Tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận

Khoá Luận tốt nghiệp Tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận Lời nói đầu Tin học là một ngành khoa học mũi nhọn phát triển hết sức nhanh chóng trong vài chục năm trở lại đây và càng ngày càng mở rộng lĩnh vực nghiên cứu, ứng dụng trong mọi mặt của đời sống. Tin học và toán học là hai ngành khoa học có sự liên kết chặt chẽ với nhau. Các bài toán có thuật giải sẽ đợc máy tính giải quyết một cách cực kỳ nhanh chóng và chính xác. Vì thế, việc ứng dụng tin học để giải quyết một số bài toán sẽ tiết kiệm đợc thời gian tính toán, có độ chính xác cao. Một trong những ngôn ngữ lập trình quan trọng giúp chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán đó là ngôn ngữ lập trình Pascal. Qua khoá luận tốt nghiệp, tôi xin trình bày một số phơng pháp lặp để ứng dụng giải bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận. Trên đây là một vài lời giới thiệu về đề tài, với kết quả đã đạt đợc và với tất cả tấm lòng của mình. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô giáo, Tiến sĩ Phan Lê Na và Thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Trung Hoà đã tận tình giúp đỡ, hớng dẫn tôi trong suốt thời gian qua, và cũng qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ "Khoa học máy tính" cũng nh các Thầy giáo, Cô giáo trong khoa CNTT và tập thể lớp 40B-CNTT đã tạo một số điều kiện về thời gian và đóng góp ý kiến cho khoá luận này. Do thời gian có hạn nên tôi không thể tránh đợc những thiếu sót . Vì vậy, rất mong đợc sự chỉ bảo của các Thầy Cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn! Vinh, ngày15 tháng 05 năm 2003 Tác giả Khoá Luận tốt nghiệp Tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận 1.Bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số t gọi là trị riêng của A nếu phơng trình A.X = tX, XR n (1-1) Có nghiệm X = (X 1 , X 2 , ., X n ) (0, 0, ., 0). X gọi là vectơ riêng tơng ứng trị riêng t. Để tìm các trị riêng của ma trận vuông A cấp n, từ (1-1) ta có thể viết thành AX = t.IX trong đó I là ma trận đơn vị cấp n. Do đó có (A- tI)X= 0 Đây là hệ tuyến tính thuần nhất. Muốn cho t là trị riêng của A, điều kiện là hệ trên có nghiệm X 0 và muốn thế điều kiện cần và đủ là det(A - tI) = 0 (1-2) Đây là phơng trình để xác định trị riêng của A, và đợc gọi là phơng trình đặc trng của ma trận vuông cấp A Ví dụ : Hãy tìm trị riêng của ma trận = 01 23 A Khoá Luận tốt nghiệp Tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận Ta có: = = t t ttIA 1 23 10 01 01 23 Phơng trình đặc trng của A là: det(A- tI) = 3-t 2 = t 2 - 3t + 2 = 0 -1 -t Ta suy ra t = 1 và t = 2 là trị riêng của ma trận. Đa thức đặc trng (1-2) là một đa thức bậc n nhng không phải khi nào nó cũng có n nghiệm trên trờng số thực R, hơn nữa việc tìm các nghiệm đúng của(1-2) là rất khó. Vì với n > 4 ta không có công thức tính nghiệm tổng quát. Nếu A là ma trận đối xứng thì (1-2) luôn có n nghiệm thực và ta luôn tìm đợc n vectơ riêng là cơ sở của không gian E [1]. Từ đó đa ra phơng pháp trực tiếp tìm trị riêng của A (A là ma trận đối xứng) bằng cách giải ph- ơng trình đặc trng (1-2). Khoá Luận tốt nghiệp Tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận 1.1. Đa thức đặc tr ng Phơng pháp Faddeev-Leverrier tính các hệ số của đa thức đặc trng của ma trận A a. Thuật toán: Khi triển khai định thức (1-2) ta sẽ đợc đa thức cấp n: P n (t) = t n - p 1 . t n -1 - p 2 . t n -2 - . - p n = 0 (1-3) Để xây dựng thuật toán tính các tham số p 1 , p 2 , ., p n ta xét ma trận đối xứng A : = nnnn n n aaa aaa aaa A . . . . 21 22221 11211 (1-4) Ta gọi vet(A) là một số đợc định nghĩa nh sau: vet(A) = a 11 + a 22 + . + a nn (1-5) Khi đó tham số p 1 , p 2 , ., p n của (1-3) đợc xác định nh sau: p 1 = vet(B 1 ) trong đó B 1 = A p 2 = 1/2 . vet(B 2 ) trong đó B 2 = A(B 1 - p 1 .I) p 3 = 1/3 . vet(B 3 ) trong đó B 3 = A(B 2 - p 2 .I) . . P n = 1/n. vet(B n ) trong đó B n = A(B n-1 - p n-1 .I) (1-6) Vì p n .I = B n hay 1/p n . B n = I = A.A -1 1/p n . A (B n-1 - p n-1 .I) = A.A -1 Vậy: A -1 = 1/p n . (B n-1 - p n-1 .I) (1-7) Ví dụ : Lập phơng trình đặc trng cho ma trận sau: Kho¸ LuËn tèt nghiÖp T×m trÞ riªng vµ vect¬ riªng cña ma trËn           − −− − = 310 121 013 A p 1 = vet(B 1 ) = vet(A) = a 11 + a 22 + a 33 = 3 + 2 + 3 = 8 ( )           − − − =           −− −−− −−           − −− − =−= 1431 3103 1314 510 161 015 310 121 013 112 IpBAB p 2 = 1/2. vet(B 2 ) = (-14 -10 - 14)/2 = -19 Khoá Luận tốt nghiệp Tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận ( ) = == 1200 0120 0012 531 393 135 310 121 013 223 IpBAB p 3 = 1/3. vet(B 3 ) = (12 + 12 + 12)/3 = 12 5 3 1 A -1 = 1/12 3 9 3 1 3 5 Do đó đa thức đặc trng của A là: t 3 - 8.t 2 + 19.t - 12 = 0 b.Ta có sơ đồ khối nh sau: Khoá Luận tốt nghiệp Tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận Đọc số bậc n, ma trận A in n và A B = A k = 1 P k = 1/k.vet(B) C = (B-p k .I) B = A.C k <= n k = k+1 A -1 = 1/n.C In kết quả Hệ số đa thức đặc trng ma trận đảo A -1 P n = 1/n . vet(B) Khoá Luận tốt nghiệp Tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận 1.2. các ph ơng pháp lặp 1.2.1. Phơng pháp Power tìm trị riêng lớn nhất và nhỏ nhất a.Thuật toán: Đây là phơng pháp lặp có thể áp dụng cho cả ma trận đối xứng và ma trận không đối xứng với cấp tuỳ ý. Xét phơng trình thuần nhất dới dạng: A . X = t . X (2-1) Giả sử vectơ ban đầu X 0 nào đó, nhân A với X 0 ta đợc vectơ Y 1 . A . X 0 = Y 1 = t 1 . X 1 (2-2) Y 1 có thể viết dới dạng t 1 .X 1 bằng cách đa phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất làm thừa số chung ra ngoài và quá trình này tiếp tục cho các bớc lặp tiếp theo. A . X 1 = Y 2 = t 2 . X 2 . A . X i = Y i+1 = t i+1 . X i+1 (2-3) . Ví dụ 2: Xét ma trận A và vectơ ban đầu X 0 = 310 121 013 A = 0 0 1 0 X Ta có Kho¸ LuËn tèt nghiÖp T×m trÞ riªng vµ vect¬ riªng cña ma trËn           −===           −=                     − −− − = 0 33,0 1 3. 0 1 3 0 0 1 310 121 013 . 1110 XtYXA Kho¸ LuËn tèt nghiÖp T×m trÞ riªng vµ vect¬ riªng cña ma trËn           −===           −=           −           − −− − = 1,0 5,0 1 33,3. 33,0 66,1 33,3 0 33,0 1 310 121 013 . 2221 XtYXA . trị riêng khi m và X m X p Khoá Luận tốt nghiệp Tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận Nh vậy phơng pháp Power hội tụ về trị riêng lớn nhất (theo trị. riêng của ma trận 1.Bài toán tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số t gọi là trị riêng của A nếu phơng trình A.X =