bậc ba, bậc bốn, bậc năm, bậc tuỳ ý số đại số, nghiệm có khơng biểu diễn dạng thức Khái niệm số đại số mở rộng tự nhiên khái niệm số hữu tỉ, tương ứng với trường hợp riêng n = Không phải số thực số đại số Điều suy từ định lý sau Cantorr đề xuất, tập hợp số đại số đếm Bởi tập hợp số thực khơng đếm được, bắt buộc phải tồn số thực số đại số Một phương pháp đánh số tập hợp số đại số sau đây: ứng với phương trình dạng 2.7.1 số nguyên dương: h = |an | + |an−1 | + + |a1 | + |a0 | + n (2.7.2) gọi “độ cao” phương trình Đối với giá trị n cố định có số hữu hạn phương trình dạng 2.7.1 với độ cao h Mỗi phương trình có nhiều n nghiệm Bởi thế, có số hữu hạn số đại số phương trình có độ cao h; và, tất số đại số thành dãy, bắt đầu kể từ dãy nghiệm phương trình có độ cao 1, sau độ cao 2, Chứng minh đếm tập hợp số đại số, xác nhận tồn số thực số đại số Chúng gọi số siêu việt, Euler nói: “chúng vượt qua sức mạnh phương pháp đại số.”(They trancend power of the algebraic methods) Chứng minh Cantorr tồn số siêu việt khơng có tính chất kiến tạo Về mặt lý thuyết, xây dựng số siêu việt cách áp dụng qui trình đường chéo Cantorr, thực bảng liệt kê nghiệm thập phân phương trình đại số; qui trình hồn tồn khơng thực tiễn khơng đưa đến số viết dạng số thập phân hệ thống Ngoài ra, vấn đề lý thú có liên quan đến số siêu việt nằm chỗ chứng minh số cụ thể xác định π e) số siêu việt 2.7.2 Định lý Liouville việc xây dựng số siêu việt Chứng minh tồn số siêu việt J Liouville (1809 − 1862) nêu trước Cantorr Nó thực cho khả xây dựng thí dụ số Chứng minh Liouville khó chứng minh Cantor, điều khơng có đáng ngạc nhiên, việc xây dựng thí dụ nói chung, khó việc chứng minh tồn Khi dẫn chứng minh Liouville đây, chúng tơi có ý định dành cho bạn đọc có trình độ tương đối, muốn hiểu cần kiến thức tốn học sơ cấp hồn toàn đủ Liouville phát số đại số vơ tỉ có tính chất khơng thể xấp xỉ số hữu tỉ với độ xác cao khơng chọn mẫu số lớn phân số xấp xỉ Chúng ta giả thiết số z thoả mãn phương trình đại số với hệ số nguyên: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn = 0(an = 0) (2.7.3) không thoả mãn phương trình loại √ với bậc thấp Khi đó, nói thân z số đại số bậc n Chẳng hạn số z = số√đại số bậc 2, thoả mãn phương trình x2 − = mà khơng phải phương trình bậc nhất; số z = số đại số bậc thoả mãn phương trình x3 − = khơng thoả mãn phương trình bậc thấp (như chứng minh chương III) Số đại số bậc n > số hữu tỉ, số hữu tỉ z = p/q thoả mãn phương trình qx − p = bậc Mỗi số vơ tỉ z xấp xỉ với độ xác tuỳ ý số hữu tỉ, có nghĩa tìm dãy số: p1 p2 , , q1 q2 hữu tỉ với mẫu số tăng vô hạn mà: pr →z qr Định lý Liouville khẳng định: số đại số z bậc n > với độ xác bé 1/q n+1 , nói cách khác: z− p > n+1 q q (2.7.4) 75 2.7 SỐ ĐẠI SỐ VÀ SỐ SIÊU VIỆT Chúng ta cố gắng chứng minh định lý này, trước hết chứng tỏ dùng định lý để xây dựng số siêu việt Xét số: z = a1 10−1! + a2 10−2! + a3 10−3! + + am 10−m! + am+1 10−(m+1)! + = 0, a1 a2 000a3 00000000000000000a4 0000000 số đại số tuỳ ý từ đến (đơn giản cho tất 1) Tính chất đặc trưng số độ dài nhóm số tăng nhanh ngăn cách chữ số khác Ký hiệu zm số thập phân hữu hạn có cách lấy z số bao gồm am 10−m! Khi |z − zm| < 10.10−(m+1)! (2.7.5) Giả thử z số đại số bậc n Khi đó, 2.7.4 đặt p/q = zm = p/10−m! , được: |z − zm | < (2.7.6) 10(n+1)m! với m đủ lớn Kết hợp với 2.7.5, nên có: 10(n+1)m! < 10 10(m+1)! = 10(m+1)!−1 (2.7.7) , để (n + 1)m! < (m + 1)! − m đủ lớn Những điều sai với giá trị m lớn n (đề nghị bạn đọc chứng minh kỹ khẳng định này) Chúng ta đến mâu thuẫn Như vậy, số z số siêu việt Bây chứng minh định lý Liouville Chúng ta giả thiết số z số đại số bậc n > thoả mãn phương trình 2.7.1 tức f (z) = (2.7.8) Lấy zm = pm /qm dãy số hữu tỉ với zm → z Thế thì: n f (zm ) = f (zm ) − f (z) = a1 (zm − z) + a2 (zm − z ) + · · · + an (zm − z n ) (2.7.9) Chia hai vế cho zm − z dùng công thức đại số: un − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v + · · · + uv n−2 + v n−1 , u−v (2.7.10) được: f (zm ) n−1 = a1 + a2 (zm + z) + a3 (zm + zm z + z ) + · · · + an (zm + · · · + z n−1 ) zm − z (2.7.11) Vì zm dần tới z giới hạn, khác z m đủ lớn Vì thế, đánh sau m đủ lớn: f (zm ) < |a1 | + 2|a2 |(|z| + 1) + 3|a3 |(z| + 1)2 + · · · + n|an |(|z| + 1)n−1 = M zm − z (2.7.12) số khơng đổi, z khơng đổi suốt trình chứng minh Bây chọn m đủ pm lớn cho zm = mẫu số qm lớn M, thì: qm |z − zm | > |zm | |f (zm )| > M qm (2.7.13) Để cho gọn, từ qui ước viết p thay cho pm, viết q thay cho qm Như thì: 76 CHƯƠNG HỆ THỐNG SỐ CỦA TOÁN HỌC |f (zm )| = a0 q n + a1 q n−1 p + · · · + an q n qn (2.7.14) Bây số zm = p/q nghiệm phương trình f(x) = từ đa thức f(x) tách thừa số (x − zm ), tức z thoả mãn phương trình bậc thấp n Vậy, f (zm ) = Nhưng tỉ số vế phải đẳng thức 2.7.14 số nguyên giá trị tuyệt đối phải đơn vị Như vậy, so sánh hệ thức 2.7.13 2.7.14 suy bất đẳng thức: |z − zm | > 1 · = n+1 , q qn q (2.7.15) điều phải chứng minh Trong vài chục năm gần đây, nghiên cứu đề cập đến khả xấp xỉ số đại số số hữu tỉ tiến xa Chẳng hạn, nhà toán học Nauy A Thue (1863 − 1922) chứng minh bất đẳng thức Liouville ??, thay số mũ n +1 số mũ nhỏ (n/2+1) C √ L Siegel chứng minh cịn chọn số mũ nhỏ n Số siêu việt luôn đề tài nhà toán học ý đến Nhưng gần đây, biết vài số mà tính siêu việt chúng xác định (trong chương III, nói tính siêu việt số π, từ suy khơng thể bình phương trịn thước compa) Trong báo cáo tiếng đọc hội nghị toán học quốc tế Paris năm 1900, David Hilbert đề xuất ba mươi vấn đề tốn có phát biểu đơn giản, số tốn phát biểu dễ dàng ngơn ngữ thơng thường, tốn giải kỹ thuật toán học hồi Những “bài tốn Hilbert” có tác dụng thúc đẩy mạnh mẽ toàn thời kỳ phát triển tốn học tiếp sau Hầu tất giải sau đó, thường việc giải chúng có liên quan đến kết rõ ràng mặt chuẩn bị phương pháp tổng quát sâu sắc Một tồn dường khơng có hy vọng giải vấn đề chứng minh √ 2 số số siêu việt, số vơ tỉ Trong vịng ba chục năm khơng có cách xử lý có hy vọng đạt kết Cuối cùng, Seigel, độc lập với ơng, nhà tốn học Nga trẻ tuổi, A Gelfond phát minh phương pháp √ để chứng minh tính siêu việt nhiều số có ý nghĩa tốn học, bao gồm số Hilbert số 2 và, tổng quát hơn, số dạng ab a số đại số = = b số đại số vô tỉ PHỤ LỤC CHUƠNG 2: ĐẠI SỐ TẬP HỢP 2.8 Lý thuyết tổng quát Khái niệm lớp tập hợp vật khái niệm sở toán học Một tập hợp xác định tính chất (thuộc tính) U mà vật xét phải có khơng có; vật có tính chất U tạo thành tập hợp A Chẳng hạn, xét số nguyên tính chất U “nguyên tố” tập hợp A tương ứng gồm tất số nguyên tố 1, 2, 3, 5, Lý thuyết toán học tập hợp xuất phát từ chỗ, nhờ phép tốn định, cấu thành tập hợp từ tập hợp cho trước (tương tự nhờ phép toán cộng nhân thu số từ số cho trước) Việc nghiên cứu phép toán tập hợp đối tượng “đại số tập hợp” có nhiều chung với đại số số bìnhường, có điểm khác Sự kiện áp dụng phương pháp đại số để nghiên cứu vật số mà tập hợp minh hoạ cho tính khái qt cao tư tưởng tốn học đại Trong thời gian gần đây, thấy đại số tập hợp cho đời nhiều lĩnh vực toán học, chẳng hạn lý thuyết độ đo lý thuyết xác suất; có ích việc hệ thống hoá khái niệm toán học làm sáng tỏ mối liên hệ logic khái niệm Từ đây, ký hiệu tập hợp vật khơng đổi I mà bản, gọi tập hợp vũ trụ(universe of discourse), tập hợp ký hiệu A, B, C Nếu I tập hợp số tự nhiên A, tập hợp số chẵn, B tập hợp số lẻ, C tập hợp số nguyên tố v.v Nếu tập hợp I tập hợp điểm mặt phẳng A tập hợp điểm nằm hình trịn đó, B tập hợp điểm nằm hình trịn khác v.v Để thuận tiện, số “tập con” kể thân I, tập hợp “rỗng” O không chứa phần tử Sự mở rộng nhân tạo nhằm mục đích bảo tồn ý kiến tính chất U tương ứng với tập hợp phân tử I có tính chất Trường hợp U tính chất thực tồn bộ, dùng tính chất thoả mãn phương trình tầm thường x = x, tập tương ứng I thân I, phần tử có tính chất đó, mặt khác U tính chất mâu thuẫn nội x = x, tập tương ứng hồn tồn khơng chứa phần tử nào, tập hợp “rỗng” ký hiệu Chúng ta gọi tập hợp A tập tập hợp B tập hợp A khơng có phần tử khơng nằm B Khi viết A ⊂ B B ⊃ A Thí dụ, tập hợp A số nguyên chia hết cho 10 tập tập hợp B số nguyên chia hết cho 5, số chia hết cho 10 chia hết cho Quan hệ A ⊂ B không loại trừ quan hệ B ⊂ A Nếu có đồng thời hai quan hệ nói tập hợp A tập hợp B viết A = B Điều có nghĩa phần tử A phần tử B ngược lại, tức tập hợp A B chứa phần tử Quan hệ A ⊂ B tập hợp nhắc nhở đến quan hệ a ≤ b số thực Cụ thể, thật vậy: A ⊂ A Nếu A ⊂ B B ⊂ A A = B 77 78 PHỤ LỤC CHUƠNG 2: ĐẠI SỐ TẬP HỢP Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C Do quan hệ A ⊂ B gọi “quan hệ thứ tự” Chỗ khác biệt chủ yếu với quan hệ a ≤ b cho số thực là, cặp số a b có quan hệ a ≤ b b ≤ a, điều khơng tập hợp Thí dụ: A tập hợp gồm số nguyên 1, 2, 3, A = {1, 2, 3}, B tập hợp gồm số nguyên 2, 3, 4, B = {2, 3, 4}, khơng có A ⊂ B B ⊂ A Vì thế, quan hệ A ⊂ B tập hợp I thứ tự phận, quan hệ a ≤ b lập thành tập hợp “có thứ tự tuyến tính” Ngồi ra, lưu ý từ định nghĩa quan hệ A ⊂ B, có: O ⊂ A với tập hợp A A ⊂ I, A tập hợp tập hợp tồn I Tính chất xem vơ lý, suy nghĩ kỹ phù hợp với ý nghĩa xác định nghĩa kí hiệu ⊂ Hệ thức O ⊂ A sai tập rỗng O chứa phần tử khơng nằm A, tập hợp rỗng hồn tồn khơng chứa phần tử cả, khơng thể xảy vơ lý với tập hợp A Bây đưa định nghĩa hai phép tốn tập hợp, có nhiều tính chất đại số phép cộng phép nhân số thông thường, nội dung bên hồn tồn khác với phép tốn Giả thử A B hai tập hợp Hợp “tổng logic” A B tập hợp gồm phần tử nằm A nằm B (kể phần tử nằm hai) Tập hợp ký hiệu A + B “Giao” “tích logic” A B tập hợp chứa phần tử nằm A B Tập hợp ký hiệu AB Chúng ta minh hoạ phép toán thí dụ Một lần nữa, chọn tập hợp A B: • A = {1, 2, 3}, • B = {2, 3, 4}, thì: • A + B = {1, 2, 3, 4}, • AB = {2, 3} Sau tính chất đại số quan trọng phép toán A + B AB Dựa vào định nghĩa thân phép tốn, bạn đọc thử lại tính chất đó: A + B = B + A 12 A(B + C) = AB + AC A.B = BA 13 A + (BC) = (A + B)(A + C) A + (B + C) = (A + B) + C 14 A + O = A A(BC) = (AB)C 15 A.I = A 10 A + A = A 16 A + I = I 11 A.A = A 17 A.O = O 18 Quan hệ A ⊂ B tương ứng với hai quan hệ: A + B = B, AB = A 2.8 LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT 79 Việc thử lại tất định luật việc thân logic sơ cấp Chẳng hạn, 10 xác nhận tập hợp phần tử chứa A A tập hợp A, 12 xác nhận tập hợp phần tử thuộc A đồng thời thuộc B thuộc C, trùng với tập hợp phần tử nằm A B nằm A C Những lập luận logic dùng để chứng minh định luật minh hoạ cách thuận lợi qui ước biểu thị tập hợp A, B, C dạng hình phẳng lưu ý cho khơng bỏ sót khả logic xảy đề cập đến có phần tử chung hai tập hợp ngược lại đề cập đến có phần tử tập hợp khơng thuộc tập hợp khác Hình 2.19: Hợp giao tập hợp Bạn đọc cần lưu ý đến định luật 6, 7, 8, 9, 12 hình thức giống với định luật giao hốn, kết hợp phân phối đại số học thông thường Từ suy qui tắc đại số học thơng thường rút từ định luật đại số tập hợp Ngược lại, định luật 10, 11 13 khơng có định luật tương tự đại số học thông thường, chúng cho đại số tập hợp cấu trúc đơn giản Chẳng hạn, công thức nhị thức đại số tập hợp dẫn tới đẳng thức đơn giản: (A + B)n = (A + B).(A + B) (A + B) = A + B điều suy từ định luật 11 Các định luật 14, 15 17) nói tính chất tập hợp O I với phép toán hợp giao tập hợp giống tính chất số phép tốn cộng nhân số thơng thường Nhưng định luật 16 khơng có tương tự đại số thơng thường Nó cịn dùng để định nghĩa phép tính khác đại số tập hợp Giả thử A tập tuỳ ý tập hợp toàn I Phần bù A I tập hợp tất phần tử I mà không thuộc A Tập hợp ký hiệu A’ Chẳng hạn, I tập hợp số tự nhiên, A tập hợp số nguyên tố, tập hợp A’ chứa tất hợp số số Phép toán chuyển từ A đến A’ khơng có tương tự đại số thơng thường có tính chất sau đây: 20 A + A = I 21 A.A = O 22 O’=I 23 A = A 24 Quan hệ A ⊂ B tương đương với quan hệ B ⊂ A 25 (A + B)’ = A’B’ 26) (AB)’ = A’ + B’ 26 (AB) = A + B‘ Lần nữa, chúng tơi dành bạn đọc thử lại tính chất Các định luật - 26 sở đại số tập hợp Chúng có “tính chất đối ngẫu” đặc biệt sau đây: Nếu định luật từ - 26 thay lẫn cặp ký hiệu: • ⊂ vă ⊃ • O I 80 PHỤ LỤC CHUƠNG 2: ĐẠI SỐ TẬP HỢP • + kết định luật Chẳng hạn, định luật chuyển thành định luật 7, 12 thành 13, 17 thành 16 v.v Từ suy định lý rút từ định luật - 26 tương ứng với định lý khác “đối ngẫu” với nó, thu cách hốn vị ký hiệu nói Thực vậy, việc chứng minh định lý thứ việc ứng dụng liên tiếp giai đoạn khác lập luận số định luật - 26 việc ứng dụng định luật “đối ngẫu” giai đoạn tương ứng tạo nên chứng minh định lý “đối ngẫu” (cũng tương tự tính đối ngẫu hình học, xem chương IV) 2.9 Áp dụng vào logic toán Sự thử lại định luật đại số tập hợp dựa phân tích ý nghĩa logic quan hệ A ⊂ B phép toán A + B, AB A’ Bây xem định luật − 26 sở “đại số logic” Nói xác hơn: phần logic, tiếp cận tập hợp tính chất vật xem xét, qui hệ thống đại số hình thức dựa định luật - 26 Định nghĩa tập hợp toàn I mặt logic xác định tập hợp I; tính chất U xác định tập hợp A gồm vật I có tính chất Quy tắc phiên dịch thuật ngữ logic thông thường sang ngơn ngữ tập hợp thể thí dụ sau đây: • A+B “A B” “A B” • AB “Khơng A” • A’ “Khơng A, khơng B” • (A+B)’, tương đương, A’B’ “Khơng phải vừa A vừa B” • (AB)’, tương đương, A’ + B’ “Tất A B” A, B” “A suy B” • A⊂B “Một A B” • AB = “Khơng có A B” • AB=0 “Một A khơng B” • AB = • A=0 10 “Khơng có A nào” Trong thuật ngữ đại số tập hợp, tam đoạn luận “Barbara” nói rằng: “nếu tất A B tất B C, tất A C” có dạng đơn giản: Nếu A ⊂ B B ⊂ C 4A ⊂ C Tương tự “luật mâu thuẫn” khẳng định rằng: “một khơng thể đồng thời có khơng có tính chất đó” viết dạng: 20 AA’ = 0, cịn “luật trung” nói rằng: “mọi vật có, khơng có tính chất đó” trở thành: 19 A+A’=I Bởi phần logic biểu thị thuật ngữ ký hiệu ⊂, +, (’) coi hệ đại số hình thức tuân theo định luật - 26 Dựa vào hoà hợp giải tích logic tốn học giải tích tốn học logic ngành tốn học hình thành “logic toán” ngành mà phát triển mạnh mẽ Với quan điểm tiền đề, ý đến kiện đặc biệt khẳng định - 26 với định lý khác đại số tập hợp suy cách logic từ ba đẳng thức sau đây:    A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)   (A’ + B’)’ + (A’ + B)’ = A (2.9.1) Từ suy xây dựng đại số tập hợp lý thuyết suy diễn tuý giống hình 2.10 MỘT ÁP DỤNG VÀO LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 81 học Euclid, dựa vào ba mệnh đề coi tiên đề Nếu tiên đề thực phép tốn AB quan hệ A ⊂ B định nghĩa theo thuật ngữ A + B A’: AB biểu thị tập hợp (A + B ) A ⊂ B biểu thị A + B = B Một hệ thống toán học gồm tám số 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, a + b, theo định nghĩa biểu thị bội chung nhỏ a b, ab biểu thị ước chung lớn a b, a ⊂ b biểu thị khẳng định “b chia hết cho a” a’ biểu thị số 30/a, thoả mãn định luật hình thức đại số tập hợp thí dụ hồn tồn khác Sự tồn thí dụ kéo theo nghiên cứu hệ thống đại số tổng quát thoả mãn định luật 2.9.1 Những hệ thống gọi “các đại số Boolean” để kỷ niệm George Boole (1815 - 1864), nhà toán học logic học Anh với sách ông “An investigation of the laws of thought” đời năm 1854 2.10 Một áp dụng vào lý thuyết xác suất Đại số tập hợp có quan hệ gần gũi với lý thuyết xác suất, cho phép nhìn lý thuyết theo quan điểm Chúng ta xét thí dụ đơn giản nhất: hình dung phép thử với số hữu hạn kết cục mà cho “đồng khả năng” Chẳng hạn, phép thử việc rút hú hoạ cỗ xóc kỹ Nếu biểu thị tập hợp kết cục I, A biểu thị cho tập I, xác suất kết cục phép thử thuộc vào tập A xác định tỉ số: p(A) = số phần tử A số phần tử I Nếu qui ước biểu thị số phần tử tập hợp A n(A) đẳng thức có dạng p(A) = n(A) n(A) (2.10.1) Trong thí dụ này, giả thử A tập hợp “nhép” có n(A) = 13, n(I) = 52 13 p(A) = 52 = 14 Các tư tưởng đại số tập hợp phát lộ tính xác suất biết xác suất số tập hợp cần tính xác suất tập hợp khác Thí dụ, biết xác suất p(A), p(B) p(AB), tính xác suất p(A+B): p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB) (2.10.2) chứng minh đơn giản Chúng ta có: n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB) phần tử chứa đồng thời A B, tức phần tử AB xét đến hai lần tính tổng n(A) + n(B), nghĩa cần trừ n(AB) vào tổng việc tính n(A+B) thực Sau chia hai vế đẳng thức cho n(I) hệ thức 2.10.2 Nếu xét ba tập hợp A, B, C I công thức lý thú Dùng hệ thức 2.10.2 có: p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C] Định luật 12 cho (A + B)C = AC +BC Từ suy ra: p[(A + B)C] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC) Thay vào phương trình giá trị p[(A + B)C] giá trị p(A + B) 82 PHỤ LỤC CHUƠNG 2: ĐẠI SỐ TẬP HỢP cho 2.10.2, có công thức: p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC) (2.10.3) Để làm thí dụ, xét phép thử sau Ba chữ số 1, 2, viết theo trật tự tuỳ ý Xác suất chữ số nằm vị trí (tính theo thứ tự) bao nhiêu? Giả sử A tập hợp hoán vị chữ số đứng vị trí thứ nhất, B tập hợp hoán vị chữ số vị trí thứ hai, C tập hợp hốn vị chữ số đứng vị trí thứ ba Chúng ta cần tính p(A + B + C) Rõ ràng: p(A) = p(B) = p(C) = = thực vậy, chữ số tuỳ ý đứng vị trí có hai khả hốn vị hai chữ số lại số 3.2.1 = hốn vị ba chữ số Hơn nữa: p(AB) = p(AC) = p(BC) = xảy trường hợp Theo cơng thức 2.10.3: p(ABC) = 1 1 p(A + B + C) = − + = − + = 0, 66666 6 Bài tập: Tìm cơng thức cho p(A + B + C + D) áp dụng cho trường hợp có kí tự Kết tương ứng = 0.6250 Công thức chung cho n tập hợp là: biểu tượng , , tổng việc kết hợp tập , 2, , lấy , , (2.10.4) p(Ai Aj Ak ) − · · · ± p(A1 A2 An ), p(Ai Aj ) + p(Ai ) − p(A1 + A2 + · · · + An = n−1 một, hai, ba, (n-1) lần Biểu thức đưa quy nạp tốn học theo cách mà để có 2.10.3 từ 2.10.2 Từ 2.10.4 dễ dàng thấy n kí tự 1, 2, 3, , n viết theo thứ tự bất kì, ký tự vị trí pn = − 1 1 + − + ··· ± 2! 3! 4! n! (2.10.5) ký hiệu ±, cộng trừ, phụ thuộc vào n chẵn lẻ Cụ thể, cho n = xác xuất là: p5 = − 1 1 19 + − + = = 0.63333 , 2! 3! 4! 5! 30 (2.10.6) Chúng ta thấy chương VIII n tiến tới vơ chuỗi Sn = 1 1 − + − ··· ± 2! 3! 4! n! (2.10.7) Tiến tới giới hạn, 1/e, giá trị đến năm vị trí thập phân 0,36788 Lại theo 2.10.5 pn = 1−Sn , cho thấy n tiến tới vơ thì: pn → − = 0, 63212 e ... NHIÊN 6 10 10 11 Cộng 4 5 6 10 10 11 11 12 12 13 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 15 1 2 11 13 15 Nhân 4 11 12 15 15 22 21 26 24 33 5 13 21 26 34 42 6 15 24 33 42 51 Bây nhân 265 với 24, số viết... thức chứng tỏ (840, 61 1) =1 Nhưng mặt khác, từ đẳng thức thu được: 840 61 1 61 1 229 229 15 3 15 3 76 229 =1+ , 61 1 61 1/229 15 3 =1+ =1+ , 229 229 /15 3 76 =1+ =1+ , 15 3 15 3/ 76 =2+ 76 =1+ Kết hợp đẳng... ( 61 ,24); ước chung lớn 1: 33 1. 7 THUẬT TOÁN EUCLID 61 = 2.24 + 13 , 24 = 1. 13 + 11 , 13 = 1. 11 + 2, 11 = 5.2 + 1, = 2 .1+ Đẳng thức thứ số cho: 13 = 61 − 2.24 Đẳng thức thứ hai cho: 11 = 24 − 13