Naêm 1356, caùc nhaø khaûo coå phaùt hieän taïi thaønh Turin (YÙ) taám vaûi coù aûnh aâm baûn hieän hình ngöôøi ñöôïc xem laø Chuùa Jesus Truyeàn thuyeát: Taám vaûi lieäm thaønh[r]
(1)BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-TỐN HK1 0708 • BÀI 2: HÀM SỐ (SV)
(2)NỘI DUNG
1- KHÁI NIỆM HÀM SỐ
2- CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
3- NHẮC LẠI: HÀM CƠ BẢN (PHỔ THÔNG)
4- HAØM SỐ NGƯỢC
5- HAØM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
6- HAØM HYPERBOLIC
(3)KHÁI NIỆM HÀM SỐ
-VD: Đồ thị VNINDEX (chứng khoán) Hàm số: giá chứng khoán theo ??? (Thời gian? Giá vàng? Biến động trị? & Biểu thức y = ???
Đại lượng A biến thiên phụ thuộc đại lượng B: Đời sống: Tiền điện theo số kwh tiêu thụ, giá vàng nước theo giới …
Kỹ thuật: Tọa độ chất điểm theo thời gian …
(4)LỊCH SỬ
-Giữa TK 18, Euler: Biểu diễn hàm số qua ký tự y = f(x)
1786, Scotland:
The Commercial an Political Atlas, Playfair Đồ thị so sánh xuất & nhập từ Anh sang Đan Mạch + Na Uy
x
: Vào
f
: Hàm
tính
(5)ĐỊNH NGHĨA TOÁN HỌC
-MXĐ Df = {x| f(x) có nghóa}
R X
R Y
Hàm số y = f(x): X R Y R: Quy luật tương ứng x X y Y Biến số x, giá trị y Tương quan hàm số: giá trị x cho giá trị y
Một x Nhiều y: K0 phải hàm nghĩa thông thường (Nhưng hàm đa trị?)
(6)CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ
-Bốn cách xác định hàm số: Mô tả (đơn giản) - Biểu thức (thông dụng) – Bảng giá trị (thực tế) – Đồ thị (kỹ thuật) Mô tả: Đơn giản, dễ phát tương quan hàm số
Trọng lượng Giá tiền
20 gr 18.000 ñ
20 – 40 gr 30.000 ñ
VD: Bảng cước phí gửi thư bưu điện châu Aâu
Bảng giá trị: Thực tế, rõ ràng, thích hợp hàm giá trị VD: Phí gửi thư bưu điện nước phụ thuộc trọng lượng
(7)XÁC ĐỊNH HAØM SỐ QUA BIỂU THỨC (HAY GẶP NHẤT)
-Quen thuộc (dạng hieän): y = f(x)
VD: y = x2, y = ex, hàm sơ cấp …
Dạng tham soá
t y y
t x x
VD: x = + t, y = – t Đường thẳng : t (x, y)
VD: x = acost, y = asint Đường tròn Dạng ẩn F(x, y) = y = f(x) (implicit) VD: Đtròn x2 + y2 – = 0,
0
16
2
y
x
(8)MAPLE: KHAI BÁO HAØM SỐ, VẼ ĐỒ THỊ
- (Khai báo hàm số) p := x^3 + x^2 + 1; (Tính giá trị hàm số) subs(x=1, p);
(Tính giới hạn hàm số) limit( sin(2*x)/x, x = 0) ;
(Tính đạo hàm) diff(p, x) ; (Tính đhàm cấp 2) diff(p,x$2) (Vẽ đồ thị) plot(sin(x), x = Pi); (Nhiều đồ thị) plot( [sin(x),cos(x)],x = 2*Pi, color = [red,blue]);
(Đồ thị tham số lý thú) plot( [31*cos(t)-7*cos(31*t/7), 31*sin(t)-7*sin(31*t/7), t = 14*Pi] );
(9)HÀM QUEN THUỘC (PHỔ THÔNG)
-Tính chất hàm y = x: MXĐ, đơn điệu … tuỳ thuộc > & < 0!
Hàm hằng, tuyến tính (bậc 1): y = ax + b Đường thẳng Hàm luỹ thừa: y = x Đa thức: y = a
0xn + a1xn–1 + … , haøm
phân thức: y = 1/x, y = P(x)/Q(x), hàm y = n x
Hàm y = x: tự nhiên MXĐ: R, nguyên âm: MXĐ x
0, R: noùi chung x > (Nếu hàm căn: tuỳ tính chẵn lẻ) Tính đơn điệu y = x, x > 0: > Tăng, < Giảm
(10)ĐỒ THỊ HAØM LUỸ THỪA
-lẻ nhiên, tự
:
x
y y x : tự nhiên, chẵn
1 &
1
: x
(11)HAØM MUÕ, LOG
- Hàm đa thức: có cực trị, khơng có tiệm cận
Hàm phân thức: tcận đứng, xiên (ngang) tuỳ bậc Sviên
tự xem Hàm căn: miền xác định, tiệm cận …
Hàm logarit: y = lnx Tổng quát: y = logax (a > & < a < 1)
x x a x x a a x a x a x a x log lim & log lim : log lim & log lim : 0 R : MGTrị x : MXĐ
Hàm mũ: y = ex y = ax (a > & < a < 1) D = R; MGT: Đơn điệu y = ax: a > Hàm tăng & < a < 1: Hàm giảm
x x x x x x x
x a a a a a
a 1:lim & lim ; 1:lim 0& lim
*
(12)ĐỒ THỊ HAØM MŨ, LOGARIT: SO SÁNH VỚI LUỸ THỪA -0 , & : x y a a a
y x Điểm đặc biệt: nhau
Khi a > & > 0: Cùng , +, mũ nhanh luỹ thừa
0 , & : log x y a a x y a
(13)HAØM LƯỢNG GIÁC: sinx, cosx
-y = sinx, -y = cosx MXĐ R, MGTrị [–1, 1], Tuần hoàn …
x y
x y
cos sin
(14)HAØM LƯỢNG GIÁC: tgx, cotgx
-y = tgx (x /2 + k ), y = cotgx (x k): MGT R, TC đứng
x y
x y
cotg tg
(15)HAØM HỢP HAØM SƠ CẤP
-2 hàm y = f(x), y = g(x) Hàm hợp: f o g = f(g): y(x) = f(g(x))
x
:
Vaøo Haøm :g Ra :g x Haøm : f Giátrị : f g x
VD: Phân biệt f(g) & g(f): f = x2 & g = cosx f(g) = … g(f) = … Hàm sơ cấp: Tổng, hiệu, tích, thương, hợp (ngược) … hàm Hàm sơ cấp: Diễn tả qua công thức
VD: y = (sin2(x) – ln(tgx+2))/(ecosx – 1): sơ cấp Ltục, đhàm …
VD: 2 công thức Không sơ cấp: không đhàm!
:
0 ,
0 ,
x x
x x x
(16)HAØM NGƯỢC
-f–song ánh Phương trình f(x) = y (*) có nghiệm x nhất
y y Y f Y X
f x
x f
y ( ) 1 : biểu thức hàm ngược : 1 :
Tìm hàm ngược: Giải (*) (ẩn x) Biểu thức hàm ngược x = f1(y)
Hàm số y = f(x): X Y thoả tchất: y Y, ! x X cho y = f(x) f: song ánh (tương ứng một–một)
VD: Tìm miền xác định miền giá trị để hàm số sau có hàm ngược hàm ngược y = x2 +
(17)HAØM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
-VD: = arcsin(1/2) = sin-1 (1/2) : Dùng phím sin-1 MTBTúi
x y x y
y
x , 1,1 : sin arcsin
,
2
Giải ptr Nghiệm
y = arcsinx: D = [–1, 1], MGT
sin sin & ,
y = sinx: song ánh: Hàm ngược y = arcsinx:
,
1,1
1,1
,
x C
x dx u u u x
x
arcsin
1 & ' ' arcsin & 1 '
(18)Hàm arccos, arctg, arccotg: Toán 1, ĐCK, trang 21 – 23
-y = cosx song aùnh: [0, ] [–1, 1] y = arccosx: [–1, 1] …
2
1 1 ' arccos & cos , , , cos arccos x x y x y x x x y , : arctg , :
tgx R y x R y song aùnh:
0, arccotg : 0,
:
cotg
x R y x R
y song aùnh:
2
(19)HÀM HYPERBOLIC (Tốn 1, ĐCK, trang 23 – 24)
-,
sh sinh
x
x e
e x
x
x x e e D R
x x
ch cosh
Công thức hàm hyperbolic: Như công thức lượng giác & đổi dấu riêng với thừa số tích chứa sin (hoặc thay cosx chx, sinx ishx (i: số ảo, i2 = –1)!
MTBTúi: Bấm hyp + sin, hyp + cos VD: Tính sh(0), ch(0)
VD: Chứng minh: a/ ch(x) > x (Thật ch(x) x) b/ sh x < chx x c/ ch(x): hàm chẵn, sh(x): hàm lẻ)
(20)BẢNG CƠNG THỨC HÀM HYPERBOLIC
-1 cos
sin2 x x ch2x sh2x 1
x y cos xcos y sin xsin y
cos ch x y chxchy shxshy
x y sin xcos y sin y cos x
sin shx y shxchy shychx
2x 2cos2 x 1 1 2sin2 x
cos ch2x 2ch2x 112sh2x
2x 2sin xcos x
sin sh2x 2shxchx
2 cos
2 cos
2 cos
cos x y x y x y
2 ch
2 ch
2 ch
chx y x y x y
2 sin
2 sin
2 cos
cos x y x y x y
2 sh
2 sh
2 ch
chx y x y x y
Công thức lượng giác Cơng thức Hyperbolic
(21)ÁP DỤNG HÀM MŨ, LOG: PHÂN RÃ PHÓNG XẠ
-Tốc độ phân rã vật liệu phóng xạ tỷ lệ thuận với khối lượng có Hãy tìm quy luật phân rã vật liệu này?
Giải: Gọi R(t) – khối lượng vật thời điểm t tốc độ phân rã: R’(t) = dR/dt < (vì R giảm) Theo quan sát:
hằngsố tỷ lệ 0
kR k :
dt dR
t R e kt R
kdt R
dR
0
Carbon C – 14: Chu kỳ bán phân rã: 5730 năm Tìm R(t)?
Giải: T – chu kỳ bán phân rã Khối lượng: R0/2 th/điểm T:
T k
kT e
R
R kT ln
2 ln
0
t R e t R
T 5730 0 0.000121
(22)TẤM VẢI LIỆM THÀNH TURIN
-Năm 1356, nhà khảo cổ phát thành Turin (Ý) vải có ảnh âm hình người xem Chúa Jesus Truyền thuyết: Tấm vải liệm thành Turin Năm 1988, Toà thánh Vatican cho phép Viện Bảo tàng Anh xác định niên đại tấm vải phương pháp đồng vị phóng xạ C – 14 Sợi vải chứa 92% - 93% lượng C – 14 ban đầu Kết luận?
Giải: Từ công thức trước: e t
R t
R 0.000121
0
ln 000121
0
1
R t R t
R/R0: 0.92 0.93 ln0.92 689& ln0.93 600
2
1 t
t