BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG ĐHBK TOAÙN CH 2: HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC • BÀI 3: VÔ CÙNG LỚN – VC BÉ (SV) • TS NGUYỄN QUỐC LÂN (10/2006) NỘI DUNG 1- VÔ CÙNG BÉ – TÍNH CHẤT VÔ CÙNG BÉ VÔ CÙNG BÉ – VCB 2- SO SÁNH TƯƠNG ĐƯƠNG 3- QUY TẮC NGẮT BỎ VCB DÙNG VCB TÍNH GIỚI HẠN 4- VÔ CÙNG LỚN SO SÁNH VÔ CÙNG LỚN 5- DÙNG VÔ CÙNG LỚN TÍNH GIỚI HẠN VÔ CÙNG BÉ Đại lượng (x) – vô bé lim x 0 x x0 (VCB) x x0: VD: Caùc VCB x x x , sin x , e x , ln1 x 0: VCB x x 1 x : TC: (x), (x) – VCB x x0 , C(x) bị chặn 1/ (x) (x) VCB lân cận, x(x)(x) x x0 2/ C(x)(x) laø VCB x x0 (Quan VD limtroïng) x sin ??? x x : SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ - (x), (x) – VCB, x x0 lim x c So saùnh x x0 x 1/ c 0, c : vô bé cấp– VCB cấp cao so với (x): 2/ c = : (x) (x) 3/ c = = o((x)) : (x) – VCB tương đương so với (x): (x) ~ (x) VD: So sánh vô cos x & x ; sin x & x bé khisánh x 0: vô bé xm , xn (m, VD: So n > 0) Chứng x 04 VD: x x2 2x ~ 2x x minh Phân biệt: (x) = x C , x a x O*((x)), x a VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG) (x), (x) – VCB tương đương x lim x 1 x x0 x x0 VD: Tìm số C để quan hệ tương đương sau là2 a / cos x ~ C1 x ? x b/ tgx sin x ~ C2 x ? x Tính chất VCB tương đương: Nhân vế, luỹ thừa …& (SGK) 1/ f(x) ~ g(x) f1(x) ~ g1(x) , x x0 f(x) f1(x) ~ g(x) 2/ f(x) g~1(x) g(x) , x x0 hoaëc Z neáu g fm(x) ~ gm(x), m N DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN p dụng: Dùng vô bé tương đương tính giới hạn x ~ 1 x , ~ 1 x x lim x x0 x x0 x x0 x x x0 1 x Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào lim TÍCH (THƯƠNG) ln1 tgx VD: / lim sin x 2/ Bieát ln 1 u ~ u tínhlim x sin x u x sin x sin x ~ x ~ tgx ~ arcsin x ~ arctgx , cos x ~ x 2 , x 1 x ~ x , x VD : x 1 x 13 1 ~ x x x e x ~ x ~ ln1 x , a x ~ x ln a , sinh x ~ x , cosh x ~ 0 0 QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BEÙ ~ & ~ x x0 VD : lim sin x tgx x x3 ~ 1 , – VCB khác cấp + tương đương VCB cấp thấp Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp tử & mẫu) 2 sin x x tg x ln cos x x VD: lim lim x x ln1 x sin x x Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & f ~ x , x a f g ~ x x iff g ~ x , x a & 0 KẾT LUẬN Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …): Dạng tích (thương) Thay THỪA SỐ biểu thức tương đương & đơn giản f x hôn g x f1 x g1 x với f(x) ~ f1(x), g(x) lim lim x x0 x x0 h x h1 x ~ g1(x) … Dạng tổng VCB khác cấp Thay VCB cấptổng thấpVCB tổng quát fi(x) Thay Dạng luỹ fi(x) VCB tương f i xđương ~ Ci xi &dạng C x i i 0 thừa: (SGK/tr 41): ln 1 x ln 1 x ~ x x lim ?? lim x x 1 x x x x1 x x VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL Haøm y = f(x) – vô lớn (VCL)lim f x x x0 x x0 : So saùnh VCL: f(x), g(x) – VCL x x0 giới hạn f/g lim x x0 f ( x) c g ( x) c 0, : f(x), g(x) – VCL cấp c = 1: f, g – VCL tương đương : f=~ : g f – VCL cấp cao g c Viết: f >> g VD: x x ~ x a x x log x a 1, x x x Tổng vô lớn khác cấp tương đương caương vào TÍCH (THƯƠNG) ThayVCL VCLcấp tương tính lim ... x 0 x x0 (VCB) x x0: VD: Caùc VCB x x x , sin x , e x , ln1 x 0: VCB x x 1 x : TC: (x), (x) – VCB x x0 , C(x) bị chặn 1/ (x) (x) VCB lân cận, x(x)(x)... x tgx x x3 ~ 1 , – VCB khác cấp + tương đương VCB cấp thấp Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp tử & mẫu) 2 sin... LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL Hàm y = f(x) – vô lớn (VCL) lim f x x x0 x x0 : So saùnh VCL: f(x), g(x) – VCL x x0