CHUYEN DE ON THI VAO 10 GOC VA DUONG TRON

GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN I GĨC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG Góc tâm - Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm - Nếu 00 <  < 1800 cung nằm bên góc gọi cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc gọi cung lớn - Nếu  = 1800 cung nửa đường trịn - Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Góc bẹt chắn nửa đường trịn » - Kí hiệu cung AB A B Số đo cung » - Số đo cung AB kí hiệu sđ A B - Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung - Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung mút với cung lớn) - Số đo nửa đường tròn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600 Cung khơng có số đo 0 (cung có mút trùng nhau) So sánh hai cung Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: - Hai cung gọi chúng có số đo - Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn Định lí » » Nếu C điểm nằm cung AB sđ A B = sđ A¼C + sđCB Bài Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây A B = R Tính số đo hai cung AB Bài Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB cho số đo cung nhỏ AB số đo cung lớn AB Tính diện tích tam giác AOB ỉ R 3ư ữ ỗ ữ Bi Cho hai ng trũn ng tõm (O; R) v ỗỗO ; Trờn ng trũn nhỏ lấy ÷ è ø ÷ điểm M Tiếp tuyến M đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn A B Tia OM cắt đường tròn lớn C » » a) Chứng minh CA = CB b) Tính số đo hai cung AB Bài Cho (O; 5cm) điểm M cho OM = 10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo Bài Cho tam giác ABC, vẽ nửa đường trịn đường kính BC cắt AB D AC E So sánh cung BD, DE EC Bài Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; R) với R > R Qua điểm M (O; R), vẽ hai tiếp tuyến với (O; R) Một tiếp tuyến cắt (O; R) A B (A nằm M B); tiếp tuyến cắt (O; R) C D (C nằm D M) Chứng minh hai cung AB CD II LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn b) Dây lớn căng cung lớn Bổ sung a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (không qua tâm) qua điểm cung bị căng dây c) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại µ Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Biết A = 500 , so sánh cung nhỏ AB, AC BC Bài Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A, B Vẽ đường kính AOE, AOF BOC Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Chứng minh cung nhỏ AB, CD, CE Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với ¼ < 900 Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB E Từ E cho sđ BM vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh rằng: a) AB  DN b) BC tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Từ A B vẽ hai dây cung AC BD song song với Qua O vẽ đường thẳng vng góc AC M BD N So sánh hai cung AC BD Bài 11 Cho đường tròn (O) dây AB chia đường trịn thành hai cung thỏa: 1¼ ¼ A mB = A nB ¼ ¼ mB , A nB a) Tính số đo hai cung A b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến dây AB AB » » Bài 12 Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB CD thỏa: A B = 2CD Chứng minh: AB < 2.CD III GĨC NỘI TIẾP Định nghĩa Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Định lí Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Hệ Trong đường tròn: a) Các góc nội tiếp chắn cung b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung c) Góc nội tiếp (nhỏ 900 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Bài 13 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB dây AC căng cung AC có số đo 600 a) So sánh góc tam giác ABC b) Gọi M, N điểm cung AC BC Hai dây AN BM cắt I Chứng minh tia CI tia phân giác góc ACB µ Bài 14 Cho tam giác ABC cân A ( A < 900 ) Vẽ đường trịn đường kính AB cắt BC D, cắt AC E Chứng minh rằng: a) Tam giác DBE cân 1· · b) CBE = BA C Bài 15 Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) Vẽ đường kính MN  BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) Chứng minh tia AM, AN tia phân giác đỉnh A tam giác ABC Bài 16 Cho đường tròn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB Gọi P giao điểm AK BI a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng b) Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB c*) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB Bài 17 Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C di động nửa đường trịn Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường kính AB D, đường tròn cắt CA CB điểm thứ hai M N Chứng minh rằng: a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng b) ID  MN c) Đường thẳng CD qua điểm cố định, từ suy cách dựng đường trịn (I) nói » » HD: Gọi E giao điểm đường thẳng CD với (O)  E A = EB  E cố định Bài 18 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng c) Chứng minh OM = AH Bài 19 Cho đường trịn (O) đường kính AB, M điểm nửa đường trịn, C điểm nửa đường trịn kia, CM cắt AB D Vẽ dây AE vng góc với CM F a) Chứng minh tứ giác ACEM hình thang cân · b) Vẽ CH  AB Chứng minh tia CM tia phân giác góc HCO c) Chứng minh CD £ HD:HDC : ODM  CD £ AE CD CH DH = = £ CD £ MD MD MO DO 1 CM = A E 2 µ Bài 20 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Biết A =  < 900 Tính độ dài BC · · HD: Vẽ đường kính BD B D C = BA C =  BC = B D sin D = 2R sin  Bài 21 Cho đường trịn (O) có hai bán kính OA OB vng góc Lấy điểm C đường trịn (O) cho ¼C sdA = Tính góc tam giác ABC ¼ sdBC Bài 22 Cho tam giác ABC cân A có góc A 500 Nửa đường trịn đường kính AC cắt AB D BC H Tính số đo cung AD, DH HC Bài 23 Cho đường trịn (O) có đường kính AB vng góc dây cung CD E Chứng minh rằng: CD = 4A E BE IV GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Định lí Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Hệ Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Định lí (bổ sung) Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB), có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn Bài 24 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn Gọi H hình chiếu C AB a) Chứng minh tia CA tia phân giác góc MCH b) Giả sử MA = a, MC = 2a Tính AB CH theo a Bài 25 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn cạnh AB, BC, CA Gọi M, N, P giao điểm đường tròn (O) với ti OA, OB, OC Chứng minh điểm M, N, P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF, BDE CEF Bài 26 Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường tròn (O) D Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D, cắt đường thẳng AB điểm thứ hai E Chứng minh rằng: · · a) CA D + CB D = 1800 b) Tứ giác BCED hình bình hành · Bài 27 Trên cạnh góc xMy lấy điểm T, cạnh lấy hai điểm A, B cho MT = MA.MB Chứng minh MT tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác TAB Bài 28 Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Vẽ dây BC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) Vẽ dây BD đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) A B = A C A D b) BC = BD AC AD Bài 29 Cho đường trịn (O) điểm M bên ngồi đường tròn Tia Mx quay quanh M, cắt đường tròn A B Gọi I điểm thuộc tia mx cho MI = MA.MB Hỏi điểm I di động đường nào? HD: MI = MT  Điểm I di động đường tròn (M, MT) Bài 30 Cho đường tròn (O) ba điểm A, B, C (O) Dây cung CB kéo dài gặp tiếp ·MC , A ·BC , A ·CB tuyến A M So sánh góc: A Bài 31 Cho hai đường tròn (O, R) (O, R) (R > R) tiếp xúc A Qua A kẽ hai cát tuyến BD CE (B, C  (O); D, E  (O)) Chứng minh: ·BC = A ·DE A Bài 32 Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc Gọi I điểm cung AC cho vẽ tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài M IC = CM a) Tính góc AOI b) Tính độ dài OM V GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN Định lí Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Định lí Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB AC » lấy điểm I K cho A I = A¼K Dây IK cắt cạnh AB, AC D E · · a) Chứng minh A DK = A CB b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện tứ giác DECB hình thang cân Bài 34 Cho đường tròn (O) dây AB Vẽ đường kính CD vng góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N Các đường thẳng CN DN cắt đường thẳng AB E F Tiếp tuyến đường trịn (O) N b) Kẻ đường kính BD đường tròn (O) Chứng minh CD//OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE Bài 93 Từ điểm A đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE ^ AC CF ^ AB (E Ỵ A C , F Ỵ A B ), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O) Bài 94 Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc DOE Bài 95 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM.BN theo R Bài 96 Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) cắt A,B (O O’ thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB ) Các đường thẳng AO AO’ cắt (O) hai điểm C,D cắt đường tròn (O’) E,F Chứng minh: a) Ba điểm C,B,F thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) AB,CD,EF đồng quy d) A tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE e ) MN tiếp tuyến chung (O) (O’) Chứng minh MN qua trung điểm AB Bài 97 Cho đường tròn tâm (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Các tiếp tuyến với đường trịn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn B,C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn khác B C Từ M kẻ MH ^ BC,MK ^ CA,MI ^ AB CM: a) Tứ giác ABOC, MIBH, MKCH nội tiếp b) D MIH ~ D MHK d) MI.MK=MH2 Bài 98 Cho D ABC nhọn nội tiếp (O) Gọi BB’, CC’ đường cao D ABC cắt H Gọi E điểm đối xứng H qua BC, F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC, Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh: a) Tứ giác BHCF hình bình hành b) E, F nằm (O) c) Tứ giác BCFE hình thang cân d) G trọng tâm D ABC e) AO ^ B’C’ Bài 99 Cho đường trịn (O) đường kính AB Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB Chứng minh: a) Khi cát tuyến MN di động, trung điểm I MN nằm đường cố định b) Từ A kẻ tia Ax ^ MN Tia BI cắt Ax C Chứng minh tứ giác BMCN hình bình hành c) Chứng minh C trực tâm D AMN d) Khi MN quay xung quanh H C di động đường e) Cho AB=2R, AM.AN=3R2;AN=R Tính diện tích phần hình trịn nằm ngồi tam giác AMN Bài 100 Cho 1/2(O) đường kính AB=2R ,kẻ tuyếp tuyến Bx với (O).Gọi C,D điểm di động (O) Các tia AC,AD cắt Bx E,F ( F nằm B E) Chứng minh: a) D ABF ~ D BDF b) Tứ giác CEFD nội tiếp c) Khi C,D di động tích AC.AE=AD.AF khơng đổi Bài 101 Cho tam giác ABC cân A có BC=6cm đường cao AH=4cm nội tiếp đường trịn (O;R) đường kính AA’ Kẻ đường kính CC’, kẻ AK ^ CC’ a) Tính R? b) Tứ giác CAC’A’ , AKHC hình ? Tại sao? c) Tính diện tích phần hình trịn (O) nằm D ABC? Bài 102 Từ điểm A nằm (O) kẻ tiếp tuyến AM,AN với (O) , (M,N Ỵ (O)) a) Từ O kẻ đường thẳng ^ OM cắt AN S Chứng minh: SO = SA b) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, AN C Giả sử A cố định, P điểm chuyển động cung nhỏ MN Chứng minh chu vi D ABC khơng đổi ? Tính giá trị không đổi ấy? c) Vẽ cát tuyến AEF không qua điểm O, H trung điểm EF Chứng minh điểm A, M, H, O, N thuộc đường tròn d) Chứng minh AE.AF=AM2 e) Gọi K giao điểm MH với (O) Chứng minh NK//AF Bài 103 Cho (O), gọi I trung điểm dây AB Qua I kẻ đường kính MN (M thuộc cung nhỏ AB), P điểm tia đối tia BA cho góc ANP khác 900 Nối PN cắt (O) E, ME cắt AB D a) Chứng minh DINE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh MD.ME = MI.MN c) Qua A kẻ đường thẳng song song với ME, đường thẳng cắt (O) F Chứng minh BE ^ NF d) Tìm vị trí P để D trung điểm BI Bài 104 Cho đườn trịn (O) đường kính AB = 2R điểm M di động nửa đường tròn Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với đường tròn (O) M tiếp xúc với đường kính AB N Đường trịn cắt MA, MB điểm thứ hai C, D a) Chứng minh CD // AB b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đường thẳng MN qua điểm K cố định c) Chứng minh tích KM.KN khơng đổi d) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA C’, D’ Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC’D’ đạt giá trị nhỏ Bài 105 Cho tứ goác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Kéo dài AB DC cắt E CB DA cắt F a) Chứng minh DB vng góc với EF (gọi chân đường vng góc G) b) Chứng minh BA.BE = BC.BF = BD.BG c) Chứng minh B tâm đường trịn nội tiếp tam giác ACG (khi góc B > 900) d) Cho góc ABC 1350, tính độ dài AC theo BD Bài 106 Cho ba điểm A, B, C đường thẳng theo thứ tự đường thẳng d vng góc với AC A Vẽ đường trịn đường kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đường thẳng d D, tia AM cắt đường tròn điểm thứ hai N, tia DB cắt đường tròn điểm thứ hai P a) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp c) Chứng minh tích CM.CD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Tứ giác APND hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy đường tròn cố định M di động Bài 107 Cho nửa đường tròn tâm O đường kinh AB = 2R C trung điểm đoạn AO, đường thẳng Cx vng góc với AB, Cx cắt nửa đường trịn (O) I K điểm nằm đoạn CI (K khác C, K khác I) Tia AK cắt nửa đường tròn M Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt Cx N, tia BM cắt Cx D a) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D thuộc đường tròn b) Chứng minh tam giác MNK cân c) Tính diện tích tam giác ABD K trung điểm đoạnt thẳng CI d) Khi K di động đoạn CI tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD di chuyển đường nào? Bài 108 Cho đường tròn tâm O, bán kính R điểm A nằm ngồi đường tròn Từ điểm M chuyển động đường thẳng d vng góc với OA A, vẽ tiếp tuyến MP, MP’ với đường tròn Dây PP’ cắt OM N cắt OA B a) Chứng minh tứ giác MPOP’, MNBA nội tiếp đường tròn b) Chứng minh OA.OB = OM.ON = R2 c) Khi điểm M di chuyển đường thẳng d tâm đường trịn nội tiếp tam giác MPP’ di chuyển đường nào? d) Cho góc PMP’ 600 R = 8, tính diện tích tứ giác MPOP’ diện tích hình quạt POP’ e) Tìm quỹ tích điểm T cho TA = 2TO Bài 109 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Từ B C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn, chúng cắt D TỪ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đường tròn E, F cắt AC I a) Chứng minh góc DOC = góc BAC b) Chứng minh bốn điểm O, I, C, D nằm đường tròn c) Chứng minh IE = IF d) Cho B, C cố định, A chuyển động cung lớn BC I di chuyển đường Bài 110 Cho tam giác vng cân ABC (góc C = 900), E điểm tùy ý cạnh BC Qua B kẻ tia vng góc với tia AE H cắt tia AC K CHứng minh rằng: a) Tứ giác BHCA nội tiếp b) KC.KA = KH.KB c) Độ lớn góc CHK khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E d) Khi E di chuyển canh BC BE.BC + AE.AH khơng đổi Bài 111 Cho đường tròn tâm O dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB C điểm nằm đoạn AB Tia MC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Chứng minh rằng: a) MA2 = MC.MD b) MB.BD = BC.MD c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Tổng hai bán kính hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi C di động đoạn AB Bài 112 Cho đoạn thẳng AB điểm P ằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax, By vng góc với AB hai tia lấy hai điểm C D cho AC.BD = AP.PB (1) a) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD b) Chứng minh góc CPD 900, từ suy cách dựng C, D thỏa mãn (1) c) Gọi M hình chiếu P CD, chứng minh góc AMB 900 d) Chứng minh điểm M chạy nửa đường tròn cố định C, D di động Ax, By thỏa mãn (1) Bài 113 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R, M điểm tùy ý nửa đường tròn (M khác A B) Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C D a) Chứng minh CD = AC + BD, góc COD vng b) Chứng minh AC.BD = R2 c) OC cắt AM E, OD cắt BM F, chứng minh EF = R d) Tìm vị trí M để tứ giác ACDB có diện tích nhỏ e) Khi M chạy nửa đường trịn đường kính AB trọng tâm I tam giác OEF chạy đường nào? Bài 114 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F a) Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp c) Chứng minh AE.AB = AF.AC d) Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường trịn Bài 115 Cho tam giác ABC vng C BC < CA Lấy điểm I đoạn AB cho IB < IA Kẻ đường thẳng d qua I vng góc với AB, d cắt AC F cắt BC E M điểm đối xứng với B qua I a) Chứng minh tam giác IME đồng dạng với tam giác IFA IE.IF = IA.IB b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE N Chứng minh B, F, N thẳng hàng c) Cho A, B cố định, C thay đổi cho góc ACB = 900 Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác FAE chạy đường thẳng cố định Bài 116 Cho hai đường thẳng song song d d’, khoảng cách chúng 2a Một đường tròn tâm O tiếp xúc với d d’ I J Một đường thẳng qua O cắt d E cắt d’ F Tia vng góc với EF O cắt d’ D a) Chứng minh tam giác DEF cân b) Hạ OH vng góc với DE, chứng minh OH = OI DE tiếp tuyến đường tròn (O) c) Chứng minh DE = EI + DJ d) Tính diện tích tứ giác EIJD OE = 2a Bài 117 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn P điểm cung AB (phần khơng chứa C D) Hay dây PC, PD cắt dây AB E, F Các dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC, PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng: a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp c) IK song song với AB d) PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD Bài 118 Cho tam giác ABC cân A (góc A < 900) nội tiếp đường trịn (O) Một điểm M tùy ý cung nhỏ AC Tia Bx vng góc với AM cắt tia CM D Chứng minh rằng: a) Góc AMD góc ABC b) Tam giác BMD cân c) Khi M di động cung nhỏ AC D chạy cung trịn cố định độ lớn góc BDC khơng đổi Bài 119 Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn điểm thứ hai F G Chứng minh: a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) AC song song với FG d) Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy Bài 120 Cho (O) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ cát tuyến d cắt đường tròn điểm B C (B nằm A C) Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đường tròn M N, gọi I trung điểm BC a) Chứng minh AM2 = AB.AC b) Chứng minh tứ giác OMAN IMAN nội tiếp c) Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN E Chứng minh IE // MC d) Khi d quay quanh A trọng tâm G tam giác MBC chạy đường nào? Bài 121 Cho đường trịn đường kính AB, điểm C, D đường tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD M, N, giao điểm MN với AC, AD H, I; giao điểm MD với CN K a) Chứng minh tam giác NKD tam giác MAK cân b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK » » d) Tìm hệ thức sđ AC , sđ AD điều kiện cần đủ để AK // ND Bài 122 Cho hai đường trịn (O), (O’) bán kính R, R’ (R > R’) tiếp xúc A dây cung AB cố định đường tròn (O) Một cát tuyến di động qua A cắt đường tròn (O) M cắt đường tròn (O’) N Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng MB Q cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai P a) Chứng minh OM // O’N b) Chứng minh BQ R' = BM R c) Tứ giác ABQP hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAB chạy đường tròn cố định Bài 123 Cho hai đường trịn (O), (O’) tiếp xúc ngồi với điểm A có tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O), (O’) điểm B, C cắt Ax điểm M Kẻ đường kính BOD CO’E a) Chúng minh M trung điểm BC b) Chứng minh tam giác OMO’ vuông c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng C, A, D thẳng hàng d) Gọi I trung điểm DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IOO’ tiếp xúc với đường thẳng d Bài 124 Cho đường trịn (O) bán kính R, có dây AB = R cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB; P, Q giao điểm thứ hai đường thẳng AH, BH với đường tròn (O); S giao điểm đường thẳng PB, QA a) Chứng minh PQ đường kính đường trịn (O) b) Tứ giác AMBS hình gì? Tại sao? c) Chứng minh độ dài SH không đổi d) Gọi I giao điểm đường thẳng SH, PQ Chứng minh I chạy đường tròn cố định Bài 125 Cho đường trịn (O; R) có dây PQ cố định, đường tròn (O’; R’) tiếp xác ngồi với đường trịn (O) P (PQ < 2R’) Gọi M điểm di động đường tròn (O), N giao điểm thứ hai tia MP với đường tròn (O’) Đường thẳng qua N song song với PQ cắt đường thẳng MQ S cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai T a) Chứng minh NP R' = MP R b) Chứng minh PT = QS c) Xác định vị trí M để điểm P, Q, N, T đỉnh hình bình hành d) Chứng minh S chạy đường tròn cố định Bài 126 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB điểm M nằm cung AB, gọi H điểm cung M Tia BH cắt AM điểm I cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm K Các tia AH, BM cắt điểm S a) Tam giác BAS tam giác gì, sao? Suy điểm S nằm đường tròn cố định b) Xác định vị trí tương đối đường thẳng KS với đường tròn (B; BA) c) Đường tròn qua B, I, S cắt đường tròn (B; BA) điểm N Chứng minh đường thẳng M luôn qua điểm cố định điểm M vị trí cung AB d) Xác định vị trí M cho góc MKA = 900 Bài 127 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm) a) Chứng minh BM song song với OP b) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình gì? Tại sao? c) Gọi K giao điểm AN với OP, I giao điểm ON với PM, J giao điểm PN OM Chứng minh điểm K, I, J thẳng hàng d) Xác định vị trí P cho K nằm đường tròn (O) Bài 128 Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Trong đoạn AB lấy điểm M (khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn (O) điểm P a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp b) Chứng minh tứ giác CMPO hình bình hành c) Chứng minh CM.CN khơng đổi d) Chứng minh M di động đoạn AB P chạy đoạn thẳng cố định Bài 129 Cho đường trịn (O) có điểm A cố định Kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) A Lấy điểm M tia Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn Gọi I trung điểm MA K giao điểm thứ hai BI với đường tròn (O) Tia MK cắt đường tròn (O) điểm thứ hai C a) Chứng minh tam giác MIK BIM đồng dạng b) Chứng minh BC song song với MA c) Có vị trí M để tứ giác AMBC hình bình hành hay không? Tại sao? d) Gọi H trực tâm tam giác MAB Chứng minh M di động tia Ax H chạy đường tròn cố định ... Dây lớn căng cung lớn Bổ sung a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Trong đường tròn, đường kính qua... đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với ¼ < 900 Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB E Từ E cho sđ BM vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh rằng:... dây cung đường tròn Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Định lí Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Hệ Trong đường tròn: a) Các góc nội tiếp chắn cung b) Các góc nội tiếp